АССОЦИАТИВНЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

                                                            Внимание!

                                                               Оригинал. При копировании

                                                               прошу указывать ссылку

                                                               на данную страницу.

 

 

Перед чтением данной страницы рекомендуется прочесть:

 

1.     Магические квадраты;

2.     Методы построения магических квадратов;

3.     Построение чётно-нечётных магических квадратов методом четырёх квадратов;

4.     Пандиагональные квадраты;

5.     Пандиагональные квадраты пятого порядка.

 

Определение: магический квадрат порядка n называется ассоциативным, или симметричным, если сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2.

                                              

Как известно, магический квадрат третьего порядка всего один (с точностью до основных преобразований). Этот квадрат ассоциативен (рис. 1).

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

                                                                      Рис. 1

 

На рис. 2 представлены ассоциативные квадраты четвёртого и пятого порядка.

 

 

 

 

3

16

9

22

15

1

14

15

4

20

8

21

14

2

12

7

6

9

7

25

13

1

19

8

11

10

5

24

12

5

18

6

13

2

3

16

11

4

17

10

23

 

                                                                  Рис. 2

 

В квадратах закрашены две пары симметричных относительно центра чисел.

 

Все основные преобразования сохраняют ассоциативность квадрата любого порядка.

 

Много ли существует ассоциативных квадратов? По ссылке

 

http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html

 

указывается, что количество ассоциативных квадратов третьего порядка – 1, четвёртого порядка – 48, а пятого порядка – 48544.

 

Я составила программу для построения ассоциативных квадратов четвёртого порядка. По программе построились все ассоциативные квадраты с учётом основных преобразований, то есть 48*8=384.

Приведу текст программы, а также файл, в который программа записала полученные квадраты.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(4, 4), B(16)

12 OPEN "MK4.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 FOR I = 1 TO 16

20 A(1, 1) = I: A(4, 4) = 17 - I

25 FOR J = 1 TO 16

30 IF J = I THEN 310

35 A(1, 2) = J: A(4, 3) = 17 - J

40 FOR K = 1 TO 16

45 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 55

50 GOTO 305

55 A(1, 4) = K: A(4, 1) = 17 - K

60 A(1, 3) = 34 - I - J - K

65 IF A(1, 3) > 0 THEN IF A(1, 3) < 17 THEN 75

70 GOTO 305

75 A(4, 2) = 17 - A(1, 3)

80 IF A(4, 1) + A(4, 2) + A(4, 3) + A(4, 4) <> 34 THEN 305

85 FOR L = 1 TO 16

90 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 100

95 GOTO 300

100 A(2, 1) = L: A(3, 4) = 17 - L: A(3, 1) = 34 - I - L - A(4, 1)

105 IF A(3, 1) > 0 THEN IF A(3, 1) < 17 THEN 120

110 GOTO 300

120 A(2, 4) = 34 - K - A(3, 4) - A(4, 4)

125 IF A(2, 4) > 0 THEN IF A(2, 4) < 17 THEN 135

130 GOTO 300

135 FOR M = 1 TO 16

140 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 150

145 GOTO 295

150 A(2, 2) = M: A(3, 3) = 17 - M

155 A(2, 3) = 34 - L - M - A(2, 4)

160 IF A(2, 3) > 0 THEN IF A(2, 3) < 17 THEN 166

162 GOTO 295

166 A(3, 2) = 17 - A(2, 3)

168 IF J + M + A(3, 2) + A(4, 2) <> 34 THEN 295

205 IF A(1, 2) + A(2, 2) + A(3, 2) + A(4, 2) <> 34 THEN 295

210 IF A(1, 3) + A(2, 3) + A(3, 3) + A(4, 3) <> 34 THEN 295

215 FOR P = 1 TO 4: B(P) = A(1, P): NEXT P

217 FOR P = 1 TO 4: B(P + 4) = A(2, P): NEXT P

219 FOR P = 1 TO 4: B(P + 8) = A(3, P): NEXT P

221 FOR P = 1 TO 4: B(P + 12) = A(4, P): NEXT P

224 FOR P = 1 TO 16

226 FOR Q = 1 TO 16

228 IF Q = P THEN 240

230 IF B(P) = B(Q) THEN 295

240 NEXT Q

242 NEXT P

244 W = W + 1: PRINT W: PRINT #1, W

250 FOR O = 1 TO 4

255 FOR N = 1 TO 4

260 PRINT A(O, N);

262 PRINT #1, A(O, N);

265 NEXT N

270 PRINT : PRINT #1,

275 NEXT O

280 PRINT : PRINT #1,

295 NEXT M

300 NEXT L

305 NEXT K

310 NEXT J

315 NEXT I

350 END

 

На полученные по этой программе квадраты вы можете посмотреть по ссылке:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/assoc4.htm

 

Интересно отметить, что магические квадраты четвёртого порядка не могут быть одновременно и пандиагональными, и ассоциативными.

 

Примечание: совсем недавно (24 марта 2008 г.) узнала, что существует идеальный квадрат восьмого порядка (то есть одновременно пандиагональный и ассоциативный). Об этом мне сказали на одном математическом форуме, в котором участвую всего несколько дней. Дали ссылку, где приведён такой квадрат. Вот эта ссылка:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

О других идеальных квадратах чётно-чётного порядка пока ничего не знаю. Собираюсь исследовать этот вопрос. Смотрите статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

Утверждение о том, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков, было записано в Википедии, и я приняла его на веру, доказав только для квадратов четвёртого порядка. Теперь это утверждение в Википедии исправлено (одним из участников того самого математического форума).

Так что не верьте всему, что написано в Википедии.

 

Для магического квадрата четвёртого порядка это легко доказать. Будем доказывать методом от противного: предположим, что представленный на рис. 2а квадрат магический, пандиагональный и ассоциативный:

 

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

х10

х11

х12

х13

х14

х15

х16

                                              

                                                                      Рис. 2а

 

Записав все условия магичности, пандиагональности и ассоциативности, получаем такую систему 8 уравнений с 8 неизвестными:

 

x1+x2+x3+x4=34

x5+x6+x7+x8=34

x1+x5-x4-x8=0

x3+x7-x2-x6=0

x1+x8-x3-x6=0

x4+x5-x2-x7=0

x1+x5-x2-x6=0

x3+x7-x4-x8=0

 

Решив эту систему в пакете программ Maple, имеем такое решение:

 

х16         х2=17-х6   х38         х4=17-х8

х5=17-х6   х66         х7=17-х8   х88

 

Две переменные оказались свободными, х6 и х8. Задав произвольные значения для этих переменных, по формулам получаем значения других переменных. Но сразу видно, что полученное решение противоречит условию заполнения магического квадрата, потому что значения некоторых переменных равны. Пусть, например, х6=3, х8=9, тогда квадрат, описанный данной системой уравнений будет таким:

 

3

14

9

8

14

3

8

9

8

9

14

3

9

8

3

14

 

Очевидно, что этот квадрат магический, пандиагональный и ассоциативный. Но в традиционном магическом квадрате по определению не должно быть одинаковых чисел. Таким образом, мы пришли к тому, что наше предположение невозможно для нормального магического квадрата четвёртого порядка.

 

                                                    ***

 

Поскольку в последнее время я очень много занималась исследованием квадратов пятого порядка, то остановлюсь здесь подробно на ассоциативных квадратах пятого порядка.

Во-первых, заметим, что все ассоциативные квадраты пятого порядка в центральной ячейке имеют число 13.

Вообще: в центральной ячейке ассоциативного квадрата нечётного порядка n стоит число (n2+1)/2. Для квадратов третьего порядка это число (32+1)/2=5, для квадратов пятого порядка – (52+1)/2=13 и т. д.

 

Как уже отмечалось, все основные преобразования магических квадратов сохраняют ассоциативность (см. рис. 3).

 

3

16

9

22

15

 

11

24

7

20

3

 

23

10

17

4

11

 

15

2

19

6

23

20

8

21

14

2

4

12

25

8

16

6

18

5

12

24

22

14

1

18

10

7

25

13

1

19

17

5

13

21

9

19

1

13

25

7

9

21

13

5

17

24

12

5

18

6

10

18

1

14

22

2

14

21

8

20

16

8

25

12

4

11

4

17

10

23

23

6

19

2

15

15

22

9

16

3

3

20

7

24

11

 

11

4

17

10

23

 

15

22

9

16

3

 

3

20

7

24

11

 

23

6

19

2

15

24

12

5

18

6

2

14

21

8

20

16

8

25

12

4

10

18

1

14

22

7

25

13

1

19

19

1

13

25

7

9

21

13

5

17

17

5

13

21

9

20

8

21

14

2

6

18

5

12

24

22

14

1

18

10

4

12

25

8

16

3

16

9

22

15

23

10

17

4

11

15

2

19

6

23

11

24

7

20

3

 

                                                                  Рис. 3

 

Кроме того, для ассоциативных квадратов можно применить преобразования перестановки строк и/или столбцов, которые нельзя применить просто к магическому квадрату, не являющемуся ассоциативным, так как эти преобразования в общем случае не сохраняют магичность. На рис. 4 вы видите один из вариантов преобразования перестановки строк, перестановки столбцов и одновременной перестановки строк и столбцов.

 

3

16

9

22

15

 

3

16

9

22

15

 

3

22

9

16

15

 

3

22

9

16

15

20

8

21

14

2

24

12

5

18

6

20

14

21

8

2

24

18

5

12

6

7

25

13

1

19

7

25

13

1

19

7

1

13

25

19

7

1

13

25

19

24

12

5

18

6

20

8

21

14

2

24

18

5

12

6

20

14

21

8

2

11

4

17

10

23

11

4

17

10

23

11

10

17

4

23

11

10

17

4

23

 

                                                                  Рис . 4

 

Аналогично можно переставлять первую строку с пятой или/и первый столбец с пятым, а также делать всевозможные комбинации этих преобразований с показанными выше. Всё это возможно благодаря ассоциативности квадрата.

 

Здесь я покажу магические квадраты пятого порядка, которые являются одновременно и пандиагональными, и ассоциативными.

 

В цитате из журнала “Наука и жизнь”, приведённой в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”, говорится, что среди 144 базовых пандиагональных квадратов пятого порядка ассоциативных всего 16.

 

Составив в указанной выше статье банк базовых квадратов, я заинтересовалась наличием в этом банке 16 ассоциативных квадратов. Первые четыре ассоциативных квадрата я нашла сразу в первой четверти банка. Они показаны на рис. 5.

 

         Квадрат № 8          Квадрат № 10          Квадрат № 20          Квадрат № 22

 

1

23

10

14

17

 

1

23

20

14

7

 

1

23

10

12

19

 

1

23

20

12

9

15

19

2

21

8

15

9

2

21

18

15

17

4

21

8

15

7

4

21

18

22

6

13

20

4

22

16

13

10

4

24

6

13

20

2

24

16

13

10

2

18

5

24

7

11

8

5

24

17

11

18

5

22

9

11

8

5

22

19

11

9

12

16

3

25

19

12

6

3

25

7

14

16

3

25

17

14

6

3

25

 

                                               Рис. 5

 

Больше ассоциативных квадратов в явном виде в банке не оказалось! Тогда я  начала искать, какие квадраты банка можно превратить в ассоциативные различными преобразованиями. Для этого взяла в других четвертях банка квадраты, соответствующие ассоциативным квадратам первой четверти банка (о связи квадратов четырёх четвертей банка смотрите в указанной выше статье). И не ошиблась! Именно эти квадраты и оказались скрытыми ассоциативными квадратами. Соответствие номеров квадратов, согласно моим связям между квадратами:

 

№ 8   - № 44 - № 80 - № 116

№ 10 - № 46 - № 82 - № 118

№ 20 - № 56 - № 92 - № 128

№ 22 - № 58 - № 94 - № 130

 

Покажу, как из базового квадрата № 44 получается ассоциативный квадрат (см. рис. 6).

 

                        Квадрат № 44                  1 этап                          2 этап

 

1

20

12

8

24

 

1

24

8

12

20

 

4

23

7

15

16

7

23

4

16

15

 

13

17

5

21

9

 

12

20

1

24

8

19

11

10

22

3

->

25

6

14

18

2

->

21

9

13

17

5

25

2

18

14

6

 

19

3

22

10

11

 

18

2

25

6

14

13

9

21

5

17

 

7

15

16

4

23

 

10

11

19

3

22

 

                                                                  Рис. 6

 

На первом этапе выполнено преобразование стандартной перестановки строк и столбцов, на втором этапе полученный квадрат перенесён на торе. В результате этих двух преобразований получился ассоциативный квадрат, который, впрочем, можно объявить базовым вместо исходного квадрата № 44. Это просто для удобства все базовые квадраты выбраны с числом 1 в левой верхней ячейке.

Совершенно аналогично я превратила все перечисленные выше базовые квадраты в ассоциативные. Как видите, их действительно оказалось 16, причём ровно по 4 в каждой четверти банка.

Далее я показываю исходные базовые квадраты и получающиеся из них ассоциативные квадраты, опуская промежуточные преобразования, где они есть.

 

                                            Квадрат № 46

 

1

10

12

18

24

 

4

23

17

15

6

17

23

4

6

15

 

12

10

1

24

18

9

11

20

22

3

->

21

19

13

7

5

25

2

8

14

16

 

8

2

25

16

14

13

19

21

5

7

 

20

11

9

3

22

 

                                            Квадрат № 56

 

1

20

14

8

22

 

2

23

9

15

16

9

23

2

16

15

 

14

20

1

22

8

17

11

10

24

3

->

21

7

13

19

5

25

4

18

12

6

 

18

4

25

6

12

13

7

21

5

19

 

10

11

17

3

24

 

                                             Квадрат № 58

 

1

10

14

18

22

 

2

23

19

15

6

19

23

2

6

15

 

14

10

1

22

18

7

11

20

24

3

->

21

17

13

9

5

25

4

8

12

16

 

8

4

25

16

12

13

17

21

5

9

 

20

11

7

3

24

 

                                            Квадрат № 80

 

1

22

9

15

18

 

19

12

6

23

5

14

20

3

21

7

 

8

25

4

17

11

23

6

12

19

5

->

2

16

13

10

24

17

4

25

8

11

 

15

9

22

1

18

10

13

16

2

24

 

21

3

20

14

7

 

     Квадрат № 82

 

1

22

19

15

8

 

9

12

16

23

5

14

10

3

21

17

 

18

25

4

7

11

23

16

12

9

5

->

2

6

13

20

24

7

4

25

18

11

 

15

19

22

1

8

20

13

6

2

24

 

21

3

10

14

17

 

      Квадрат № 92

 

1

24

7

15

18

 

5

23

6

14

17

12

20

3

21

9

 

11

19

2

25

8

23

6

14

17

5

->

22

10

13

16

4

19

2

25

8

11

 

18

1

24

7

15

10

13

16

4

22

 

9

12

20

3

21

 

 

     Квадрат № 94

 

1

24

17

15

8

 

5

23

16

14

7

12

10

3

21

19

 

11

9

2

25

18

23

16

14

7

5

->

22

20

13

6

4

9

2

25

18

11

 

8

1

24

17

15

20

13

6

4

22

 

19

12

10

3

21

 

 

     Квадрат № 116

 

1

19

13

7

25

 

2

23

9

11

20

8

22

5

16

14

 

14

16

5

22

8

20

11

9

23

2

->

25

7

13

19

1

24

3

17

15

6

 

18

4

21

10

12

12

10

21

4

18

 

6

15

17

3

24

 

      Квадрат № 118

 

1

9

13

17

25

 

10

11

19

23

2

18

22

5

6

14

 

18

22

5

6

14

10

11

19

23

2

->

1

9

13

17

25

24

3

7

15

16

 

12

20

21

4

8

12

20

21

4

8

 

24

3

7

15

16

 

     Квадрат № 128

 

1

17

13

9

25

 

20

11

7

23

4

8

24

5

16

12

 

8

24

5

16

12

20

11

7

23

4

->

1

17

13

9

25

22

3

19

15

6

 

14

20

21

2

18

14

10

21

2

18

 

22

3

19

15

6

 

     Квадрат № 130

 

1

7

13

19

25

 

10

11

17

23

4

18

24

5

6

12

 

18

24

5

6

12

10

11

17

23

4

->

1

7

13

19

25

22

3

9

15

16

 

14

20

21

2

8

14

20

21

2

8

 

22

3

9

15

16

 

В предыдущих статьях о пандиагональных квадратах пятого порядка было рассказано о нескольких преобразованиях, сохраняющих не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата. Это преобразования “плюс-минус 10”, “плюс-минус 20”, “плюс-минус 2”. Большинство из показанных здесь ассоциативных квадратов тоже связаны преобразованием “плюс-минус 10”. А есть пара квадратов, связанных преобразованием “плюс-минус 4”. Вот эти квадраты:

 

2

23

9

15

16

 

2

23

9

11

20

14

20

1

22

8

 

14

16

5

22

8

21

7

13

19

5

->

25

7

13

19

1

18

4

25

6

12

 

18

4

21

10

12

10

11

17

3

24

 

6

15

17

3

24

 

Напомню, что в мозаике преобразования, наложенной на исходный квадрат, розовая клетка соответствует “плюс 4”, а сиреневая клетка - “минус 4”. Совершенно очевидно, почему все подобные преобразования “плюс-минус” сохраняют и пандиагональность, и ассоциативность квадрата.

 

В заключение покажу два ассоциативных квадрата нечётного порядка, построенных методом террас (см. страницу “Методы построения магических квадратов”). Любой квадрат нечётного порядка, построенный методом террас, является ассоциативным. На рис. 7  вы видите ассоциативные квадраты седьмого и девятого порядка.

 

 

 

5

46

15

56

25

66

35

76

45

54

14

55

24

65

34

75

44

4

4

29

12

37

20

45

28

13

63

23

64

33

74

43

3

53

35

11

36

19

44

27

3

62

22

72

32

73

42

2

52

12

10

42

18

43

26

2

34

21

71

31

81

41

1

51

11

61

41

17

49

25

1

33

9

70

30

80

40

9

50

10

60

20

16

48

24

7

32

8

40

29

79

39

8

49

18

59

19

69

47

23

6

31

14

39

15

78

38

7

48

17

58

27

68

28

22

5

30

13

38

21

46

37

6

47

16

57

26

67

36

77

 

                                               Рис. 7

 

Об ассоциативных и пандиагональных квадратах седьмого и девятого порядка смотрите в статьях:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk7.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

Осталось показать ещё два квадрата порядка двойной чётности, построенные методом квадратных рамок. Все чётно-чётные квадраты, построенные этим методом тоже ассоциативны. Смотрите эти квадраты на рис. 8.

 

 

 

1

134

34

117

53

90

91

56

112

27

143

12

24

35

135

52

116

79

78

113

57

142

26

13

36

23

51

136

80

115

114

77

141

58

14

25

37

50

22

81

137

102

103

140

76

15

59

48

1

58

22

45

44

19

63

8

49

38

82

21

101

138

139

104

16

75

47

60

16

23

59

36

37

62

18

9

72

83

39

100

20

127

126

17

105

46

74

61

24

15

35

60

61

38

10

17

84

71

99

40

128

19

18

125

45

106

62

73

25

34

14

53

52

11

39

32

85

98

70

129

41

6

7

44

124

63

107

96

33

26

54

13

12

51

31

40

97

86

130

69

5

42

43

8

64

123

95

108

48

55

27

4

5

30

50

41

120

131

87

4

68

31

30

65

9

94

122

109

56

47

3

28

29

6

42

49

132

119

3

88

32

67

66

29

93

10

110

121

57

2

46

21

20

43

7

64

133

2

118

33

89

54

55

92

28

111

11

144

 

                                                                  Рис. 8

 

                                                                  ***

 

10 сентября 2007 г.

 

У меня есть все пандиагональные квадраты пятого порядка, полученные по моей программе алгоритма № 1. Это самый первый алгоритм, в котором применено описание пандиагонального квадрата системой линейных уравнений. По этой программе были найдены все пандиагональные квадраты с числом 13 в центральной ячейке. Их оказалось 1152. Как раз среди них и находятся все ассоциативные квадраты, так как в ассоциативных квадратах именно число 13 стоит в центральной ячейке. Я приведу здесь все ассоциативные квадраты, без учёта повёрнутых и отражённых, так как программа строила наряду с квадратом его вариант – повёрнутый и отражённый (см. пример на рис. 9). Эти квадраты очень интересны сами по себе. Возможно, кто-то исследует их более подробно и найдёт удивительные связи и закономерности. Включаю в приведённые квадраты и те, что были рассмотрены выше, для полноты картины.

 

2

23

9

15

16

 

2

14

21

18

10

14

20

1

22

8

 

23

20

7

4

11

21

7

13

19

5

->

9

1

13

25

17

18

4

25

6

12

 

15

22

19

6

3

10

11

17

3

24

 

16

8

5

12

24

 

                                                   Рис. 9

 

                   Ассоциативные и пандиагональные квадраты

                                       пятого порядка

 

№ 1

1  23  10  14  17

15  19  2  21  8

22  6  13  20  4

18  5  24  7  11

9  12  16  3  25

 

№ 2

1  23  20  14  7

15  9  2  21  18

22  16  13  10  4

8  5  24  17  11

19  12  6  3  25

 

№ 3

1  23  10  12  19

15  17  4  21  8

24  6  13  20  2

18  5  22  9  11

7  14  16  3  25

 

№ 4

1  23  20  12  9

15  7  4  21  18

24  16  13  10  2

8  5  22  19  11

17  14  6  3  25

 

№ 5

2  23  9  15  16

14  20  1  22  8

21  7  13  19  5

18  4  25  6  12

10  11  17  3  24

 

№ 6

2  23  19  15  6

14  10  1  22  18

21  17  13  9  5

8  4  25  16  12

20  11  7  3  24

 

№ 7

2  23  9  11  20

14  16  5  22  8

25  7  13  19  1

18  4  21  10  12

6  15  17  3  24

 

№ 8

2  23  19  11  10

14  6  5  22  18

25  17  13  9  1

8  4  21  20  12

16  15  7  3  24

 

№ 9

4  23  7  15  16

12  20  1  24  8

21  9  13  17  5

18  2  25  6  14

10  11  19  3  22

 

№ 10

4  23  17  15  6

12  10  1  24  18

21  19  13  7  5

8  2  25  16  14

20  11  9  3  22

 

№ 11

4  23  7  11  20

12  16  5  24  8

25  9  13  17  1

18  2  21  10  14

6  15  19  3  22

 

№ 12

4  23  17  11  10

12  6  5  24  18

25  19  13  7  1

8  2  21  20  14

16  15  9  3  22

 

№ 13

5  23  6  14  17

11  19  2  25  8

22  10  13  16  4

18  1  24  7  15

9  12  20  3  21

 

№ 14

5  23  16  14  7

11  9  2  25  18

22  20  13  6  4

8  1  24  17  15

19  12  10  3  21

 

№ 15

5  23  6  12  19

11  17  4  25  8

24  10  13  16  2

18  1  22  9  15

7  14  20  3  21

 

№ 16

5  23  16  12  9

11  7  4  25  18

24  20  13  6  2

8  1  22  19  15

17  14  10  3  21

 

№ 17

6  15  17  23  4

18  24  1  10  12

5  7  13  19  21

14  16  25  2  8

22  3  9  11  20

 

№ 18

6  15  19  23  2

18  22  1  10  14

5  9  13  17  21

12  16  25  4  8

24  3  7  11  20

 

№ 19

6  18  25  14  2

15  4  7  16  23

17  21  13  5  9

3  10  19  22  11

24  12  1  8  20

 

№ 20

6  18  25  12  4

15  2  9  16  23

19  21  13  5  7

3  10  17  24  11

22  14  1  8  20

 

№ 21

7  14  16  23  5

18  25  2  9  11

4  6  13  20  22

15  17  24  1  8

21  3  10  12  19

 

№ 22

7  14  20  23  1

18  21  2  9  15

4  10  13  16  22

11  17  24  5  8

25  3  6  12  19

 

№ 23

7  18  24  11  5

14  1  10  17  23

20  22  13  4  6

3  9  16  25  12

21  15  2  8  19

 

№ 24

7  18  24  15  1

14  5  6  17  23

16  22  13  4  10

3  9  20  21  12

25  11  2  8  19

 

№ 25

9  12  16  23  5

18  25  4  7  11

2  6  13  20  24

15  19  22  1  8

21  3  10  14  17

 

№ 26

9  12  20  23  1

18  21  4  7  15

2  10  13  16  24

11  19  22  5  8

25  3  6  14  17

 

№ 27

9  18  22  11  5

12  1  10  19  23

20  24  13  2  6

3  7  16  25  14

21  15  4  8  17

 

№ 28

9  18  22  15  1

12  5  6  19  23

16  24  13  2  10

3  7  20  21  14

25  11  4  8  17

 

№ 29

10  11  17  23  4

18  24  5  6  12

1  7  13  19  25

14  20  21  2  8

22  3  9  15  16

 

№ 30

10  11  19  23  2

18  22  5  6  14

1  9  13  17  25

12  20  21  4  8

24  3  7  15  16

 

№ 31

10  18  21  14  2

11  4  7  20  23

17  25  13  1  9

3  6  19  22  15

24  12  5  8  16

 

№ 32

10  18  21  12  4

11 2  9  20  23

19  25  13  1  7

3  6  17  24  15

22  14  5  8  16

 

№ 33

16  15  7  23  4

8  24  1  20  12

5  17  13  9  21

14  6  25  2  18

22  3  19  11  10

 

№ 34

16  15  9  23  2

8  22  1  20  14

5  19  13  7  21

12  6  25  4  18

24  3  17  11  10

 

№ 35

16  8  25  12  4

15  2  19  6  23

9  21  13  5  17

3  20  7  24  11

22  14  1  18  10

 

№ 36

16  8  25  14  2

15  4  17  6  23

7  21  13  5  19

3  20  9  22  11

24  12  1  18  10

 

№ 37

17  14  6  23  5

8  25  2  19  11

4  16  13  10  22

15  7  24  1  18

21  3  20  12  9

 

№ 38

17  14  10  3  21

8  1  22  19  15

24  20  13  6  2

11  7  4  25  18

5  23  16  12  9

 

№ 39

17  14  10  23  1

8  21  2  19  15

4  20  13  6  22

11 7  24  5  18

25  3  16  12  9

 

№ 40

17  8  24  15  1

14  5  16  7  23

6  22  13  4  20

3  19  10  21  12

25  11  2  18  9

 

№ 41

19  12  6  23  5

8  25  4  17  11

2  16  13  10  24

15  9  22  1  18

21  3  20  14  7

 

№ 42

19  12  10  23  1

8  21  4  17  15

2  20  13  6  24

11  9  22  5  18

25  3  16  14  7

 

№ 43

19  8  22  11  5

12  1  20  9  23

10  24  13  2  16

3  17  6  25  14

21  15  4  18  7

 

№ 44

19  8  22  15  1

12  5  16  9  23

6  24  13  2  20

3  17  10  21  14

25  11  4  18  7

 

№ 45

20  11  7  23  4

8  24  5  16  12

1  17  13  9  25

14  10  21  2  18

22  3  19  15  6

 

№ 46

20  11  9  23  2

8  22  5  16  14

1  19  13  7  25

12  10  21  4  18

24  3  17  15  6

 

№ 47

20  8  21  14  2

11  4  17  10  23

7  25  13  1  19

3  16  9  22  15

24  12  5  18  6

 

№ 48

20  8  21  12  4

11  2  19  10  23

9  25  13  1  17

3  16  7  24  15

22  14  5  18  6

 

№ 49

21  15  2  18  9

3  19  6  25  12

10  22  13  4  16

14  1  20  7  23

17  8  24  11  5

 

№ 50

21  15  4  18  7

3  17  6  25  14

10  24  13  2  16

12  1  20  9  23

19  8  22  11  5

 

№ 51

21  15  2  8  19

3  9  16  25  12

20  22  13  4  6

14  1  10  17  23

7  18  24  11  5

 

№ 52

21  15  4  8  17

3  7  16  25  14

20  24  13  2  6

12  1  10  19  23

9  18  22  11  5

 

№ 53

22  14  1  18  10

3  20  7  24  11

9  21  13  5  17

15  2  19  6  23

16  8  25  12  4

 

№ 54

22  14  5  18  6

3  16  7  24  15

9  25  13  1  17

11  2  19  10  23

20  8  21  12  4

 

№ 55

22  14  1  8  20

3  10  17  24  11

19  21  13  5  7

15  2  9  16  23

6  18  25  12  4

 

№ 56

22  14  5  8  16

3  6  17  24  15

19  25  13  1  7

11  2  9  20  23

10  18  21  12  4

 

№ 57

24  12  1  18  10

3  20  9  22  11

7  21  13  5  19

15  4  17  6  23

16  8  25  14  2

 

№ 58

24  12  5  18  6

3  16  9  22  15

7  25  13  1  19

11  4  17  10  23

20  8  21  14  2

 

№ 59

24  12  1  8  20

3  10  19  22  11

17  21  13  5  9

15  4  7  16  23

6  18  25  14  2

 

№ 60

24  12  5  8  16

3  6  19  22  15

17  25  13  1  9

11  4  7  20  23

10  18  21  14  2

 

№ 61

25  11  2  18  9

3  19  10  21  12

6  22  13  4  20

14  5  16  7  23

17  8  24  15  1

 

№ 62

25  11  4  18  7

3  17  10  21  14

6  24  13  2  20

12  5  16  9  23

19  8  22  15  1

 

№ 63

25  11  2  8  19

3  9  20  21  12

16  22  13  4  10

14  5  6  17  23

7  18  24  15  1

 

№ 64

25  11  4  8  17

3  7  20  21  14

16  24  13  2  10

12  5  6  19  23

9  18  22  15  1

 

На странице http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/bank.htm

было показано, как все пандиагональные квадраты получаются различными преобразованиями из одного квадрата, который как раз является пандиагональным и ассоциативным (см. квадрат № 1).  

Следовательно, все приведённые здесь ассоциативные квадраты можно получить из квадрата № 1, применяя к нему комбинации различных преобразований.

Ну, а как построить этот самый базовый и идеальный, то есть пандиагональный и ассоциативный, квадрат, если не пользоваться моими программами для построения пандиагональных квадратов, которых я составила несколько?

Мой партнёр по исследованиям магических квадратов, бесподобный помощник и вдохновитель всех моих работ в этой области, Георгий Александров придумал очень оригинальный метод построения идеальных квадратов нечётного порядка. Смотрите страницу:

 

http://renuar911.narod.ru/ideal_mk.html

 

Своим методом Георгий построил ассоциативный и пандиагональный квадрат, который здесь приведён под № 47. Итак, мы имеем ассоциативный и пандиагональный квадрат, построенный без всяких программ – методом Георгия Александрова.

Давайте теперь посмотрим, как из этого квадрата можно получить квадрат № 1, который является базовым для всех пандиагональных квадратов. Ведь если квадрат № 47 получается из квадрата № 1, то и наоборот: квадрат № 1 получается из квадрата № 47. Сначала применим к квадрату № 47 преобразование параллельного переноса на торе, мы получим квадрат, изображённый на рис. 10.

 

1

19

7

25

13

22

15

3

16

9

18

6

24

12

5

14

2

20

8

21

10

23

11

4

17

 

                                                                  Рис. 10

 

Теперь применим к полученному квадрату одно из основных преобразований – поворот и отражение (рис. 11):

 

1

22

18

14

10

19

15

6

2

23

7

3

24

20

11

25

16

12

8

4

13

9

5

21

17

 

                                                                  Рис. 11

 

Теперь выполним стандартную перестановку столбцов (рис. 12):

 

1

10

14

18

22

19

23

2

6

15

7

11

20

24

3

25

4

8

12

16

13

17

21

5

9

 

                                                                  Рис. 12

 

Сейчас внимание! Интересный момент: к этому квадрату надо применить преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”. Я такое ещё не показывала. Ну, раз есть какое-либо преобразование, значит, есть и обратное ему, то есть если к некоторому квадрату В применили преобразование “строки-диагонали” и получили квадрат А (как раз тот, что на рис. 12), то обратным преобразованием из квадрата А мы получим квадрат В. Это понятно. В матричном виде тоже всё очень просто. Пусть квадрат А имеет стандартную матрицу аij. Тогда квадрат В, получающийся из квадрата А преобразованием, обратным преобразованию “строки-диагонали” [запишется так: В=f-1(A)], будет иметь вид (рис. 13):

 

а11

а22

а33

а44

а55

а25

а31

а42

а53

а14

а34

а45

а51

а12

а23

а43

а54

а15

а21

а32

а52

а13

а24

а35

а41

 

                                                                  Рис. 13

 

Итак, применим к квадрату, изображённому на рис. 12, преобразование с матрицей, показанной на рис. 13. Получится квадрат, который вы видите на рис. 14:

 

1

23

20

12

9

15

7

4

21

18

24

16

13

10

2

8

5

22

19

11

17

14

6

3

25

 

                                                                  Рис. 14

 

Мы уже близки к цели! Ещё два преобразования, и квадрат № 1 получен. К квадрату на рис. 14 применим преобразование “плюс-минус 10”, а к полученному квадрату – преобразование “плюс-минус 2”. Показываю на рис. 15 последние два этапа:

 

1

23

20

12

9

 

1

23

10

12

19

15

7

4

21

18

 

15

17

4

21

8

24

16

13

10

2

->

24

6

13

20

2

8

5

22

19

11

 

18

5

22

9

11

17

14

6

3

25

 

7

14

16

3

25

 

                                            плюс-минус 10

 

1

23

10

12

19

 

1

23

10

14

17

15

17

4

21

8

 

15

19

2

21

8

24

6

13

20

2

->

22

6

13

20

4

18

5

22

9

11

 

18

5

24

7

11

7

14

16

3

25

 

9

12

16

3

25

 

                                                              плюс-минус 2

 

                                                                  Рис. 15

 

Так на примере квадрата № 47 я показала, что любой ассоциативный и пандиагональный квадрат могу получить комбинацией различных преобразований из одного-единственного квадрата – квадрата № 1. Конечно, все эти связи мне удалось установить, имея в наличии 144 исходных пандиагональных квадратов, считающихся базовыми с точностью до основных преобразований и преобразований параллельного переноса на торе.

 

                                               ***

 

Большинство ассоциативных квадратов, представленных здесь, связано преобразованиями “плюс-минус 2”, “плюс-минус 4”, “плюс-минус 10” и “плюс-минус 20”. Покажу примеры. Квадраты № 1 и № 2 связаны преобразованием “плюс-минус 10” (рис. 16):

 

                                             Квадрат № 1                Квадрат № 2

 

1

23

10

14

17

 

1

23

20

14

7

15

19

2

21

8

 

15

9

2

21

18

22

6

13

20

4

->

22

16

13

10

4

18

5

24

7

11

 

8

5

24

17

11

9

12

16

3

25

 

19

12

6

3

25

 

                                                                  Рис. 16

 

На исходный квадрат наложена мозаика преобразования; розовая клетка соответствует “плюс 10”, а сиреневая – “минус 10”.

На рис. 17 показаны квадраты № 17 и № 18, связанные преобразованием “плюс-минус 2”.

 

                                              Квадрат № 17          Квадрат № 18

 

6

15

17

23

4

 

6

15

19

23

2

18

24

1

10

12

 

18

22

1

10

14

5

7

13

19

21

->

5

9

13

17

21

14

16

25

2

8

 

12

16

25

4

8

22

3

9

11

20

 

24

3

7

11

20

 

                                                                  Рис. 17

 

Здесь нетрудно понять, что голубая клетка соответствует “плюс 2”, а синяя клетка – “минус 2”.

Следующие два квадрата связаны преобразованием “плюс-минус 4” (рис. 18):

 

                                             Квадрат № 21            Квадрат № 22

 

7

14

16

23

5

 

7

14

20

23

1

18

25

2

9

11

 

18

21

2

9

15

4

6

13

20

22

->

4

10

13

16

22

15

17

24

1

8

 

11

17

24

5

8

21

3

10

12

19

 

25

3

6

12

19

 

                                                                  Рис. 18

 

Здесь светло-зелёная клетка соответствует “плюс 4”, а бирюзовая клетка – “минус 4”.

И, наконец, два квадрата, связанные преобразованием “плюс-минус 20”, здесь в качестве исходного квадрата взят квадрат № 18 повёрнутый и отражённый (рис. 19):

 

                                            Квадрат № 18            Квадрат № 20

                                         (преобразованный)

 

6

18

5

12

24

 

6

18

25

12

4

15

22

9

16

3

 

15

2

9

16

23

19

1

13

25

7

->

19

21

13

5

7

23

10

17

4

11

 

3

10

17

24

11

2

14

21

8

20

 

22

14

1

8

20

 

                                                                  Рис. 19

 

Здесь в светло-жёлтых клетках надо прибавить 20, а в тёмно-жёлтых – вычесть 20.

Обратите внимание, что все четыре преобразования имеют одинаковую структуру. Удивительно красивые связи! Не правда ли? Раньше уже говорилось, почему подобные преобразования сохраняют пандиагональность и ассоциативность квадрата.

 

А вот какое интересное комбинированное преобразование “плюс-минус …” связывает квадраты № 1 и № 4 (рис. 20):

 

                                 мозаика преобразования

 

 

 

+10

-2

-8

 

-12

+2

 

+10

+2

+10

 

-10

-2

-10

 

-2

+12

 

+8

+2

-10

 

 

 

                          Квадрат № 1               Квадрат № 4

 

1

23

10

14

17

 

1

23

20

12

9

15

19

2

21

8

 

15

7

4

21

18

22

6

13

20

4

->

24

16

13

10

2

18

5

24

7

11

 

8

5

22

19

11

9

12

16

3

25

 

17

14

6

3

25

 

                                                   Рис. 20

 

Если исследовать все эти квадраты внимательнее, то могут обнаружиться ещё более удивительные связи. Этим я предлагаю заняться тем читателям, кому показалась интересной данная тема.

 

В заключение покажу основные типы чётно-нечётных рисунков пандиагональных и ассоциативных квадратов, которые здесь приведены (рис. 21).

 

                            Квадрат № 1         Квадрат № 5

 

1

23

10

14

17

 

2

23

9

15

16

15

19

2

21

8

 

14

20

1

22

8

22

6

13

20

4

 

21

7

13

19

5

18

5

24

7

11

 

18

4

25

6

12

9

12

16

3

25

 

10

11

17

3

24

 

                          Квадрат № 19           Квадрат № 21

 

6

18

25

14

2

 

7

14

16

23

5

15

4

7

16

23

 

18

25

2

9

11

17

21

13

5

9

 

4

6

13

20

22

3

10

19

22

11

 

15

17

24

1

8

24

12

1

8

20

 

21

3

10

12

19

 

                                               Рис. 21

 

Все остальные квадраты имеют один из представленных четырёх рисунков. Все рисунки обладают симметрией, два – относительно главных диагоналей, два – относительно главных осей симметрии квадрата (горизонтальной и вертикальной).

 

                                                                 ***

 

29 октября 2007 г.

 

Хочу рассказать ещё о некоторых методах построения ассоциативных квадратов, которые мне удалось обнаружить. Так, например, в статье “Магические квадраты пятнадцатого порядка” описан метод построения ассоциативных квадратов порядка n=3k (k=3,5,7…) двумя способами, принципиально одинаковыми. Первый способ: за основной квадрат берётся магический квадрат 3х3, а за базовый квадрат – ассоциативный квадрат порядка k. Второй способ: за основной квадрат берётся ассоциативный квадрат порядка k, а за базовый – магический квадрат 3х3.

 Посмотрите в указанной статье на ассоциативные квадраты 15х15 и 21х21, построенные таким методом.

Ссылка на статью: http://www.klassikpoez.narod.ru/mk15.htm

 

Здесь я покажу ещё построение ассоциативного квадрата девятого порядка и порядка 21 (вторым способом, в указанной выше статье был применён только один способ – основной квадрат 7х7, базовый квадрат – 3х3).

 

Квадрат девятого порядка интересен тем, что в нём и основной и базовый квадрат совпадают – оба эти квадрата имеют порядок 3. Во всех построениях за основной квадрат 3х3 я буду брать магический квадрат, изображённый на рис. 22.

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

                                                  Рис. 22

 

На рис. 23 вы видите ассоциативный квадрат девятого порядка, построенный этим методом. Замечу, что в указанной выше статье подробно описывается метод построения (на примере квадрата 15-ого порядка).

 

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

18

14

10

63

59

55

54

50

46

13

12

17

58

57

62

49

48

53

74

79

78

38

43

42

2

7

6

81

77

73

45

41

37

9

5

1

76

75

80

40

39

44

4

3

8

29

34

33

20

25

24

65

70

69

36

32

28

27

23

19

72

68

64

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

                                                                     Рис. 23

 

Если заменить в этом квадрате каждый квадрат 3х3 на одну ячейку и записать в эту ячейку сумму всех чисел квадрата 3х3, то в результате получится нетрадиционный магический квадрат, магическая константа которого равна 369*3=1107. И квадрат этот ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Этот квадрат показан на рис. 24.

 

 

126

531

450

693

369

45

288

207

612

 

                                                                     Рис. 24

 

А теперь возьмём за основной квадрат тот же самый (рис. 22), а за базовый – один из вариантов магического квадрата 3х3 (как известно, таких вариантов 8). В результате мы получим новый ассоциативный квадрат девятого порядка, который не получается из квадрата с рис. 23 ни поворотами, ни отражениями. Этот квадрат вы видите на рис. 25.

 

 

29

34

33

74

79

78

11

16

15

36

32

28

81

77

73

18

14

10

31

30

35

76

75

80

13

12

17

20

25

24

38

43

42

56

61

60

27

23

19

45

41

37

63

59

55

22

21

26

40

39

44

58

57

62

65

70

69

2

7

6

47

52

51

72

68

64

9

5

1

54

50

46

67

66

71

4

3

8

49

48

53

 

                                                                     Рис. 25

 

А вот если “свернуть” квадраты 3х3 в ячейки, то полученный нетрадиционный квадрат будет повёрнутым квадратом с рис. 24.

Так вы можете построить ещё шесть ассоциативных квадратов девятого порядка, перебрав все варианты магических квадратов 3х3 в качестве базы для построения. А потом попробуйте посмотреть, что получится, если брать другие варианты магических квадратов 3х3 в качестве основного квадрата.

 

Теперь покажу построение ассоциативного квадрата 21-ого порядка вторым способом – за основной квадрат беру магический квадрат 3х3 (рис. 22), а за базовый – ассоциативный квадрат седьмого порядка, построенный методом террас (см. рис. 7). Построенный таким образом ассоциативный квадрат вы видите на рис. 26.

 

 

29

34

33

254

259

258

101

106

105

326