БИМАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

 

Участвуя в одном математическом форуме, узнала о бимагических квадратах. Решила рассказать немного об этих квадратах.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

 

Бимагическим называется такой магический квадрат,

который остаётся магическим при замене всех его элементов

на их квадраты.

 

В Интернете в статьях на английском языке такие квадраты имеют название bimagic.

 

Рассматривают бимагические квадраты как традиционные, заполненные числами от 1 до n2, так и нетрадиционные, заполненные любыми различными натуральными числами.

 

Традиционных бимагических квадратов порядков 3, 4 и 5 не существует, что очень легко доказывается.

Как известно, магический квадрат третьего порядка всего один, с точностью до основных преобразований, он показан на рис. 1. Очевидно, что этот квадрат не является бимагическим.

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

                                                                Рис. 1

 

В магических квадратах четвёртого порядка всего две строки способны превратиться в бимагические, то есть сумма квадратов чисел в этих строках равна 374. Это была бы магическая константа квадрата, составленного из квадратов чисел, если бы бимагический квадрат четвёртого порядка существовал. Она подсчитывается очень просто: вычисляется сумма квадратов чисел от 1 до 16 и делится на 4. Вот эти две строки:

 

2        8  9  15

3        5  12  14

 

Понятно, что из этих двух строк нельзя составить магический квадрат четвёртого порядка, который был бы бимагическим.

 

Точно так же доказывается, что не существует бимагического (традиционного) квадрата пятого порядка. Я составила программку, по которой получила все строки магических квадратов пятого порядка, способные превратиться в бимагические. Если бы бимагический квадрат пятого порядка существовал, его магическая константа была бы равна 1105 (сумма квадратов всех чисел от 1 до 25, делённая на 5).

Массив этих строк оказался очень маленьким. Вот эти строки:

 

1        10  14  18  22

2  8  14  20  21

2  10  13  16  24

4  5  16  18  22

4  6  13  20  22

4  8  10  21  22

4  8  12  16  25

5  6  12  18  24

 

Легко убедиться, что из этого набора строк нельзя составить магический квадрат пятого порядка.

 

О существовании традиционных бимагических квадратов 6-ого и 7-ого порядка пока ничего не знаю (см. в конец страницы). Можно точно так же попробовать ответить на этот вопрос, как я это сделала для квадратов 4х4 и 5х5.

 

По ссылке

http://mathworld.wolfram.com/BimagicSquare.html

 

приведены бимагические традиционные квадраты 8-ого и 9-ого порядков, а также нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка.

 

Бимагические квадраты восьмого порядка не удаётся скопировать. Видимо, автор статьи включил запрет на копирование. Поэтому не буду показывать эти два квадрата. Кто заинтересуется, посмотрит их по ссылке. Скажу только, что магическая константа квадратов, полученных заменой всех элементов в исходных квадратах на их квадраты, равна 11180. Подсчитывается точно так же, как сказано выше: вычисляется сумма квадратов чисел от 1 до 64 и делится на 8.

 

Бимагический квадрат 9-ого порядка удалось скопировать. Вы видите его на рис. 2. Интересно отметить, что этот квадрат ещё и ассоциативный. Конечно, квадрат, получающийся после замены всех элементов их квадратами, ассоциативным уже не является.

 

 

22

3

81

42

34

47

17

59

64

37

54

15

71

76

57

32

20

7

33

38

8

55

72

77

52

13

21

68

73

43

12

26

4

63

51

29

2

16

58

46

41

36

24

66

80

53

31

19

78

56

70

39

9

14

61

69

30

5

10

27

74

44

49

75

62

50

25

6

11

67

28

45

18

23

65

35

48

40

1

79

60

 

                                                               Рис. 2

 

Чтобы лучше было понятно, какой же квадрат получится после замены всех элементов приведённого магического квадрата на их квадраты, покажу этот квадрат наглядно (рис. 3).

 

 

484

9

6561

1764

1156

2209

289

3481

4096

1369

2916

225

5041

5776

3249

1024

400

49

1089

1444

64

3025

5184

5929

2704

169

441

4624

5329

1849

144

676

16

3969

2601

841

4

256

3364

2116

1681

1296

576

4356

6400

2809

961

361

6084

3136

4900

1521

81

196

3721

4761

900

25

100

729

5476

1936

2401

5625

3844

2500

625

36

121

4489

784

2025

324

529

4225

1225

2304

1600

1

6241

3600

 

                                                               Рис. 3

 

Понятно, что этот квадрат нетрадиционный. Магическая константа его равна 20049 (сумма квадратов чисел от 1 до 81, делённая на 9).

 

На рис. 4 вы видите нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка (напоминаю: скопирован по ссылке, указанной выше).

 

 

17

36

55

124

62

114

58

40

129

50

111

20

108

135

34

44

38

49

87

98

92

102

1

28

116

25

86

7

96

78

22

74

12

81

100

119

 

                                                               Рис. 4

 

Магическая константа этого квадрата равна 408. Этот квадрат тоже ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу – 136.

 Читателям предлагается самостоятельно заменить в этом квадрате все элементы их квадратами и посмотреть на получившийся в результате нетрадиционный квадрат 6-ого порядка. Магическая константа этого квадрата будет равна 36826.

 

А теперь ВНИМАНИЕ! ЗАДАЧА ВЕКА!

 

До сих пор никому не удалось построить нетрадиционный бимагический квадрат пятого порядка или доказать, что такого квадрата не существует.

Подключайтесь к решению этой задачи. Она очень непростая!

 

Вот формулировка задачи: требуется построить нетрадиционный магический квадрат пятого порядка (разрешается заполнять матрицу произвольными различными натуральными числами) такой, что после замены всех его элементов на их квадраты получится снова нетрадиционный магический квадрат. Или доказать, что такого квадрата не существует.

 

Нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка вы видите на рис. 4.

 

                                                           ***

 

                        Страница помещена на сайт 29 марта 2008 г.

 

31 марта 2008 г.

 

Интересно отметить следующее свойство бимагических квадратов: если квадрат А=(aij) бимагический, то и квадрат В=k*(aij), где k= 2, 3, 4… тоже бимагический. По-моему, это утверждение очевидно. При этом если квадрат А=(aij) традиционный бимагический, то, понятно, что квадрат В=k*(aij) будет нетрадиционный бимагический.

Посмотрим это свойство на примере показанного выше традиционного бимагического квадрата 9-ого порядка (см. рис. 2). Пусть этот квадрат будет исходным квадратом А=(aij). Построим нетрадиционный бимагический квадрат В=2*(aij), то есть каждый элемент исходного квадрата умножим на 2. И вот перед вами нетрадиционный бимагический квадрат 9-ого порядка (рис. 5).

 

 

44

6

162

84

68

94

34

118

128

74

108

30

142

152

114

64

40

14

66

76

16

110

144

154

104

26

42

136

146

86

24

52

8

126

102

58

4

32

116

92

82

72

48

132

160

106

62

38

156

112

140

78

18

28

122

138

60

10

20

54

148

88

98

150

124

100

50

12

22

134

56

90

36

46

130

70

96

80

2

158

120

 

                                                               Рис. 5

 

Понятно, что магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе исходного квадрата – 738. Этот квадрат тоже является ассоциативным: сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу – 164, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Очевидно, что, заменив в этом квадрате все его элементы их квадратами, мы получим магический квадрат. Его магическая константа будет равна 4*20049=80196.

 

Так же можно получать бимагические квадраты путём прибавления  к каждому элементу квадрата (или вычитания из каждого элемента) одного и того же числа. Например, прибавим к каждому элементу бимагического квадрата, изображённого на рис. 4 число 1, получится новый нетрадиционный бимагический квадрат, который вы видите на рис. 6.

 

 

18

37

56

125

63

115

59

41

130

51

112

21

109

136

35

45

39

50

88

99

93

103

2

29

117

26

87

8

97

79

23

75

13

82

101

120

 

                                                               Рис. 6

 

Квадрат по-прежнему ассоциативен. Его магическая константа увеличилась на 6. Очевидно, что он остался бимагическим.

 

Ещё более интересен тот факт, что можно строить составные бимагические квадраты. Поистине универсален метод построения составных квадратов!

Поскольку самый минимальный бимагический квадрат у меня имеется 6-ого порядка (рис. 4), буду строить составной бимагический квадрат 36-ого порядка на базе этого квадрата, он же является и основным квадратом. На рис. 7 изображена матрица, с помощью которой строится этот составной квадрат.

 

+576

+1260

+1944

+4428

+2196

+4068

+2052

+1404

+4608

+1764

+3960

+684

+3852

+4824

+1188

+1548

+1332

+1728

+3096

+3492

+3276

+3636

 

+972

+4140

+864

+3060

+216

+3420

+2772

+756

+2628

+396

+2880

+3564

+4248

 

                                                               Рис. 7

 

Составной бимагический квадрат 36-ого порядка покажу в виде, выданном программой. Он представлен в виде двух частей по 18 столбцов каждая, как бы разрезан по вертикали.

 

Бимагический квадрат 36-ого порядка – часть 1

 

593  612  631  700  638  690  1277  1296  1315  1384  1322  1374  1961  1980  1999  2068  2006  2058

 634  616  705  626  687  596  1318  1300  1389  1310  1371  1280  2002  1984  2073  1994  2055  1964

 684  711  610  620  614  625  1368  1395  1294  1304  1298  1309  2052  2079  1978  1988  1982  1993

 663  674  668  678  577  604  1347  1358  1352  1362  1261  1288  2031  2042  2036  2046  1945  1972

 692  601  662  583  672  654  1376  1285  1346  1267  1356  1338  2060  1969  2030  1951  2040  2022

 598  650  588  657  676  695  1282  1334  1272  1341  1360  1379  1966  2018  1956  2025  2044  2063

 2069  2088  2107  2176  2114  2166  1421  1440  1459  1528  1466  1518  4625  4644  4663  4732  4670  4722

 2110  2092  2181  2102  2163  2072  1462  1444  1533  1454  1515  1424  4666  4648  4737  4658  4719  4628

 2160  2187  2086  2096  2090  2101  1512  1539  1438  1448  1442  1453  4716  4743  4642  4652  4646  4657

 2139  2150  2144  2154  2053  2080  1491  1502  1496  1506  1405  1432  4695  4706  4700  4710  4609  4636

 2168  2077  2138  2059  2148  2130  1520  1429  1490  1411  1500  1482  4724  4633  4694  4615  4704  4686

 2074  2126  2064  2133  2152  2171  1426  1478  1416  1485  1504  1523  4630  4682  4620  4689  4708  4727

 3869  3888  3907  3976  3914  3966  4841  4860  4879  4948  4886  4938  1205  1224  1243  1312  1250  1302

 3910  3892  3981  3902  3963  3872  4882  4864  4953  4874  4935  4844  1246  1228  1317  1238  1299  1208

 3960  3987  3886  3896  3890  3901  4932  4959  4858  4868  4862  4873  1296  1323  1222  1232  1226  1237

 3939  3950  3944  3954  3853  3880  4911  4922  4916  4926  4825  4852  1275  1286  1280  1290  1189  1216

 3968  3877  3938  3859  3948  3930  4940  4849  4910  4831  4920  4902  1304  1213  1274  1195  1284  1266

 3874  3926  3864  3933  3952  3971  4846  4898  4836  4905  4924  4943  1210  1262  1200  1269  1288  1307

 3113  3132  3151  3220  3158  3210  3509  3528  3547  3616  3554  3606  3293  3312  3331  3400  3338  3390

 3154  3136  3225  3146  3207  3116  3550  3532  3621  3542  3603  3512  3334  3316  3405  3326  3387  3296

 3204  3231  3130  3140  3134  3145  3600  3627  3526  3536  3530  3541  3384  3411  3310  3320  3314  3325

 3183  3194  3188  3198  3097  3124  3579  3590  3584  3594  3493  3520  3363  3374  3368  3378  3277  3304

 3212  3121  3182  3103  3192  3174  3608  3517  3578  3499  3588  3570  3392  3301  3362  3283  3372  3354

 3118  3170  3108  3177  3196  3215  3514  3566  3504  3573  3592  3611  3298  3350  3288  3357  3376  3395

 4157  4176  4195  4264  4202  4254  881  900  919  988  926  978  3077  3096  3115  3184  3122  3174

 4198  4180  4269  4190  4251  4160  922  904  993  914  975  884  3118  3100  3189  3110  3171  3080

 4248  4275  4174  4184  4178  4189  972  999  898  908  902  913  3168  3195  3094  3104  3098  3109

 4227  4238  4232  4242  4141  4168  951  962  956  966  865  892  3147  3158  3152  3162  3061  3088

 4256  4165  4226  4147  4236  4218  980  889  950  871  960  942  3176  3085  3146  3067  3156  3138

 4162  4214  4152  4221  4240  4259  886  938  876  945  964  983  3082  3134  3072  3141  3160  3179

 773  792  811  880  818  870  2645  2664  2683  2752  2690  2742  413  432  451  520  458  510

 814  796  885  806  867  776  2686  2668  2757  2678  2739  2648  454  436  525  446  507  416

 864  891  790  800  794  805  2736  2763  2662  2672  2666  2677  504  531  430  440  434  445

 843  854  848  858  757  784  2715  2726  2720  2730  2629  2656  483  494  488  498  397  424

 872  781  842  763  852  834  2744  2653  2714  2635  2724  2706  512  421  482  403  492  474

 778  830  768  837  856  875  2650  2702  2640  2709  2728  2747  418  470  408  477  496  515

 

Бимагический квадрат 36-ого порядка – часть 2

 

 4445  4464  4483  4552  4490  4542  2213  2232  2251  2320  2258  2310  4085  4104  4123  4192  4130  4182

 4486  4468  4557  4478  4539  4448  2254  2236  2325  2246  2307  2216  4126  4108  4197  4118  4179  4088

 4536  4563  4462  4472  4466  4477  2304  2331  2230  2240  2234  2245  4176  4203  4102  4112  4106  4117

 4515  4526  4520  4530  4429  4456  2283  2294  2288  2298  2197  2224  4155  4166  4160  4170  4069  4096

 4544  4453  4514  4435  4524  4506  2312  2221  2282  2203  2292  2274  4184  4093  4154  4075  4164  4146

 4450  4502  4440  4509  4528  4547  2218  2270  2208  2277  2296  2315  4090  4142  4080  4149  4168  4187

 1781  1800  1819  1888  1826  1878  3977  3996  4015  4084  4022  4074  701  720  739  808  746  798

 1822  1804  1893  1814  1875  1784  4018  4000  4089  4010  4071  3980  742  724  813  734  795  704

 1872  1899  1798  1808  1802  1813  4068  4095  3994  4004  3998  4009  792  819  718  728  722  733

 1851  1862  1856  1866  1765  1792  4047  4058  4052  4062  3961  3988  771  782  776  786  685  712

 1880  1789  1850  1771  1860  1842  4076  3985  4046  3967  4056  4038  800  709  770  691  780  762

 1786  1838  1776  1845  1864  1883  3982  4034  3972  4041  4060  4079  706  758  696  765  784  803

 1565  1584  1603  1672  1610  1662  1349  1368  1387  1456  1394  1446  1745  1764  1783  1852  1790  1842

 1606  1588  1677  1598  1659  1568  1390  1372  1461  1382  1443  1352  1786  1768  1857  1778  1839  1748

 1656  1683  1582  1592  1586  1597  1440  1467  1366  1376  1370  1381  1836  1863  1762  1772  1766  1777

 1635  1646  1640  1650  1549  1576  1419  1430  1424  1434  1333  1360  1815  1826  1820  1830  1729  1756

 1664  1573  1634  1555  1644  1626  1448  1357  1418  1339  1428  1410  1844  1753  1814  1735  1824  1806

 1570  1622  1560  1629  1648  1667  1354  1406  1344  1413  1432  1451  1750  1802  1740  1809  1828  1847

 3653  3672  3691  3760  3698  3750  17  36  55  124  62  114  989  1008  1027  1096  1034  1086

 3694  3676  3765  3686  3747  3656  58  40  129  50  111  20  1030  1012  1101  1022  1083  992

 3744  3771  3670  3680  3674  3685  108  135  34  44  38  49  1080  1107  1006  1016  1010  1021

 3723  3734  3728  3738  3637  3664  87  98  92  102  1  28  1059  1070  1064  1074  973  1000

 3752  3661  3722  3643  3732  3714  116  25  86  7  96  78  1088  997  1058  979  1068  1050

 3658  3710  3648  3717  3736  3755  22  74  12  81  100  119  994  1046  984  1053  1072  1091

 233  252  271  340  278  330  3437  3456  3475  3544  3482  3534  2789  2808  2827  2896  2834  2886

 274  256  345  266  327  236  3478  3460  3549  3470  3531  3440  2830  2812  2901  2822  2883  2792

 324  351  250  260  254  265  3528  3555  3454  3464  3458  3469  2880  2907  2806  2816  2810  2821

 303  314  308  318  217  244  3507  3518  3512  3522  3421  3448  2859  2870  2864  2874  2773  2800

 332  241  302  223  312  294  3536  3445  3506  3427  3516  3498  2888  2797  2858  2779  2868  2850

 238  290  228  297  316  335  3442  3494  3432  3501  3520  3539  2794  2846  2784  2853  2872  2891

 2897  2916  2935  3004  2942  2994  3581  3600  3619  3688  3626  3678  4265  4284  4303  4372  4310  4362

 2938  2920  3009  2930  2991  2900  3622  3604  3693  3614  3675  3584  4306  4288  4377  4298  4359  4268

 2988  3015  2914  2924  2918  2929  3672  3699  3598  3608  3602  3613  4356  4383  4282  4292  4286  4297

 2967  2978  2972  2982  2881  2908  3651  3662  3656  3666  3565  3592  4335  4346  4340  4350  4249  4276

 2996  2905  2966  2887  2976  2958  3680  3589  3650  3571  3660  3642  4364  4273  4334  4255  4344  4326

 2902  2954  2892  2961  2980  2999  3586  3638  3576  3645  3664  3683  4270  4322  4260  4329  4348  4367

 

Магическая константа этого квадрата равна 89280. Квадрат по-прежнему ассоциативен. И самое главное – бимагический.

 

Точно так же можно построить традиционный бимагический квадрат 81-ого порядка на базе бимагического квадрата 9-ого порядка, изображённого на рис. 2 (он же будет основным квадратом). А ещё, например, нетрадиционный бимагический квадрат 54-ого порядка с использованием квадратов 9-ого и 6-ого порядка. Ну, а по указанной выше ссылке есть ещё и традиционные бимагические квадраты 8-ого порядка. Их тоже можно использовать в построении составных бимагических квадратов.

 

                                                           ***

 

Добавление (7 июля 2008 г.)

 

В книге Ю. В. Чебракова нашла метод построения бимагических квадратов, который хочу показать здесь (данные о книге см. на странице: http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm )

Раньше я видела в Сети только готовые бимагические квадраты, но не встречала методов их построения. Поэтому думаю, что метод, изложенный в книге Чебракова, будет интересен читателям.

Начну с бимагического квадрата 9-ого порядка. Именно на примере такого квадрата автор демонстрирует свой метод.

Чебраков даёт такое утверждение:

 

Для того чтобы построить двойной квадрат 9-ого порядка, достаточно построить такую пару ортогональных диагональных латинских квадратов 9-ого порядка, в результате поклеточного умножения которых получится магическая по строкам, столбцам и главным диагоналям матрица, магическая константа которой равна 144.

 

Примечание: Чебраков называет бимагические квадраты двойными.

 

Далее это утверждение обобщается для любого бимагического квадрата порядка n. Смотрите об этом ниже.

 

Определение ортогональных латинских квадратов я уже воспроизводила в одной из предыдущих статей. Диагональными латинскими квадратами называются такие латинские квадраты, в главных диагоналях которых каждый из n элементов встречается один раз.

 

Чтобы построить латинские квадраты с указанным свойством, автор представляет любое число от 1 до 80 в таком виде:

 

N = 27*a +9*b + 3*c + d

 

где параметры a, b, c, d могут принимать значения 0, 1, 2.

Далее автор строит таблицу (рис. 8) из пар следующих сочетаний: 00, 11, 22, 01, 02, 12, 10, 20, 21. Понятно, что различных пар таких сочетаний будет как раз 81.

 

0000

1102

2201

0121

1220

2022

0212

1011

2110

1210

2012

0111

1001

2100

0202

1122

2221

0020

2120

0222

1021

2211

0010

1112

2002

0101

1200

1022

2121

0220

1110

2212

0011

1201

2000

0102

2202

0001

1100

2020

0122

1221

2111

0210

1012

0112

1211

2010

0200

1002

2101

0021

1120

2222

2011

0110

1212

2102

0201

1000

2220

0022

1121

0221

1020

2122

0012

1111

2210

0100

1202

2001

1101

2200

0002

1222

2021

0120

1010

2112

0211

 

Рис. 8

 

Интересно отметить, что эта матрица построена так, что элементы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой главной диагонали содержат в каждой позиции по три нуля, по три единицы и по три двойки.

Понятно, что по этой таблице уже можно строить бимагический квадрат, вычисляя каждый элемент по приведённой выше формуле. Однако автор раскладывает эту таблицу на два латинских диагональных ортогональных квадрата, чтобы показать, что эти латинские квадраты действительно удовлетворяют свойству, указанному в утверждении. Разложение на латинские квадраты выполняется очень просто: первая пара символов из каждого элемента таблицы идёт в первый латинский квадрат, вторая пара символов – во второй латинский квадрат. При этом на каждую пару символов надо смотреть как на троичное число (то есть число в троичной системе счисления) и в латинский квадрат записывать десятичный эквивалент этого троичного числа.

На рис. 9 и рис. 10 вы видите получившиеся в результате разложения латинские квадраты.

 

0

4

8

1

5

6

2

3

7

5

6

1

3

7

2

4

8

0

7

2

3

8

0

4

6

1

5

3

7

2

4

8

0

5

6

1

8

0

4

6

1

5

7

2

3

1

5

6

2

3

7

0

4

8

6

1

5

7

2

3

8

0

4

2

3

7

0

4

8

1

5

6

4

8

0

5

6

1

3

7

2

 

Рис. 9

 

 

0

2

1

7

6

8

5

4

3

3

5

4

1

0

2

8

7

6

6

8

7

4

3

5

2

1

0

8

7

6

3

5

4

1

0

2

2

1

0

6

8

7

4

3

5

5

4

3

0

2

1

7

6

8

4

3

5

2

1

0

6

8

7

7

6

8

5

4

3

0

2

1

1

0

2

8

7

6

3

5

4

 

Рис. 10

 

Очевидно, что эти латинские квадраты диагональные и ортогональные. Теперь перемножим соответствующие элементы этих латинских квадратов, получим такую матрицу (рис. 11):

 

0

8

8

7

30

48

10

12

21

15

30

4

3

0

4

32

56

0

42

16

21

32

0

20

12

1

0

24

49

12

12

40

0

5

0

2

16

0

0

36

8

35

28

6

15

5

20

18

0

6

7

0

24

64

24

3

25

14

2

0

48

0

28

14

18

56

0

16

24

0

10

6

4

0

0

40

42

6

9

35

8

 

Рис. 11

 

Сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях этой матрицы равна одному и тому же числу – 144.

 

Теперь строим бимагический квадрат, кому как больше нравится: или с помощью таблицы с рис. 8, или с помощью двух латинских квадратов (рис. 9 и рис. 10). При втором способе применяется формула:

 

cij = 9*aij + bij + 1,

 

в которой aij – элементы первого латинского квадрата, bij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, cij – соответствующие элементы бимагического квадрата. Если в этой формуле не прибавлять единицу, то получится бимагический квадрат, заполненный числами от 0 до 80. Такой квадрат и приведён в книге (стр. 103). Поскольку традиционное заполнение квадрата числами от 1 до 81 более привычно, я привожу квадрат к такому виду.

На рис. 12 вы видите готовый бимагический квадрат.

 

1

39

74

17

52

63

24

32

67

49

60

14

29

64

21

45

80

7

70

27

35

77

4

42

57

11

46

36

71

25

40

78

5

47

55

12

75

2

37

61

18

53

68

22

33

15

50

58

19

30

65

8

43

81

59

13

51

66

20

28

79

9

44

26

34

72

6

41

76

10

48

56

38

73

3

54

62

16

31

69

23

 

Рис. 12

 

Итак, мы имеем ещё один бимагический квадрат 9-ого порядка (первый смотрите на рис. 2).

 

Чебраков ничего не написал о том, сколько бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом. Понятно, что можно построить не единственный квадрат. И вот подтверждение: бимагический квадрат с рис. 2 тоже раскладывается на два ортогональных диагональных латинских квадрата, обладающих свойством, указанным в утверждении Чебракова. На рис. 13 и рис. 14 представлены эти латинские квадраты.

 

2

0

8

4

3

5

1

6

7

4

5

1

7

8

6

3

2

0

3

4

0

6

7

8

5

1

2

7

8

4

1

2

0

6

5

3

0

1

6

5

4

3

2

7

8

5

3

2

8

6

7

4

0

1

6

7

3

0

1

2

8

4

5

8

6

5

2

0

1

7

3

4

1

2

7

3

5

4

0

8

6

 

Рис. 13

 

 

3

2

8

5

6

1

7

4

0

0

8

5

7

3

2

4

1

6

5

1

7

0

8

4

6

3

2

4

0

6

2

7

3

8

5

1

1

6

3

0

4

8

5

2

7

7

3

0

5

1

6

2

8

4

6

5

2

4

0

8

1

7

3

2

7

4

6

5

1

3

0

8

8

4

1

7

2

3

0

6

5

 

Рис. 14

 

Перемножив соответствующие элементы этих латинских квадратов, получим такую матрицу (рис. 15):

 

6

0

64

20

18

5

7

24

0

0

40

5

49

24

12

12

2

0

15

4

0

0

56

32

30

3

4

28

0

24

2

14

0

48

25

3

0

6

18

0

16

24

10

14

56

35

9

0

40

6

42

8

0

4

36

35

6

0

0

16

8

28

15

16

42

20

12

0

1

21

0

32

8

8

7

21

10

12

0

48

30

 

Рис. 15

 

В этой матрице тоже сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях равна одному и тому же числу – 144.

А вот таблица, в которую свёртываются два латинских квадрата с рис. 13 и с рис. 14 (рис. 16):

 

0210

0002

2222

1112

1020

1201

0121

2011

2100

1100

1222

0112

2121

2210

2002

1011

0201

0020

1012

1101

0021

2000

2122

2211

1220

0110

0202

2111

2200

1120

0102

0221

0010

2022

1212

1001

0001

0120

2010

1200

1111

1022

0212

2102

2221

1221

1010

0200

2212

2001

2120

1102

0022

0111

2020

2112

1002

0011

0100

0222

2201

1121

1210

2202

2021

1211

0220

0012

0101

2110

1000

1122

0122

0211

2101

1021

1202

1110

0000

2220

2012

 

Рис. 16

 

Интересно отметить: и латинские квадраты (рис. 13 и рис. 14), и матрица на рис. 16 являются ассоциативными. И бимагический квадрат на рис. 2, построенный с помощью этих латинских квадратов или с помощью данной матрицы, тоже ассоциативный.

Ещё интересный факт: латинские квадраты, с помощью которых строятся бимагические квадраты в обоих примерах, являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 36. Это и понятно, потому что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой главной диагонали диагональных латинских квадратов находится один и тот же набор чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. А если посмотреть на матрицы с рис. 8 и с рис. 16, как на квадраты, заполненные десятичными числами, это тоже магические (нетрадиционные) квадраты с магической константой 9999.

 

Теперь задача читателям: постройте этим методом третий бимагический квадрат 9-ого порядка, отличный от двух приведённых.

Вторая задача: посчитать, сколько всего бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом.

 

***

 

Итак, интересный вопрос: сколько бимагических квадратов можно построить описанным методом? Понятно, что если подвергнуть бимагический квадрат с рис. 12 одному из семи основных преобразований, то снова получится бимагический квадрат. И каждый такой бимагический квадрат имеет своё разложение на два ортогональных диагональных латинских квадрата, с помощью которых он и может быть построен описанным здесь методом. Значит, к квадрату с рис. 12 имеем ещё 7 бимагических квадратов.

 

В книге Чебракова описываются ещё М-преобразования. Это преобразования, заключающиеся в перестановке строк и столбцов магического квадрата с соответствующими номерами (см. подробнее в книге, стр. 64-67). В книге приводится количество М-преобразований для магических квадратов порядков 3-13. Для магических квадратов 9-ого порядка таких преобразований 192. Покажу один из квадратов, полученный применением М-преобразования к квадрату с рис. 12 (рис. 17).

 

1

32

74

17

52

63

24

39

67

26

48

72

6

41

76

10

34

56

70

11

35

77

4

42

57

27

46

36

55

25

40

78

5

47

71

12

75

22

37

61

18

53

68

2

33

15

43

58

19

30

65

8

50

81

59

9

51

66

20

28

79

13

44

49

80

14

29

64

21

45

60

7

38

69

3

54

62

16

31

73

23

 

Рис. 17

 

Очевидно, что если М-преобразование применяется к бимагическому квадрату, в результате получается тоже бимагический квадрат, потому что в результате М-преобразований не изменяются наборы чисел ни в строках, ни в столбцах, ни в главных диагоналях.

Понятно, что этот бимагический квадрат тоже имеет свою пару латинских квадратов, из которых он может быть построен. И эти латинские квадраты обладают всеми свойствами, указанными в утверждении Чебракова. Чтобы построить этот бимагический квадрат, можно сначала применить точно такое же М-преобразование к обоим латинским квадратам (рис. 9 и рис. 10), а затем построить из получившихся латинских квадратов бимагический квадрат, который и будет квадратом с рис. 17.

Следовательно, имеем ещё 192 бимагических квадрата.

Но с учётом основных преобразований и М-преобразований мы имеем пока только 2 бимагических квадрата (рис. 2 и рис. 12). Отметим, что к квадрату с рис. 2 можно применить ещё такие перестановки строк и/или столбцов, которые возможны в ассоциативных магических квадратах (это перестановки симметричных строк и/или столбцов). Однако, как будет показано ниже, такие перестановки не сохраняют бимагичность квадрата.

Остаётся нерешённым вопрос: сколько разных бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить изложенным здесь методом?

 

Теперь приведу утверждение Чебракова для квадратов любого порядка n:

 

Для построения двойного квадрата nxn достаточно построить из чисел 0, 1, 2, …n - 1 такую пару ортогональных диагональных латинских квадратов, в результате поклеточного умножения которых получится магическая по строкам, столбцам и главным диагоналям матрица, магическая константа которой равна n(n – 1)( n – 1)/4.

 

В случае для бимагических квадратов 9-ого порядка магическая константа матрицы, полученной поклеточным умножением латинских квадратов, равна:

 

S = n(n – 1)( n – 1)/4 = 9*8*8/4 = 144

 

Автор указал, что утверждение справедливо только для нечётных или чётно-чётных значений n, потому что для порядков n = 4k+2 значение магической константы S будет дробным числом.

Однако автором не указано, для каких именно нечётных и чётно-чётных порядков верно утверждение. Например, бимагических квадратов порядков 3, 4, 5 вообще не существует (это доказано в начале данной страницы). Бимагический квадрат 7-ого порядка мне с ходу не удалось построить. Да и существует ли он?

 

Пример построения бимагического квадрата 8-ого порядка нахожу в книге. Магическая константа матрицы, полученной перемножением латинских квадратов, используемых для построения бимагического квадрата 8-ого порядка, равна:

S = n(n – 1)( n – 1)/4 = 8*7*7/4 = 98

 

Чебраков приводит готовые ортогональные диагональные латинские квадраты и бимагический квадрат 8-ого порядка, построенный из этих латинских квадратов, без объяснения, как он построил латинские квадраты (см. стр. 123, рис. 2.17). Воспроизведу здесь этот пример. На рис. 18 и рис. 19 вы видите латинские квадраты для построения бимагического квадрата, а на рис. 21 бимагический квадрат 8-ого порядка, построенный из этих латинских квадратов. Напомню, что формула построения бимагического квадрата из латинских квадратов точно такая же, как приведённая выше формула для построения квадрата 9-ого порядка (только вместо множителя 9 будет множитель 8).

 

5

2

4

3

7

0

6

1

4

3

5

2

6

1

7

0

1

6

0

7

3

4

2

5

0

7

1

6

2

5

3

4

3

4

2

5

1

6

0

7

2

5

3

4

0

7

1

6

7

0

6

1

5

2

4

3

6

1

7

0

4

3

5

2

 

Рис. 18

 

 

4

6

3

1

2

0

5

7

7

5

0

2

1

3

6

4

1

3

6

4

7

5

0

2

2

0

5

7

4

6

3

1

6

4

1

3

0

2

7

5

5

7

2

0

3

1

4

6

3

1

4

6

5

7

2

0

0

2

7

5

6

4

1

3

 

Рис. 19

 

Отмечу, что оба латинских квадрата являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28. Очевидно, что квадраты диагональные и ортогональные. А ещё оба эти квадрата ассоциативные: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 7.

 Если перемножить соответствующие элементы этих латинских квадратов, получится такая матрица (рис. 20):

 

20

12

12

3

14

0

30

7

28

15

0

4

6

3

42

0

1

18

0

28

21

20

0

10

0

0

5

42

8

30

9

4

18

16

2

15

0

12

0

35

10

35

6

0

0

7

4

36

21

0

24

6

25

14

8

0

0

2

49

0

24

12

5

6

 

Рис. 20

 

Сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях этой матрицы равна одному и тому же числу – 98.

Теперь построим бимагический квадрат (рис. 21):

 

45

23

36

26

59

1

54

16

40

30

41

19

50

12

63

5

10

52

7

61

32

38

17

43

3

57

14

56

21

47

28

34

31

37

18

44

9

51

8

62

22

48

27

33

4

58

13

55

60

2

53

15

46

24

35

25

49

11

64

6

39

29

42

20

 

Рис. 21

 

Бимагический квадрат тоже получился ассоциативный.

Магическая константа квадрата, который получится из квадрата с рис. 21 заменой всех его элементов на их квадраты, равна:

 

S = (12 + 22 + 32 + … + 642)/8 = 11180

 

Проверим первую строку:

 

452 + 232 + 362 + 262 + 592 + 12 + 542+ 162 = 11180

 

Магическая сумма получилась.

Понятно, что всё сказанное выше о бимагических квадратах 9-ого порядка, имеет место и для бимагических квадратов 8-ого порядка. По данным Чебракова для магических квадратов 8-ого порядка тоже существует 192 М-преобразования.

А вот как построить новый бимагический квадрат 8-ого порядка, не получающийся из построенного квадрата ни основными преобразованиями ни М-преобразованиями?

 

По аналогии с формулой Чебракова для квадрата 9-ого порядка я попыталась разложить все числа квадрата 8-ого порядка. У меня получилась только такая формула разложения:

 

[1]              N = 32a + 8b + 4c + d = 8(4a + b) + 4c + d

 

где параметры a, b, c, d принимают значения 0, 1, 2, 3. Все сочетания из этих символов будут такие: 00, 11, 22, 33, 01, 02, 03, 10, 20, 30, 12, 13, 21, 31, 23, 32. В представлении всех чисел от 0 до 63 участвуют на все эти сочетания, поэтому и в матрице, которую я сочинила, тоже участвуют не все сочетания перечисленных пар элементов. Всего сочетаний указанных пар элементов будет 256, а в матрице использовано только 64 сочетания. Но ничего лучшего у меня не сочиняется. На рис. 22 вы видите матрицу для построения бимагического квадрата 8-ого порядка.

 

1110

0212

1003

0301

1302

0000

1211

0113

1013

0311

1100

0202

1201

0103

1312

0010

0101

1203

0012

1310

0313

1011

0200

1102

0002

1300

0111

1213

0210

1112

0303

1001

0312

1010

0201

1103

0100

1202

0013

1311

0211

1113

0302

1000

0003

1301

0110

1212

1303

0001

1210

0112

1111

0213

1002

0300

1200

0102

1313

0011

1012

0310

1101

0203

 

Рис. 22

 

Если посмотреть на эту матрицу как на нетрадиционный квадрат, заполненный десятичными числами, этот квадрат будет магический с магической константой 5252. Кроме того, квадрат ассоциативный: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 1313.

А строить бимагический квадрат по этой матрице надо по формуле [1]. Например, элемент в левой верхней ячейке матрицы вычисляется так:

 

1110 = 32*1 + 8*1 + 4*1 + 0 = 44

 

Для приведения квадрата к традиционному виду каждый элемент надо увеличить на единицу.

Понятно, что эту матрицу я составила, используя готовый бимагический квадрат и готовые латинские квадраты. А вот как сочинить такую матрицу, не имея готовых квадратов? Это задача для читателей. Если вы сочините новую матрицу, то построите новый бимагический квадрат 8-ого порядка. Подчеркну ещё раз: интересны только новые квадраты, не получающиеся из квадрата с рис. 21 ни основными преобразованиями, ни М-преобразованиями.

Кроме того, по указанной в начале статьи ссылке есть бимагические квадраты восьмого порядка. Я не стала их копировать, потому что они не копируются почему-то, а переписывать их вручную не хочется. Посмотрите на эти квадраты, сравните их с квадратом Чебракова. Вполне возможно, что это совсем другие квадраты. На досуге посмотрю на эти квадраты. Интересно!

 

Напомню ещё один открытый вопрос: существует ли традиционный бимагический квадрат 7-ого порядка? Если существует, как его построить?

Ничего не знаю так же о традиционном бимагическом квадрате 6-ого порядка. Нетрадиционный бимагический квадрат этого порядка приведён в начале статьи.

Ну, и задача века, о которой тоже уже сказано выше: никому ещё не удалось построить нетрадиционный бимагический квадрат 5-ого порядка или доказать, что такого квадрата не существует. А может быть, уже кому-то удалось? Напишите мне тогда об этом.

 

***

 

Досуг был уже вчера вечером. Интерес пересилил все другие дела, и я “пошла” по ссылке, указанной в начале статьи, смотреть на два бимагических квадрата 8-ого порядка.

 

Итак, на рис. 23 вы видите первый бимагический квадрат, взятый по указанной ссылке.

 

56

34

8

57

18

47

9

31

33

20

54

48

7

29

59

10

26

43

13

23

64

38

4

49

19

5

35

30

53

12

46

60

15

25

63

2

41

24

50

40

6

55

17

11

36

58

32

45

61

16

42

52

27

1

39

22

44

62

28

37

14

51

21

3

 

Рис. 23

 

Раскладываю этот квадрат на латинские квадраты (рис. 24 и рис. 25):

 

6

4

0

7

2

5

1

3

4

2

6

5

0

3

7

1

3

5

1

2

7

4

0

6

2

0

4

3

6

1

5

7

1

3

7

0

5

2

6

4

0

6

2

1

4

7

3

5

7

1

5

6

3

0

4

2

5

7

3

4

1

6

2

0

 

Рис. 24

 

 

7

1

7

0

1

6

0

6

0

3

5

7

6

4

2

1

1

2

4

6

7

5

3

0

2

4

2

5

4

3

5

3

6

0

6

1

0

7

1

7

5

6

0

2

3

1

7

4

4

7

1

3

2

0

6

5

3

5

3

4

5

2

4

2

 

Рис. 25

 

Эти латинские квадраты не удовлетворяют тем свойствам, которые указаны в утверждении Чебракова. Во-первых, второй квадрат является обобщённым латинским квадратом. Во-вторых, матрица, полученная поклеточноым умножением этих латинских квадратов, не является магической. Таким образом, делаем вывод: условия в утверждении Чебракова для латинских квадратов, с помощью которых может быть построен бимагический квадрат 8-ого порядка, являются достаточными, но не являются необходимыми. Кстати, в утверждении присутствует слово “достаточно”.

Следует отметить, что латинские квадраты по-прежнему являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28, как в предыдущем примере, несмотря на то, что второй квадрат является обобщённым латинским квадратом.

 

На рис. 25а показываю матрицу, аналогичную матрице с рис. 22, для данного бимагического квадрата:

 

1213

1001

0013

1300

0201

1112

0100

0312

1000

0203

1211

1113

0012

0310

1302

0101

0301

1102

0110

0212

1313

1011

0003

1200

0202

0010

1002

0311

1210

0103

1111

1303

0112

0300

1312

0001

1100

0213

1201

1013

0011

1212

0200

0102

1003

1301

0313

1110

1310

0113

1101

1203

0302

0000

1012

0211

1103

1311

0303

1010

0111

1202

0210

0002

 

Рис. 25а

 

Как и матрица на рис. 22, эта матрица является магической с магической константой 5252 (если смотреть на её элементы как на десятичные числа).

 

На рис. 26 представляю второй бимагический квадрат, взятый по указанной ссылке:

 

16

41

36

5

27

62

55

18

26

63

54

19

13

44

33

8

1

40

45

12

22

51

58

31

23

50

59

30

4

37

48

9

38

3

10

47

49

24

29

60

52

21

32

57

39

2

11

46

43

14

7

34

64

25

20

53

61

28

17

56

42

15

6

35

 

Рис. 26

 

Раскладываю этот квадрат на латинские квадраты (рис. 27 и рис. 28):

 

1

5

4

0

3

7

6

2

3

7

6

2

1

5

4

0

0

4

5

1

2

6

7

3

2

6

7

3

0

4

5

1

4

0

1

5

6

2

3

7

6

2

3

7

4

0

1

5

5

1

0

4

7

3

2

6

7

3

2

6

5

1

0

4

 

Рис. 27

 

 

7

0

3

4

2

5

6

1

1

6

5

2

4

3

0

7

0

7

4

3

5

2

1

6

6

1

2

5

3

4

7

0

5

2

1

6

0

7

4

3

3

4

7

0

6

1

2

5

2

5

6

1

7

0

3

4

4

3

0

7

1

6

5

2

 

Рис. 28

 

В этом примере всё, как в утверждении Чебракова. Латинские квадраты диагональные и ортогональные. Матрица, полученная поклеточным перемножением этих латинских квадратов, магическая с магической константой 98. Латинские квадраты по-прежнему являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28.

 

На рис. 29 показываю матрицу, аналогичную матрице с рис. 22, для данного квадрата:

 

0113

1100

1003

0010

0302

1311

1212

0201

0301

1312

1211

0202

0110

1103

1000

0013

0000

1013

1110

0103

0211

1202

1301

0312

0212

1201

1302

0311

0003

1010

1113

0100

1011

0002

0101

1112

1200

0213

0310

1303

1203

0210

0313

1300

1012

0001

0102

1111

1102

0111

0012

1001

1313

0300

0203

1210

1310

0303

0200

1213

1101

0112

0011

1002

 

Рис. 29

 

И снова получаем магическую матрицу (смотрим на элементы в этой матрице как на десятичные числа) с магической константой 5252.

 

А теперь такой эксперимент: беру матрицу с рис. 22 и выполняю для неё программу перестановки строк. Программа выдаёт мне 145 вариантов магических матриц! Как я уже говорила, здесь (как в ассоциативном квадрате) возможны перестановки симметричных строк. Но среди вариантов оказались и другие перестановки строк. Вот первые 5 вариантов, выданных программой:

 

1

 1110  212  1003  301  1302  0  1211  113

 1013  311  1100  202  1201  103  1312  10

 101  1203  12  1310  313  1011  200  1102

 2  1300  111  1213  210  1112  303  1001

 312  1010  201  1103  100  1202  13  1311

 211  1113  302  1000  3  1301  110  1212

 1303  1  1210  112  1111  213  1002  300

 1200  102  1313  11  1012  310  1101  203

 

 2

 1110  212  1003  301  1302  0  1211  113

 1013  311  1100  202  1201  103  1312  10

 101  1203  12  1310  313  1011  200  1102

 2  1300  111  1213  210  1112  303  1001

 211  1113  302  1000  3  1301  110  1212

 312  1010  201  1103  100  1202  13  1311

 1200  102  1313  11  1012  310  1101  203

 1303  1  1210  112  1111  213  1002  300

 

 3

 1110  212  1003  301  1302  0  1211  113

 1013  311  1100  202  1201  103  1312  10

 101  1203  12  1310  313  1011  200  1102

 312  1010  201  1103  100  1202  13  1311

 2  1300  111  1213  210  1112  303  1001

 211  1113  302  1000  3  1301  110  1212

 1303  1  1210  112  1111  213  1002  300

 1200  102  1313  11  1012  310  1101  203

 

 4

 1110  212  1003  301  1302  0  1211  113

 1013  311  1100  202  1201  103  1312  10

 101  1203  12  1310  313  1011  200  1102

 211  1113  302  1000  3  1301  110  1212

 1303  1  1210  112  1111  213  1002  300

 312  1010  201  1103  100  1202  13  1311

 2  1300  111  1213  210  1112  303  1001

 1200  102  1313  11  1012  310  1101  203

 

 5

 1110  212  1003  301  1302  0  1211  113

 1013  311  1100  202  1201  103  1312  10

 2  1300  111  1213  210  1112  303  1001

 101  1203  12  1310  313  1011  200  1102

 211  1113  302  1000  3  1301  110  1212

 312  1010  201  1103  100  1202  13  1311

 1303  1  1210  112  1111  213  1002  300

 1200  102  1313  11  1012  310  1101  203

 

Вариант под номером 1 – это сама матрица с рис. 22.

Посмотрим на матрицу варианта 2. Очевидно, что в ней переставлены не симметричные строки: четвёртая строка переставлена с пятой, седьмая – с восьмой. Интересно, получится ли бимагическим квадрат 8-ого порядка, построенный с помощью этой матрицы? Понятно, что если построить квадрат с помощью этой матрицы, построенный квадрат будет получаться из квадрата с рис. 21 точно такой же перестановкой строк. На рис. 30 вы видите этот квадрат.

 

45

23

36

26

59

1

54

16

40

30

41

19

50

12

63

5

10

52

7

61

32

38

17

43

3

57

14

56

21

47

28

34

22

48

27

33

4

58

13

55

31

37

18

44

9

51

8

62

49

11

64

6

39

29

42

20

60

2

53

15

46

24

35

25

 

Рис. 30

 

Квадрат получился магическим. Но является ли он бимагическим? Понятно, что надо проверить только диагональные наборы чисел, так как наборы в строках и столбцах при этом преобразовании не изменились. Проверяем первую диагональ:

 

452 + 302 + 72 + 562 + 42 + 512 + 422 + 252 = 11116

 

Увы! Квадрат бимагическим не получился. Нет нужной суммы и для квадратов чисел во второй главной диагонали.

Можно предположить, что верно следующее утверждение:

 

Если бимагический квадрат 8-ого порядка представить в виде матрицы по формуле [1], то полученная матрица будет магической с магической константой 5252 (если смотреть на элементы этой матрицы как на десятичные числа).

 

Примечание: бимагический квадрат в этом утверждении считается заполненным числами от 0 до 63.

 

Для трёх бимагических квадратов, которые здесь рассмотрены, это утверждение выполняется. Однако это не означает, что оно верно для всех бимагических квадратов 8-ого порядка, его ещё надо доказать. Таким образом, условие, сформулированное в утверждении, является необходимым, но не достаточным для того, чтобы по такой матрице получился бимагический квадрат. В этом мы убедились в приведённом выше примере.

 

Теперь посмотрим на вариант матрицы под номером 3. В этом варианте переставлены симметричные строки – четвёртая с пятой. Понятно, что если мы в квадрате с рис. 21 сделаем точно такую перестановку строк, получим квадрат, соответствующий матрице этого варианта. Смотрите этот квадрат на рис. 31.

 

45

23

36

26

59

1

54

16

40

30

41

19

50

12

63

5

10

52

7

61

32

38

17

43

31

37

18

44

9

51

8

62

3

57

14

56

21

47

28

34

22

48

27

33

4

58

13

55

60

2

53

15

46

24

35

25

49

11

64

6

39

29

42

20

 

Рис. 31

 

Проверив диагональные наборы чисел, убеждаемся, что квадрат не является бимагическим.

 

Наконец, приведу пример М-преобразования, применённого к квадрату с рис. 21. Получившийся в результате преобразования квадрат изображён на рис. 32.

 

45

23

36

59

26

1

54

16

40

30

41

50

19

12

63

5

10

52

7

32

61

38

17

43

31

37

18

9

44

51

8

62

3

57

14

21

56

47

28

34

22

48

27

4

33

58

13

55

60

2

53

46

15

24

35

25

49

11

64

39

6

29

42

20

 

Рис. 32

 

Этот квадрат остался бимагическим. Итак, из каждого рассмотренного здесь бимагического квадрата мы можем получить 192 бимагических квадрата с помощью М-преобразований.

 

Важное заключение:

 

Основные преобразования и М-преобразования сохраняют свойство бимагичности магического квадрата.

 

***

 

Вспомнила о матрице, которая составлена для построения пандиагональных квадратов в статье:

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

и об аналогичной матрице, составленной мной для построения идеальных квадратов 9-ого порядка с помощью ортогональных латинских квадратов, и составила по аналогии с этими матрицами матрицу для построения бимагических квадратов 9-ого порядка. За образец взяла матрицу с рис. 8, составленную Чебраковым. На рис. 33 вы видите матрицу для построения бимагических квадратов 9-ого порядка.

 

AAAA

BBAC

CCAB

ABCB

BCCA

CACC

ACBC

BABB

CBBA

BCBA

CABC

ABBB

BAAB

CBAA

ACAC

BBCC

CCCB

AACA

CBCA

ACCC

BACB

CCBB

AABA

BBBC

CAAC

ABAB

BCAA

BACC

CBCB

ACCA

BBBA

CCBC

AABB

BCAB

CAAA

ABAC

CCAC

AAAB

BBAA

CACA

ABCC

BCCB

CBBB

ACBA

BABC

ABBC

BCBB

CABA

ACAA

BAAC

CBAB

AACB

BBCA

CCCC

CABB

ABBA

BCBC

CBAC

ACAB

BAAA

CCCA

AACC

BBCB

ACCB

BACA

CBCC

AABC

BBBB

CCBA

ABAA

BCAC

CAAB

BBAB

CCAA

AAAC

BCCC

CACB

ABCA

BABA

CBBC

ACBB

 

Рис. 33

 

К этой матрице должна прилагаться табличка значений символов. Вот она (рис. 34):

 

 

1

2

3

4

А

0

0

0

0

В

27

9

3

1

С

54

18

6

2

 

Рис. 34

 

Напомню, как вычислять элементы в этой матрице. Надо просто суммировать значения входящих в элемент символов, учитывая при этом позицию каждого символа и в соответствии с этой позицией выбирая его значение из таблички на рис. 34. Пример:

 

ВВАС = 27 + 9 + 0 + 2 = 38

 

Для приведения квадрата к традиционному виду надо увеличить каждый элемент на единицу.

Если вы построите квадрат по матрице с рис. 33, используя значения символов из таблички на рис. 34, у вас получится бимагический квадрат, построенный Чебраковым (см. рис. 12).

Ценность представленной матрицы в том, что она позволяет построить другие бимагические квадраты, изменяя значения символов. Возьмём, например, такие значения символов (рис. 35):

 

 

1

2

3

4

А

27

9

3

1

В

0

0

0

0

С

54

18

6

2

 

Рис. 35

 

Построенный с этими значениями бимагический квадрат вы видите на рис. 36.

 

41

6

76

34

26

72

48

10

56

20

66

28

13

59

51

9

79

44

62

54

16

73

38

3

69

31

23

18

61

53

2

75

37

22

68

33

78

40

5

71

36

25

55

47

12

30

19

65

50

15

58

43

8

81

64

29

21

60

49

14

80

45

7

52

17

63

39

1

74

32

24

67

4

77

42

27

70

35

11

57

46

 

Рис. 36

 

Если вы сравните этот квадрат с квадратом, построенным Чебраковым (рис. 12), увидите, что в этих квадратах наборы чисел в строках и столбцах одинаковые, значит, один квадрат можно получить из другого перестановкой строк и столбцов. Однако это преобразование не является М-преобразованием (диагональные наборы чисел в квадратах различны) и тем более не относится к основным преобразованиям магических квадратов. Следовательно, мы получили новый бимагический квадрат, не эквивалентный квадрату с рис. 12.

 

Теперь построим бимагический квадрат с такими значениями символов (рис. 36):

 

 

1

2

3

4

А

0

0

0

0

В

1

3

9

27

С

2

6

18

54

 

Рис. 36

 

Бимагический квадрат, построенный с этими значениями, изображён на рис. 37.

 

1

59

36

49

26

75

70

38

15

17

66

40

29

6

61

77

54

19

24

79

47

45

10

68

57

31

8

74

51

25

14

72

37

35

3

58

63

28

5

21

76

53

42

16

65

67

44

12

7

56

33

46

23

81

39

13

71

60

34

2

27

73

50

52

20

78

64

41

18

4

62

30

32

9

55

80

48

22

11

69

43

 

Рис. 37

 

Снова получился бимагический квадрат, имеющий одинаковые наборы чисел в строках и столбцах с квадратом Чебракова. И тем не менее это не эквивалентные квадраты.

 

И последний пример с такими значениями символов (рис. 38):

 

 

1

2

3

4

А

3

9

27

1

В

6

18

54

2

С

0

0

0

0

 

Рис. 38

 

В этом случае получается бимагический квадрат совсем отличающийся от квадрата с рис. 12, то есть наборы чисел в строках и столбцах не одинаковые. Вы видите этот бимагический квадрат на рис. 39.

 

41

52

30

24

8

10

58

72

74

62

64

78

45

47

31

25

3

14

20

4

18

57

68

79

37

51

35

16

21

5

80

55

69

36

38

49

28

42

53

11

22

9

75

59

70

76

63

65

32

43

48

15

26

1

66

77

61

46

33

44

2

13

27

6

17

19

67

81

56

50

34

39

54

29

40

7

12

23

71

73

60

 

Рис. 39

 

Итак, варьируя значения символов в матрице с рис. 33, можно построить несколько новых бимагических квадратов 9-ого порядка. Значения символов можно варьировать так: во-первых, менять местами значения для символов А, В, С, то есть переставлять строки в табличке значений символов; во-вторых, циклически переставлять значения символов А, В, С одновременно.

 

А теперь возьмём за образец матрицу с рис. 16.  Эта матрица соответствует бимагическому квадрату, изображённому на рис. 2. Построим точно так же символьную матрицу (рис. 40):

 

ACBA

AAAC

CCCC

BBBC

BACA

BCAB

ABCB

CABB

CBAA

BBAA

BCCC

ABBC

CBCB

CCBA

CAAC

BABB

ACAB

AACA

BABC

BBAB

AACB

CAAA

CBCC

CCBB

BCCA

ABBA

ACAC

CBBB

CCAA

BBCA

ABAC

ACCB

AABA

CACC

BCBC

BAAB

AAAB

ABCA

CABA

BCAA

BBBB

BACC

ACBC

CBAC

CCCB

BCCB

BABA

АСАА

CCBC

CAAB

CBCA

BBAC

AACC

ABBB

CACA

CBBC

BAAC

AABB

ABAA

ACCC

CCAB

BBCB

BCBA

CCAC

CACB

BCBB

ACCA

AABC

ABAB

CBBA

BAAA

BBCC

ABCC

ACBB

CBAB

BACB

BCAC

BBBA

AAAA

CCCA

CABC

 

Рис. 40

 

Если построить с помощью этой матрицы бимагический квадрат, используя значения символов из таблички с рис. 34, то получится квадрат, изображённый на рис. 2.

Теперь приведу пример построения бимагического квадрат с другими значениями символов (см. табличку на рис. 41).

 

 

1

2

3

4

А

6

18

54

2

В

3

9

27

1

С

0

0

0

0

 

Рис. 41

 

Полученный бимагический квадрат вы видите на рис. 42.

 

36

79

1

40

24

59

17

47

66

69

4

43

11

30

73

50

62

27

49

68

26

75

10

29

6

45

61

38

57

15

70

8

54

19

31

77

80

18

48

60

41

22

34

64

2

5

51

63

28

74

12

67

25

44

21

37

76

53

72

7

56

14

33

55

20

32

9

52

71

39

78

13

16

35

65

23

58

42

81

3

46

 

Рис. 42

 

Получился новый бимагический квадрат, не эквивалентный квадрату с рис. 2. Обратите внимание: этот квадрат тоже ассоциативный, как и квадрат на рис. 2.

Читатели могут построить другие варианты бимагических квадратов, изменив значения символов в матрице с рис. 40.

 

Теперь по аналогии составляю символьную матрицу для построения бимагических квадратов восьмого порядка. За образец беру матрицу с рис. 22. Эта матрица соответствует бимагическому квадрату, приведённому в книге Чебракова. В отличие от квадратов 9-ого порядка в матрице для квадратов 8-ого порядка будет 4 символа: A, B, C, D.  Готовую матрицу показываю на рис. 43.

 

BBBA

ACBC

BAAD

ADAB

BDAC

AAAA

BCBB

ABBD

BABD

ADBB

BBAA

ACAC

BCAB

ABAD

BDBC

AABA

ABAB

BCAD

AABC

BDBA

ADBD

BABB

ACAA

BBAC

AAAC

BDAA

ABBB

BCBD

ACBA

BBBC

ADAD

BAAB

ADBC

BABA

ACAB

BBAD

ABAA

BCAC

AABD

BDBB

ACBB

BBBD

ADAC

BAAA

AAAD

BDAB

ABBA

BCBC

BDAD

AAAB

BCBA

ABBC

BBBB

ACBD

BAAC

ADAA

BCAA

ABAC

BDBD

AABB

BABC

ADBA

BBAB

ACAD

 

Рис. 43

 

К этой матрице, как уже знают читатели, надо приложить таблицу значений символов. Вот она (рис. 44):

 

 

1

2

3

4

А

0

0

0

0

В

32

8

4

1

C

 

16

8