КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

Часть V

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 7 марта 2008 г.

 

В предыдущих частях настоящей статьи я построила дьявольски полумагические квадраты четвёртого, восьмого и 16-ого порядков, запрограммировав схему Франклина, которую получила из его дьявольски полумагических квадратов восьмого порядка. Более того, мне удалось построить пандиагональные квадраты восьмого порядка по этой схеме. А вот пандиагональные квадраты четвёртого порядка не построились. Не удалось построить и пандиагональный квадрат 16-ого порядка, хотя эту программу я не прогнала до конца (очень долго работает). Есть пандиагональный квадрат 16-ого порядка Франклина (о нём рассказано в этой статье), но он построен по другой схеме.

Теперь построю по такому же алгоритму дьявольски полумагические квадраты 12-ого порядка. Они ведь тоже должны существовать. На рис. 1 представляю образующую таблицу с начальными условиями. Эту таблицу я запрограммировала и получила дьявольски полумагические квадраты.

 

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

-11

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

12-I

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K-L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M-N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-O

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O-P

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P-Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q-R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

k=11

 

                                                     Рис. 1

 

Подчеркну: у меня нет ни одного дьявольски полумагического квадрата 12-ого порядка, подобного дьявольски полумагическим квадратам Франклина. Применяю аналог метода качелей, который получила из дьявольски полумагического квадрата Франклина восьмого порядка. Точно таким же способом я построила дьявольски полумагические квадраты четвёртого порядка (см. предыдущую часть настоящей статьи). Отмечу, что здесь, как и для квадратов 16-ого порядка, я не варьирую циклы качания качелей.

Программа написана быстро, на основе такой же программы для квадратов 16-ого порядка. Сначала выполнила программу без блока проверки пандиагональности построенных квадратов. Этот вариант мгновенно начал выдавать квадраты, их было так много, что я не стала выполнять программу до конца и прервала её. Показываю первые 7 дьявольски полумагических квадратов, выданных программой:

 

№ 1

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 2

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 3

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 4

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 5

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 6

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 7

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

Рисую самый первый квадрат и исследую его (рис. 2).

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                      Рис. 2

 

Квадрат имеет такие суммы по диагоналям: 798=870-72 и 942=870+72. Причём такие суммы не только в главных диагоналях, но и в разломанных, с чередованием точно через одну диагональ. Это обеспечивает дьявольскую полумагичность квадрата.

Квадрат обладает многими изящными свойствами, подобно всем дьвольски полумагическим квадратам Франклина. Вот некоторые свойства.

Сумма чисел в вершинах квадрата равна 1/3 магической константы квадрата, то есть 290. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, тоже равна 290. Такую же сумму дают числа в вершинах любого квадрата 6х6, находящегося внутри квадрата. Сумма чисел по периметру вписанного квадрата 6х6 равна удвоенной магической константе квадрата, то есть 1740. Иллюстрирую это свойство на рис. 3. Причём эта фигура может “переезжать” через любые края квадрата. На рис. 3 зелёная фигура “переехала” через нижний (или верхний) край квадрата, а белая фигура – через левый (или правый) край.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                      Рис. 3

 

Фигуру можно “разрезать” как по вертикальной, так и по горизонтальной оси симметрии. Тогда сумма чисел в таких половинках будет равна магической константе квадрата. И, конечно, эти фигуры тоже могут перемещаться по квадрату и “переезжать” через края, но только через верхний и нижний для горизонтальных половинок и  через левый и правый – для вертикальных половинок. На рис. 4 иллюстрирую это свойство для горизонтальных половинок.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                      Рис. 4

 

Фигуры группы В (по классификации для квадратов восьмого порядка; см. первую часть настоящей статьи) тоже имеют постоянную сумму, она равна 2/3 магической константы квадрата, то есть 580. Показываю эти фигуры в квадрате на рис. 5.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                      Рис. 5

 

Эти фигуры тоже могут “переезжать” через верхний и нижний края квадрата.

Вертикально эти фигуры располагать нельзя, то есть суммы в них уже не будут равны 2/3 магической константы квадрата. Однако если расположить “правую” и “левую” вертикальные фигуры вместе, то сумма чисел в них будет равна 4/3 магической константы квадрата. Смотрите на рис. 6. Фигура может “переезжать” через любой край квадрата.  Бирюзовая фигура на рис. 6 “переехала” через левый (или правый) край квадрата. На рис. 7 показана фигура, “переехавшая” через нижний (или верхний) край.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                     Рис. 6

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                       Рис. 7

 

Вот такие изящные свойства я обнаружила в этом дьявольски полумагическом квадрате.

Предлагаю читателям посмотреть на связи между квадратами данной группы, используя приведённые 7 квадратов. Поскольку циклы здесь не варьировались, то все квадраты отличаются друг от друга только переставленными строками, что равносильно перестановке чисел в начальной цепочке.

 

                                                        ***

 

Затем вставляю в программу блок проверки пандиагональности построенных квадратов. И… программа не выдаёт ни одного квадрата! Странно. Сейчас я выполнила программу до конца (в отличие от программы для квадратов 16-ого порядка). Почему же нет пандиагональных квадратов? Можно попробовать изменить начальные условия в образующей таблице, а именно: поставить числа 1 и 12 на другое место. Но даст ли это что-нибудь? Надо проверить. Для этого придётся сделать новый вариант программы.

А, может быть, надо попробовать варьировать циклы качания качелей (что равносильно перестановке столбцов в квадрате)? Одним словом, надо искать ответ на этот интересный вопрос.

 

                                                        ***

 

Приходите на физико-математический форум, чтобы участвовать в обсуждении темы магических квадратов. Вот адрес:

 

  http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=5

 

Кстати, на днях там мне предложили превратить в магический один очень интересный полумагический квадрат 12-ого порядка. Вот он (рис. 8):

 

1

24

35

46

57

68

79

90

101

112

123

134

143

130

117

104

91

78

65

52

39

26

13

12

14

3

136

125

114

103

92

81

70

59

48

25

36

37

50

63

76

89

102

115

128

141

10

23

121

144

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

119

106

93

80

67

54

41

28

15

2

133

132

38

27

16

5

138

127

116

105

94

83

72

49

60

61

74

87

100

113

126

139

8

21

34

47

97

120

131

142

9

20

31

42

53

64

75

86

95

82

69

56

43

30

17

4

135

122

109

108

62

51

40

29

18

7

140

129

118

107

96

73

84

85

98

111

124

137

6

19

32

45

58

71

 

                                                           Рис. 8

 

Интереснейший квадрат! Автор сообщения Н. Орделли пишет, что нашёл этот квадрат в копии старинной рукописи – трактата Агриппа “Астрологические предсказания” (Лион, 1526 г.).

Посмотрите, как оригинально расположены первые 12 чисел. И снова я вижу аналог качелей. Но каких интересных качелей! Начнём с нижней строки, в ней стоит число 6 начальной цепочки, в следующей строке (двигаемся вверх) стоит число 7, и шаг здесь через 0 (ноль) ячеек влево, далее, к числу 4 в следующей строке шаг – через 1 ячейку вправо, к следующему числу 9 – через 2 ячейки влево, к числу 8 – через 3 ячейки вправо, и так далее. Вот это да! Я таких качелей ещё не встречала. Смотрите далее: в каждой строке два рядом стоящих числа (начиная от числа начальной цепочки) отличаются друг от друга на одну и ту же величину, в одних строках эта величина равна 11, а в других – 13. Думаю, что можно сделать соответствующую образующую таблицу для этих интереснейших качелей и построить множество подобных полумагических квадратов.

Квадрат имеет одинаковые суммы по главным диагоналям – 1014, что отличается от магической константы на 144, то есть на 122. Если обозначить порядок квадрата через n, то формула для сумм по главным диагоналям этого полумагического квадрата будет такой:

 

       S=n*(n+1)2/2

 

Можно предположить, что есть подобные полумагические квадраты других чётно-чётных порядков. Например, для квадрата 16-ого порядка по этой формуле получаем, что суммы по главным диагоналям в нём должны быть равны 2312, что отличается от магической константы квадрата 16-ого порядка на 256, то есть на 162.

Квадрат элементарно превращается в магический простой перестановкой строк, причём решений очень много. Вот один из магических квадратов, который выдала мне программа (рис. 9):

 

 

1

24

35

46

57

68

79

90

101

112

123

134

143

130

117

104

91

78

65

52

39

26

13

12

14

3

136

125

114

103

92

81

70

59

48

25

36

37

50

63

76

89

102

115

128

141

10

23

121

144

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

119

106

93

80

67

54

41

28

15

2

133

132

38

27

16

5

138

127

116

105

94

83

72

49

97

120

131

142

9

20

31

42

53

64

75

86

60

61

74

87

100

113

126

139

8

21

34

47

62

51

40

29

18

7

140

129

118

107

96

73

95

82

69

56

43

30

17

4

135

122

109

108

84

85

98

111

124

137

6

19

32

45

58

71

 

                                                                       Рис. 9

 

Может быть, позже исследую этот квадрат более подробно. А читателям предлагаю начать исследование прямо сейчас. Это очень интересный квадрат!

 

Так что приходите на физико-математический форум, и вы узнаете много интересного о магических квадратах. И не только о них!

 

                                                        ***

 

   8 марта 2008 г.

 

Уф! Ну и покрутила же я свой дьявольски полумагический квадрат 12-ого порядка (см. рис. 7). И так, и сяк, и по-всякому. Но пандиагональный квадрат так и не получила. Зато получила очень интересный магический квадрат. Ну, очень красивый! Сначала напомню, что все дьявольски полумагические квадраты Франклина, а равно и мои, очень просто превращаются в магические простой перестановкой строк или столбцов. Вот и прокрутила свой дьявольски полумагический квадрат в программе перестановки строк, а затем в программе перестановки столбцов. Магические квадраты выдались мгновенно. Покажу их. На рис. 10 вы видите магический квадрат, полученный в программе перестановки строк, а на рис. 11 – магический квадрат, полученный в программе перестановки столбцов.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

 

                                                                     Рис. 10

 

 

1

24

25

48

49

72

96

73

120

97

144

121

136

129

112

105

88

81

57

64

33

40

9

16

12

13

36

37

60

61

85

84

109

108

133

132

137

128

113

104

89

80

56

65

32

41

8

17

2

23

26

47

50

71

95

74

119

98

143

122

138

127

114

103

90

79

55

66

31

42

7

18

3

22

27

46

51

70

94

75

118

99

142

123

139

126

115

102

91

78

54

67

30

43

6

19

10

15

34

39

58

63

87

82

111

106

135

130

140

125

116

101

92

77

53

68

29

44

5

20

11

14

35

38

59

62

86

83

110

107

134

131

141

124

117

100

93

76

52

69

28

45

4

21

 

                                                                      Рис. 11

 

Программу перестановки столбцов я выполнила полностью, однако пандиагональный квадрат так и не получился, то есть моё предположение о том, что варьирование циклов качания качелей может дать пандиагональный квадрат, оказалось неверным. Значит, решение задачи построения пандиагонального квадрата по этому алгоритму надо искать в другом месте, если вообще такой квадрат существует.

Необходимо отметить, что в обеих программах строится не единственный магический квадрат, решений очень много. Я не выполняла программы до конца (при построении магических квадратов), приведённые квадраты выдались программами самыми первыми.

 

А сейчас остановлюсь подробнее на магическом квадрате с рис. 10. Посмотрите, как стройно в нём переставлены строки! Интересно отметить, что суммы по разломанным диагоналям в этом квадрате имеют очень строгое чередование. По одному направлению эти суммы такие: 726, 870, 726, 870, 726, 870, 1014, 870, 1014, 870, 1014. По другому направлению имеем такие суммы: 1014, 870, 1014, 870, 1014, 870, 726, 870, 726, 870, 726. Красивое чередование!

Далее следует заметить, что магический квадрат с рис. 10 сохранил некоторые свойства дьявольски полумагического квадрата с рис. 7, из которого он получен. То есть это не простой магический квадрат, а квадрат, обладающий некоторыми изящными свойствами!

И вот мне пришла в голову мысль: а не имеем ли мы алгоритм построения магических квадратов, подобных полумагическим квадратам Франклина?

Беру второй дьявольски полумагический квадрат 12-ого порядка, который построен мной по программе (см. выше 7 таких квадратов) и тоже превращаю его в магический по программе перестановки строк. На рис. 12 вы видите полученный магический квадрат. Он тоже выдался программой первым.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

 

                                                                       Рис. 12

 

Ну, во-первых, надо отметить, что дьявольски полумагические квадраты № 1 и № 2 отличаются друг от друга всего двумя переставленными строками. Поэтому и полученные из них магические квадраты тоже отличаются теми же переставленными строками.

Посмотрите на магический квадрат, полученный из квадрата № 2. Строки в нём переставлены так же стройно, как и в квадрате, полученном из квадрата № 1! Суммы по разломанным диагоналям имеют точно такие же значения.

Рисую образующую таблицу магического квадрата с рис. 12 (рис. 13):

 

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

-11

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

10

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

-5

7

18

31

42

55

66

79

90

103

114

127

138

1

6

19

30

43

54

67

78

91

102

115

126

139

3

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

-7

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

-1

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

7

4

21

28

45

52

69

76

93

100

117

124

141

-1

5

20

29

44

53

68

77

92

101

116

125

140

-4

9

16

33

40

57

64

81

88

105

112

129

136

1

8

17

32

41

56

65

80

89

104

113

128

137

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

k=11

 

                                                                       Рис. 13

 

Всё получается! Да и не могло не получиться, потому что эта таблица просто отражает перестановку строк в дьявольски полумагическом квадрате, построенном по такой же таблице.

 

Итак, имеем

 

метод качелей для построения магических квадратов 12-ого порядка,

      подобных дьявольски полумагическим квадратам Франклина

 

и не только 12-ого порядка. Ведь точно такой же метод можно применить и для квадратов других чётно-чётных порядков. Дьявольски полумагические квадраты – хорошо, а магические всё-таки лучше!

 

Описываю метод подробно. Берём образующую таблицу с рис. 13 в общем виде с начальными условиями, эту таблицу вы видите на рис. 14.

 

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

-11

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

12-I

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K-L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M-N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-O

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O-P

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P-Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q-R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

k=11

 

                                                                       Рис. 14

 

Надо показать, как будут располагаться числа начальной цепочки в самом квадрате, порождаемом этой образующей таблицей (рис. 15), потому что это будет несколько другое расположение, нежели в дьявольски полумагическом квадрате.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Рис. 15

 

Всё остальное точно так же, как было в алгоритме для дьявольски полумагических квадратов. Делаю новый вариант программы (для образующей таблицы с рис. 14), теперь уже для построения магических квадратов по схеме Франклина. Пандиагональные квадраты не получились, так хоть магические построить!

 

Да! Гипотеза оказалась абсолютно верной. Программа выдаёт магические квадраты, причём в очень большом количестве. Не стала выполнять программу до конца. Ну, это вполне понятно: всё множество дьявольски полумагических квадратов (а их, как помнят читатели, программа выдаёт огромное количество) данным алгоритмом отображается на множество магических квадратов. И их будет точно столько же! Ведь каждый дьявольски полумагический квадрат может быть превращён в магический именно такой стройной перестановкой строк, которая и заложена в данный алгоритм. Восторг!

Я задала в программе значение переменной I=3, в отличие от дьявольски полумагических квадратов, которые получила при I=2. И вот они – первые три магических квадрата, выданные программой.

 

№ 1

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

 № 2

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

 № 3

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

Покажу теперь матрицу с рис. 15, заполнив её квадратом № 1 (рис. 16).

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

134

131

110

107

86

83

62

59

38

35

14

11

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

135

130

111

106

87

82

63

58

39

34

15

10

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

143

122

119

98

95

74

71

50

47

26

23

2

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

6

19

30

43

54

67

78

91

102

115

126

139

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

8

17

32

41

56

65

80

89

104

113

128

137

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

9

16

33

40

57

64

81

88

105

112

129

136

 

                                                                      Рис. 16

 

Выделила белым цветом первый цикл качания качелей. Обратите внимание: как бы ни была расположена начальная цепочка, числа в цикле в точности повторяют это расположение, они словно “прилипают” к числам начальной цепочки. Числа следующего цикла стоят рядом с числами первого цикла, и так далее.

В этом квадрате точно такие же значения сумм по разломанным диагоналям: 726, 870 и 1014 и с таким же строгим чередованием.

Предлагаю читателям исследовать свойства магических квадратов данной группы. Мне не хочется всё снова повторять, так как я показывала эти свойства много раз для дьявольски полумагических квадратов. Покажу только одно свойство – для фигуры группы С (рис. 17):

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

134

131

110

107

86

83

62

59

38

35

14

11

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

135

130

111

106

87

82

63

58

39

34

15

10

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

143

122

119

98

95

74

71

50

47

26

23

2

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

6

19

30

43

54

67

78

91

102

115

126

139

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

8

17

32

41

56

65

80

89

104

113

128

137

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

9

16

33

40

57

64

81

88

105

112

129

136

 

                                                    Рис. 17

 

Хотя квадрат не является ни дьявольски полумагическим, ни дьявольским, тем не менее, фигура может “переезжать” через края квадрата с сохранением в ней суммы чисел. Удивительное свойство!

 

Как я уже отметила, из дьявольски полумагического квадрата перестановкой строк получается не один магический квадрат. И любую такую схему перестановки можно взять за основу для построения магического квадрата! Вот покажу ещё один магический квадрат, который программа выдала под № 37 (рис. 18) [исходный – дьявольски полумагический квадрат № 2]. В нём совсем другая схема перестановки строк, но не менее стройная и красивая. Оцените сами!

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

 

                                                   Рис. 18

 

Если вам больше понравилась эта схема, нарисуйте образующую таблицу для этой схемы и запрограммируйте её. Вы получите программу для построения группы магических квадратов 12-ого порядка, все квадраты данной группы будут по структуре похожи на квадрат с рис. 18. Вот какое интересное я сделала открытие. Не правда ли?

 

                                               ***

 

А теперь вернёмся к квадратам восьмого порядка. Как помнят читатели, для порядка 8 построены даже пандиагональные квадраты по схеме Франклина. Поэтому там я почти не обратила внимания на связь между дьявольски полумагическими и магическими квадратами. Имеет ли место для этих квадратов только что описанный алгоритм?

На рис. 19 вы видите один их дьявольски полумагических квадратов восьмого порядка, построенных мной по схеме Франклина.

 

 

1

16

17

40

25

48

49

64

59

54

43

30

35

22

11

6

8

9

24

33

32

41

56

57

60

53

44

29

36

21

12

5

2

15

18

39

26

47

50

63

61

52

45

28

37

20

13

4

7

10

23

34

31

42

55

58

62

51

46

27

38

19

14

3

 

                                                                      Рис. 19

 

Ввожу этот квадрат в свою программу перестановки строк для квадратов восьмого порядка. Здесь можно выполнить программу до конца, так как количество перестановок не очень велико. Если первую строку оставлять на месте и начинать перестановки со второй строки, то программа выдаёт 88 магических квадратов, если же переставлять все строки, то магических квадратов получено 672. Показываю самый первый вариант магического квадрата, выданный программой (рис. 20).

 

 

1

16

17

40

25

48

49

64

59

54

43

30

35

22

11

6

8

9

24

33

32

41

56

57

62

51

46

27

38

19

14

3

60

53

44

29

36

21

12

5

2

15

18

39

26

47

50

63

61

52

45

28

37

20

13

4

7

10

23

34

31

42

55

58

 

                                                                     Рис. 20

 

Снова получаем очень стройную схему перестановки строк, похожую на схему перестановки строк в квадрате 12-ого порядка. Таким образом, метод качелей, который я изобрела на основе схемы Франклина, даёт возможность строить:

дьявольски полумагические,

магические,

пандиагональные квадраты восьмого порядка.

 

В этом квадрате тоже суммы по разломанным диагоналям одного и другого направления довольно гармонично связаны. По одному направлению это такие суммы: 212, 244, 212, 260, 308, 276, 308, по другому направлению – 308, 276, 308, 260, 212, 244, 212.

Покажу образующую таблицу этого квадрата для тех, кто ещё плохо усвоил связь между образующей таблицей и порождаемым ею квадратом (см. рис. 21).

 

 

1

16

17

40

25

48

49

64

-7

8

9

24

33

32

41

56

57

5

3

14

19

38

27

46

51

62

-2

5

12

21

36

29

44

53

60

3

2

15

18

39

26

47

50

63

-5

7

10

23

34

31

42

55

58

3

4

13

20

37

28

45

52

61

-2

6

11

22

35

30

43

54

59</