ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА

 

                                               (приложение)

 

Представляю здесь все идеальные квадраты, которые мне удалось построить разными способами. Ещё два идеальных квадрата вы найдёте по ссылкам (построены Г. Александровым):

 

http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html

http://renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html

 

 

                                                             Квадрат № 1

                                                  (построен матричным методом)

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

26

79

54

14

67

42

2

55

30

11

64

39

8

61

36

23

76

51

60

32

4

75

47

19

72

44

16

81

53

25

69

41

13

57

29

1

66

38

10

63

35

7

78

50

22

31

6

59

46

21

74

43

18

71

52

27

80

40

15

68

28

3

56

37

12

65

34

9

62

49

24

77

 

 

                                                                               Квадрат № 2

                                                      (получен из квадрата №1)

 

1

34

44

80

23

6

42

66

73

20

29

65

72

27

36

31

67

22

50

33

57

12

19

52

61

71

14

54

78

58

13

37

47

56

8

18

43

79

7

5

41

77

75

3

39

64

74

26

35

45

69

24

4

28

68

11

21

30

63

70

25

49

32

60

15

51

46

55

10

17

53

62

9

16

40

76

59

2

38

48

81

 

 

                                                                                 Квадрат № 3

                                                          

79

4

62

32

65

42

12

54

19

53

23

74

6

57

36

64

43

13

38

15

48

27

73

7

58

35

68

30

72

37

16

49

26

77

2

60

1

61

31

71

41

11

51

21

81

22

80

5

56

33

66

45

10

52

14

47

24

75

9

55

34

67

44

69

39

18

46

25

76

8

59

29

63

28

70

40

17

50

20

78

3

 

 

                                 Квадрат № 4                                           Квадрат № 5

 

1

50

72

8

48

67

6

52

65

 

1

26

15

64

62

78

46

44

33

42

61

20

37

59

27

44

57

22

 

66

61

77

48

43

32

3

25

14

80

12

31

78

16

29

73

14

36

 

47

45

31

2

27

13

65

63

76

64

5

54

71

3

49

69

7

47

 

8

24

10

71

60

73

53

42

28

24

43

56

19

41

63

26

39

58

 

70

59

75

52

41

30

7

23

12

35

75

13

33

79

11

28

77

18

 

54

40

29

9

22

11

72

58

74

46

68

9

53

66

4

51

70

2

 

6

19

17

69

55

80

51

37

35

60

25

38

55

23

45

62

21

40

 

68

57

79

50

39

34

5

21

16

17

30

76

15

34

74

10

32

81

 

49

38

36

4

20

18

67

56

81

 

 

Квадраты №№ 3-5 получены из квадрата Г. Александрова (ссылка выше) перестановками строк (в двух последних квадратах с последующим применением преобразования “строки-диагонали”).

 

                                          Квадрат № 6

                                                  (получен из квадрата № 1 по программе)

 

37

60

52

11

31

26

66

5

81

32

27

64

6

79

38

58

53

12

80

39

59

54

10

33

25

65

4

8

46

14

63

20

69

34

75

40

21

67

35

73

41

9

47

15

61

42

7

48

13

62

19

68

36

74

78

17

57

49

72

28

23

43

2

70

29

24

44

3

76

18

55

50

1

77

16

56

51

71

30

22

45

 

 

                                                                      Квадрат № 7

                                   (получен из квадрата Г. Александрова по программе)

 

26

64

78

44

1

15

62

46

33

77

43

3

14

61

48

32

25

66

2

13

63

47

31

27

65

76

45

60

53

28

24

71

73

42

8

10

30

23

70

75

41

7

12

59

52

72

74

40

9

11

58

54

29

22

37

6

17

55

51

35

19

69

80

16

57

50

34

21

68

79

39

5

49

36

20

67

81

38

4

18

56

 

                                                                               Квадрат № 8

                                               (получен из квадрата Г. Александрова

с переставленными строками по программе)

 

66

8

54

68

1

47

70

6

49

45

59

19

38

61

24

40

57

26

10

29

79

15

31

75

17

36

77

52

69

4

48

71

9

50

64

2

22

39

62

27

41

55

20

43

60

80

18

32

73

11

34

78

13

30

5

46

65

7

51

67

3

53

72

56

25

42

58

21

44

63

23

37

33

76

12

35

81

14

28

74

16

 

                                                                              Квадрат № 9

                                               (получен из второго квадрата Г. Александрова

по программе)

 

56

80

72

16

4

23

51

39

28

12

1

20

53

45

34

58

77

69

50

42

30

55

74

71

18

7

22

61

76

68

15

3

19

47

44

36

17

9

25

49

41

33

57

73

65

46

38

35

63

79

67

14

6

21

60

75

64

11

8

27

52

40

32

13

5

24

48

37

29

62

81

70

54

43

31

59

78

66

10

2

26

 

Этот вариант интересен тем, что из построенного программой пандиагонального квадрата я получила три идеальных квадрата: первый с помощью преобразования параллельного переноса на торе (это квадрат № 9); второй с помощью преобразования “строки-диагонали” (это квадрат № 10); третий тоже с помощью преобразования “строки-диагонали”, но применённому к квадрату, перенесённому на торе по-другому, это квадрат № 11.

 

                                                              Квадрат № 10

 

17

66

76

62

30

40

53

21

4

23

9

10

68

81

55

32

45

46

38

51

25

2

15

70

74

60

34

58

35

39

49

26

3

13

71

75

64

77

63

28

41

54

19

5

18

7

11

69

79

56

33

43

47

24

48

22

8

12

67

80

57

31

44

36

37

50

27

1

14

72

73

59

78

61

29

42

52

20

6

16

65

 

                                                             Квадрат № 11

 

78

36

48

7

64

58

38

23

17

61

37

22

11

77

35

51

9

66

29

50

8

69

63

39

25

10

76

42

27

12

79

28

49

2

68

62

52

1

67

56

41

26

15

81

30

20

14

80

33

54

3

70

55

40

6

72

57

43

19

13

74

32

53

16

73

31

47

5

71

60

45

21

65

59

44

24

18

75

34

46

4

 

Интересно отметить, что квадрат № 11 – это просто повёрнутый квадрат № 10.

 

                                                        Квадрат № 12

                                      (получен из квадрата № 4 по программе)

 

74

62

70

18

24

5

31

37

48

10

21

2

35

43

54

78

59

67

32

40

46

75

56

71

16

27

6

81

60

68

13

19

3

29

44

52

17

25

9

33

41

49

73

57

65

30

38

53

79

63

69

14

22

1

76

55

66

11

26

7

36

42

50

15

23

4

28

39

47

80

61

72

34

45

51

77

58

64

12

20

8

 

                                       Квадрат № 13

                            (получен из квадрата № 5 по программе)

 

18

5

37

74

70

24

31

48

62

67

21

35

54

59

10

2

43

78

56

16

6

40

75

71

27

32

46

81

68

19

29

52

60

13

3

44

49

57

17

9

41

73

65

25

33

38

79

69

22

30

53

63

14

1

36

50

55

11

7

42

76

66

26

4

39

80

72

23

28

47

61

15

20

34

51

58

12

8

45

77

64

 

 

Следующие квадраты я получила применением к разным идеальным квадратам, полученным по программе, преобразования “строки-диагонали”, предварительно перенеся квадраты на торе. Поскольку преобразование “строки-диагонали” я выполняю по программе, составленной специально для данного преобразования, то квадраты привожу прямо из файла, в который их записала программа.

 

Квадрат № 14

 

17  64  60  80  46  42  35  1  24

 5  25  12  68  61  75  50  43  30

 38  31  9  20  13  72  56  76  54

 78  53  37  33  8  19  15  71  55

 66  59  79  48  41  34  3  23  16

 27  11  67  63  74  49  45  29  4

 28  6  26  10  69  62  73  51  44

 52  39  32  7  21  14  70  57  77

 58  81  47  40  36  2  22  18  65

 

Квадрат № 14а

 

 58  52  28  27  66  78  38  5  17

 81  39  6  11  59  53  31  25  64

 47  32  26  67  79  37  9  12  60

 40  7  10  63  48  33  20  68  80

 36  21  69  74  41  8  13  61  46

 2  14  62  49  34  19  72  75  42

 22  70  73  45  3  15  56  50  35

 18  57  51  29  23  71  76  43  1

 65  77  44  4  16  55  54  30  24

 

 Этот квадрат, как видите, просто повёрнутый квадрат № 14.

Но не стала его выбрасывать.

 

Квадрат № 15

 

 49  8  68  47  6  66  54  1  70

 24  57  45  19  61  40  26  59  38

 79  31  17  77  29  15  75  36  10

 2  69  48  9  64  52  4  71  50

 55  43  22  62  41  20  60  39  27

 32  11  78  30  18  73  34  13  80

 72  46  7  67  53  5  65  51  3

 44  23  56  42  21  63  37  25  58

 12  81  28  16  76  35  14  74  33

 

Квадрат № 15а

 

 12  44  72  32  55  2  79  24  49

 81  23  46  11  43  69  31  57  8

 28  56  7  78  22  48  17  45  68

 16  42  67  30  62  9  77  19  47

 76  21  53  18  41  64  29  61  6

 35  63  5  73  20  52  15  40  66

 14  37  65  34  60  4  75  26  54

 74  25  51  13  39  71  36  59  1

 33  58  3  80  27  50  10  38  70

 

Тоже получился повёрнутый квадрат № 15.

 

Квадрат № 16

 

 30  38  53  79  63  69  14  22  1

 15  23  4  28  39  47  80  61  72

 74  62  70  18  24  5  31  37  48

 32  40  46  75  56  71  16  27  6

 17  25  9  33  41  49  73  57  65

 76  55  66  11  26  7  36  42  50

 34  45  51  77  58  64  12  20  8

 10  21  2  35  43  54  78  59  67

 81  60  68  13  19  3  29  44  52

 

Квадрат № 16а

 

 81  10  34  76  17  32  74  15  30

 60  21  45  55  25  40  62  23  38

 68  2  51  66  9  46  70  4  53

 13  35  77  11  33  75  18  28  79

 19  43  58  26  41  56  24  39  63

 3  54  64  7  49  71  5  47  69

 29  78  12  36  73  16  31  80  14

 44  59  20  42  57  27  37  61  22

 52  67  8  50  65  6  48  72  1

 

И снова повёрнутый квадрат. Понятно, что повёрнутые квадраты получились в результате второго применения преобразования “строки-диагонали”.

 

Вот сколько я построила идеальных квадратов по своей программе, которая вообще-то писалась для другой цели. А вначале у нас с Георгием было всего три идеальных квадрата девятого порядка: два построил он, и один я, с помощью матричного метода. Смотрите подробно об этом на странице “Магические квадраты девятого порядка”.

Ссылка:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

И это ещё не всё! Мне стало интересно, а что получится, если ввести в программу в качестве исходного квадрата квадрат, построенный по этой же программе. Попробовала на квадрате № 12 (этот квадрат получен по программе из квадрата № 4). Ввела квадрат в программу и выполнила её. Программа нисколько “не удивилась”, что ей дали квадрат, который она же построила. Она его добросовестно обработала и выдала результат. Построенный квадрат вы видите ниже:

 

                                                            Квадрат № 17

 

64

80

42

1

17

60

46

35

24

12

61

50

30

25

68

75

43

5

20

72

76

38

9

13

56

54

31

8

15

55

53

33

19

71

78

37

34

23

66

79

41

3

16

59

48

45

4

11

63

49

29

27

67

74

51

28

26

69

73

44

6

10

62

77

39

7

14

57

52

32

21

70

58

47

36

22

65

81

40

2

18

 

 

Как видите, получился новый идеальный квадрат. Очень оригинальный чётно-нечётный рисунок у этого квадрата.

Идём дальше? Строим из этого квадрата снова идеальный квадрат. Как вы думаете, получилось? Да! Но только на этот раз квадрат получился не новый, а повёрнутый на 180 градусов квадрат № 4, с которого эта цепь построений начиналась. Показываю этот идеальный квадрат:

 

                                                             Квадрат № 4а

 

81

32

10

74

34

15

76

30

17

40

21

62

45

23

55

38

25

60

2

70

51

4

66

53

9

68

46

18

77

28

11

79

33

13

75

35

58

39

26

63

41

19

56

43

24

47

7

69

49

3

71

54

5

64

36

14

73

29

16

78

31

12

80

22

57

44

27

59

37

20

61

42

65

52

6

67

48

8

72

50

1

 

Вот какая чудо-программа для производства идеальных квадратов девятого порядка у меня неожиданно получилась! На входе идеальный квадрат, на выходе – новый идеальный квадрат, этот квадрат снова на вход, на выходе – новый идеальный квадрат. Правда, этот круг замыкается: в конце концов, строится исходный квадрат (с точностью до поворота или, может быть, другого известного преобразования или комбинации преобразований).

 

10 октября 2007 г.

 

       11 октября 2007 г.

 

Удивительно идеален квадрат № 1! Сейчас написала для него прототип, и он оказался пандиагональным, а после переноса на торе и ассоциативным. Показываю этот идеальный квадрат:

 

                                                             Квадрат № 18

 

22

71

56

77

45

30

51

16

1

18

3

24

70

55

76

44

29

50

28

49

17

2

23

72

57

78

43

62

48

42

36

19

13

7

74

68

73

67

61

47

41

35

21

15

9

14

8

75

69

63

46

40

34

20

39

4

25

10

59

80

65

33

54

32

53

38

6

27

12

58

79

64

81

66

31

52

37

5

26

11

60

 

 

А применив к прототипу преобразование “строки-диагонали”, я получила такой идеальный квадрат:

 

                                                              Квадрат № 19

 

37

62

12

49

65

24

34

77

9

68

27

28

80

3

40

56

15

52

6

43

59

18

46

71

21

31

74

78

10

50

63

22

35

66

7

38

25

29

69

1

41

81

13

53

57

44

75

16

47

60

19

32

72

4

8

51

61

11

36

64

23

39

76

30

67

26

42

79

2

54

55

14

73

5

48

58

17

33

70

20

45

 

 

Следует заметить, что не всякий идеальный квадрата имеет пандиагональный прототип. Так, например, первый квадрат Г. Александрова (ссылки в начале статьи) имеет прототип не только не пандиагональный, но даже не магический – нет магической суммы по одной из главных диагоналей. То есть это полумагический квадрат. Вы видите этот квадрат на рис. 1.

 

 

29

19

68

81

44

3

13

60

52

54

35

21

67

78

43

2

10

59

58

51

34

20

64

77

45

8

12

11

55

50

36

26

66

76

42

7

9

17

57

49

33

25

65

73

41

40

6

16

56

46

32

27

71

75

74

37

5

18

62

48

31

24

70

72

80

39

4

15

61

47

28

23

22

69

79

38

1

14

63

53

30

 

                                                                     Рис. 1

 

Интересно, что этот квадрат ещё и полу-пандиагональный. По разломанным диагоналям, совпадающим по направлению с главной диагональю, имеющей магическую сумму, тоже суммы равны магической константе. А по семи разломанным диагоналям другого направления, совпадающего с другой главной диагональю, не имеющей магической суммы, суммы не равны магической константе. Вот какой интересный полумагический, полу-пандиагональный квадрат!

 

А вот второй квадрат Г. Александрова имеет пандиагональный прототип.

На рис. 2 изображён прототип, на рис. 2а – полученный из него идеальный квадрат (параллельным переносом на торе), на рис. 2б – идеальный квадрат, полученный применением к прототипу преобразования “строки-диагонали”.

 

 

                                                           Прототип идеального

                                                     квадрата Г. Александрова

 

6

52

29

78

16

20

42

61

65

14

27

37

59

72

1

50

36

73

67

8

48

31

80

12

22

44

57

79

11

24

43

56

69

7

47

33

63

64

5

54

28

77

18

19

41

35

75

13

26

39

58

71

3

49

38

60

70

2

51

34

74

15

25

46

32

81

10

23

45

55

68

9

21

40

62

66

4

53

30

76

17

 

                                                                     Рис. 2

 

                                                            Квадрат № 20

 

16

20

42

61

65

6

52

29

78

72

1

50

36

73

14

27

37

59

80

12

22

44

57

67

8

48

31

56

69

7

47

33

79

11

24

43

28

77

18

19

41

63

64

5

54

39

58

71

3

49

35

75

13

26

51

34

74

15

25

38

60

70

2

23

45

55

68

9

46

32

81

10

4

53

30

76

17

21

40

62

66

 

                                                                     Рис. 2а

 

                                                             Квадрат № 21

 

17

56

46

12

60

50

13

61

54

43

9

80

38

1

75

42

5

76

68

31

25

72

35

20

64

30

24

48

15

59

49

16

63

53

11

55

74

37

3

78

41

4

79

45

8

27

71

29

19

66

33

23

67

34

58

52

18

62

47

10

57

51

14

6

77

40

7

81

44

2

73

39

28

21

69

32

22

70

36

26

65

 

                                                                     Рис. 2б

 

Можно продолжить исследование прототипов других идеальных квадратов. Напомню, что выше по программе получались идеальные квадраты, для которых в качестве прототипа брался один из известных идеальных квадратов. Здесь же рассматривались прототипы самих идеальных квадратов: ведь у каждого идеального квадрата есть свой прототип.

 

16 октября 2007 г.

 

Продолжаю строить идеальные квадраты девятого порядка. Вспомнила о программе перестановки строк, с помощью которой я получила несколько новых идеальных квадратов из квадрата Г. Александрова (см. квадраты №№ 3-5). А сейчас решила в качестве исходного ввести в эту программу свой идеальный квадрат №1, который я построила матричным методом. Программа выполняет только перестановку строк и больше ничего. Ещё в программе проверяется пандиагональность построенного квадрата, и если квадрат пандиагональный, то он записывается в файл. Для исходного квадрата № 1 программы выдала несравнимо больше пандиагональных квадратов, чем для квадрата Г. Александрова.

Этот результат мне показался интересным, помещаю на сайт все эти квадраты, прямо в файле, в который их записала программа. Файл здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan9pril.htm

 

Повторяю, что это пандиагональные квадраты, а не идеальные. Программа, конечно, построила все варианты параллельного переноса на торе. Кроме того, она построила и варианты со стандартной перестановкой строк. Напомню, какая это перестановка (см. рис. 3):

 

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

37

12

65

34

9

62

49

24

77

52

27

80

40

15

68

28

3

56

31

6

59

46

21

74

43

18

71

66

38

10

63

35

7

78

50

22

81

53

25

69

41

13

57

29

1

60

32

4

75

47

19

72

44

16

11

64

39

8

61

36

23

76

51

26

79

54

14

67

42

2

55

30

 

                                                                      Рис. 3

 

Очевидно, что этот квадрат легко превратить в ассоциативный (а значит, и в идеальный) путём параллельного переноса на торе. Идеальный квадрат, полученный таким переносом, вы видите на рис. 4.

 

                                                             Квадрат № 1а

 

37

12

65

34

9

62

49

24

77

52

27

80

40

15

68

28

3

56

31

6

59

46

21

74

43

18

71

66

38

10

63

35

7

78

50

22

81

53

25

69

41

13

57

29

1

60

32

4

75

47

19

72

44

16

11

64

39

8

61

36

23

76

51

26

79

54

14

67

42

2

55

30

5

58

33

20

73

48

17

70

45

 

                                                  Рис. 4

 

Как видите, новый идеальный квадрат не получился из этого варианта, квадрат на рис. 4 – это отражённый идеальный квадрат № 1.

Но ещё очень многие пандиагональные квадраты из представленного файла могут быть превращены в идеальные. Покажу только один пример, когда в результате получается новый идеальный квадрат. На рис. 5 изображён пандиагональный квадрат из файла, а на рис. 6 – полученный из него идеальный квадрат. Идеальный квадрат получен применением преобразования “строки-диагонали” к отражённому квадрату с рис. 5.

 

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

11

64

39

8

61

36

23

76

51

26

79

54

14

67

42

2

55

30

60

32

4

75

47

19

72

44

16

66

38

10

63

35

7

78

50

22

52

27

80

40

15

68

28

3

56

31

6

59

46

21

74

43

18

71

37

12

65

34

9

62

49

24

77

81

53

25

69

41

13

57

29

1

 

                                                                       Рис. 5

 

                                                               Квадрат № 22

 

81

7

58

28

39

18

14

77

47

19

53

78

33

3

8

71

67

37

12

72

25

50

20

56

61

31

42

2

65

44

69

22

73

52

36

6

59

55

34

16

41

66

48

27

23

76

46

30

9

60

13

38

17

80

40

51

21

26

62

32

57

10

70

45

15

11

74

79

49

4

29

63

35

5

68

64

43

54

24

75

1

 

                                                                      Рис. 6

 

Ещё один идеальный квадрат получается из пандиагонального квадрата с рис. 5 параллельным переносом на торе, этот квадрат показан на рис. 7.

 

                                                             Квадрат № 23

 

66

38

10

63

35

7

78

50

22

52

27

80

40

15

68

28

3

56

31

6

59

46

21

74

43

18

71

37

12

65

34

9

62

49

24

77

81

53

25

69

41

13

57

29

1

5

58

33

20

73

48

17

70

45

11

64

39

8

61

36

23

76

51

26

79

54

14

67

42

2

55

30

60

32

4

75

47

19

72

44

16

 

                                                   Рис. 7

 

Показан оригинальный чётно-нечётный рисунок этого квадрата.

 

Предлагаю читателям продолжить построение идеальных квадратов, используя пандиагональные квадраты из приведённого файла (см. ссылку выше).

 

17 октября 2007 г.

 

А сегодня в два счёта переделала программу для перестановки строк в программу для перестановки столбцов и по этой программе получила так же много пандиагональных квадратов, многие из которых можно превратить в идеальные. Приведу только один пример. На рис. 8 изображён пандиагональный квадрат, полученный из идеального квадрата № 1 по программе перестановки столбцов.

 

5

33

58

20

48

70

17

45

73

26

54

79

14

42

55

2

30

67

11

39

64

8

36

76

23

51

61

60

4

32

75

19

44

72

16

47

81

25

53

69

13

29

57

1

41

66

10

38

63

7

50

78

22

35

31

59

6

46

74

18

43

71

21

52

80

27

40

68

3

28

56

15

37

65

12

34

62

24

49

77

9

 

                                                  Рис. 8

 

На рис. 9 вы видите идеальный квадрат, полученный из квадрата с рис. 8 параллельным переносом на торе, а на рис. 10 – идеальный квадрат, полученный из того же квадрата, только повёрнутого и отражённого, преобразованием “строки-диагонали”.

 

                                                            Квадрат № 24

 

48

70

17

45

73

5

33

58

20

42

55

2

30

67

26

54

79

14

36

76

23

51

61

11

39

64

8

19

44

72

16

47

60

4

32

75

13

29

57

1

41

81

25

53

69

7

50

78

22

35

66

10

38

63

74

18

43

71

21

31

59

6

46

68

3

28

56

15

52

80

27

40

62

24

49

77

9

37

65

12

34

 

                                                                     Рис. 9

 

                                                              Квадрат № 25

 

9

19

52

76

59

2

38

45

69

75

15

36

31

55

10

17

53

77

56

8

21

42

66

70

25

49

32

64

71

14

35

48

81

24

4

28

43

79

22

20

41

62

60

3

39

54

78

58

1

34

47

68

11

18

50

33

57

12

16

40

61

74

26

5

29

65

72

27

51

46

67

7

13

37

44

80

23

6

30

63

73

 

                                                  Рис. 10

 

Построение идеальных квадратов девятого порядка можно продолжить, используя все пандиагональные квадраты, полученные перестановкой строк и столбцов. Таким образом, из одного идеального квадрата № 1 можно получить много других идеальных квадратов, не входящих в группу, порождаемую этим квадратом.

 

                                                                   ***

 

Напомню читателям, что данная страница является приложением к статье “Магические квадраты девятого порядка”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm

 

                                               ***

 

23 ноября 2007 г.

 

Сообщаю читателям, что я нашла метод построения пандиагонального (и идеального) квадрата девятого порядка из ассоциативного. Для этого в качестве исходного ассоциативного квадрата надо было взять квадрат, построенный не методом террас, а другим методом: на базе магического квадрата третьего порядка. Смотрите подробный рассказ об этом методе на странице “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm

 

В этой статье изложены методы построения пандиагональных квадратов нечётных порядков кратных 9. Самым первым в этой группе, понятно, является квадрат девятого порядка.

На рис. 11 показаны идеальный квадраты девятого порядка, построенные в статье, слева – перестановкой столбцов, справа – перестановкой строк.

 

 

11

56

47

16

61

52

15

60

51

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

18

63

54

14

59

50

10

55

46

 

74

79

78

38

43

42

2

7

6

13

58

49

12

57

48

17

62

53

 

29

34

33

20

25

24

65

70

69

74

38

2

79

43

7

78

42

6

 

18

14

10

63

59

55

54

50

46

81

45

9

77

41

5

73

37

1

 

81

77

73

45

41

37

9

5

1

76

40

4

75

39

3

80

44

8

 

36

32

28

27

23

19

72

68

64

29

20

65

34

25

70

33

24

69

 

13

12

17

58

57

62

49

48

53

36

27

72

32

23

68

28

19

64

 

76

75

80

40

39

44

4

3

8

31

22

67

30

21

66

35

26

71

 

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

                                                                      Рис. 11

 

Это очень интересные идеальные квадраты! На левом квадрате показан чётно-нечётный рисунок. В правом квадрате он такой же. Как видите, симметрия абсолютная: относительно обеих осей симметрии – вертикальной и горизонтальной, – относительно обеих главных диагоналей и относительно центра квадрата. Кроме того, оба квадрата обладают таким замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри квадрата, равна магической константе квадрата – 369. В квадрате справа выделено четыре таких квадрата для примера. Таким же свойством обладает идеальный квадрат № 1, построенный матричным методом (см. начало статьи).

 

Прототипы этих квадратов пандиагональны. На рис. 12 показан прототип левого квадрата с рис 11, а на рис. 13 – идеальный квадрат, полученный из этого прототипа параллельным переносом на торе.

 

 

46

53

6

1

8

69

64

71

51

62

42

37

44

24

19

26

60

55

78

73

80

33

28

35

15

10

17

5

3

70

68

66

52

50

48

7

39

25

23

21

61

59

57

43

41

34

32

30

16

14

12

79

77

75

72

67

47

54

49

2

9

4

65

22

56

63

58

38

45

40

20

27

11

18

13

74

81

76

29

36

31

 

                                                                      Рис. 12

 

8

69

64

71

51

46

53

6

1

24

19

26

60

55

62

42

37

44

28

35

15

10

17

78

73

80

33

66

52

50

48

7

5

3

70

68

61

59

57

43

41

39

25

23

21

14

12

79

77

75

34

32

30

16

49

2

9

4

65

72

67

47

54

38

45

40

20

27

22

56

63

58

81

76

29

36

31

11

18

13

74

 

                                                                     Рис. 13

 

Следующий квадрат (рис. 14) получен применением к прототипу с рис. 12 (повёрнутому и отражённому) преобразования “строки-диагонали”.

 

 

31

66

22

35

67

26

30

71

21

68

27

28

72

19

32

64

23

36

20

33

65

24

34

69

25

29

70

80

4

44

75

8

39

76

3

40

9

37

77

1

41

81

5

45

73

42

79

6

43

74

7

38

78

2

12

53

57

13

48

58

17

49

62

46

59

18

50

63

10

54

55

14

61

11

52

56

15

47

60

16

51

 

                                                                                  Рис. 14

 

            Ещё два идеальных квадрата в мою коллекцию!

 

Ну, и ещё из идеальных квадратов с рис. 11 можно получить новые идеальные квадраты по программе, которая была описана выше. На рис. 15 вы видите пандиагональный квадрат, полученный по этой программе из левого квадрата рис. 11, а на рис. 16 – идеальный квадрат, полученный из этого пандиагонального параллельным переносом на торе.

 

 

31

27

65

75

41

7

17

55

51

22

72

34

39

5

78

62

46

11

67

32

25

3

73

42

53

18

56

30

23

70

80

37

6

13

63

47

21

68

33

44

1

74

58

54

16

66

28

24

8

81

38

49

14

61