СНОВА О ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Читая книгу Ю. В. Чебракова о магических квадратах (полные данные о книге см. на странице http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm ), встретила метод построения пандиагональных квадратов нечётного порядка из обобщённых латинских квадратов.

 

Примечание 1: определение латинских квадратов и обобщённых латинских квадратов дано на странице http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm .

 

Примечание 2: Автор называет пандиагональные квадраты совершенными. Поскольку совершенными квадратами я называю особый вид пандиагональных квадратов, то за пандиагональными квадратами оставляю только термин “пандиагональные” (или “дьявольские”).

 

Все пандиагональные квадраты нечётного порядка Чебраков тоже делит на две группы: квадраты порядков не кратных 3 и квадраты порядков кратных 3.

С квадратами первой группы всё в порядке. На стр. 97 приведён пример построения пандиагонального квадрата пятого порядка с помощью обобщённых латинских квадратов. Построение квадратов данной группы и у меня не вызвало никаких трудностей, я строю их элементарно, например, методом качелей с тривиальной образующей таблицей.

А вот с квадратами второй группы, кажется, обнаружен ляпсус. На странице 98 приведён пример построения пандиагонального квадрата 9-ого порядка с помощью обобщённых латинских квадратов. Воспроизведу здесь этот пример. На рис. 1 и рис 2 вы видите два обобщённых латинских квадрата, с помощью которых строится пандиагональный квадрат.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

8

0

1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

8

0

1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

8

0

1

2

 

Рис. 1

 

 

4

7

1

4

7

1

4

7

1

3

6

0

3

6

0

3

6

0

2

5

8

2

5

8

2

5

8

1

4

7

1

4

7

1

4

7

0

3

6

0

3

6

0

3

6

8

2

5

8

2

5

8

2

5

7

1

4

7

1

4

7

1

4

6

0

3

6

0

3

6

0

3

5

8

2

5

8

2

5

8

2

 

Рис. 2

 

При этом автор пишет, что в первом латинском квадрате каждая последующая строка получается из предыдущей циклической перестановкой троек чисел. Это понятно. А второй латинский квадрат получается из первого “поворотом вокруг его главной (восходящей) диагонали”. Это мне непонятно.

Но допустим, что оба латинских квадрата построены правильно. Далее из этих квадратов строится пандиагональный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого квадрата (рис. 1) aij, элементы второго квадрата (рис. 2) –  bij, тогда соответствующие элементы строящегося квадрата cij определяются по следующей формуле:

 

cij = 9*aij + bij + 1

 

Если в формуле не прибавлять 1, то получится квадрат, заполненный числами от 0 до n2 – 1. Прибавление 1 приводит квадрат к традиционному виду.

И вот на рис. 3 показан квадрат, который получился у автора книги:

 

5

17

20

32

44

47

59

71

74

58

70

73

4

16

19

31

43

46

30

42

54

57

69

81

3

15

27

2

14

26

29

41

53

56

68

80

55

67

79

1

13

25

28

40

52

36

39

51

63

66

78

9

12

24

8

11

23

35

38

50

62

65

77

61

64

76

7

10

22

34

37

49

33

45

48

60

72

75

6

18

21

 

Рис. 3

 

Увы, этот квадрат не является магическим, потому что только в 3 строках и в 3 столбцах сумма чисел равна магической константе квадрата. Но с суммами во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, всё в порядке! Вот такой парадокс. Где же ошибся автор?

 

Автор пишет далее, что таким методом можно построить пандиагональный квадрат любого порядка n=3*(2k-1), k=2, 3, 4… Когда я прочла это утверждение, подумала: оказывается, Чебраков ещё в 1995 г. знал метод построения пандиагональных квадратов порядков кратных 3, а я очень долго не могла построить пандиагональный квадрат 15-ого порядка. Но потом проверила квадрат 9-ого порядка, построенный автором, и оказалось, что он построен неверно. Пандиагональный квадрат 15-ого порядка автором не представлен.

 

Заинтересовавшись этим методом построения, я попробовала решить обратную задачу: взяла готовый пандиагональный (и даже идеальный) квадрат 9-ого порядка, построенный методом качелей, и разложила его на два обобщённых латинских квадрата. Интересный получился результат! Смотрите сами.

 

На рис. 4 показываю исходный идеальный квадрат 9-ого порядка:

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

48

61

77

66

43

14

3

25

32

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

28

51

62

73

69

44

10

52

59

75

70

41

12

7

23

30

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

33

53

55

78

71

37

15

50

57

79

68

39

16

5

21

34

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

Рис. 4

 

Отмечу, что этот идеальный квадрат построен методом качелей (нестандартных), начальная цепочка здесь не строится ходом шахматного коня; шаги качания качелей 2+5 (через 2 ячейки вправо, через 5 ячеек влево).

 

Чтобы удобнее было раскладывать этот квадрат на латинские квадраты, приведу его к нетрадиционному виду, то есть он будет заполнен числами от 0 до n2-1. Понятно, что для этого надо от каждого элемента квадрата вычесть 1. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 5.

 

0

23

34

45

59

79

63

41

16

47

60

76

65

42

13

2

24

31

66

44

10

3

26

28

48

62

73

5

25

27

50

61

72

68

43

9

51

58

74

69

40

11

6

22

29

71

37

12

8

19

30

53

55

75

7

18

32

52

54

77

70

36

14

49

56

78

67

38

15

4

20

33

64

39

17

1

21

35

46

57

80

 

Рис. 5

 

Для того чтобы разложить этот квадрат на два обобщённых латинских квадрата, надо сначала просто заменить все числа в ячейках квадрата их эквивалентами в девятеричной системе счисления. На рис. 6 вы видите квадрат, заполненный девятеричными числами.

 

00

25

37

50

65

87

70

45

17

52

66

84

72

46

14

02

26

34

73

48

11

03

28

31

53

68

81

05

27

30

55

67

80

75

47

10

56

64

82

76

44

12

06

24

32

78

41

13

08

21

33

58

61

83

07

20

35

57

60

85

77

40

15

54

62

86

74

42

16

04

22

36

71

43

18

01

23

38

51

63

88

 

Рис. 6

 

Интересно отметить: если смотреть на числа в этом квадрате, как на десятичные, то перед нами нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 396.

 

Посмотрите, как гармоничны числа в этом квадрате!

Ну, а теперь очень просто раскладываем этот квадрат на два латинских обобщённых квадрата: первые цифры всех чисел пойдут в первый квадрат, а вторые цифры – во второй квадрат. На рис. 7 и рис. 8 изображены эти латинские обобщённые квадраты.

 

0

2

3

5

6

8

7

4

1

5

6

8

7

4

1

0

2

3

7

4

1

0

2

3

5

6

8

0

2

3

5

6

8

7

4

1

5

6

8

7

4

1

0

2

3

7

4

1

0

2

3

5

6

8

0

2

3

5

6

8

7

4

1

5

6

8

7

4

1

0

2

3

7

4

1

0

2

3

5

6

8

 

Рис. 7

 

У меня тоже каждая следующая строка получается из предыдущей перестановкой троек, но перестановка производится несколько иначе, чем у Чебракова. А в первой строке этого квадрата стоит… начальная цепочка квадрата! По первой же строке мы без труда строим весь квадрат перестановкой троек. Второй обобщённый латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов и отражением относительно оси симметрии.

 

0

5

7

0

5

7

0

5

7

2

6

4

2

6

4

2

6

4

3

8

1

3

8

1

3

8

1

5

7

0

5

7

0

5

7

0

6

4

2

6

4

2

6

4

2

8

1

3

8

1

3

8

1

3

7

0

5

7

0

5

7

0

5

4

2

6

4

2

6

4

2

6

1

3

8

1

3

8

1

3

8

 

Рис. 8

 

Вот и решена обратная задача: идеальный квадрат разложен на два обобщённых латинских квадрата. Думаю, ошибка Чебракова в том, что он написал в первой строке первого латинского квадрата (рис. 1) числа по порядку. Как мы только что выяснили, в первой строке первого квадрата записывается начальная цепочка строящегося квадрата. А для пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1) нет таких начальных цепочек, в которых числа следуют по порядку. По крайней мере, я таких пандиагональных квадратов не встречала.

 

Следовательно, метод построения пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью двух обобщённых латинских квадратов работает, но для его применения надо заранее знать начальную цепочку строящегося пандиагонального квадрата.

 

Приведу ещё один пример для идеального квадрата 9-ого порядка. Этот квадрат построен мной другим методом: из составного ассоциативного квадрата перестановкой строк по определённой схеме.  Квадрат изображён на рис. 9.

 

11

56

47

16

61

52

15

60

51

18

63

54

14

59

50

10

55

46

13

58

49

12

57

48

17

62

53

74

38

2

79

43

7

78

42

6

81

45

9

77

41

5

73

37

1

76

40

4

75

39

3

80

44

8

29

20

65

34

25

70

33

24

69

36

27

72

32

23

68

28

19

64

31

22

67

30

21

66

35

26

71

 

Рис. 9

 

В этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет совсем другой вид.

 

Для удобства разложения на латинские квадраты вычтем из каждого элемента квадрата единицу. Полученный квадрат вы видите на рис. 10.

 

10

55

46

15

60

51

14

59

50

17

62

53

13

58

49

9

54

45

12

57

48

11

56

47

16

61

52

73

37

1

78

42

6

77

41

5

80

44

8

76

40

4

72

36

0

75

39

3

74

38

2

79

43

7

28

19

64

33

24

69

32

23

68

35

26

71

31

22

67

27

18

63

30

21

66

29

20

65

34

25

70

 

Рис. 10

 

Теперь заменим каждый элемент квадрата его девятеричным эквивалентом. Получается такой квадрат (рис. 11):

 

11

61

51

16

66

56

15

65

55

18

68

58

14

64

54

10

60

50

13

63

53

12

62

52

17

67

57

81

41

01

86

46

06

85

45

05

88

48

08

84

44

04

80

40

00

83

43

03

82

42

02

87

47

07

31

21

71

36

26

76

35

25

75

38

28

78

34

24

74

30

20

70

33

23

73

32

22

72

37

27

77

 

Рис. 11

 

Примечание: если смотреть на числа в квадрате, как на десятичные, опять имеем нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 396, как и квадрат на рис. 6.

 

Далее в первый латинский обобщённый квадрат запишем все первые цифры элементов квадрата с рис. 11, а во второй латинский квадрат – вторые цифры элементов этого квадрата. На рис. 12 и на рис. 13 вы видите эти латинские квадраты. Они строятся совсем не так, как в приведённом выше примере.

 

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

1

6

5

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

8

4

0

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

3

2

7

 

Рис. 12

 

 

1

1

1

6

6

6

5

5

5

8

8

8

4

4

4

0

0

0

3

3

3

2

2

2

7

7

7

1

1

1

6

6

6

5

5

5

8

8

8

4

4

4

0

0

0

3

3

3

2

2

2

7

7

7

1

1

1

6

6

6

5

5

5

8

8

8

4

4

4

0

0

0

3

3

3

2

2

2

7

7

7

 

Рис. 13

 

Вот какие интересные обобщённые латинские квадраты получились! Посмотрите на них внимательно, между ними тоже есть определённая связь. Кроме того, во втором квадрате (рис. 13) явно видна начальная цепочка исходного идеального квадрата (выделена розовым цветом). Можно сказать, что этот квадрат весь и состоит из этой начальной цепочки, потому что выделенные розовые “столбики” просто дублируются, каждый “столбик” присутствует в квадрате ровно 9 раз.

 

Наконец, приведу пример для пандиагонального квадрата 9-ого порядка, не являющегося идеальным, то есть квадрат не ассоциативен. Этот квадрат вы видите на рис. 14.

 

5

58

17

48

45

28

70

20

78

36

64

25

74

6

59

13

53

39

60

14

49

44

30

72

19

79

2

66

27

73

7

56

15

50

40

35

11

51

41

31

71

21

81

1

61

26

75

9

55

16

47

42

32

67

52

38

33

68

22

80

3

63

10

76

8

57

18

46

43

29

69

23

37

34

65

24

77

4

62

12

54

 

Рис. 14

 

Этот пандиагональный квадрат построен методом стандартных качелей (начальная цепочка “ход конём”). Пропускаю промежуточные этапы разложения этого квадрата на обобщённые латинские квадраты, так как эти этапы уже были подробно показаны в предыдущих двух примерах. На рис. 15 и рис. 16 вы видите окончательный результат: обобщённые латинские квадраты, на которые разложился квадрат с рис. 14.

 

0

6

1

5

4

3

7

2

8

3

7

2

8

0

6

1

5

4

6

1

5

4

3

7

2

8

0

7

2

8

0

6

1

5

4

3

1

5

4

3

7

2

8

0

6

2

8

0

6

1

5

4

3

7

5

4

3

7

2

8

0

6

1

8

0

6

1

5

4

3

7

2

4

3

7

2

8

0

6

1

5

 

Рис. 15

 

 

4

3

7

2

8

0

6

1

5

8

0

6

1

5

4

3

7

2

5

4

3

7

2

8

0

6

1

2

8

0

6

1

5

4

3

7

1

5

4

3

7

2

8

0

6

7

2

8

0

6

1

5

4

3

6

1

5

4

3

7

2

8

0

3

7

2

8

0

6

1

5

4

0

6

1

5

4

3

7

2

8

 

Рис. 16

 

И опять (как в первом примере) в первой строке первого латинского квадрата находится начальная цепочка исходного пандиагонального квадрата. В исходном квадрате (рис. 14) вы видите такую начальную цепочку:

 

1  7  2  6  5  4  8  3  9

 

В первой строке латинского квадрата на рис. 15 записана та же последовательность чисел, только уменьшенных на единицу.

 

Каждая следующая строка в этом латинском квадрате получается из предыдущей не перестановкой троек, а циклическим сдвигом чисел с постоянным шагом. Если изобразить рядом несколько таких квадратов, этот сдвиг будет очень хорошо виден (рис. 17).

 

 

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

4

3

7

2

8

0

6

1

5

 

Рис. 17

 

Такой же циклический сдвиг имеет место и в столбцах квадрата, но с другим шагом (рис. 18)

 

0

6

1

5

4

3

7

2

8

3

7

2

8

0

6

1

5

4

6

1

5

4

3

7

2

8

0

7

2

8

0

6

1

5

4

3

1

5

4

3

7

2

8

0

6

2

8

0

6

1

5

4

3

7

5

4

3

7

2

8

0

6

1

8

0

6

1

5

4

3

7

2

4

3

7

2

8

0

6

1

5

0

6

1

5

4

3

7

2

8

3

7

2

8

0

6

1

5

4

6

1

5

4

3

7

2

8

0

7

2

8

0

6

1

5

4

3

1

5

4

3

7

2

8

0

6

2

8

0

6

1

5

4

3

7

5

4

3

7

2

8

0

6

1

8

0

6

1

5

4

3

7

2

4

3

7

2

8

0

6

1

5

0

6

1

5

4

3

7

2

8

3

7

2

8

0

6

1

5

4

6

1

5

4

3

7

2

8

0

7

2

8

0

6

1

5

4

3

1

5

4

3

7

2

8

0

6

2

8

0

6

1

5

4

3

7

5

4

3

7

2

8

0

6

1

8

0

6

1

5

4

3

7

2

4

3

7

2

8

0

6

1

5

 

Рис. 18

 

Второй обобщённый латинский квадрат в этом примере получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

 

Можно сделать такой вывод: механизм построения пандиагональных и идеальных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью обобщённых латинских квадратов требует дальнейших исследований. Из приведённых примеров видно, что каждый идеальный и пандиагональный квадрат 9-ого порядка (можно предположить, что и любого следующего порядка данной серии порядков) раскладывается на два обобщённых латинских квадрата. Но как решать прямую задачу: составление таких двух обобщённых латинских квадратов, с помощью которых можно построить пандиагональный или идеальный квадрат? Приведённый Чебраковым пример (в котором построен не магический квадрат 9-ого порядка) не даёт ответа на этот вопрос.

 

В заключение покажу построение пандиагонального квадрата 15-ого порядка. Было очень интересно попробовать такое построение. Я взяла начальную цепочку из готового пандиагонального (и даже идеального) квадрата 15-ого порядка и составила два латинских квадрата по аналогии с тем, как это делается в первом примере для идеального квадрата 9-ого порядка. Вот что у меня получилось.

 

На рис. 19 и на рис. 20 вы видите два обобщённых латинских квадрата. Повторю: они построены по известной начальной цепочке по аналогии с первым примером для квадрата 9-ого порядка.

 

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

12

7

2

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

4

1

14

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

11

9

6

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

8

5

3

0

13

10

12

7

2

4

1

14

11

9

6

 

Рис. 19

 

 

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

8

0

12

4

11

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

5

13

7

1

9

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

3

10

2

14

6

 

Рис. 20

 

Напомню формулу, по которой из этих двух латинских квадратов строится пандиагональный квадрат. Пусть aij – элементы первого латинского квадрата (рис. 19),  bij – соответствующие элементы второго латинского квадрата (рис. 20), тогда соответствующие элементы пандиагонального квадрата определяются по формуле:

 

[1]                        cij = 15*aij + bij +1

 

На рис. 21 вы видите готовый пандиагональный квадрат 15-ого порядка.

 

1

208

155

192

114

31

73

20

222

174

136

103

125

87

54

194

113

32

70

21

224

173

137

100

126

89

53

2

205

156

71

18

225

172

139

101

123

90

52

4

206

153

195

112

34

178

140

102

129

76

58

5

207

159

181

118

35

72

24

211

128

77

55

6

209

158

182

115

36

74

23

212

175

141

104

3

210

157

184

116

33

75

22

214

176

138

105

127

79

56

185

117

39

61

28

215

177

144

91

133

80

57

9

196

163

62

25

216

179

143

92

130

81

59

8

197

160

186

119

38

180

142

94

131

78

60

7

199

161

183

120

37

64

26

213

132

84

46

13

200

162

189

106

43

65

27

219

166

148

95

10

201

164

188

107

40

66

29

218

167

145

96

134

83

47

187

109

41

63

30

217

169

146

93

135

82

49

11

198

165

69

16

223

170

147

99

121

88

50

12

204

151

193

110

42

171

149

98

122

85

51

14

203

152

190

111

44

68

17

220

124

86

48

15

202

154

191

108

45

67

19

221

168

150

97

 

Рис. 21

 

Пандиагональный квадрат получился. Однако вспомним, что начальную цепочку я взяла из идеального квадрата, а построенный квадрат не является идеальным.

Сравнив построенный квадрат с исходным идеальным квадратом, я увидела, что эти два квадрата получаются один из другого перестановкой строк и столбцов. Как мне кажется, подобная перестановка строк и столбцов магического квадрата в книге Чебракова называется М-преобразованием.

Исходный квадрат показываю на рис. 22. Сравните сами!

 

 

1

87

103

174

20

31

192

208

54

125

136

222

73

114

155

171

17

44

190

203

51

122

149

220

68

111

152

14

85

98

187

198

49

135

146

217

63

109

165

11

82

93

169

30

41

132

148

219

65

106

162

13

84

95

166

27

43

189

200

46

62

119

160

8

81

92

179

25

38

186

197

59

130

143

216

3

79

105

176

22

33

184

210

56

127

138

214

75

116

157

178

24

35

181

207

58

129

140

211

72

118

159

5

76

102

194

205

53

126

137

224

70

113

156

2

89

100

173

21

32

124

150

221

67

108

154

15

86

97

168

19

45

191

202

48

69

110

151

12

88

99

170

16

42

193

204

50

121

147

223

10

83

96

167

29

40

188

201

47

134

145

218

66

107

164

180

26

37

183

199

60

131

142

213

64

120

161

7

78

94

185

196

57

133

144

215

61

117

163

9

80

91

177

28

39

128

141

212

74

115

158

6

77

104

175

23

36

182

209

55

71

112

153

4

90

101

172

18

34

195

206

52

123

139

225

 

Рис. 22

 

Примечание: данный идеальный квадрат построен методом нестандартных качелей (начальная цепочка не строится ходом шахматного коня), шаги качания качелей 2+11 (через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево).

 

Теперь стало очень любопытно посмотреть, на какие латинские квадраты раскладывается этот идеальный квадрат. Выполняю разложение, на рис. 23 и рис. 24 вы видите эти латинские обобщённые квадраты.

 

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

 

Рис. 23

 

 

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

 

Рис. 24

 

Предлагаю читателям проанализировать эти латинские квадраты. Сложите теперь матрицы этих квадратов по формуле [1], и вы получите матрицу идеального квадрата с рис. 22.

 

Если бы Чебраков разработал метод построения пандиагональных квадратов порядка n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… с помощью обобщённых латинских квадратов более основательно, первенство в построении пандиагональных и идеальных квадратов данной серии порядков принадлежало бы ему, а не Александрову, который построил такие квадраты только в 2007 г. другим методом (напомню, что книга Чебракова издана в 1995 г.).

 

***

 

Хотела уже закончить статью, но вспомнила, что матричный метод для построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка ведь разработан! Я нашла его по этой ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

И основывается этот метод, мне кажется, как раз на применении латинских квадратов. Я показала применение этого метода построения в статье о магических квадратах 9-ого порядка:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

но не вникала в описание самого метода (это связано с тем, что статья на английском языке). Теперь стало очень интересно посмотреть более подробно на данный метод. С помощью этого метода я построила даже идеальный квадрат 9-ого порядка. Это был мой первый идеальный квадрат (!) серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… Потом был построен второй идеальный квадрат 9-ого порядка, который изображён на рис. 9. Метод, которым построен этот идеальный квадрат, годится для построения идеальных квадратов любого порядка n=3p, p=2, 3, 4… А вот идеальный квадрат 15-ого порядка долго не удавалось построить.

 

Жаль, что разработчик указанного метода тоже остановился на квадратах 9-ого порядка. Ему было просто необходимо сделать следующий шаг: разработать аналогичный метод для квадратов 15-ого порядка. Автор рассмотрел построение пандиагональных квадратов до порядка n=13 включительно. Но построение пандиагональных (и идеальных) квадратов любого нечётного порядка не кратного 3 ни у кого не вызывает затруднений. Можно взять, например, ассоциативный квадрат, построенный методом террас, и переставить в нём столбцы (или строки) по определённой схеме (с постоянным шагом). И идеальный квадрат готов!

 

Рассмотрю матричный метод построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка подробно. Если что-нибудь пойму, расскажу вам, уважаемые читатели. А вы тоже можете посмотреть на этот метод и провести свой анализ.

 

***

 

А пока ещё один эксперимент. Для этого эксперимента я взяла пандиагональный квадрат  21-ого порядка Хендрикса, найденный по ссылке:

 

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html

 

 

8

229

317

117

57

194

412

144

182

337

74

436

153

381

31

251

301

93

269

361

294

99

257

370

291

14

211

326

121

48

192

409

146

175

345

80

424

168

386

40

233

306

392

22

242

310

90

255

367

293

7

219

332

109

63

197

418

128

180

351

68

433

165

342

66

430

167

385

30

248

298

105

260

376

275

12

225

320

118

60

203

400

137

184

196

408

143

172

357

71

439

149

390

36

236

307

102

266

358

284

16

216

318

115

62

231

323

124

44

201

414

131

181

354

77

421

158

394

27

234

304

104

259

366

290

4

264

372

278

13

228

329

106

53

205

405

129

178

356

70

429

164

382

42

239

313

86

39

245

295

95

268

363

276

10

230

322

114

59

193

420

134

187

338

75

435

152

391

79

426

150

388

41

238

303

101

256

378

281

19

212

327

120

47

202

417

140

169

347

419

133

177

353

67

441

155

397

23

243

309

89

265

375

287

1

221

331

111

45

199

319

126

50

208

401

138

183

341

76

438

161

379

32

247

300

87

262

377

280

9

227

359

285

15

215

328

123

56

190

410

142

174

339

73

440

154

387

38

235

315

92

271

244

312

98

253

368

289

6

213

325

125

49

198

416

130

189

344

82

422

159

393

26

431

163

384

24

241

314

91

261

374

277

21

218

334

107

54

204

404

139

186

350

64

136

188

343

72

437

151

399

29

250

296

96

267

362

286

18

224

316

116

58

195

402

122

46

210

407

145

170

348

78

425

160

396

35

232