КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА, ФРЕНИКЛЯ И АГРИППА

 

Если кто-то попал на эту страницу случайно, прочтите сначала предыдущую часть статьи (“Квадраты Франклина, часть V”), ибо здесь продолжение.

Продублирую преобразованный дьявольски полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка (рис. 1-2). Квадрат представлен в виде двух половинок, как бы “разрезан” по вертикали.

 

                   Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1

 

1

64

65

128

129

192

193

256

257

320

321

384

385

448

449

512

1023

962

959

898

895

834

831

770

767

706

703

642

639

578

575

514

3

62

67

126

131

190

195

254

259

318

323

382

387

446

451

510

1021

964

957

900

893

836

829

772

765

708

701

644

637

580

573

516

5

60

69

124

133

188

197

252

261

316

325

380

389

444

453

508

1019

966

955

902

891

838

827

774

763

710

699

646

635

582

571

518

7

58

71

122

135

186

199

250

263

314

327

378

391

442

455

506

1017

968

953

904

889

840

825

776

761

712

697

648

633

584

569

520

32

33

96

97

160

161

224

225

288

289

352

353

416

417

480

481

994

991

930

927

866

863

802

799

738

735

674

671

610

607

546

543

30

35

94

99

158

163

222

227

286

291

350

355

414

419

478

483

996

989

932

925

868

861

804

797

740

733

676

669

612

605

548

541

28

37

92

101

156

165

220

229

284

293

348

357

412

421

476

485

998

987

934

923

870

859

806

795

742

731

678

667

614

603

550

539

26

39

90

103

154

167

218

231

282

295

346

359

410

423

474

487

1000

985

936

921

872

857

808

793

744

729

680

665

616

601

552

537

24

41

88

105

152

169

216

233

280

297

344

361

408

425

472

489

1002

983

938

919

874

855

810

791

746

727

682

663

618

599

554

535

22

43

86

107

150

171

214

235

278

299

342

363

406

427

470

491

1004

981

940

917

876

853

812

789

748

725

684

661

620

597

556

533

20

45

84

109

148

173

212

237

276

301

340

365

404

429

468

493

1006

979

942

915

878

851

814

787

750

723

686

659

622

595

558

531

18

47

82

111

146

175

210

239

274

303

338

367

402

431

466

495

1008

977

944

913

880

849

816

785

752

721

688

657

624

593

560

529

9

56

73

120

137

184

201

248

265

312

329

376

393

440

457

504

1015

970

951

906

887

842

823

778

759

714

695

650

631

586

567

522

11

54

75

118

139

182

203

246

267

310

331

374

395

438

459

502

1013

972

949

908

885

844

821

780

757

716

693

652

629

588

565

524

13

52

77

116

141

180

205

244

269

308

333

372

397

436

461

500

1011

974

947

910

883

846

819

782

755

718

691

654

627

590

563

526

15

50

79

114

143

178

207

242

271

306

335

370

399

434

463

498

1009

976

945

912

881

848

817

784

753

720

689

656

625

592

561

528

 

                                                                       Рис. 1

 

    Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2

 

513

576

577

640

641

704

705

768

769

832

833

896

897

960

961

1024

511

450

447

386

383

322

319

258

255

194

191

130

127

66

63

2

515

574

579

638

643

702

707

766

771

830

835

894

899

958

963

1022

509

452

445

388

381

324

317

260

253

196

189

132

125

68

61

4

517

572

581

636

645

700

709

764

773

828

837

892

901

956

965

1020

507

454

443

390

379

326

315

262

251

198

187

134

123

70

59

6

519

570

583

634

647

698

711

762

775

826

839

890

903

954

967

1018

505

456

441

392

377

328

313

264

249

200

185

136

121

72

57

8

544

545

608

609

672

673

736

737

800

801

864

865

928

929

992

993

482

479

418

415

354

351

290

287

226

223

162

159

98

95

34

31

542

547

606

611

670

675

734

739

798

803

862

867

926

931

990

995

484

477

420

413

356

349

292

285

228

221

164

157

100

93

36

29

540

549

604

613

668

677

732

741

796

805

860

869

924

933

988

997

486

475

422

411

358

347

294

283

230

219

166

155

102

91

38

27

538

551

602

615

666

679

730

743

794

807

858

871

922

935

986

999

488

473

424

409

360

345

296

281

232

217

168

153

104

89

40

25

536

553

600

617

664

681

728

745

792

809

856

873

920

937

984

1001

490

471

426

407

362

343

298

279

234

215

170

151

106

87

42

23

534

555

598

619

662

683

726

747

790

811

854

875

918

939

982

1003

492

469

428

405

364

341

300

277

236

213

172

149

108

85

44

21

532

557

596

621

660

685

724

749

788

813

852

877

916

941

980

1005

494

467

430

403

366

339

302

275

238

211

174

147

110

83

46

19

530

559

594

623

658

687

722

751

786

815

850

879

914

943

978

1007

496

465

432

401

368

337

304

273

240

209

176

145

112

81

48

17

521

568

585

632

649

696

713

760

777

824

841

888

905

952

969

1016

503

458

439

394

375

330

311

266

247

202

183

138

119

74

55

10

523

566

587

630

651

694

715

758

779

822

843

886

907

950

971

1014

501

460

437

396

373

332

309

268

245

204

181

140

117

76

53

12

525

564

589

628

653

692

717

756

781

820

845

884

909

948

973

1012

499

462

435

398

371

334

307

270

243

206

179

142

115

78

51

14

527

562

591

626

655

690

719

754

783

818

847

882

911

946

975

1010

497

464

433

400

369

336

305

272

241

208

177

144

113

80

49

16

 

                                                                      Рис. 2

 

Я собираюсь построить магический квадрат 32-ого порядка по очень стройной схеме, которую увидела среди множества разных схем перестановки строк при превращении полумагических квадратов в магические (по программе перестановки строк). В предыдущей части статьи были построены этим методом магические квадраты 8-ого, 16-ого и 24-ого порядков. Сначала надо расположить в матрице числа начальной цепочки первых 32 чисел по этой схеме. А затем к каждому числу начальной цепочки приписать числа из соответствующей строки полумагического квадрата, который показан на рис. 1-2. И магический квадрат готов! Очень просто и красиво. Даже образующую таблицу сочинять здесь не надо. На рис. 3-4 вы видите этот квадрат (он тоже состоит из двух равных половинок).

 

                                            Магический квадрат 32-ого порядка – часть 1                                       

 

1

64

65

128

129

192

193

256

257

320

321

384

385

448

449

512

1022

963

958

899

894

835

830

771

766

707

702

643

638

579

574

515

1021

964

957

900

893

836

829

772

765

708

701

644

637

580

573

516

7

58

71

122

135

186

199

250

263

314

327

378

391

442

455

506

8

57

72

121

136

185

200

249

264

313

328

377

392

441

456

505

1014

971

950

907

886

843

822

779

758

715

694

651

630

587

566

523

1013

972

949

908

885

844

821

780

757

716

693

652

629

588

565

524

15

50

79

114

143

178

207

242

271

306

335

370

399

434

463

498

16

49

80

113

144

177

208

241

272

305

336

369

400

433

464

497

1006

979

942

915

878

851

814

787

750

723

686

659

622

595

558

531

1005

980

941

916

877

852

813

788

749

724

685

660

621

596

557

532

23

42

87

106

151

170

215

234

279

298

343

362

407

426

471

490

24

41

88

105

152

169

216

233

280

297

344

361

408

425

472

489

998

987

934

923

870

859

806

795

742

731

678

667

614

603

550

539

997

988

933

924

869

860

805

796

741

732

677

668

613

604

549

540

31

34

95

98

159

162

223

226

287

290

351

354

415

418

479

482

32

33

96

97

160

161

224

225

288

289

352

353

416

417

480

481

995

990

931

926

867

862

803

798

739

734

675

670

611

606

547

542

996

989

932

925

868

861

804

797

740

733

676

669

612

605

548

541

26

39

90

103

154

167

218

231

282

295

346

359

410

423

474

487

25

40

89

104

153

168

217

232

281

296

345

360

409

424

473

488

1003

982

939

918

875

854

811

790

747

726

683

662

619

598

555

534

1004

981

940

917

876

853

812

789

748

725

684

661

620

597

556

533

18

47

82

111

146

175

210

239

274

303

338

367

402

431

466

495

17

48

81

112

145

176

209

240

273

304

337

368

401

432

465

496

1011

974

947

910

883

846

819

782

755

718

691

654

627

590

563

526

1012

973

948

909

884

845

820

781

756

717

692

653

628

589

564

525

10

55

74

119

138

183

202

247

266

311

330

375

394

439

458

503

9

56

73

120

137

184

201

248

265

312

329

376

393

440

457

504

1019

966

955

902

891

838

827

774

763

710

699

646

635

582

571

518

1020

965

956

901

892

837

828

773

764

709

700

645

636

581

572

517

2

63

66

127

130

191

194

255

258

319

322

383

386

447

450

511

 

                                                                       Рис. 3

 

Магический квадрат 32-ого порядка – часть 2

 

513

576

577

640

641

704

705

768

769

832

833

896

897

960

961

1024

510

451

446

387

382

323

318

259

254

195

190

131

126

67

62

3

509

452

445

388

381

324

317

260

253

196

189

132

125

68

61

4

519

570

583

634

647

698

711

762

775

826

839

890

903

954

967

1018

520

569

584

633

648

697

712

761

776

825

840

889

904

953

968

1017

502

459

438

395

374

331

310

267

246

203

182

139

118

75

54

11

501

460

437

396

373

332

309

268

245

204

181

140

117

76

53

12

527

562

591

626

655

690

719

754

783

818

847

882

911

946

975

1010

528

561

592

625

656

689

720

753

784

817

848

881

912

945

976

1009

494

467

430

403

366

339

302

275

238

211

174

147

110

83

46

19

493

468

429

404

365

340

301

276

237

212

173

148

109

84

45

20

535

554

599

618

663

682

727

746

791

810

855

874

919

938

983

1002

536

553

600

617

664

681

728

745

792

809

856

873

920

937

984

1001

486

475

422

411

358

347

294

283

230

219

166

155

102

91

38

27

485

476

421

412

357

348

293

284

229

220

165

156

101

92

37

28

543

546

607

610

671

674

735

738

799

802

863

866

927

930

991

994

544

545

608

609

672

673

736

737

800

801

864

865

928

929

992

993

483

478

419

414

355

350

291

286

227

222

163

158

99

94

35

30

484

477

420

413

356

349

292

285

228

221

164

157

100

93

36

29

538

551

602

615

666

679

730

743

794

807

858

871

922

935

986

999

537

552

601

616

665

680

729

744

793

808

857

872

921

936

985

1000

491

470

427

406

363

342

299

278

235

214

171

150

107

86

43

22

492

469

428

405

364

341

300

277

236

213

172

149

108

85

44

21

530

559

594

623

658

687

722

751

786

815

850

879

914

943

978

1007

529

560

593

624

657

688

721

752

785

816

849

880

913

944

977

1008

499

462

435

398

371

334

307

270

243

206

179

142

115

78

51

14

500

461

436

397

372

333

308

269

244

205

180

141

116

77

52

13

522

567

586

631

650

695

714

759

778

823

842

887

906

951

970

1015

521

568

585

632

649

696

713

760

777

824

841

888

905

952

969

1016

507

454

443

390

379

326

315

262

251

198

187

134

123

70

59

6

508

453

444

389

380

325

316

261

252

197

188

133

124

69

60

5

514

575

578

639

642

703

706

767

770

831

834

895

898

959

962

1023

 

                                                                      Рис. 4

 

Вот какой красивый магический квадрат! Он действительно магический (я не ошибаюсь, называя его магическим, в отличие от автора статьи, из которой я взяла полумагический квадрат Франклина).

В этом квадрате суммы по разломанным диагоналям подчинены закономерностям, которые были установлены для предыдущих частных решений данной группы. Они имеют такие значения: 15376, 16400 и 17424 со строгим чередованием. Средняя сумма – это магическая константа квадрата, а две крайние отличаются от неё на 1024=322, одна в минус, а другая в плюс.

 

Следующий магический квадрат, который можно построить по этому алгоритму – квадрат 40-ого порядка. Такого полумагического квадрата у меня нет, и наборов чисел в строках, следовательно, не имеется. Я покажу здесь часть образующей таблицы для этого квадрата (рис. 5), а читателям предлагается заполнить таблицу до конца и затем написать по этой таблице магический квадрат. Напишите мне, получился ли у вас магический квадрат.

 

 

 

1

80

81

160

161

240

241

1360

1361

1440

1441

1520

1521

1600

-2

3

78

83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1598

-1

4

77

84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1597

-3

7

74

87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1594

-1

8

73

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1593

-3

11

70

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1590

-1

12

69

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1589

-3

15

66

95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1586

-1

16

65

96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1585

-3

19

62

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1582

-1

20

61

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1581

-3

23

58

103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1578

-1

24

57

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1577

-3

27

54

107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1574

-1

28

53

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1573

-3

31

50

111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1570

-1

32

49

112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1569

-3

35

46

115

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1566

-1

36

45

116

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1565

-3

39

42

119

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1562

-1

40

41

120

121

200

201

280

1321

1400

1401

1480

1481

1560

1561

2

38

43

118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1563

1

37

44

117

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1564

3

34

47

114

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1567

1

33

48

113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1568

3

30

51

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1571

1

29

52

109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1572

3

26

55

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1575

1

25

56

105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1576

3

22

59

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1579

1

21

60

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1580

3

18

63

98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1583

1

17

64

97

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

1584

3

14

67

94

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1587

1

13

68

93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1588

3

10

71

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1591

1

9

72

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1592

3

6

75

86

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1595

1

5

76

85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1596

3

2

79

82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1599

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=33

k=34

k=35

k=36

k=37

k=38

k=39

 

                                                                         Рис. 5

 

По заполненной части образующей таблицы легко проверить суммы в двух строках квадрата – начинающихся с числа 1 и с числа 40. Например, сумма в строке, начинающейся с числа 40, вычисляется так:

 

S=40*(1 + 2 + 3 + … + 38 + 39) + 20 = 32020

 

Можно посчитать и суммы в первом и последнем столбце таблицы. Проверьте! Эти суммы тоже равны магической константе квадрата. Не вижу быстрого способа посчитать суммы по главным диагоналям. Может быть, вы придумаете такой способ.

 

А всё-таки красивый метод построения магических квадратов! Скажите, вы где-нибудь встречали такой метод? Или это изобретение принадлежит мне?

 

Итак, с магическими квадратами всё понятно. А как же быть с пандиагональными? Пандиагональные квадраты восьмого порядка мне удалось построить. А вот для следующих чётно-чётных порядков пока ничего не получилось.

Пытаюсь найти частное решение для пандиагонального квадрата 16-ого порядка, используя частное решение для магического квадрата (см. предыдущую часть настоящей статьи). Смотрите, на рис. 6 показан магический квадрат восьмого порядка, построенный изобретённым мной методом.

 

1

16

25

24

41

40

49

64

62

51

38

43

22

27

14

3

61

52

37

44

21

28

13

4

7

10

31

18

47

34

55

58

8

9

32

17

48

33

56

57

59

54

35

46

19

30

11

6

60

53

36

45

20

29

12

5

2

15

26

23

42

39

50

63

 

                                                    Рис. 6

 

Можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный перестановкой строк? Ну, эту задачу решаю в два счёта. Ввожу квадрат в программу перестановки строк, в которой есть блок проверки пандиагональности получаемых квадратов, и программа в одну минуту выдаёт мне 144 пандиагональных квадрата, это при условии, что первая строка остаётся на месте, то есть перестановка начинается со второй строки. Если переставлять все строки, понятно, что пандиагональных квадратов будет ещё больше, потому что выполнятся все параллельные переносы на торе (это ведь тоже перестановки строк). Среди этих пандиагональных квадратов ищу стройную схему перестановки, чтобы затем применить аналогичную перестановку к магическому квадрату 16-ого порядка, построенному точно так же, как квадрат на рис. 6. Вижу, например, такую схему перестановки строк (рис. 7):

 

 

1

16

25

24

41

40

49

64

60

53

36

45

20

29

12

5

2

15

26

23

42

39

50

63

59

54

35

46

19

30

11

6

7

10

31

18

47

34

55

58

62

51

38

43

22

27

14

3

8

9

32

17

48

33

56

57

61

52

37

44

21

28

13

4

 

                                                    Рис. 7

 

Стройная перестановка строк! Теперь попытаюсь сделать похожую перестановку в магическом квадрате 16-ого порядка. Дублирую этот квадрат из предыдущей части статьи (рис. 8).

 

 

1

32

33

64

65

96

97

128

129

160

161

192

193

224

225

256

254

227

222

195

190

163

158

131

126

99

94

67

62

35

30

3

253

228

221

196

189

164

157

132

125

100

93

68

61

36

29

4

7

26

39

58

71

90

103

122

135

154

167

186

199

218

231

250

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

200

217

232

249

246

235

214

203

182

171

150

139

118

107

86

75

54

43

22

11

245

236

213

204

181

172

149

140

117

108

85

76

53

44

21

12

15

18

47

50

79

82

111

114

143

146

175

178

207

210

239

242

16

17

48

49

80

81

112

113

144

145

176

177

208

209

240

241

243

238

211

206

179

174

147

142

115

110

83

78

51

46

19

14

244

237

212

205

180

173

148

141

116

109

84

77

52

45

20

13

10

23

42

55

74

87

106

119

138

151

170

183

202

215

234

247

9

24

41

56

73

88

105

120

137

152

169

184

201

216

233

248

251

230

219

198

187

166

155

134

123

102

91

70

59

38

27

6

252

229

220

197

188

165

156

133

124

101

92

69

60

37

28

5

2

31

34

63

66

95

98

127

130

159

162

191

194

223

226

255

 

                                                                    Рис. 8

 

Но как же здесь сделать аналогичную перестановку? Пока не вижу чёткого пути. Конечно, можно решать задачу и по программе перестановки строк. Но всё дело в том, что программа эта, в отличие от квадратов восьмого порядка, выполняется очень долго, и дождаться от неё результата у меня не хватает терпения. Есть ли ещё какой-либо путь решения задачи? Попробуйте-ка решить задачу. Формулирую задачу ещё раз:

 

    З А Д А Ч А

 

Превратить магический квадрат с рис. 8 в пандиагональный

перестановкой строк, или перестановкой столбцов, или

одновременной перестановкой строк и столбцов. Разрешается

также переворачивать строки. Либо доказать, что превращение

этого квадрата в пандиагональный невозможно.

 

                                                                  ***

 

Интересно здесь рассказать об аналогичной задаче о квадрате Френикля, которую мне предложили на физико-математическом форуме. Очень похожая задача! Вот сейчас поняла всю глубину этой задачи. Френикль построил магический квадрат восьмого порядка по очень красивой схеме (тоже очень похожей на качели!) и задался вопросом: можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный. В формулировке задачи, приведённой на форуме, сказано, что разрешается переставлять строки, а также переворачивать их. Видите, как похоже! Ну, покажу этот квадрат Френикля (рис. 9).

 

 

1

16

23

30

37

44

51

58

63

54

45

36

27

18

9

8

10

3

60

53

46

39

32

17

24

25

34

43

52

61

6

15

49

64

7

14

21

28

35

42

47

38

29

20

11

2

57

56

26

19

12

5

62

55

48

33

40

41

50

59

4

13

22

31

 

                                                                      Рис. 9

 

Аналогия с качелями просто потрясающая! Начинаем с числа 4 и двигаемся вверх, к числу 5 через 0 (ноль) ячеек влево, к числу 2 через 1 ячейку вправо, к числу 7 через 2 ячейки влево и так далее. Вот так оригинально расположена начальная цепочка первых 8 чисел! Далее жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей. Набор чисел в цикле, как и положено, от 9 до 16. Все числа цикла “прилипли” к числам начальной цепочки. А следом идут числа второго цикла (ячейки песочного цвета), и набор их тоже в точном соответствии с методом качелей – от 17 до 24. Вот только в формирование наборов чисел в циклах качания качелей не могу