КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

           Часть VI

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Работая над задачей построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка, я неожиданно нашла пополнение для семейства квадратов Франклина. Это пополнение в двух направлениях.

Первое: из псевдоидеальных квадратов 12-ого и 16-ого порядка получила дьявольски полумагические квадраты.

Второе: из полумагических квадратов Франклина получила пандиагональные квадраты. Как помнят читатели, которые читали все предыдущие 5 частей статьи “Квадраты Франклина”, мне удалось построить по алгоритму Франклина (для его полумагических квадратов) пандиагональные квадраты только восьмого порядка. Для высших порядков мне не удалось тогда построить пандиагональные квадраты. И вот неожиданная удача! О новых дьявольски полумагических квадратах, полученных из псевдоидеальных, расскажу позже. А сейчас о пандиагональных квадратах.

 

                                               ***

 

Итак, напоминаю читателям первый полумагический квадрат Франклина – восьмого порядка. Правда, я немного преобразовала квадрат, чтобы он стал удобнее для применения метода качелей (обо всём этом подробно рассказано в предыдущих частях статьи). На рис. 1 вы видите преобразованный полумагический квадрат Франклина.

 

 

1

16

17

32

33

48

49

64

63

50

47

34

31

18

15

2

8

9

24

25

40

41

56

57

58

55

42

39

26

23

10

7

6

11

22

27

38

43

54

59

60

53

44

37

28

21

12

5

3

14

19

30

35

46

51

62

61

52

45

36

29

20

13

4

 

                                                                       Рис. 1

 

Рассказываю подробно процесс превращения этого полумагического квадрата в пандиагональный. Делим квадрат с рис. 1 на 4 квадрата 4х4. Далее всё очень просто. Левую половину квадрата (левый верхний и левый нижний квадраты 4х4) не изменяем. Правый верхний и правый нижний квадраты 4х4 надо отразить относительно вертикальной оси симметрии и поменять местами. Вот и вся процедура. На рис. 2 показываю готовый пандиагональный квадрат.

 

 

1

16

17

32

59

54

43

38

63

50

47

34

5

12

21

28

8

9

24

25

62

51

46

35

58

55

42

39

4

13

20

29

6

11

22

27

64

49

48

33

60

53

44

37

2

15

18

31

3

14

19

30

57

56

41

40

61

52

45

36

7

10

23

26

 

                                                                       Рис. 2

 

Интересно отметить, что если правые квадраты 4х4 только отразить относительно вертикальной оси симметрии и оставить их на месте, то получится магический квадрат (см. рис. 3). Оказывается, Франклин был буквально в двух шагах от магических и пандиагональных квадратов!

 

 

1

16

17

32

64

49

48

33

63

50

47

34

2

15

18

31

8

9

24

25

57

56

41

40

58

55

42

39

7

10

23

26

6

11

22

27

59

54

43

38

60

53

44

37

5

12

21

28

3

14

19

30

62

51

46

35

61

52

45

36

4

13

20

29

 

                                                                       Рис. 3

 

К квадрату на рис. 2 можно снова применить метод качелей, и это будет новый алгоритм построения пандиагональных квадратов. Я просто покажу образующую таблицу для этого квадрата (рис. 4), не развивая процесс дальше. Любознательные читатели сделают это самостоятельно. Впрочем, можно использовать для построения пандиагональных квадратов все полумагические квадраты, которые были получены мной по программе в предыдущих частях статьи. Для этого просто надо применить к этим квадратам описанное только что преобразование двух квадратов.

 

 

1

16

17

32

57

56

41

40

-7

8

9

24

25

64

49

48

33

2

6

11

22

27

62

51

46

35

3

3

14

19

30

59

54

43

38

-4

7

10

23

26

63

50

47

34

5

2

15

18

31

58

55

42

39

-2

4

13

20

29

60

53

44

37

-1

5

12

21

28

61

52

45

36

 

 

k=1

k=2

k=3

k=7

k=6

k=5

k=4

 

                                                                       Рис. 4

 

На рис. 2 жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей, соответствующий первому столбцу образующей таблицы (k=1).

 

Теперь перехожу к квадрату следующего чётно-чётного порядка – 12-ого. Полумагический квадрат Франклина 12-ого порядка мне неизвестен. Я составила программу для построения таких квадратов (см. в предыдущих частях статьи). По этой программе получила очень много полумагических квадратов. Но не получила ни одного пандиагонального. Беру один из полумагических квадратов, построенных по программе. Вы видите его на рис. 5.

 

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

                                                                       Рис. 5

 

Применяю к этому квадрату преобразование двух квадратов. Разбиваю квадрат на 4 квадрата 6х6. Левые квадраты оставляю без изменения, а правые отражаю относительно вертикальной оси симметрии. Покажу сначала магический квадрат (промежуточный этап, когда правые квадраты остаются на месте), смотрите рис. 6.

 

 

1

24

25

48

49

72

144

121

120

97

96

73

136

129

112

105

88

81

9

16

33

40

57

64

12

13

36

37

60

61

133

132

109

108

85

84

137

128

113

104

89

80

8

17

32

41

56

65

2

23

26

47

50

71

143

122

119

98

95

74

138

127

114

103

90

79

7

18

31

42

55

66

3

22

27

46

51

70

142

123

118

99

94

75

139

126

115

102

91

78

6

19

30

43

54

67

10

15

34

39

58

63

135

130

111

106

87

82

140

125

116

101

92

77

5

20

29

44

53

68

11

14

35

38

59

62

134

131

110

107

86

83

141

124

117

100

93

76

4

21

28

45

52

69

 

                                                                       Рис. 6

 

Замечу, что в 5-ой части статьи есть интересная схема построения магических квадратов из полумагических квадратов Франклина. По этой схеме строятся магические квадраты любого порядка n=4k, k=2, 4, 6, … (в статье показаны примеры для квадратов 8-ого, 16-ого, 24-ого и 32-ого порядков). То есть магические квадраты 12-ого порядка из этой схемы выпадают. Таким образом, представленный сейчас способ восполняет этот пробел для всех квадратов порядка n=4k, k=3, 5, 7, … Ниже сказано, что он не работает только для k=1.

 

А теперь выполним второй этап – поменяем местами правые квадраты 6х6. И получаем пандиагональный квадрат, он изображён на рис. 7.

 

1

24

25

48

49

72

142

123

118

99

94

75

136

129

112

105

88

81

6

19

30

43

54

67

12

13

36

37

60

61

135

130

111

106

87

82

137

128

113

104

89

80

5

20

29

44

53

68

2

23

26

47

50

71

134

131

110

107

86

83

138

127

114

103

90

79

4

21

28

45

52

69

3

22

27

46

51

70

144

121

120

97

96

73

139

126

115

102

91

78

9

16

33

40

57

64

10

15

34

39

58

63

133

132

109

108

85

84

140

125

116

101

92

77

8

17

32

41

56

65

11

14

35

38

59

62

143

122

119

98

95

74

141

124

117

100

93

76

7

18

31

42

55

66

 

                                                                       Рис. 7

 

Итак, я представила очень простой и изящный алгоритм превращения полумагических квадратов из группы Франклина в магические и пандиагональные квадраты.

 

Конечно, покажу и превращение квадрата 16-ого порядка в пандиагональный, пропущу этап превращения в магический квадрат.

В качестве исходного возьму несколько преобразованный полумагический квадрат Франклина (рис. 8).

 

 

1

32

33

64

65

96

97

128

129

160

161

192

193

224

225

256

255

226

223

194

191

162

159

130

127

98

95

66

63

34

31

2

3

30

35

62

67

94

99

126

131

158

163

190

195

222

227

254

253

228

221

196

189

164

157

132

125

100

93

68

61

36

29

4

16

17

48

49

80

81

112

113

144

145

176

177

208

209

240

241

242

239

210

207

178

175

146

143

114

111

82

79

50

47

18

15

14

19

46

51

78

83

110

115

142

147

174

179

206

211

238

243

244

237

212

205

180

173

148

141

116

109

84

77

52

45

20

13

12

21

44

53

76

85

108

117

140

149

172

181

204

213

236

245

246

235

214

203

182

171

150

139

118

107

86

75

54

43

22

11

10

23

42

55

74

87

106

119

138

151

170

183

202

215

234

247

248

233

216

201

184

169

152

137

120

105

88

73

56

41

24

9

5

28

37

60

69

92

101

124

133

156

165

188

197

220

229

252

251

230

219

198

187

166

155

134

123

102

91

70

59

38

27

6

7

26

39

58

71

90

103

122

135

154

167

186

199

218

231

250

249

232

217

200

185

168

153

136

121

104

89

72

57

40

25

8

 

                                                                       Рис. 8

 

Разбиваю этот квадрат на 4 квадрата 8х8 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 9 вы видите полученный пандиагональный квадрат.

 

 

1

32

33

64

65

96

97

128

245

236

213

204

181

172

149

140

255

226

223

194

191

162

159

130

11

22

43

54

75

86

107

118

3

30

35

62

67

94

99

126

247

234

215

202

183

170

151

138

253

228

221

196

189

164

157

132

9

24

41

56

73

88

105

120

16

17

48

49

80

81

112

113

252

229

220

197

188

165

156

133

242

239

210

207

178

175

146

143

6

27

38

59

70

91

102

123

14

19

46

51

78

83

110

115

250

231

218

199

186

167

154

135

244

237

212

205

180

173

148

141

8

25

40

57

72

89

104

121

12

21

44

53

76

85

108

117

256

225

224

193

192

161

160

129

246

235

214

203

182

171

150

139

2

31

34

63

66

95

98

127

10

23

42

55

74

87

106

119

254

227

222

195

190

163

158

131

248

233

216

201

184

169

152

137

4

29

36

61

68

93

100

125

5

28

37

60

69

92

101

124

241

240

209

208

177

176

145

144

251

230

219

198

187

166

155

134

15

18

47

50

79

82

111

114

7

26

39

58

71

90

103

122

243

238

211

206

179

174

147

142

249

232

217

200

185

168

153

136

13

20

45

52

77

84

109

116

 

                                                                       Рис. 9

 

Ну, и у меня остался ещё один полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка. Посмотрим и его превращение в пандиагональный квадрат. Копирую этот полумагический квадрат (в преобразованном виде) (рис. 10-11); квадрат представлен в виде двух частей по 16 столбцов.

 

Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1

 

1

64

65

128

129

192

193

256

257

320

321

384

385

448

449

512

1023

962

959

898

895

834

831

770

767

706

703

642

639

578

575

514

3

62

67

126

131

190

195

254

259

318

323

382

387

446

451

510

1021

964

957

900

893

836

829

772

765

708

701

644

637

580

573

516

5

60

69

124

133

188

197

252

261

316

325

380

389

444

453

508

1019

966

955

902

891

838

827

774

763

710

699

646

635

582

571

518

7

58

71

122

135

186

199

250

263

314

327

378

391

442

455

506

1017

968

953

904

889

840

825

776

761

712

697

648

633

584

569

520

32

33

96

97

160

161

224

225

288

289

352

353

416

417

480

481

994

991

930

927

866

863

802

799

738

735

674

671

610

607

546

543

30

35

94

99

158

163

222

227

286

291

350

355

414

419

478

483

996

989

932

925

868

861

804

797

740

733

676

669

612

605

548

541

28

37

92

101

156

165

220

229

284

293

348

357

412

421

476

485

998

987

934

923

870

859

806

795

742

731

678

667

614

603

550

539

26

39

90

103

154

167

218

231

282

295

346

359

410

423

474

487

1000

985

936

921

872

857

808

793

744

729

680

665

616

601

552

537

24

41

88

105

152

169

216

233

280

297

344

361

408

425

472

489

1002

983

938

919

874

855

810

791

746

727

682

663

618

599

554

535

22

43

86

107

150

171

214

235

278

299

342

363

406

427

470

491

1004

981

940

917

876

853

812

789

748

725

684

661

620

597

556

533

20

45

84

109

148

173

212

237

276

301

340

365

404

429

468

493

1006

979

942

915

878

851

814

787

750

723

686

659

622

595

558

531

18

47

82

111

146

175

210

239

274

303

338

367

402

431

466

495

1008

977

944

913

880

849

816

785

752

721

688

657

624

593

560

529

9

56

73

120

137

184

201

248

265

312

329

376

393

440

457

504

1015

970

951

906

887

842

823

778

759

714

695

650

631

586

567

522

11

54

75

118

139

182

203

246

267

310

331

374

395

438

459

502

1013

972

949

908

885

844

821

780

757

716

693

652

629

588

565

524

13

52

77

116

141

180

205

244

269

308

333

372

397

436

461

500

1011

974

947

910

883

846

819

782

755

718

691

654

627

590

563

526

15

50

79

114

143

178

207

242

271

306

335

370

399

434

463

498

1009

976

945

912

881

848

817

784

753

720

689

656

625

592

561

528

 

                                                                       Рис. 10

 

                   Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2

 

513

576

577

640

641

704

705

768

769

832

833

896

897

960

961

1024

511

450

447

386

383

322

319

258

255

194

191

130

127

66

63

2

515

574

579

638

643

702

707

766

771

830

835

894

899

958

963

1022

509

452

445

388

381

324

317

260

253

196

189

132

125

68

61

4

517

572

581

636

645

700

709

764

773

828

837

892

901

956

965

1020

507

454

443

390

379

326

315

262

251

198

187

134

123

70

59

6

519

570

583

634

647

698

711

762

775

826

839

890

903

954

967

1018

505

456

441

392

377

328

313

264

249

200

185

136

121

72

57

8

544

545

608

609

672

673

736

737

800

801

864

865

928

929

992

993

482

479

418

415

354

351

290

287

226

223

162

159

98

95

34

31

542

547

606

611

670

675

734

739

798

803

862

867

926

931

990

995

484

477

420

413

356

349

292

285

228

221

164

157

100

93

36

29

540

549

604

613

668

677

732

741

796

805

860

869

924

933

988

997

486

475

422

411

358

347

294

283

230

219

166

155

102

91

38

27

538

551

602

615

666

679

730

743

794

807

858

871

922

935

986

999

488

473

424

409

360

345

296

281

232

217

168

153

104

89

40

25

536

553

600

617

664

681

728

745

792

809

856

873

920

937

984

1001

490

471

426

407

362

343

298

279

234

215

170

151

106

87

42

23

534

555

598

619

662

683

726

747

790

811

854

875

918

939

982

1003

492

469

428

405

364

341

300

277

236

213

172

149

108

85

44

21

532

557

596

621

660

685

724

749

788

813

852

877

916

941

980

1005

494

467

430

403

366

339

302

275

238

211

174

147

110

83

46

19

530

559

594

623

658

687

722

751

786

815

850

879

914

943

978

1007

496

465

432

401

368

337

304

273

240

209

176

145

112

81

48

17

521

568

585

632

649

696

713

760

777

824

841

888

905

952

969

1016

503

458

439

394

375

330

311

266

247

202

183

138

119

74

55

10

523

566

587

630

651

694

715

758

779

822

843

886

907

950

971

1014

501

460

437

396

373

332

309

268

245

204

181

140

117

76

53

12

525

564

589

628

653

692

717

756

781

820

845

884

909

948

973

1012

499

462

435

398

371

334

307

270

243

206

179

142

115

78

51

14

527

562

591

626

655

690

719

754

783

818

847

882

911

946

975

1010

497

464

433

400

369

336

305

272

241

208

177

144

113

80

49

16

 

                                                                      Рис. 11

 

Разбиваю квадрат на 4 квадрата 16х16 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 12-13 показан полученный пандиагональный квадрат 32-ого порядка. Замечу, что часть 1, состоящая из первых 16 столбцов, остаётся без изменения. Преобразование коснётся только части 2, в которой как раз и находятся правые квадраты 16х16.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 1

 

1

64

65

128

129

192

193

256

257

320

321

384

385

448

449

512

1023

962

959

898

895

834

831

770

767

706

703

642

639

578

575

514

3

62

67

126

131

190

195

254

259

318

323

382

387

446

451

510

1021

964

957

900

893

836

829

772

765

708

701

644

637

580

573

516

5

60

69

124

133

188

197

252

261

316

325

380

389

444

453

508

1019

966

955

902

891

838

827

774

763

710

699

646

635

582

571

518

7

58

71

122

135

186

199

250

263

314

327

378

391

442

455

506

1017

968

953

904

889

840

825

776

761

712

697

648

633

584

569

520

32

33

96

97

160

161

224

225

288

289

352

353

416

417

480

481

994

991

930

927

866

863

802

799

738

735

674

671

610

607

546

543

30

35

94

99

158

163

222

227

286

291

350

355

414

419

478

483

996

989

932

925

868

861

804

797

740

733

676

669

612

605

548

541

28

37

92

101

156

165

220

229

284

293

348

357

412

421

476

485

998

987

934

923

870

859

806

795

742

731

678

667

614

603

550

539

26

39

90

103

154

167

218

231

282

295

346

359

410

423

474

487

1000

985

936

921

872

857

808

793

744

729

680

665

616

601

552

537

24

41

88

105

152

169

216

233

280

297

344

361

408

425

472

489

1002

983

938

919

874

855

810

791

746

727

682

663

618

599

554

535

22

43

86

107

150

171

214

235

278

299

342

363

406

427

470

491

1004

981

940

917

876

853

812

789

748

725

684

661

620

597

556

533

20

45

84

109

148

173

212

237

276

301

340

365

404

429

468

493

1006

979

942

915

878

851

814

787

750

723

686

659

622

595

558

531

18

47

82

111

146

175

210

239

274

303

338

367

402

431

466

495

1008

977

944

913

880

849

816

785

752

721

688

657

624

593

560

529

9

56

73

120

137

184

201

248

265

312

329

376

393

440

457

504

1015

970

951

906

887

842

823

778

759

714

695

650

631

586

567

522

11

54

75

118

139

182

203

246

267

310

331

374

395

438

459

502

1013

972

949

908

885

844

821

780

757

716

693

652

629

588

565

524

13

52

77

116

141

180

205

244

269

308

333

372

397

436

461

500

1011

974

947

910

883

846

819

782

755

718

691

654

627

590

563

526

15

50

79

114

143

178

207

242

271

306

335

370

399

434

463

498

1009

976

945

912

881

848

817

784

753

720

689

656

625

592

561

528

 

                                                                       Рис. 12

 

                            Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 2

 

1001

984

937

920

873

856

809

792

745

728

681

664

617

600

553

536

23

42

87

106

151

170

215

234

279

298

343

362

407

426

471

490

1003

982

939

918

875

854

811

790

747

726

683

662

619

598

555

534

21

44

85

108

149

172

213

236

277

300

341

364

405

428

469

492

1005

980

941

916

877

852

813

788

749

724

685

660

621

596

557

532

19

46

83

110

147

174

211

238

275

302

339

366

403

430

467

494

1007

978

943

914

879

850

815

786

751

722

687

658

623

594

559

530

17

48

81

112

145

176

209

240

273

304

337

368

401

432

465

496

1016

969

952

905

888

841

824

777

760

713

696

649

632

585

568

521

10

55

74

119

138

183

202

247

266

311

330

375

394

439

458

503

1014

971

950

907

886

843

822

779

758

715

694

651

630

587

566

523

12

53

76

117

140

181

204

245

268

309

332

373

396

437

460

501

1012

973

948

909

884

845

820

781

756

717

692

653

628

589

564

525

14

51

78

115

142

179

206

243

270

307

334

371

398

435

462

499

1010

975

946

911

882

847

818

783

754

719

690

655

626

591

562

527

16

49

80

113

144

177

208

241

272

305

336

369

400

433

464

497

1024

961

960

897

896

833

832

769

768

705

704

641

640

577

576

513

2

63

66

127

130

191

194

255

258

319

322

383

386

447

450

511

1022

963

958

899

894

835

830

771

766

707

702

643

638

579

574

515

4

61

68

125

132

189

196

253

260

317

324

381

388

445

452

509

1020

965

956

901

892

837

828

773

764

709

700

645

636

581

572

517

6

59

70

123

134

187

198

251

262

315

326

379

390

443

454

507

1018

967

954

903

890

839

826

775

762

711

698

647

634

583

570

519

8

57

72

121

136

185

200

249

264

313

328

377

392

441

456

505

993

992

929

928

865

864

801

800

737

736

673

672

609

608

545

544

31

34

95

98

159

162

223

226

287

290

351

354

415

418

479

482

995

990

931

926

867

862

803

798

739

734

675

670

611

606

547

542

29

36

93

100

157

164

221

228

285