КВАДРАТЫ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СХЕМЕ ФРЕНИКЛЯ

 

И ДРУГИХ ДРЕВНИХ МАСТЕРОВ

 

Уважаемые читатели! Эта страница является продолжением страницы “Квадраты Франклина, Френикля и Агриппа”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin5.htm

 

В конце этой страницы я дала заготовку для построения полумагического квадрата 36-ого порядка по схеме Френикля (см. самый первый такой квадрат восьмого порядка). Предлагала не строить квадрат полностью, а вычислить только числа, стоящие на одной из главных диагоналей. Что и сделала сама. Я взяла главную диагональ, начинающуюся с числа 1.

Числа на главной диагонали я вычисляла очень просто: по формуле для n-ого члена арифметической прогрессии.

Вот эти числа:

 

a2,2=1258, a3,3=1264, a4,4=183, a5,5=105, a6,6=1038, a7,7=1196, a8,8=403, a9,9=173,

a10,10=818, a11,11=1128, a12,12=623, a13,13=241, a14,14=598, a15,15=1060

a16,16=843, a17,17=309, a18,18=378, a19,19=992, a20,20=1063, a21,21=377,

a22,22=158, a23,23=924, a24,24=1283, a25,25=445, a26,26=1234, a27,27=856,

a28,28=207, a29,29=513, a30,30=1014, a31,31=788, a32,32=427, a33,33=581

a34,34=794, a35,35=720, a36,36=647

 

Сумма этих чисел, как я и предполагала, равна 24642=23346+362. Не забудьте прибавить a1,1=1 (23346 – магическая константа квадрата).

Итак, я показала одну главную диагональ полумагического квадрата 36-ого порядка, построенного по схеме Френикля. Уверена на 100 %, что сумма по второй главной диагонали будет иметь точно такое же значение. Кто не верит, пусть проверит!

 

                                       ***

 

На физико-математическом форуме появилось сообщение, опровергающее мою гипотезу о том, что все квадраты порядков n=6k, k=2,4,6…, построенные по данному алгоритму (в точности!), будут полумагическими. Конечно, я не доказала эту гипотезу, а привела только три конкретных примера, причём полумагический квадрат 12-ого порядка построен не мной, а квадраты 24-ого и 36-ого порядка сама построила (да и квадрат 36-ого порядка не полностью, а только одну главную диагональ).

Пусть автор сообщения покажет свой магический квадрат 24-ого порядка, построенный по данному алгоритму (точно по такому алгоритму, а то магических квадратов 24-ого порядка я много могу построить, по другим схемам). Интересно посмотреть!

Я свой полумагический квадрат 24-ого порядка показала в предыдущей части статьи (см. ссылку в начале настоящей статьи).

А коль скоро Н. Орделли построил магический квадрат 24-ого порядка по данной схеме, значит, он точно так же может построить и магический квадрат 12-ого порядка (из того полумагического, который сам привёл на форуме), и 36-ого порядка и т.д. И даже после таких построений ему ещё надо доказать, что это будет иметь место для всех квадратов данных порядков.

А что делать с теми тремя квадратами, которые я показала? Надо Н. Орделли показать ту перестановку строк, при помощи которой эти квадраты превращаются в магические. То есть решить ту самую задачу, которую он предложил мне на форуме (для полумагического квадрата 12-ого порядка).

 

Посетите физико-математический форум:

 

http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=6 

 

                                      ***

 

Подключайтесь к обсуждению вопроса!

 

 

Страница помещена на сайт 14 марта 2008 г.

 

 

17 марта 2008 г.

 

Ура! Древний алгоритм запрограммировала.

 

Пока составила программы для квадратов 8-ого и 12-ого порядка. Первую программу уже выполнила и сразу хочу рассказать о результатах.

 

Сначала напомню квадрат Френикля восьмого порядка, с которого и было начато это исследование (рис. 1).

 

 

1

16

23

30

37

44

51

58

63

54

45

36

27

18

9

8

10

3

60

53

46

39

32

17

24

25

34

43

52

61

6

15

49

64

7

14

21

28

35

42

47

38

29

20

11

2

57

56

26

19

12

5

62

55

48

33

40

41

50

59

4

13

22

31

 

                                                                       Рис. 1

 

Этот квадрат магический. Задача, которая была предложена мне на физико-математическом форуме, состоит в превращении этого квадрата в пандиагональный. Я уже писала выше об этой задаче.

Затем на форуме был приведён ещё один квадрат – 12-ого порядка, из древнего трактата Агриппа. Этот квадрат полумагический и построен точно по такой же схеме, как квадрат Френикля. Меня очень заинтересовала данная схема, и я начала её исследование. Сначала построила несколько частных решений по аналогии с двумя имеющимися образцами. Построила и квадрат четвёртого порядка. Он оказался пандиагональным. Обо всём этом смотрите в предыдущей части статьи (ссылка в начале настоящей статьи).

Буду в дальнейшем называть эту схему схемой Френикля-Агриппа. Вполне возможно, что автор этой схемы – какой-то неизвестный нам мудрец из глубокой древности. Но я назвала её по имени авторов двух квадратов с такой схемой.

 

Итак, о результатах, выданных программой для квадратов восьмого порядка.

Во-первых, я получила по программе и полумагические квадраты. Таким образом, по этому алгоритму строятся полумагические, магические и пандиагональные квадраты (последние, правда, пока только четвёртого порядка, есть ли пандиагональные квадраты высших порядков, пока не знаю). Полумагических квадратов программа выдала 1328 штук! При этом среди них встречаются квадраты с самыми разными суммами по главным диагоналям, как с равными, так и с различными. Вот только некоторые комбинации значений этих сумм:

 

252   252,  268   268,  262   258, 264    256, 252    268, 254     266,

262   266, 256     264, 246     258, 246     242,  254    250, 250     270.

 

Особый интерес представляют квадраты, в которых сумма по одной главной диагонали равна магической константе, то есть они уже больше чем полумагические, “хромают” на одну диагональ. Таких квадратов программа выдала 302. На рис. 2 показан полумагический квадрат с суммами по главным диагоналям 268, на рис. 3 – с суммами 252, а на рис. 4 изображён квадрат, “хромающий” на одну диагональ. Сумма по “хромающей” диагонали равна 252.

 

 

6

15

24

25

34

43

52

61

58

51

44

37

30

23

16

1

9

8

63

54

45

36

27

18

19

26

33

48

55

62

5

12

49

64

7

14

21

28

35

42

47

38

29

20

11

2

57

56

32

17

10

3

60

53

46

39

40

41

50

59

4

13

22

31

 

                                                                                         Рис. 2

 

 

3

10

17

32

39

46

53

60

63

54

45

36

27

18

9

8

16

1

58

51

44

37

30

23

22

31

40

41

50

59

4

13

56

57

2

11

20

29

38

47

42

35

28

21

14

7

64

49

25

24

15

6

61

52

43

34

33

48

55

62

5

12

19

26

 

                                                                      Рис. 3

 

 

5

12

19

26

33

48

55

62

60

53

46

39

32

17

10

3

16

1

58

51

44

37

30

23

21

28

35

42

49

64

7

14

56

57

2

11

20

29

38

47

41

40

31

22

13

4

59

50

25

24

15

6

61

52

43

34

36

45

54

63

8

9

18

27

 

                                                                        Рис. 4

 

Далее среди всех магических квадратов, а их программа выдала 166, я увидела очень красивое частное решение как бы с зеркальной перестановкой чисел в начальной цепочке. Смотрите это решение на рис. 5.

 

8

9

18

27

36

45

54

63

58

51

44

37

30

23

16

1

15

6

61

52

43

34

25

24

17

32

39

46

53

60

3

10

56

57

2

11

20

29

38

47

42

35

28

21

14

7

64

49

31

22

13

4

59

50

41

40

33

48

55

62

5

12

19

26

 

                                                                      Рис. 5

 

Согласитесь, красивое решение!  Мне сразу захотелось посмотреть на подобные частные решения для квадратов других порядков. Начну с квадрата четвёртого порядка (рис. 6).

 

 

4

5

10

15

14

11

8

1

7

2

13

12

9

16

3

6

 

                                                                       Рис. 6

 

Этот квадрат, как и первое частное решение, которое было показано мной ранее, тоже пандиагональный.

Кстати, можно ведь и для квадратов четвёртого порядка составить программу и найти по ней все решения – полумагические, магические, пандиагональные.

 

А вот подобное частное решение для квадрата 12-ого порядка (рис. 7).

 

 

12

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

134

123

112

101

90

79

68

57

46

35

24

1

23

10

141

128

115

102

89

76

63

50

37

36

25

48

59

70

81

92

103

114

125

136

3

14

132

133

2

15

28

41

54

67

80

93

106

119

110

99

88

77

66

55

44

33

22

11

144

121

47

34

21

8

139

126

113

100

87

74

61

60

49

72

83

94

105

116

127

138

5

16

27

38

108

109

122

135

4

17

30

43

56

69

82

95

86

75

64

53

42

31

20

9

142

131

120

97

71

58

45

32

19

6

137

124

111

98

85

84

73

96

107

118

129

140

7

18

29

40

51

62

 

                                                                      Рис. 7

 

Как и первое частное решение, каковым является полумагический квадрат Агриппа, этот квадрат тоже полумагический, причём суммы по главным диагоналям имеют то же значение – 1014.

 

Ну, покажу ещё одно подобное частное решение – для квадрата 16-ого порядка (рис. 8).

 

 

16

17

34

51

68

85

102

119

136

153

170

187

204

221

238

255

242

227

212

197

182

167

152

137

122

107

92

77

62

47

32

1

31

14

253

236

219

202

185

168

151

134

117

100

83

66

49

48

33

64

79

94

109

124

139

154

169

184

199

214

229

244

3

18

240

241

2

19

36

53

70

87

104

121

138

155

172

189

206

223

210

195

180

165

150

135

120

105

90

75

60

45

30

15

256

225

63

46

29

12

251

234

217

200

183

166

149

132

115

98

81

80

65

96

111

126

141

156

171

186

201

216

231

246

5

20

35

50

208

209

226

243

4

21

38

55

72

89

106

123

140

157

174

191

178

163

148

133

118

103

88

73

58

43

28

13

254

239

224

193

95

78

61

44

27

10

249

232

215

198

181

164

147

130

113

112

97

128

143

158

173

188

203

218

233

248

7

22

37

52

67

82

176

177

194

211

228

245

6

23

40

57

74

91

108

125

142

159

146

131

116

101

86

71

56

41

26

11

252

237

222

207

192

161

127

110

93

76

59

42

25

8

247

230

213

196

179

162

145

144

129

160

175

190

205

220

235

250

9

24

39

54

69

84

99

114

 

                                                                      Рис. 8

 

Этот квадрат, как и первое частное решение, построенное мной, магический.

Легко заметить, что квадраты второго частного решения получаются из квадратов первого частного решения простой перестановкой строк с их перевёртыванием.

 

А теперь покажу первые 7 решений магических квадратов, выданные мне программой для построения квадратов восьмого порядка по схеме Френикля-Агриппа. Как я уже сказала, всего программа выдала 166 магических квадратов.

 

№ 1                                                   № 2

 7  14  21  28  35  42  49  64              6  15  24  25  34  43  52  61

 62  55  48  33  26  19  12  5              57  56  47  38  29  20  11  2

 16  1  58  51  44  37  30  23              16  1  58  51  44  37  30  23

 17  32  39  46  53  60  3  10              19  26  33  48  55  62  5  12

 56  57  2  11  20  29  38  47              53  60  3  10  17  32  39  46 

 41  40  31  22  13  4  59  50              42  35  28  21  14  7  64  49 

 27  18  9  8  63  54  45  36                31  22  13  4  59  50  41  40 

 34  43  52  61  6  15  24  25              36  45  54  63  8  9  18  27

 

№ 3                                                   № 4

 7  14  21  28  35  42  49  64              7  14  21  28  35  42  49  64 

 63  54  45  36  27  18  9  8                57  56  47  38  29  20  11  2

 16  1  58  51  44  37  30  23              16  1  58  51  44  37  30  23

 20  29  38  47  56  57  2  11              24  25  34  43  52  61  6  15 

 53  60  3  10  17  32  39  46              53  60  3  10  17  32  39  46 

 41  40  31  22  13  4  59  50              41  40  31  22  13  4  59  50 

 26  19  12  5  62  55  48  33              26  19  12  5  62  55  48  33 

 34  43  52  61  6  15  24  25             36  45  54  63  8  9  18  27 

 

 № 5                                                  № 6 

 4  13  22  31  40  41  50  59              6  15  24  25  34  43  52  61

 63  54  45  36  27  18  9  8                62  55  48  33  26  19  12  5 

 16  1  58  51  44  37  30  23              16  1  58  51  44  37  30  23 

 19  26  33  48  55  62  5  12              20  29  38  47  56  57  2  11 

 53  60  3  10  17  32  39  46              53  60  3  10  17  32  39  46 

 42  35  28  21  14  7  64  49             41  40  31  22  13  4  59  50 

 25  24  15  6  61  52  43  34              27  18  9  8  63  54  45  36 

 38  47  56  57  2  11  20  29              35  42  49  64  7  14  21  28 

 

№ 7

 7  14  21  28  35  42  49  64

 57  56  47  38  29  20  11  2

 16  1  58  51  44  37  30  23

 24  25  34  43  52  61  6  15

 50  59  4  13  22  31  40  41

 46  39  32  17  10  3  60  53

 27  18  9  8  63  54  45  36

 33  48  55  62  5  12  19  26

 

Посмотрите внимательно на эти экземпляры, и вы поймёте алгоритм программы, по которой они построены.

 

Конечно, есть и квадраты, связанные преобразованием типа “плюс-минус …”. Например, квадраты № 3 и № 4. На рис. 9 показываю матрицу очень красивого преобразования, которое связывает эти два квадрата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-6

+2

+2

+2

+2

+2

+2

-6

 

 

 

 

 

 

 

 

+4

-4

-4

-4

-4

+4

+4

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2

+2

+2

+2

+2

-6

-6

+2

 

                                                                      Рис. 9

 

Не правда ли, красивое преобразование? Оно сохраняет магичность квадрата, так как не изменяет суммы в строках, столбцах и главных диагоналях. Наложите матрицу преобразования на квадрат № 3, выполните все действия, и вы получите квадрат № 4. Таких красивых преобразований среди 166 магических квадратов, выданных программой, можно найти очень много.

 

Ну, а самый интересный результат в том, что я решила задачу Френикля, то есть доказала с помощью этой программы, что квадрат Френикля нельзя превратить в пандиагональный никакими перестановками строк с их перевёртыванием и даже со смещением чисел в строках. Ведь программа не выдала мне ни одного пандиагонального квадрата, а она выполнила все указанные манипуляции со строками. Этот квадрат превращается в пандиагональный простой перестановкой столбцов, либо одновременной перестановкой строк и столбцов. На рис. 10 вы видите пандиагональный квадрат, полученный из квадрата Френикля перестановкой всего двух столбцов.

 

 

1

16

23

58

37

44

51

30

63

54

45

8

27

18

9

36

10

3

60

17

46

39

32

53

24

25

34

15

52

61

6

43

49

64

7

42

21

28

35

14

47

38

29

56

11

2

57

20

26

19

12

33

62

55

48

5

40

41

50

31

4

13

22

59

 

                                                                       Рис. 10

 

Как видите, схема расположения первых 8 чисел нарушилась. Однако посмотрите на два звена начальной цепочки – 1, 3, 7, 8 и 6, 2, 4, 5. Заметили? Если первое звено зеркально отразить и повернуть на 180 градусов  оно в точности совпадёт со вторым звеном! Может быть, это не случайное совпадение? О Боже! Как же всё красиво! Не перестаю восхищаться!

 

                                               ***

 

А теперь перехожу к квадратам 12-ого порядка. Тут у меня сложности: программа выполняется слишком долго, не могу дождаться, не хватает терпения. Прогнала программу до половины и – не получила ни одного магического квадрата! Идут только полумагические, причём я увидела квадраты не только с одинаковой суммой в главных диагоналях – 1014, как в квадрате Агриппа, но и с разными суммами, например, с такими значениями сумм: 1014 и 1002, 1014 и 978, 1014 и 990. Покажу два экземпляра полумагических квадратов, в квадрате на рис. 11 суммы в главных диагоналях одинаковы и равны 1014, а в квадрате на рис. 12 эти суммы разные и имеют значения 1014 и 1002.

 

 

2

15

28

41

54

67

80

93

106

119

132

133

143

130

117

104

91

78

65

52

39

26

13

12

16

5

138

127

116

105

94

83

72

49

38

27

33

44

55

66

77

88

99

110

121

144

11

22

125

136

3

14

25

48

59

70

81

92

103

114

113

100

87

74

61

60

47

34

21

8

139

126

37

36

23

10

141

128

115

102

89

76

63

50

56

69

82

95

108

109

122

135

4

17

30

43

107

118

129

140

7

18

29

40

51

62

73

96

86

75

64

53

42

31

20

9

142

131

120

97

68

57

46

35

24

1

134

123

112

101

90

79

84

85

98

111

124

137

6

19

32

45

58

71

 

                                                                      Рис. 11

 

 

2

15

28

41

54

67

80

93

106

119

132

133

143

130

117

104

91

78

65

52

39

26

13

12

16

5

138

127

116

105

94

83

72

49

38

27

33

44

55

66

77

88

99

110

121

144

11

22

123

134

1

24

35

46

57

68

79

90

101

112

113

100

87

74

61

60

47

34

21

8

139

126

45

32

19

6

137

124

111

98

85

84

71

58

56

69

82

95

108

109

122

135

4

17

30

43

107

118

129

140

7

18

29

40

51

62

73

96

86

75

64

53

42

31

20

9

142

131

120

97

70

59

48

25

14

3

136

125

114

103

92

81

76

89

102

115

128

141

10

23

36

37

50

63

 

                                                                      Рис. 12

 

У меня есть подозрение, что программа не выдаст ни одного магического квадрата, потому что их просто не существует.

 

Как утверждает Г. Александров в своей только что опубликованной статье, магические квадраты 12-ого и 24-ого порядка по этой схеме не строятся. Правда, я не увидела у него доказательства этого утверждения.

 

Следовательно, моя гипотеза о том, что все квадраты порядка n=6k, k=2,4,6…, построенные по схеме Френикля-Агриппа, являются полумагическими, подтверждается? Она верна не только для частных решений, но вообще для всех квадратов данной группы.

 

                                               ***

 

На очереди у меня решение другого интереснейшего вопроса: существуют ли ещё пандиагональные квадраты, построенные по схеме Френикля-Агриппа? Неужели такой квадрат всего один – четвёртого порядка? Для квадратов восьмого порядка моя программа, которая выдаёт абсолютно все квадраты, построенные по данному алгоритму, не выдала ни одного пандиагонального квадрата, она выдала 1328 полумагических и 166 магических квадратов.

 

Я думаю, что если существуют ещё пандиагональные квадраты в этой серии квадратов, то искать их надо среди квадратов порядка n=4k, k=2p, p=0,1,2,3… При p=0 мы имеем пандиагональный квадрат 4-ого порядка. Пандиагональных квадратов 8-ого порядка мне построить не удалось. Теперь надо попробовать квадраты 16-ого порядка, чем и займусь. О результатах расскажу позже, если они будут.

 

                                               ***

 

Об упомянутой статье Г. Александрова смотрите на физико-математическом форуме.

 

     18 марта 2008 г.

 

Прежде чем приступать к исследованию квадратов 16-ого порядка, решила отдохнуть на квадратах четвёртого порядка. Это такие крохотные шедевры, что у меня просто слов нет для выражения восторга!

Я уже сказала выше, что точно так же для них можно составить программу и получить все квадраты, построенные по схеме Френикля-Агриппа. Что сейчас и выполнила. Программка маленькая, выполняется одно мгновение, результаты все налицо. Одно удовольствие работать с такими крохотками.

Программа выдала мне 12 квадратов. 4 из них оказались магическими и одновременно пандиагональными. 8 квадратов полумагические. Два пандиагональных квадрата мне уже были известны, это первое и второе частные решения. Они были здесь показаны (второе частное решение см. на рис. 6, первое частное решение в предыдущей части статьи). К ним добавились ещё два квадрата. Покажу их (рис. 13 и рис. 14).

 

2

7

12

13

16

9

6

3

5

4

15

10

11

14

1

8

 

                                                   Рис. 13

 

 

3

6

9

16

13

12

7

2

8

1

14

11

10

15

4

5

 

                                                                      Рис. 14

 

А теперь покажу один полумагический квадратик (рис. 15). Он выдался программой самым первым.

 

 

1

8

11

14

16

9

6

3

7

2

13

12

10

15

4

5

 

                                                                      Рис. 15

 

Посмотрите: в квадрате точно такая же схема начальной цепочки, те же циклы качания качелей (я специально не сменила раскраску!). Только не получились нужные суммы по главным диагоналям. В этом квадрате суммы по главным диагоналям имеют значения 28 и 32. В остальных полумагических квадратах суммы по главным диагоналям имеют такие значения: 32 и 36, 36 и 40, а ещё симметричные, то есть 36 и 32, 40 и 36; есть, кстати, и симметричная пара к показанной выше – 32 и 28.

 

Итак, подведу предварительные итоги: древний алгоритм Френикля-Агриппа позволяет строить квадраты:

 

4-ого порядка – полумагические и пандиагональные;

8-ого порядка – полумагические и магические;

12-ого порядка – только полумагические (?).

 

Ставлю вопрос для квадратов 12-ого порядка, потому что не выполнила программу до конца. А вдруг магические квадраты всё-таки найдутся? Я высказала гипотезу, что их не будет, но гипотеза требует доказательства.

Вот Александров пишет, не мудрствуя лукаво: “…удалось обнаружить, что магические квадраты 12-ого и 24-ого порядка по первой схеме не строятся”. Ну, мало что удалось обнаружить. Доказать надо, что не строятся!

Надо мне всё-таки прогнать программу до конца. Но как не хочется! Однако если я её прогоню до конца, уже точно поставлю точку в этом вопросе. Если магические квадраты существуют, программа их обязательно найдёт, никуда они от неё не денутся!

 

Что касается квадратов высших порядков, пока ничего не могу сказать, так как имею только частные решения. Чтобы получить все решения, надо составить программу, точно так, как я сделала это для квадратов 4-ого, 8-ого и 12-ого порядков. Ну, составить программу для меня не проблема. Проблема её выполнить. Если уж для квадратов 12-ого порядка я не могла выполнить программу до конца (не хватило терпения), что же будет с программой для квадратов 16-ого порядка, когда число перестановок увеличится в тысячи раз! Надо искать другой путь решения задачи. Пока не вижу, какой это будет путь.

 

                                                     ***

 

21 марта 2008 г.

 

По аналогии с квадратами восьмого порядка решила испытать магический квадрат 16-ого порядка, построенный по схеме Френикля-Агриппа, программой перестановки столбцов. Но нет! Программа надолго “задумалась” и мне, конечно же, совсем не хочется ждать, когда она что-нибудь “придумает”.

Поэтому оставляю открытой расширение задачи Френикля для квадратов чётно-чётных порядков n=4k, k=3,4,5… При k=1 мы имеем пандиагональный квадрат, построенный точно по схеме Френикля-Аграиппа, при k=2 пандиагональный квадрат можно получить из магического квадрата, построенного по схеме Френикля-Агриппа, только перестановкой столбцов (либо одновременной перестановкой строк и столбцов). При k=3 даже магический квадрат не получается, построенный по схеме Френикля-Агриппа.

Что дальше – не знаю. Пока не приходит в голову хорошая идея.

 

                                               ***

 

Оставляю древний алгоритм Френикля-Агриппа и расскажу о другой интересной схеме, которая очень хорошо известна.

 

Сначала напомню, что изобретённый мной метод качелей я применила для построения ассоциативных квадратов нечётных порядков, пандиагональных квадратов любых порядков, идеальных квадратов. Аналогию с этим методом я показала на примере схемы Франклина в построении полумагических, магических и пандиагональных квадратов. Точно так же использовала эту аналогию в разработке древнего алгоритма Френикля-Агриппа. И теперь покажу работу этого поистине универсального метода для построения ассоциативных квадратов чётно-чётного порядка.

 

Ну, вот для начала покажу один ассоциативный квадрат – 9-ого порядка, построенный методом качелей с тривиальной образующей таблицей (рис. 16).

 

 

66

76

5

15

25

35

45

46

56

34

44

54

55

65

75

4

14

24

74

3

13

23

33

43

53

63

64

42

52

62

72

73

2

12

22

32

1

11

21

31

41

51

61

71

81

50

60

70

80

9

10

20

30

40

18

19

29

39

49

59

69

79

8

58

68

78

7

17

27

28

38

48

26

36

37

47

57

67

77

6

16

 

                                                 Рис. 16

 

Вот такой красивый ассоциативный квадрат! И строится он, что вполне очевидно, без всяких вычислений. Просто качайтесь на качелях!

 

А теперь перехожу к ассоциативным квадратам чётно-чётного порядка. Я знаю три метода построения таких квадратов: метод квадратных рамок, метод Рауз-Болла и упрощённый метод Рауз-Болла. Об этих методах узнала очень давно, когда только начинала заниматься магическими квадратами. Они описаны на странице

http://klassikpoez.boom.ru/komp/metody.htm

 

Эта страница была написана 15 лет назад. Сведения были почерпнуты из журналов «Наука и жизнь».

 

Буду рассматривать аналогию своих качелей с методом Рауз-Болла. Посмотрим на квадрат четвёртого порядка. Метод Рауз-Болла состоит в следующем: матрица nxn заполняется числами от 1 до n2 в естественном порядке. Затем в квадрате проводятся диагонали в каждом квадрате 4х4 и производится перестановка чисел, симметричных относительно центра квадрата и попавших на диагонали. На рис. 17 показан исходный квадрат четвёртого порядка, а на рис. 18 – ассоциативный квадрат, построенный методом Рауз-Болла.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

                                                                      Рис. 17

 

 

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

 

                                                                      Рис. 18

 

На рис. 19 изображён квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла. На примере квадратов восьмого порядка я буду показывать аналогию с методом качелей.

 

 

64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1

 

                                                 Рис. 19

 

Немного преобразую этот квадрат, поверну его на 90 градусов против часовой стрелки и затем отражу относительно вертикальной оси симметрии квадрата. Полученный в результате таких преобразований квадрат вы видите на рис. 20.

 

 

1

56

48

25

33

24

16

57

63

10

18

39

31

42

50

7

62

11

19

38

30

43

51

6

4

53

45

28

36

21

13

60

5

52

44

29

37

20

12

61

59

14

22

35

27

46

54

3

58

15

23

34

26

47

55

2

8

49

41

32

40

17

9

64

 

                                                 Рис. 20

 

Теперь всё готово для применения метода качелей. Ну, прежде всего надо показать образующую таблицу квадрата с рис. 20. Смотрите эту таблицу на рис. 21.

 

 

1

56

48

25

33

24

16

57

-6

7

50

42

31

39

18

10

63

1

6

51

43

30

38

19

11

62

2

4

53

45

28

36

21

13

60

-1

5

52

44

29

37

20

12

61

2

3

54

46

27

35

22

14

59

1

2

55

47

26

34

23

15

58

-6

8

49

41

32

40

17

9

64

 

 

k=6

k=5

k=3

k=4

k=2

k=1

k=7

 

                                                                  Рис. 21

 

Законы формирования образующей таблицы точно такие же, как в методе качелей. Наборы чисел в столбцах таблицы надо начинать формировать так же от максимального числа, прибавляя последовательно разности из самого левого столбца таблицы. От максимальных чисел, стоящих вверху столбца, надо двигаться вниз, а от максимальных чисел, стоящих внизу столбца, – вверх.

Числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата переписываются очень просто. Можно делать это по циклам качания качелей (то есть по столбцам образующей таблицы), а ещё проще делать это построчно. Одни строки переписываются без изменения, а другие просто перевёртываются. Это зависит оттого, где стоит в самом квадрате соответствующее число начальной цепочки – в начале или в конце строки.

На рис. 20 выделены цветом – бирюзовым и белым – два цикла качания качелей.

 

Ставлю теперь вопрос: сколько можно построить ассоциативных квадратов по данному алгоритму? Не один же такой квадрат существует!

Разумеется, я знаю, что существует огромное количество ассоциативных квадратов, получающихся друг из друга перестановкой строк и/или столбцов. Но сколько именно и как их все построить?

Для этого подключаю программирование. На рис. 22 изображена образующая таблица в общем виде с некоторыми начальными условиями. Зафиксировано положение двух чисел в начальной цепочке – 1 и 8. Это определяет положение ещё двух чисел – 64 и 57. Всё остальное варьируется. Пишу программу для такой образующей таблицы.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

57

1-I

I

 

 

 

 

 

 

 

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

K-L

L

 

 

 

 

 

 

 

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

M-N

N

 

 

 

 

 

 

 

N-8

8

 

 

 

 

 

 

64

 

 

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=7

 

                                                                         Рис. 22

 

Легко посчитать, что программа заполнит 518400 матриц, все их проверит на магичность и ассоциативность и выдаст только готовые ассоциативные квадраты.

Выполнила программу и получила немного, немало – 2304 ассоциативных квадрата! Вот самое первое решение и смотрите, какое оно красивое (рис. 23)!

 

1

16

24

25

33

48

56

57

58

55

47

34

26

23

15

2

59

54

46

35

27

22

14

3

4

13

21

28

36

45

53

60

5

12

20

29

37

44

52

61

62

51

43

38

30

19

11

6

63

50

42

39

31

18

10

7

8

9

17

32

40

41

49

64

 

                                                   Рис. 23

 

В чём его особенная красивость? В том, что и числа в начальной цепочке и циклы качания качелей следуют по порядку. Чтобы это ещё лучше было понятно, покажу образующую таблицу квадрата (рис. 24):

 

 

 

1

16

24

25

33

48

56

57

-1

2

15

23

26

34

47

55

58

-1

3

14

22

27

35

46

54

59

-1

4

13

21

28

36

45

53

60

-1

5

12

20

29

37

44

52

61

-1

6

11

19

30

38

43

51

62

-1

7

10

18

31

39

42

50

63

-1

8

9

17

32

40

41

49

64

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

 

                                                                       Рис. 24

 

Теперь вы увидели тривиальность образующей таблицы? Что надо вычислять в этой образующей таблице? Абсолютно ничего!

И сразу хочу посмотреть на подобное частное решение, например, для квадрата 12-ого порядка. Рисую по аналогии образующую таблицу (рис. 25):

 

 

1

24

36

37

49

72

84

85

97

120

132

133

-1

2

23

35

38

50

71

83

86

98

119

131

134

-1

3

22

34

39

51

70

82

87

99

118

130

135

-1

4

21

33

40

52

69

81

88

100

117

129

136

-1

5

20

32

41

53

68

80

89

101

116

128

137

-1

6

19

31

42

54

67

79

90

102

115

127

138

-1

7

18

30

43

55

66

78

91

103

114

126

139

-1

8

17

29

44

56

65

77

92

104

113

125

140

-1

9

16

28

45

57

64

76

93

105

112

124

141

-1

10

15

27

46

58

63

75

94

106

111

123

142

-1

11

14

26

47

59

62

74

95

107

110

122

143

-1

12

13

25

48

60

61

73

96

108

109

121

144

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

k=11

 

                                                       Рис. 25

 

Переношу числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата (например, построчно), и ассоциативный квадрат 12-ого порядка готов! (рис. 26)

 

 

1

24

36

37

49

72

84

85

97

120

132

133

134

131

119

98

86

83

71

50

38

35

23

2

135

130

118

99

87

82

70

51

39

34

22

3

4

21

33

40

52

69

81

88

100

117

129

136

5

20

32

41

53

68

80

89

101

116

128

137

138

127

115

102

90

79

67

54

42

31

19

6

139

126

114

103

91

78

66

55

43

30

18

7

8

17

29

44

56

65

77

92

104

113

125

140

9

16

28

45

57

64

76

93

105

112

124

141

142

123

111

106

94

75

63

58

46

27

15

10

143

122

110

107

95

74

62

59

47

26

14

11

12

13

25

48

60

61

73

96

108

109

121

144

 

                                                   Рис. 26

 

Разве не замечательный экземпляр? И строится всего за 5 минут! И безо всяких вычислений. Это работает мой метод качелей!

 

Возвращаюсь к квадратам восьмого порядка. Хочу показать ещё квадрат, который программа выдала последним - № 2304 (рис. 27).

 

 

1

56

48

33

25

24

16

57

63

10

18

31

39

42

50

7

62

11

19

30

38

43

51

6

5

52

44

37

29

20

12

61

4

53

45

36

28

21

13

60

59

14

22

27

35

46

54

3

58

15

23

26

34

47

55

2

8

49

41

40

32

17

9

64

 

                                                   Рис. 27

 

Сравните этот ассоциативный квадрат с квадратом на рис. 20. Вы увидите, что эти два квадрата отличаются двумя переставленными строками и двумя переставленными столбцами, что равносильно комбинированному преобразованию “плюс-минус …”, матрицу которого показываю на рис. 28.

 

 

 

 

 

+8

-8

 

 

 

 

 

 

-8

+8

 

 

 

 

 

 

-8

+8

 

 

 

+1

-1

-1

+9

-7

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+7

-9

+1

+1

-1

 

 

 

-8

+8

 

 

 

 

 

 

-8

+8

 

 

 

 

 

 

+8

-8

 

 

 

 

                                                                      Рис. 28

 

Вы видели где-нибудь подобное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата? Надо ли говорить о том, что среди 2304 ассоциативных квадратов данной группы подобных преобразований можно найти огромное количество.

 

Теперь меня заинтересовал вопрос: можно ли построить по такому же алгоритму ассоциативные квадраты, начинающиеся с других чисел начальной цепочки, например, с 2, с 3 и т. д. Конечно, вариант с перестановкой первой и последней строк очевиден. Этот ассоциативный квадрат будет начинаться с числа 8. 

Я решила попробовать запрограммировать следующую образующую таблицу (рис. 29):

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

K-1

1

 

 

 

 

 

 

57

-7

8

 

 

 

 

 

 

64

8-L

L

 

 

 

 

 

 

 

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

M-N

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=7

 

                                                                         Рис. 29

 

Быстро делаю новый вариант программы из предыдущего варианта, введя небольшие изменения. Программа снова выдаёт 2304 ассоциативных квадрата! Вот какой интересный результат. Покажу два квадрата, один начинается с числа 2, выдан программой под № 1, второй начинается с числа 3, выдан программой под № 385. Все предыдущие 384 квадрата начинаются с числа 2. Смотрите на рис. 30 и рис. 31.

 

 

2

15

23

26

34

47

55

58

59

54

46

35

27

22

14

3

60

53

45

36

28

21

13

4

1

16

24

25

33

48

56

57

8

9

17

32

40

41

49

64

61

52

44

37

29

20

12

5

62

51

43

38

30

19

11

6

7

10

18

31

39

42

50

63

 

                                                   Рис. 30

 

 

3

14

22

27

35

46

54

59

58

55

47

34

26

23

15

2

60

53

45

36

28

21

13

4

1

16

24

25

33

48

56

57

8

9

17

32

40

41

49

64

61

52

44

37

29

20

12

5

63

50

42

39

31

18

10

7

6

11

19

30

38

43

51

62

 

                                                   Рис. 31

 

Можно зафиксировать положение чисел 1 и 8 по-другому и получить новую группу ассоциативных квадратов. Но эти числа фиксировать надо обязательно, потому что они определяют положение максимальных чисел в столбцах образующей таблицы.

 

А теперь – ВНИМАНИЕ!

 

Этот замечательный метод построения ассоциативных квадратов имеет особую ценность. И она состоит вот в чём. Когда я исследовала ассоциативные квадраты чётно-чётного порядка, построенные методом квадратных рамок и методом Рауз-Болла, нашла очень интересное преобразование, которое переводит ассоциативный квадрат в пандиагональный. Назвала его преобразованием трёх квадратов. Суть очень проста. Ассоциативный квадрат порядка n, построенный указанными методами, делится на 4 квадрата порядка n/2. Левый верхний квадрат не изменяется. Правый верхний квадрат отражается относительно вертикальной оси симметрии, левый нижний квадрат отражается относительно горизонтальной оси симметрии, правый нижний квадрат поворачивается на 180 градусов. Всё! Пандиагональный квадрат готов! Метод работает для любого чётно-чётного порядка, начиная с n=4. Вот, например, ассоциативный квадрат четвёртого порядка с рис. 18 превращается преобразованием трёх квадратов в такой пандиагональный квадрат (рис. 32):

 

16

2

13

3

5

11

8

10

4

14

1

15

9

7

12

6

 

                                                                      Рис. 32

 

Так вот, преобразование трёх квадратов применимо и ко всем квадратам, построенным описанным выше способом – качели применительно к методу Рауз-Болла. То есть все 2304 ассоциативных квадрата первой группы (начинающиеся с числа 1) и все 2304 ассоциативных квадрата второй группы (начинающиеся с других чисел начальной цепочки) можно превратить в пандиагональные преобразованием трёх квадратов. Значит, метод качелей, наложенный на метод Рауз-Болла, является методом построения не только ассоциативных квадратов чётно-чётного порядка, но и пандиагональных. Можно в программы, которые были составлены для построения ассоциативных квадратов, вставить блок, выполняющий преобразование трёх квадратов, что делается элементарно. И тогда эти программы сразу выдадут по 2304 пандиагональных квадрата.

 

Покажу превращение в пандиагональный преобразованием трёх квадратов ассоциативного квадрата восьмого порядка с рис. 31 (рис. 33):

 

 

3

14

22

27

59

54

46

35

58

55

47

34

2

15

23

26

60

53

45

36

4

13

21

28

1

16

24

25

57

56

48

33

6

11

19

30

62

51

43

38

63

50

42

39

7

10

18

31

61

52

44

37

5

12

20

29

8

9

17

32

64

49

41

40

 

                                                   Рис. 33

 

Более изящного и простого преобразования мне не встречалось. Покажу это преобразование и для ассоциативного квадрата 12-ого порядка с рис. 26. Смотрите полученный в результате преобразования пандиагональный квадрат на рис. 34.

 

 

1

24

36

37

49

72

133

132

120

97

85

84

134

131

119

98

86

83

2

23

35

38

50

71

135

130

118

99

87

82

3

22

34

39

51

70

4

21

33

40

52

69

136

129

117

100

88

81

5

20

32

41

53

68

137

128

116

101

89

80

138

127

115

102

90

79

6

19

31

42

54

67

12

13

25

48

60

61

144

121

109

108

96

73

143

122

110

107

95

74

11

14

26

47

59

62

142

123

111

106

94

75

10

15

27

46

58

63

9

16

28

45

57

64

141

124

112

105

93

76

8

17

29

44

56

65

140

125

113

104

92

77

139

126

114

103

91

78

7

18

30

43

55

66

 

                                                                      Рис. 34

 

Ну, и, конечно же, описанный метод качелей применительно к методу Рауз-Болла можно запрограммировать для любого чётно-чётного порядка совершенно аналогично тому, как это было показано для квадратов восьмого порядка. Такие программы, если в них вставить преобразование трёх квадратов, позволят вам строить огромное количество пандиагональных квадратов любого чётно-чётного порядка.

А частные решения для любого чётно-чётного порядка вы можете построить и без программы, как это было здесь показано для квадрата 12-ого порядка. Нарисуйте тривиальную образующую таблицу по аналогии с таблицами на рис. 24 и рис. 25. Заполните её и перенесите числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата. Ассоциативный квадрат готов! Примените далее преобразование трёх квадратов к построенному ассоциативному квадрату, и пандиагональный квадрат готов. Красиво и без всяких вычислений.

Пожалуй, покажу все эти построения ещё для одного частного решения – для порядка 16. На рис. 35 вы видите образующую таблицу для ассоциативного квадрата 16-ого порядка.

 

 

 

1

32

48

49

65

96

112

113

129

160

176

177

193

224

240

241

-1

2

31

47

50

66

95

111

114

130

159

175

178

194

223

239

242

-1

3

30

46

51

67

94

110

115

131

158

174

179

195

222

238

243

-1

4

29

45

52

68

93

109

116

132

157

173

180

196

221

237

244

-1

5

28

44

53

69

92

108

117

133

156

172

181

197

220

236

245

-1

6

27

43

54

70

91

107

118

134

155

171

182

198

219

235

246

-1

7

26

42

55

71

90

106

119

135

154

170

183

199

218

234

247

-1

8

25

41

56

72

89

105

120

136

153

169

184

200

217

233

248

-1

9

24

40

57

73

88

104

121