КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

             Часть III

 

 

В предыдущей части этой статьи я обещала показать построенный мной по схеме Франклина дьявольски полумагический квадрат восьмого порядка.

Сначала напомню читателям два таких квадрата Франклина, рассмотренные в первой части настоящей статьи (см. рис. 1 и рис. 2).

 

 

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

 

                                                                       Рис. 1

 

17

47

30

36

21

43

26

40

32

34

19

45

28

38

23

41

33

31

46

20

37

27

42

24

48

18

35

29

44

22

39

25

49

15

62

4

53

11

58

8

64

2

51

13

60

6

55

9

1

63

14

52

5

59

10

56

16

50

3

61

12

54

7

57

 

                                                                      Рис. 2

 

Все чудесные свойства этих дьявольски полумагических квадратов Франклина были описаны в первой части настоящей статьи. Там же вы найдёте ссылку на ту статью на английском языке, с которой я в основном работала при написании своей статьи.

Поясню, почему я назвала эти квадраты дьявольски полумагическими. Эти квадраты можно подвергать преобразованию параллельного переноса на торе, и они при этом остаются такими же полумагическими, то есть не изменяются суммы не только в строках и столбцах (что вполне закономерно), но и в главных диагоналях.

А теперь расскажу, как я пополнила эту группу квадратов Франклина третьим квадратом. Вообще-то я собиралась построить пандиагональный квадрат восьмого порядка по той схеме, которую открыла, исследуя пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка (это тоже в первой части статьи). Однако пандиагональный квадрат у меня, увы, не получился, зато получился дьявольски полумагический.

Итак, на рис. 3 показываю образующую таблицу для квадрата восьмого порядка, построенную по схеме Франклина.

 

 

 

 

1

56

47

32

58

15

24

39

-6

-6

7

50

41

26

64

9

18

33

4

4

3

54

45

30

60

13

22

37

-2

-2

5

52

43

28

62

11

20

35

3

1

4

53

46

29

59

14

21

38

-2

-2

6

51

44

27

61

12

19

36

4

4

2

55

48

31

57

16

23

40

-6

-6

8

49

42

25

63

10

17

34

 

 

 

k=6

k=5

k=3

k=7

k=1

k=2

k=4

 

                                                        Рис. 3

 

Ещё раз напомню, что эта таблица построена в точной аналогии с таблицей, показанной для пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка. Не путать с образующей таблицей для полумагического квадрата 32-ого порядка, показанной во второй части статьи! Она формируется по несколько другой схеме.

 

Эту таблицу я построила вручную. К сожалению, не могу подключить компьютер, потому что не до конца понимаю механизм построения таблицы. Попробуйте-ка проникнуть в эту очень хитрую схему настолько, чтобы запрограммировать её! Если вам это удастся, то по программе вы построите целое семейство дьявольски полумагических квадратов. А может быть, среди них окажется и пандиагональный (хотя я в этом не уверена).

Ну, а я теперь переписываю числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата (рис. 4), и дьявольски полумагический квадрат готов!

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                   Рис. 4

 

Я выделила на рис. 4 начальную цепочку первых 8 чисел (это нулевой цикл качания качелей) и ещё два цикла – бирюзовый и белый цвета. Сравните эти циклы с числами в двух первых столбцах образующей таблицы (при k=6 и k=5), и вы поймёте, как числа из образующей таблицы переписываются в матрицу для квадрата.

Этот квадрат хорош уже тем, что начинается он с числа 1. Хотя и два полумагических квадрата Франклина очень просто сделать начинающимися с числа 1, поскольку их можно переносить на торе. Ну, а мой квадрат и переносить не надо.

Как вы помните, в полумагических квадратах Франклина суммы по диагоналям отличаются от магической константы на одну и ту же величину, по одной диагонали в плюс, а по другой в минус. Для квадрата с рис. 1 эта величина равна 32, для квадрата с рис. 2 она равна 8. Для построенного мной квадрата эта величина равна 2. Сумма по одной диагонали равна 262=260+2, а сумма по другой диагонали равна 258=260-2.

Построенный мной квадрат тоже обладает целым набором изящных свойств, подобных свойствам полумагических квадратов Франклина. Например, сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, равна 130. Суммы чисел в полустолбцах квадрата тоже равны 130. Сумма чисел, расположенных в вершинах любого квадрата 4х4, находящегося внутри квадрата, тоже равна 130. То же самое и для чисел расположенных в вершинах любого квадрата 6х6. Сумма чисел в вершинах самого квадрата тоже равна 130. В первой части статьи была приведена очень оригинальная иллюстрация для всех свойств полумагических квадратов Франклина восьмого порядка. Я как раз сейчас перечислила некоторые свойства, показанные на той иллюстрации. А вот фигуры группы В на той иллюстрации имели горизонтальное положение, а в моём квадрате они имеют вертикальное положение (см. рис. 5).

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                   Рис. 5

 

Сумма чисел в ячейках фигуры, выделенной зелёным цветом, равна магической константе квадрата. И точно так же, как в квадратах Франклина, эта фигура может перемещаться по квадрату влево и вправо (см. на розовую фигуру). И даже “переезжать” через край квадрата (см. рис. 6).

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                                      Рис. 6

 

Примечание: сейчас посмотрела, как эта фигура располагается во втором квадрате Франклина (рис. 2). Оказывается, тоже вертикально! Значит, только в квадрате на рис. 1 она располагается горизонтально.

 

Фигуру можно зеркально отразить, и снова перемещать влево и вправо по квадрату (рис. 7).

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                                       Рис. 7

 

Всё совершенно аналогично выполняется и с фигурой группы С (рис. 8). Фигура, выделенная розовым цветом, “переехала” через край квадрата. При этом фигуру можно зеркально отразить (рис. 9), а вот положить её горизонтально нельзя.

 

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                                      Рис. 8

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                                       Рис. 9

 

Одним словом, хотя в квадрате выполняются и не все свойства, имеющие место для квадратов Франклина, но многие выполняются.

Ну и, разумеется, квадрат можно переносить на торе как по оси Х, так и по оси Y (а также и по обеим осям одновременно), и при этом он остаётся таким же полумагическим, то есть имеет точно такие же суммы по главным диагоналям. На рис. 10 и рис. 11 приведены два квадрата, полученные параллельным переносом на торе моего квадрата.

 

 

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

 

                                                   Рис. 10

 

9

16

18

23

33

40

57

64

54

51

45

44

30

27

6

3

13

12

22

19

37

36

61

60

52

53

43

46

28

29

4

5

11

14

20

21

35

38

59

62

56

49

47

42

32

25

8

1

15

10

24

17

39

34

63

58

50

55

41

48

26

31

2

7

 

                                                   Рис. 11

 

На рис. 10 схема расположения первых 8 чисел не изменилась, изменилась только последовательность чисел, а в квадрате на рис. 11 первые 8 чисел расположились совсем по-другому.

 

Так же, как и полумагические квадраты Франклина, мой квадрат очень просто превращается в магический простой перестановкой строк. На рис. 12 показан этот магический квадрат.

 

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

60

13

12

22

19

37

36

61

 

                                                   Рис. 12

 

И, наконец, отмечу ещё одно удивительное свойство двух дьявольски полумагических квадратов Франклина. Как мне кажется, в статье, с которой я работала, это свойство не было отмечено, хотя вполне возможно, что я его не заметила (по незнанию языка). А свойство очень красивое! Смотрите сами. Если повернуть каждый из четырёх угловых квадратов 4х4 на 90 (или на 270) градусов по часовой стрелке (или против часовой стрелки, возможен любой вариант и любая комбинация вариантов), а затем и весь квадрат повернуть на 90 (или на 270) градусов (в любом направлении), то квадрат остаётся таким же полумагическим, то есть суммы в главных диагоналях не изменяются. На рис. 13 представлен один из таких квадратов. Он получен поворотом каждого углового квадрата 4х4 в квадрате с рис. 1 и затем самого квадрата на 90 градусов по часовой стрелке.

 

49

64

1

16

54

59

6

11

15

2

63

50

12

5

60

53

56

57

8

9

51

62

3

14

10

7

58

55

13

4

61

52

17

32

33

48

22

27

38

43

47

34

31

18

44

37

28

21

24

25

40

41

19

30

35

46

42

39

26

23

45

36

29

20

 

                                                                      Рис. 13

 

К сожалению, в квадрате, построенном мной, это свойство не выполняется, потому что в этом квадрате суммы в полустроках не равны 130.

Квадрат на рис. 13 утратил часть свойств, которые выполняются для квадрата с рис. 1.

Можно поворачивать угловые квадраты и на 180 градусов, при этом даже не надо поворачивать сам квадрат, смотрите на рис. 14.

 

 

54

59

6

11

22

27

38

43

12

5

60

53

44

37

28

21

51

62

3

14

19

30

35

46

13

4

61

52

45

36

29

20

49

64

1

16

17

32

33

48

15

2

63

50

47

34

31

18

56

57

8

9

24

25

40

41

10

7

58

55

42

39

26

23

 

                                                   Рис. 14

 

А вот на 180 градусов можно поворачивать угловые квадраты и в моём полумагическом квадрате (рис. 15).

 

 

18

16

9

64

57

40

33

23

41

55

50

7

2

31

26

48

24

10

15

58

63

34

39

17

47

49

56

1

8

25

32

42

20

14

11

62

59

38

35

21

43

53

52

5

4

29

28

46

22

12

13

60

61

36

37

19

45

51

54

3

6

27

30

44

 

                                                   Рис. 15

 

Наконец, свойство, которое было отмечено и в статье на английском языке, и мной в первой части настоящей статьи: если в одной половине полумагического квадрата Франклина угловые квадраты 4х4 не поворачивать (или повернуть их на 180 градусов), а в другой половине угловые квадраты повернуть на 90 (или на 270) градусов в любом направлении, то получится магический квадрат. Иллюстрирую для первого квадрата Франклина; в левой половине угловые квадраты 4х4 повернула на 180 градусов, а в правой половине – на 90 градусов против часовой стрелки (рис. 16).

 

 

54

59

6

11

45

19

44

22

12

5

60

53

36

30

37

27

51

62

3

14

29

35

28

38

13

4

61

52

20

46

21

43

49

64

1

16

42

24

47

17

15

2

63

50

39

25

34

32

56

57

8

9

26

40

31

33

10

7

58

55

23

41

18

48

 

                                                                      Рис. 16

 

В построенном мной квадрате это свойство не выполняется.

 

 

                                                                  ***

 

Пока завершаю свой рассказ о квадратах Франклина. Читателям предлагаю разработать две предложенные мной схемы более подробно. Интуиция подсказывает мне, что такая разработка даст неплохие результаты. Если придёт вдохновение, сама попробую вникнуть глубже в эти схемы, чтобы довести их до программы.

 

Предлагаю читателям посетить физико-математический форум, где происходит обсуждение темы магических квадратов. Вот ссылка:

 

http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=3

 

(и далее page=4 и т. д.)

 

                                                                  ***

 

Страница помещена на сайт 26 февраля 2008 г.

 

27 февраля 2008 г.

 

Продолжаю уже на другой день! Тема меня не отпускает. Вы знаете, что значит – тема не отпускает? О! Это непередаваемое ощущение. Вот просыпаюсь утром, а в голове уже созрела новая идея. То есть она родилась как бы во сне, а с пробуждением заявила о себе. Ну и, конечно, грешно не реализовать идею.

 

Идеи сразу две! Буду рассказывать по порядку. Первая идея: посмотреть, по какой схеме построены полумагические квадраты Франклина восьмого порядка. Начинаю с квадрата № 1, он изображён на рис. 1. Сначала преобразую его, чтобы лучше увидеть схему. Преобразования такие: поворот на 180 градусов и параллельный перенос на торе (замечу, что точно так же я преобразовывала полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка, чтобы увидеть качели). Полученный в результате преобразований квадрат вы видите на рис. 17.

 

 

1

16

17

32

33

48

49

64

63

50

47

34

31

18

15

2

8

9

24

25

40

41

56

57

58

55

42

39

26

23

10

7

6

11

22

27

38

43

54

59

60

53

44

37

28

21

12

5

3

14

19

30

35

46

51

62

61

52

45

36

29

20

13

4

 

                                                   Рис. 17

 

И вот он – аналог качелей, в точности такой, как в полумагическом квадрате Франклина 32-ого порядка (см. вторую часть настоящей статьи)! На рис. 18 показываю образующую таблицу этого квадрата.

 

 

 

1

16

17

32

33

48

49

64

-7

8

9

24

25

40

41

56

57

2

6

11

22

27

38

43

54

59

3

3

14

19

30

35

46

51

62

-1

4

13

20

29

36

45

52

61

-1

5

12

21

28

37

44

53

60

-2

7

10

23

26

39

42

55

58

5

2

15

18

31

34

47

50

63

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

 

                                                                      Рис. 18

 

На рис. 17 выделены цветом три цикла качания качелей, не считая нулевого – начальной цепочки первых 8 чисел. Очень изящная схема! Не правда ли?

 

Теперь преобразовываю аналогично второй полумагический квадрат Франклина (рис. 2). Поворачиваю квадрат на 90 градусов против часовой стрелки, затем отражаю отноительно горизоньальной оси симметрии, и, наконец, переношу на торе. На рис. 19 вы видите полученный в результате таких преобразований квадрат.

 

 

1

16

17

32

33

48

49

64

63

50

47

34

31

18

15

2

14

3

30

19

46

35

62

51

52

61

36

45

20

29

4

13

5

12

21

28

37

44

53

60

59

54

43

38

27

22

11

6

10

7

26

23

42

39

58

55

56

57

40

41

24

25

8

9

 

                                                   Рис. 19

 

Напомню, что квадрат после таких преобразований остался таким же полумагическим, то есть суммы по главным диагоналям по-прежнему равны 252 и 268. Однако схема расположения первых 8 чисел несколько изменилась по сравнению с первым квадратом, изображённым на рис. 17. Что же делать? Я долго смотрела на этот квадрат, пытаясь как-нибудь привести в нём начальную цепочку первых 8 чисел к такому же виду, как на рис. 17. Наконец, мне это удалось. И вот родилось первое преобразование типа “плюс-минус …” для полумагических квадратов! Это преобразование комбинированное. Оно сохраняет суммы в строках и столбцах квадрата, а суммы в главных диагоналях изменяет на одну и ту же величину, по одной диагонали +24, а по другой диагонали -24. И квадрат становится полумагическим с суммами по главным диагоналям, как в первом полумагическом квадрате Франклина, то есть 228 и 292. Вот поистине чудесное преобразование! На рис. 20 показываю матрицу этого преобразования.

 

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-11

+11

-11

+11

-11

+11

-11

+11

+9

-9

+9

-9

+9

-9

+9

-9

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-3

+3

-3

+3

-3

+3

-3

+3

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

 

                                                                      Рис. 20

 

Применяю это преобразование к квадрату с рис. 19. Получаю квадрат, изображённый на рис. 21.

 

 

2

15

18

31

34

47

50

63

64

49

48

33

32

17

16

1

3

14

19

30

35

46

51

62

61

52

45

36

29

20

13

4

6

11

22

27

38

43

54

59

60

53

44

37

28

21

12

5

7

10

23

26

39

42

55

58

57

56

41

40

25

24

9

8

 

                                                                      Рис. 21

 

Теперь схема расположения первых 8 чисел точно такая же, как в квадрате на рис. 17. Однако изменилась последовательность чисел. Это говорит о том, что можно по данному алгоритму построить целую группу таких полумагических квадратов. И на рис. 21 вы видите закрашенные циклы качания качелей. Закрашено 4 цикла (не считая нулевого). Осталось закрасить 3 цикла. Красота! Однако надо показать образующую таблицу этого квадрата, чтобы читателям стала понятней схема формирования этой таблицы и её связь с порождаемым ею квадратом. Смотрите образующую таблицу (для квадрата, изображённого на рис. 21) на рис. 22.

 

 

 

1

16

17

32

33

48

49

64

-3

4

13

20

29

36

45

52

61

-1

5

12

21

28

37

44

53

60

-3

8

9

24

25

40

41

56

57

1

7

10

23

26

39

42

55

58

1

6

11

22

27

38

43

54

59

3

3

14

19

30

35

46

51

62

1

2

15

18

31

34

47

50

63

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

 

                                                                       Рис. 22

 

Что изменилось в этой образующей таблице по сравнению с образующей таблицей квадрата с рис. 17? Последовательность чисел в начальной цепочке, а, следовательно, столбец разностей. И ещё расположение максимальных чисел в 3 столбцах таблицы. Всё остальное подчинено абсолютно тем же законам.

 

Я ещё в первой части статьи увидела, что оба квадрата Франклина восьмого порядка связаны между собой. Теперь это нашло подтверждение.

 

Вы готовы запрограммировать эту схему для построения полумагических квадратов восьмого порядка, подобных квадратам Франклина? Я пока не готова. Надо подумать немного над этой хитрой и очень изящной схемой. Но теперь имеется два конкретных примера (да ещё третий – для полумагического квадрата 32-ого порядка), есть что анализировать.

 

Продолжение этой темы смотрите после рассказа о второй идее.

 

                                               ***

 

28 февраля 2008 г.

 

Рассказываю о второй идее. Интересно, знал ли Франклин метод построения составных квадратов? Наверное, нет. Иначе он обязательно построил бы составной дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка. Это я и сделаю сейчас. Как знают читатели, метод построения составных магических квадратов является универсальным методом, который годится для построения всех типов магических квадратов: ассоциативных, пандиагональных, идеальных. Применение метода не раз было показано в моих статьях. Теперь я подумала: а нельзя ли этим методом построить дьявольски полумагический квадрат? Кому-нибудь ещё приходила в голову такая идея? И я сразу реализовала эту идею. В качестве базового и основного квадрата взяла один и тот же квадрат – первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка (рис. 1). На рис. 23 вы видите матрицу для построения составного квадрата. Для краткости я не пишу в ячейках aij, а только прибавляемую константу.

 

 

+3264

+3840

+192

+768

+1216

+1792

+2240

+2816

+832

+128

+3904

+3200

+2880

+2176

+1856

+1152

+3328

+3776

+256

+704

+1280

+1728

+2304

+2752

+640

+320

+3712

+3392

+2688

+2368

+1664

+1344

+3456

+3648

+384

+576

+1408

+1600

+2432

+2624

+512

+448

+3584

+3520

+2560

+2496

+1536

+1472

+3136

+3968

+64

+896

+1088

+1920

+2112

+2944

+960

+0

+4032

+3072

+3008

+2048

+1984

+1024

 

                                                                      Рис. 23

 

Интересно отметить, что если смотреть на эту матрицу как на квадрат восьмого порядка, то есть квадрат, заполненный прибавляемыми константами, то это будет нетрадиционный дьявольски полумагический квадрат. Вот сколько титулов! Магическая константа этого квадрата равна 16128 (суммы по строкам и столбцам квадрата), сумма по одной диагонали равна 14080=16128-2048, сумма по другой диагонали равна 18176=16128+2048. В этом квадрате выполняются все свойства квадратов Франклина восьмого порядка. Например, сумма чисел в выделенных цветом фигурах групп В и С равна магической константе квадрата. И поэтому вполне закономерно, что эта матрица порождает дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка.

 

По этой матрице квадрат 64-ого порядка, конечно, можно заполнить и вручную. Однако процесс очень длинный и утомительный, и лучше всего выполнить его с помощью компьютера. Составив маленькую программку, вы получите квадрат в одно мгновение.

 

На рис. 24 показываю одну четвертинку квадрата – первые 16 столбцов. Достроить квадрат читатели могут самостоятельно.

 

 

3316

3325

3268

3277

3284

3293

3300

3309

3892

3901

3844

3853

3860

3869

3876

3885

3278

3267

3326

3315

3310

3299

3294

3283

3854

3843

3902

3891

3886

3875

3870

3859

3317

3324

3269

3276

3285

3292

3301

3308

3893

3900

3845

3852

3861

3868

3877

3884

3275

3270

3323

3318

3307

3302

3291

3286

3851

3846

3899

3894

3883

3878

3867

3862

3319

3322

3271

3274

3287

3290

3303

3306

3895

3898

3847

3850

3863

3866

3879

3882

3273

3272

3321

3320

3305

3304

3289

3288

3849

3848

3897

3896

3881

3880

3865

3864

3314

3327

3266

3279

3282

3295

3298

3311

3890

3903

3842

3855

3858

3871

3874

3887

3280

3265

3328

3313

3312

3297

3296

3281

3856

3841

3904

3889

3888

3873

3872

3857

884

893

836

845

852

861

868

877

180

189

132

141

148

157

164

173

846

835

894

883

878

867

862

851

142

131

190

179

174

163

158

147

885

892

837

844

853

860

869

876

181

188

133

140

149

156

165

172

843

838

891

886

875

870

859

854

139

134

187

182

171

166

155

150

887

890

839

842

855

858

871

874

183

186

135

138

151

154

167

170

841

840

889

888

873

872

857

856

137

136

185

184

169

168

153

152

882

895

834

847

850

863

866

879

178

191

130

143

146

159

162

175

848

833

896

881

880

865

864

849

144

129

192

177

176

161

160

145

3380

3389

3332

3341

3348

3357

3364

3373

3828

3837

3780

3789

3796

3805

3812

3821

3342

3331

3390

3379

3374

3363

3358

3347

3790

3779

3838

3827

3822

3811

3806

3795

3381

3388

3333

3340

3349

3356

3365

3372

3829

3836

3781

3788

3797

3804

3813

3820

3339

3334

3387

3382

3371

3366

3355

3350

3787

3782

3835

3830

3819

3814

3803

3798

3383

3386

3335

3338

3351

3354

3367

3370

3831

3834

3783

3786

3799

3802

3815

3818

3337

3336

3385

3384

3369

3368

3353

3352

3785

3784

3833

3832

3817

3816

3801

3800

3378

3391

3330

3343

3346

3359

3362

3375

3826

3839

3778

3791

3794

3807

3810

3823

3344

3329

3392

3377

3376

3361

3360

3345

3792

3777

3840

3825

3824

3809

3808

3793

692

701

644

653

660

669

676

685

372

381

324

333

340

349

356

365

654

643

702

691

686

675

670

659

334

323

382

371

366

355

350

339

693

700

645

652

661

668

677

684

373

380

325

332

341

348

357

364

651

646

699

694

683

678

667

662

331

326

379

374

363

358

347

342

695

698

647

650

663

666

679

682

375

378

327

330

343

346

359

362

649

648

697

696

681

680

665

664

329

328

377

376

361

360

345

344

690

703

642

655

658

671

674

687

370

383

322

335

338

351

354

367

656

641

704

689

688

673

672

657

336

321

384

369

368

353

352

337

3508

3517

3460

3469

3476

3485

3492

3501

3700

3709

3652

3661

3668

3677

3684

3693

3470

3459

3518

3507

3502

3491

3486

3475

3662

3651

3710

3699

3694

3683

3678

3667

3509

3516

3461

3468

3477

3484

3493

3500

3701

3708

3653

3660

3669

3676

3685

3692

3467

3462

3515

3510

3499

3494

3483

3478

3659

3654

3707

3702

3691

3686

3675

3670

3511

3514

3463

3466

3479

3482

3495

3498

3703

3706

3655

3658

3671

3674

3687

3690

3465

3464

3513

3512

3497

3496

3481

3480

3657

3656

3705

3704

3689

3688

3673

3672

3506

3519

3458

3471

3474

3487

3490

3503

3698

3711

3650

3663

3666

3679

3682

3695

3472

3457

3520

3505

3504

3489

3488

3473

3664

3649

3712

3697

3696

3681

3680

3665

564

573

516

525

532

541

548

557

500

509

452

461

468

477

484

493

526

515

574

563

558

547

542

531

462

451

510

499

494

483

478

467

565

572

517

524

533

540

549

556

501

508

453

460

469

476

485

492

523

518

571

566

555

550

539

534

459

454

507

502

491

486

475

470

567

570

519

522

535

538

551

554

503

506

455

458

471

474

487

490

521

520

569

568

553

552

537

536

457

456

505

504

489

488

473

472

562

575

514

527

530

543

546

559

498

511

450

463

466

479

482

495

528

513

576

561

560

545

544

529

464

449

512

497

496

481

480

465

3188

3197

3140

3149

3156

3165

3172

3181

4020

4029

3972

3981

3988

3997

4004

4013

3150

3139

3198

3187

3182

3171

3166

3155

3982

3971

4030

4019

4014

4003

3998

3987

3189

3196

3141

3148

3157

3164

3173

3180

4021

4028

3973

3980

3989

3996

4005

4012

3147

3142

3195

3190

3179

3174

3163

3158

3979

3974

4027

4022

4011

4006

3995

3990

3191

3194

3143

3146

3159

3162

3175

3178

4023

4026

3975

3978

3991

3994

4007

4010

3145

3144

3193

3192

3177

3176

3161

3160

3977

3976

4025

4024

4009

4008

3993

3992

3186

3199

3138

3151

3154

3167

3170

3183

4018

4031

3970

3983

3986

3999

4002

4015

3152

3137

3200

3185

3184

3169

3168

3153

3984

3969

4032

4017

4016

4001

4000

3985

1012

1021

964

973

980

989

996

1005

52

61

4

13

20

29

36

45

974

963

1022

1011

1006

995

990

979

14

3

62

51

46

35

30

19

1013

1020

965

972

981

988

997

1004

53

60

5

12

21

28

37

44

971

966

1019

1014

1003

998

987

982

11

6

59

54

43

38

27

22

1015

1018

967

970

983

986

999

1002

55

58

7

10

23

26

39

42

969

968

1017

1016

1001

1000

985

984

9

8

57

56

41

40

25

24

1010

1023

962

975

978

991

994

1007

50

63

2

15

18

31

34

47

976

961

1024

1009

1008

993

992

977

16

1

64

49

48

33

32

17

 

    Рис. 24

 

Магическая константа этого квадрата равна 131104, сумма по одной диагонали равна 114464=131104-16640, по другой диагонали – 147744=131104+16640.

В этом квадрате выполняются не все свойства квадратов Франклина восьмого порядка. Например, нет магической суммы в фигурах группы В. Но главное: квадрат дьявольски полумагический! То есть его можно переносить на торе. Поскольку весь квадрат очень большой и показан здесь не полностью, покажу перенос на торе для матрицы, порождающей этот квадрат (рис. 23). На рис. 25 вы видите матрицу, перенесённую на торе. Если вы построите квадрат 64-ого порядка по этой матрице, то получите перенесённый на торе квадрат, четвертинка которого показана на рис. 24. При этом суммы по диагоналям квадрата будут точно такими же, как в исходном квадрате.

 

 

+0

+4032

+3072

+3008

+2048

+1984

+1024

+960

+3840

+192

+768

+1216

+1792

+2240

+2816

+3264

+128

+3904

+3200

+2880

+2176

+1856

+1152

+832

+3776

+256

+704

+1280

+1728

+2304

+2752

+3328

+320

+3712

+3392

+2688

+2368

+1664

+1344

+640

+3648

+384

+576

+1408

+1600

+2432

+2624

+3456

+448

+3584

+3520

+2560

+2496

+1536

+1472

+512

+3968

+64

+896

+1088

+1920

+2112

+2944

+3136

 

                                                                      Рис. 25

 

А можно ли перенести этот квадрат на торе так, чтобы он начинался с числа 1 и при этом оставался таким же полумагическим, с теми же суммами по диагоналям? Думаю, что можно. Попробуйте!

 

Вполне понятно, что и базовый, и основной квадраты можно варьировать. Если взять в качестве базового и основного квадратов построенный мной квадрат (рис. 4), то полученный дьявольски полумагический квадрат 64-ого порядка будет начинаться с числа 1. На рис. 26 вы видите матрицу, по которой надо строить этот квадрат.

 

 

+0

+3520

+3072

+2944

+2624

+1984

+1536

+448

+3648

+896

+576

+1472

+1024

+2432

+2112

+3968

+384

+3136

+3456

+2560

+3008

+1600

+1920

+64

+4032

+512

+960

+1088

+1408

+2048

+2496

+3584

+128

+3392

+3200

+2816

+2752

+1856

+1664

+320

+3776

+768

+704

+1344

+1152

+2304

+2240

+3840

+256

+3264

+3328

+2688

+2880

+1728

+1792

+192

+3904

+640

+832

+1216

+1280

+2176

+2368

+3712

 

                                                                                      Рис. 26

 

Всё, сказанное выше о матрице на рис. 23, имеет место и для этой матрицы. Только фигура В в этой матрице должна занимать вертикальное, а не горизонтальное положение (как и в базовом квадрате). Суммы по диагоналям в этой матрице равны 16000 и 16256, то есть отличаются от магической константы на 128, одна сумма в минус, а другая в плюс.

 

Примечание: сегодня перечитывала отвратительный перевод английской статьи о квадратах Франклина, с которой я работала. Так вот, заметила, что там написано: в квадрате Франклина № 2 свойство для фигур В не выполняется. Да, не выполняется, если эти фигуры располагать горизонтально. А вот если их располагать вертикально, то выполняется.

 

Ну, вот, пожалуй, кратко рассказала о дьявольски полумагических квадратах 64-ого порядка. Таким образом, я пополнила семейство квадратов Франклина одним полумагическим квадратом восьмого порядка и полумагическими квадратами 64-ого порядка.

 

                                               ***

 

А теперь продолжаю рассказ о первой идее. Сегодня родилось её продолжение! Схемы построения полумагических квадратов Франклина восьмого и 32-ого порядка рассмотрены, установлена аналогия с качелями. А полумагический квадрат 16-ого порядка Франклина забыт! Вот и решила посмотреть на схему построения этого квадрата. Она должна быть такой же, как для квадратов восьмого и 32-ого порядка.

Проверим!

 Итак, преобразую дьявольски полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка, который был рассмотрен мной в первой части настоящей статьи. Преобразования применю такие: поворот на 180 градусов и параллельный перенос на торе. Полученный в результате этих преобразований квадрат вы видите на рис. 27. Как вы уже знаете, этот квадрат точно такой же полумагический, как и исходный квадрат Франклина, то есть у него такие же суммы по главным диагоналям: 1928 и 2184.

 

 

1

32

33

64

65

96

97

128

129

160

161

192

193

224

225

256

255

226

223

194

191

162

159

130

127

98

95

66

63

34

31

2

3

30

35

62

67

94

99

126

131

158

163

190

195

222

227

254

253

228

221

196

189

164

157

132

125

100

93

68

61

36

29

4

16

17

48

49

80

81

112

113

144

145

176

177

208

209

240

241

242

239

210

207

178

175

146

143

114

111

82

79

50

47

18

15

14

19

46

51

78

83

110

115

142

147

174

179

206

211

238

243

244

237

212

205

180

173

148

141

116

109

84

77

52

45

20

13

12

21

44

53

76

85

108

117

140

149

172

181

204

213

236

245

246

235

214

203

182

171

150

139

118

107

86

75

54

43

22

11

10

23

42

55

74

87

106

119

138

151

170

183

202

215

234

247

248

233

216

201

184

169

152

137

120

105

88

73

56

41

24

9

5

28

37

60

69

92

101

124

133

156

165

188

197

220

229

252

251

230

219

198

187

166

155

134

123

102

91

70

59

38

27

6

7

26

39

58

71

90

103

122

135

154

167

186

199

218

231

250