ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

Итак, совсем недавно Г. Александрову удалось построить идеальный квадрат 15-ого порядка. Вот ссылка на его статью:

 

http://renuar911.narod.ru/IMSb.html

 

Но признаюсь, что я не стала вникать в его метод. Там такое наворочено! Побоялась мозги сломать. Не совсем уверена, что этим методом Георгий может построить, например, идеальные квадраты 27-ого или 81-ого порядка (мной такие квадраты построены, причём очень простыми методами, без наворотов; см. статью “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Потому что он там строит какую-то начальную цепочку ходов (очень непросто!), а после отыскания такой цепочки ещё ведь надо достроить квадрат какими-то перескакиваниями шахматного коня. Как перескакивать? Схема нужна определённая? Где она? Для квадрата 27-ого порядка, например, она какая будет? А для квадрата 81-ого порядка?

 

Александров сначала показал построение идеального квадрата 15-ого порядка, а затем – для лучшего понимания метода – предложил построение идеального квадрата 9-ого порядка. Нет бы показать построение идеального квадрата 21-ого или 33-ого порядка! Вот тогда бы действительно лучше стал понятен метод.

 

Но критика критикой, а тем не менее идеальный квадрат 15-ого квадрата построен! В статье Александров приводит два квадрата, один из них вы видите на рис. 1.

 

 

148

82

32

131

207

75

53

1

109

215

179

159

18

96

190

92

191

147

90

38

121

199

65

59

9

108

216

175

163

22

162

30

98

181

139

80

44

129

198

66

55

13

112

212

176

218

166

154

20

104

189

138

81

40

133

202

62

56

12

120

4

110

224

174

153

21

100

193

142

77

41

132

210

68

46

74

54

3

111

220

178

157

17

101

192

150

83

31

124

200

123

201

70

58

7

107

221

177

165

23

91

184

140

89

39

85

43

127

197

71

57

15

113

211

169

155

29

99

183

141

187

137

86

42

135

203

61

49

5

119

219

168

156

25

103

26

102

195

143

76

34

125

209

69

48

6

115

223

172

152

180

158

16

94

185

149

84

33

126

205

73

52

2

116

222

106

214

170

164

24

93

186

145

88

37

122

206

72

60

8

50

14

114

213

171

160

28

97

182

146

87

45

128

196

64

204

63

51

10

118

217

167

161

27

105

188

136

79

35

134

36

130

208

67

47

11

117

225

173

151

19

95

194

144

78

 

Рис. 1

 

Квадрат действительно идеальный, то есть он магический, пандиагональный и ассоциативный! Очень хотела увидеть такой квадрат, ибо самой построить его не удалось.

 

“Поиграю” немного с этим квадратом – дьявольски красив!

Ну, прежде всего, как для любого пандиагонального квадрата нечётного порядка, к этому квадрату применимо преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов, которое я называю преобразованием “диагонали-диагонали”. На рис. 2 изображён пандиагональный квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 стандартной перестановкой столбцов, а на рис. 3 – стандартной перестановкой строк и столбцов. Эти квадраты утратили свою ассоциативность и потому уже не идеальные, а только пандиагональные.

 

 

148

190

96

18

159

179

215

109

1

53

75

207

131

32

82

92

22

163

175

216

108

9

59

65

199

121

38

90

147

191

162

176

212

112

13

55

66

198

129

44

80

139

181

98

30

218

120

12

56

62

202

133

40

81

138

189

104

20

154

166

4

46

68

210

132

41

77

142

193

100

21

153

174

224

110

74

200

124

31

83

150

192

101

17

157

178

220

111

3

54

123

39

89

140

184

91

23

165

177

221

107

7

58

70

201

85

141

183

99

29

155

169

211

113

15

57

71

197

127

43

187

103

25

156

168

219

119

5

49

61

203

135

42

86

137

26

152

172

223

115

6

48

69

209

125

34

76

143

195

102

180

222

116

2

52

73

205

126

33

84

149

185

94

16

158

106

8

60

72

206

122

37

88

145

186

93

24

164

170

214

50

64

196

128

45

87

146

182

97

28

160

171

213

114

14

204

134

35

79

136

188

105

27

161

167

217

118

10

51

63

36

78

144

194

95

19

151

173

225

117

11

47

67

208

130

 

                                                   Рис. 2

 

 

148

190

96

18

159

179

215

109

1

53

75

207

131

32

82

36

78

144

194

95

19

151

173

225

117

11

47

67

208

130

204

134

35

79

136

188

105

27

161

167

217

118

10

51

63

50

64

196

128

45

87

146

182

97

28

160

171

213

114

14

106

8

60

72

206

122

37

88

145

186

93

24

164

170

214

180

222

116

2

52

73

205

126

33

84

149

185

94

16

158

26

152

172

223

115

6

48

69

209

125

34

76

143

195

102

187

103

25

156

168

219

119

5

49

61

203

135

42

86

137

85

141

183

99

29

155

169

211

113

15

57

71

197

127

43

123

39

89

140

184

91

23

165

177

221

107

7

58

70

201

74

200

124

31

83

150

192

101

17

157

178

220

111

3

54

4

46

68

210

132

41

77

142

193

100

21

153

174

224

110

218

120

12

56

62

202

133

40

81

138

189

104

20

154

166

162

176

212

112

13

55

66

198

129

44

80

139

181

98

30

92

22

163

175

216

108

9

59

65

199

121

38

90

147

191

 

                                                   Рис. 3

 

На рис. 2 выделены две разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата. У квадрата 15-ого порядка всего 30 диагоналей: две главные и 2(n-1)=28 разломанных. Вот все 30 диагоналей исходного квадрата с рис. 1 переходят при этих преобразованиях в 30 диагоналей нового квадрата, поэтому я называю это преобразование “диагонали-диагонали”.

 

Очень просто превратить квадраты с рис. 2 и с рис. 3 в идеальные параллельным переносом на торе. На рис. 4 и рис. 5 показаны эти идеальные квадраты. Очевидно, что квадрат на рис. 4 является отражённым квадратом с рис. 1, а квадрат на рис. 5 – повёрнутым на 180 градусов квадратом с рис. 1 (это преобразования из группы основных преобразований). То есть новых идеальных квадратов мы не получили.

 

 

190

96

18

159

179

215

109

1

53

75

207

131

32

82

148

22

163

175

216

108

9

59

65

199

121

38

90

147

191

92

176

212

112

13

55

66

198

129

44

80

139

181

98

30

162

120

12

56

62

202

133

40

81

138

189

104

20

154

166

218

46

68

210

132

41

77

142

193

100

21

153

174

224

110

4

200

124

31

83

150

192

101

17

157

178

220

111

3

54

74

39

89

140

184

91

23

165

177

221

107

7

58

70

201

123

141

183

99

29

155

169

211

113

15

57

71

197

127

42

85

103

25

156

168

219

119

5

49

61

203

135

42

86

137

187

152

172

223

115

6

48

69

209

125

34

76

143

195

102

26

222

116

2

52

73

205

126

33

84

149

185

94

16

158

180

8

60

72

206

122

37

88

145

186

93

24

164

170

214

106

64

196

128

45

87

146

182

97

28

160

171

213

114

14

50

134

35

79

136

188

105

27

161

167

217

118

10

51

63

204

78

144

194

95

19

151

173

225

117

11

47

67

208

130

36

 

                                                   Рис. 4

 

 

78

144

194

95

19

151

173

225

117

11

47

67

208

130

36

134

35

79

136

188

105

27

161

167

217

118

10

51

63

204

64

196

128

45

87

146

182

97

28

160

171

213

114

14

50

8

60

72

206

122

37

88

145

186

93

24

164

170

214

106

222

116

2

52

73

205

126

33

84

149

185

94

16

158

180

152

172

223

115

6

48

69

209

125

34

76

143

195

102

26

103

25

156

168

219

119

5

49

61

203

135

42

86

137

187

141

183

99

29

155

169

211

113

15

57

71

197

127

43

85

39

89

140

184

91

23

165

177

221

107

7

58

70

201

123

200

124

31

83

150

192

101

17

157

178

220

111

3

54

74

46

68

210

132

41

77

142

193

100

21

153

174

224

110

4

120

12

56

62

202

133

40

81

138

189

104

20

154

166

218

176

212

112

13

55

66

198

129

44

80

139

181

98

30

162

22

163

175

216

108

9

59

65

199

121

38

90

147

191

92

190

96

18

159

179

215

109

1

53

75

207

131

32

82

148

 

                                                                      Рис. 5

 

Замечу, что во всех показанных здесь идеальных квадратах, а также и во втором квадрате, приведённым Александровым в своей статье, наборы чисел в центральных строке и столбце одинаковы. Кстати, точно такие же наборы чисел имеет в центральных строке и столбце ассоциативный квадрат, построенный методом террас, с той только разницей, что строка и столбец поменялись местами (см. рис. 6).

 

 

8

121

24

137

40

153

56

169

72

185

88

201

104

217

120

135

23

136

39

152

55

168

71

184

87

200

103

216

119

7

22

150

38

151

54

167

70

183

86

199

102

215

118

6

134

149

37

165

53

166

69

182

85

198

101

214

117

5

133

21

36

164

52

180

68

181

84

197

100

213

116

4

132

20

148

163

51

179

67

195

83

196

99

212

115

3

131

19

147

35

50

178

66

194

82

210

98

211

114

2

130

18

146

34

162

177

65

193

81

209

97

225

113

1

129

17

145

33

161

49

64

192

80

208

96

224

112

15

128

16

144

32

160

48

176

191

79

207

95

223

111

14

127

30

143

31

159

47

175

63

78

206

94

222

110

13

126

29

142

45

158

46

174

62

190

205

93

221

109

12

125

28

141

44

157

60

173

61

189

77

92

220

108

11

124

27

140

43

156

59

172

75

188

76

204

219

107

10

123

26

139

42

155

58

171

74

187

90

203

91

106

9

122

25

138

41

154

57

170

73

186

89

202

105

218

 

                                                                      Рис. 6

 

Можно ли построить идеальный квадрат с другими наборами в центральных строке и столбце? Конечно, можно. И для построения такого квадрата я применю преобразование “строки-диагонали”. Но прежде перенесу квадрат с рис. 1 на торе, а затем поверну его на 90 градусов (см. рис. 7).

 

 

1

65

129

81

193

17

177

113

49

209

33

145

97

161

225

53

199

44

138

100

157

221

15

61

125

84

186

28

167

117

75

121

80

189

21

178

107

57

203

34

149

93

160

217

11

207

38

139

104

153

220

7

71

135

76

185

24

171

118

47

131

90

181

20

174

111

58

197

42

173

94

164

213

10

67

32

147

98

154

224

3

70

127

86

195

16

170

114

51

208

82

191

30

166

110

54

201

43

137

102

158

214

14

63

130

148

92

162

218

4

74

123

85

187

26

180

106

50

204

36

190

22

176

120

46

200

39

141

103

152

222

8

64

134

78

96

163

212

12

68

124

89

183

25

172

116

60

196

35

144

18

175

112

56

210

31

140

99

156

223

2

72

128

79

194

159

216

13

62

132

83

184

29

168

115

52

206

45

136

95

179

108

55

202

41

150

91

155

219

6

73

122

87

188

19

215

9

66

133

77

192

23

169

119

48

205

37

146

105

151

109

59

198

40

142

101

165

211

5

69

126

88

182

27

173

 

                                                   Рис. 7

 

Квадрат на рис. 7 пандиагональный, но не ассоциативный. А вот теперь применим к этому квадрату преобразование “строки-диагонали”, которое превратит квадрат в ассоциативный, а значит, в идеальный.

Но сначала покажу матрицу этого преобразования. Пусть исходный квадрат имеет матрицу А(ai,j), тогда матрица преобразованного квадрата имеет следующий вид (рис. 8):

 

 

а1,1

а8,9

а15,2

а7,10

а14,3

а6,11

а13,4

а5,12

а12,5

а4,13

а11,6

а3,14

а10,7

а2,15

а9,8

а9,9

а1,2

а8,10

а15,3

а7,11

а14,4

а6,12

а13,5

а5,13

а12,6

а4,14

а11,7

а3,15

а10,8

а2,1

а2,2

а9,10

а1,3

а8,11

а15,4

а7,12

а14,5

а6,13

а13,6

а5,14

а12,7

а4,15

а11,8

а3,1

а10,9

а10,10

а2,3

а9,11

а1,4

а8,12

а15,5

а7,13

а14,6

а6,14

а13,7

а5,15

а12,8

а4,1

а11,9

а3,2

а3,3

а10,11

а2,4

а9,12

а1,5

а8,13

а15,6

а7,14

а14,7

а6,15

а13,8

а5,1

а12,9

а4,2

а11,10

а11,11

а3,4

а10,12

а2,5

а9,13

а1,6

а8,14

а15,7

а7,15

а14,8

а6,1

а13,9

а5,2

а12,10

а4,3

а4,4

а11,12

а3,5

а10,13

а2,6

а9,14

а1,7

а8,15

а15,8

а7,1

а14,9

а6,2

а13,10

а5,3

а12,11

а12,12

а4,5

а11,13

а3,6

а10,14

а2,7

а9,15

а1,8

а8,1

а15,9

а7,2

а14,10

а6,3

а13,11

а5,4

а5,5

а12,13

а4,6

а11,14

а3,7

а10,15

а2,8

а9,1

а1,9

а8,2

а15,10

а7,3

а14,11

а6,4

а13,12

а13,13

а5,6

а12,14

а4,7

а11,15

а3,8

а10,1

а2,9

а9,2

а1,10

а8,3

а15,11

а7,4

а14,12

а6,5

а6,6

а13,14

а5,7

а12,15

а4,8

а11,1

а3,9

а10,2

а2,10

а9,3

а1,11

а8,4

а15,12

а7,5

а14,13

а14,14

а6,7

а13,15

а5,8

а12,1

а4,9

а11,2

а3,10

а10,3

а2,11

а9,4

а1,12

а8,5

а15,13

а7,6

а7,7

а14,15

а6,8

а13,1

а5,9

а12,2

а4,10

а11,3

а3,11

а10,4

а2,12

а9,5

а1,13

а8,6

а15,14

а15,15

а7,8

а14,1

а6,9

а13,2

а5,10

а12,3

а4,11

а11,4

а3,12

а10,5

а2,13

а9,6

а1,14

а8,7

а8,8

а15,1

а7,9

а14,2

а6,10

а13,3

а5,11

а12,4

а4,12

а11,5

а3,13

а10,6

а2,14

а9,7

а1,15

 

                                                                  Рис. 8

 

Применим это преобразование к квадрату с рис. 7. В результате получится идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9.

 

 

1

187

59

102

66

16

202

164

132

171

31

217

89

117

141

103

65

26

198

158

133

170

41

213

83

118

140

11

183

53

199

152

129

180

40

214

77

114

150

10

184

47

99

75

25

172

44

222

81

106

142

14

192

51

91

67

29

207

156

121

80

116

138

8

193

50

101

63

23

208

155

131

168

38

223

2

189

60

100

64

17

204

165

130

169

32

219

90

115

139

104

72

21

196

157

134

177

36

211

82

119

147

6

181

52

206

153

128

178

35

221

78

113

148

5

191

48

98

73

20

174

45

220

79

107

144

15

190

49

92

69

30

205

154

122

87

111

136

7

194

57

96

61

22

209

162

126

166

37

224

3

188

58

95

71

18

203

163

125

176

33

218

88

110

146

105

70

19

197

159

135

175

34

212

84

120

145

4

182

54

201

151

127

179

42

216

76

112

149

12

186

46

97

74

27

173

43

215

86

108

143

13

185

56

93

68

28

200

161

123

85

109

137

9

195

55

94

62

24

210

160

124

167

39

225

 

                                                   Рис. 9

 

Напомню читателям, что преобразование “строки-диагонали” переводит строки (а также и столбцы) исходного квадрата в диагонали нового квадрата. На рис. 9 выделены три диагонали – главная и две разломанных – в которые перешли первые три строки исходного квадрата (на рис. 7 эти строки выделены соответствующими цветами). Преобразование было обнаружено мной при исследовании пандиагональных квадратов пятого порядка (см. статью “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Оно сохраняет пандиагональность квадрата и применимо к любому пандиагональному квадрату нечётного порядка (рассказывала о нём для квадратов седьмого и девятого порядка; см. соответствующие статьи).

В идеальном квадрате, изображённом на рис. 9, совсем другие наборы чисел в центральных строке и столбце. Кроме того, квадрат интересен тем, что в левой верхней ячейке его стоит число 1. Я испытываю пристрастие к таким квадратам – с числом 1 в левой верхней ячейке, по-моему, они самые красивые. Понятно, что любой пандиагональный квадрат очень легко превратить в такой, в котором в левой верхней ячейке стоит число 1, просто перенести его на торе. Но с идеальным квадратом это не проходит! Если квадрат Георгия (рис. 1) перенести на торе так, чтобы в левой верхней ячейке стояло число 1, то он перестанет быть ассоциативным, а значит, идеальным. Так что, на рис. 9 вы видите прекрасный образец идеального квадрата 15-ого порядка, начинающийся с 1.

На рис. 9а показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата. Оригинальный рисунок; симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

 

1

187

59

102

66

16

202

164

132

171

31

217

89

117

141

103

65

26

198

158

133

170

41

213

83

118

140

11

183

53

199

152

129

180

40

214

77

114

150

10

184

47

99

75

25

172

44

222

81

106

142

14

192

51

91

67

29

207

156

121

80

116

138

8

193

50

101

63

23

208

155

131

168

38

223

2

189

60

100

64

17

204

165

130

169

32

219

90

115

139

104

72

21

196

157

134

177

36

211

82

119

147

6

181

52

206

153

128

178

35

221

78

113

148

5

191

48

98

73

20

174

45

220

79

107

144

15

190

49

92

69

30

205

154

122

87

111

136

7

194

57

96

61

22

209

162

126

166

37

224

3

188

58

95

71

18

203

163

125

176

33

218

88

110

146

105

70

19

197

159

135

175

34

212

84

120

145

4

182

54

201

151

127

179

42

216

76

112

149

12

186

46

97

74

27

173

43

215

86

108

143

13

185

56

93

68

28

200

161

123

85

109

137

9

195

55

94

62

24

210

160

124

167

39

225

 

                                                   Рис. 9а

 

А теперь применим ещё раз преобразование “строки-диагонали”. Исходным будет квадрат, полученный из идеального квадрата с рис. 9 переносом на торе (см. рис. 10).

 

206

153

128

178

35

221

78

113

148

5

191

48

98

73

20

174

45

220

79

107

144

15

190

49

92

69

30

205

154

122

87

111

136

7

194

57

96

61

22

209

162

126

166

37

224

3

188

58

95

71

18

203

163

125

176

33

218

88

110

146

105

70

19

197

159

135

175

34

212

84

120

145

4

182

54

201

151

127

179

42

216

76

112

149

12

186

46

97

74

27

173

43

215

86

108

143

13

185

56

93

68

28

200

161

123

85

109

137

9

195

55

94

62

24

210

160

124

167

39

225

1

187

59

102

66

16

202

164

132

171

31

217

89

117

141

103

65

26

198

158

133

170

41

213

83

118

140

11

183

53

199

152

129

180

40

214

77

114

150

10

184

47

99

75

25

172

44

222

81

106

142

14

192

51

91

67

29

207

156

121

80

116

138

8

193

50

101

63

23

208

155

131

168

38

223

2

189

60

100

64

17

204

165

130

169

32

219

90

115

139

104

72

21

196

157

134

177

36

211

82

119

147

6

181

52

 

                                                   Рис. 10

 

На рис. 11 вы видите идеальный квадрат, получившийся применением к квадрату с рис. 10 преобразования “строки-диагонали”.

 

 

206

24

72

93

60

186

8

145

106

88

214

37

170

122

164

132

153

210

21

68

100

46

193

4

142

110

77

224

41

174

45

171

128

160

196

28

64

97

50

182

14

146

114

87

213

83

220

31

178

124

157

200

17

74

101

54

192

3

150

111

136

118

79

217

35

167

134

161

204

27

63

105

51

188

10

184

7

140

107

89

221

39

177

123

165

201

23

70

91

58

95

47

194

11

144

117

78

225

36

173

130

151

208

19

67

29

71

99

57

183

15

141

113

85

211

43

169

127

155

197

159

207

18

75

96

53

190

1

148

109

82

215

32

179

131

168

135

156

203

25

61

103

49

187

5

137

119

86

219

42

216

38

175

121

163

199

22

65

92

59

191

9

147

108

90

115

76

223

34

172

125

152

209

26

69

102

48

195

6

143

13

139

112

80

212

44

176

129

162

198

30

66

98

55

181

52

185

2

149

116

84

222

33

180

126

158

205

16

73

94

62

104

56

189

12

138

120

81

218

40

166

133

154

202

20

 

                                                   Рис. 11

 

Снова очень оригинальный чётно-нечётный рисунок, симметрия в этом рисунке относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрии и центральная. Чем ещё замечателен этот квадрат? Сравните его с идеальным квадратом с рис. 1. И вы увидите, что он получается из этого квадрата перестановкой строк и столбцов по определённой схеме! Если вы читали мои статьи о пандиагональных квадратах пятого, седьмого, девятого порядка, то помните, что там было рассказано о такой нестандартной перестановке одновременно строк и столбцов, которая сохраняет пандиагональность квадрата. Было показано, что такое преобразование эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”. Нечто подобное мы имеем здесь, то есть некоторое преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов, которое позволяет нам получать из одного идеального квадрата другой идеальный квадрат. Интересное преобразование! Я не знаю пока, единственное ли оно в том смысле, что строки и столбцы могут быть переставлены только по такой схеме. Возможно, есть и другие схемы перестановки, дающие тот же эффект. Но пока рассмотрю это преобразование. Я приведу матрицу этого преобразования, а затем применю его ко второму идеальному квадрату, данному в статье Александрова, чтобы закрепить ещё одним наглядным примером. Итак, пусть, как всегда, матрица исходного идеального квадрата имеет стандартный вид (аi,j). Тогда матрица указанного преобразования будет иметь следующий вид (рис. 12):

 

 

а12,12

а12,5

а12,13

а12,6

а12,14

а12,7

а12,15

а12,8

а12,1

а12,9

а12,2

а12,10

а12,3

а12,11

а12,4

а5,12

а5,5

а5,13

а5,6

а5,14

а5,7

а5,15

а5,8

а5,1

а5,9

а5,2

а5,10

а5,3

а5,11

а5,4

а13,12

а13,5

а13,13

а13,6

а13,14

а13,7

а13,15

а13,8

а13,1

а13,9

а13,2

а13,10

а13,3

а13,11

а13,4

а6,12

а6,5

а6,13

а6,6

а6,14

а6,7

а6,15

а6,8

а6,1

а6,9

а6,2

а6,10

а6,3

а6,11

а6,4

а14,12

а14,5

а14,13

а14,6

а14,14

а14,7

а14,15

а14,8

а14,1

а14,9

а14,2

а14,10

а14,3

а14,11

а14,4

а7,12

а7,5

а7,13

а7,6

а7,14

а7,7

а7,15

а7,8

а7,1

а7,9

а7,2

а7,10

а7,3

а7,11

а7,4

а15,12

а15,5

а15,13

а15,6

а15,14

а15,7

а15,15

а15,8

а15,1

а15,9

а15,2

а15,10

а15,3

а15,11

а15,4

а8,12

а8,5

а8,13

а8,6

а8,14

а8,7

а8,15

а8,8

а8,1

а8,9

а8,2

а8,10

а8,3

а8,11

а8,4

а1,12

а1,5

а1,13

а1,6

а1,14

а1,7

а1,15

а1,8

а1,1

а1,9

а1,2

а1,10

а1,3

а1,11

а1,4

а9,12

а9,5

а9,13

а9,6

а9,14

а9,7

а9,15

а9,8

а9,1

а9,9

а9,2

а9,10

а9,3

а9,11

а9,4

а2,12

а2,5

а2,13

а2,6

а2,14

а2,7

а2,15

а2,8

а2,1

а2,9

а2,2

а2,10

а2,3

а2,11

а2,4

а10,12

а10,5

а10,13

а10,6

а10,14

а10,7

а10,15

а10,8

а10,1

а10,9

а10,2

а10,10

а10,3

а10,11

а10,4

а3,12

а3,5

а3,13

а3,6

а3,14

а3,7

а3,15

а3,8

а3,1

а3,9

а3,2

а3,10

а3,3

а3,11

а3,4

а11,12

а11,5

а11,13

а11,6

а11,14

а11,7

а11,15

а11,8

а11,1

а11,9

а11,2

а11,10

а11,3

а11,11

а11,4

а4,12

а4,5

а4,13

а4,6

а4,14

а4,7

а4,15

а4,8

а4,1

а4,9

а4,2

а4,10

а4,3

а4,11

а4,4

 

                                                            Рис. 12

 

Теперь покажу исходный идеальный квадрат (второй квадрат из статьи Александрова, см. ссылку в начале этой страницы) – на рис. 13. А затем применю к нему преобразование, описанное матрицей на рис. 12. Преобразованный идеальный квадрат вы видите на рис. 14.

 

 

133

96

34

146

179

75

23

1

107

215

207

160

48

82

189

79

191

134

105

38

136

167

65

27

10

108

217

204

163

51

164

60

83

181

122

95

42

145

168

67

24

13

111

214

206

218

196

152

50

87

190

123

97

39

148

171

64

26

14

120

2

110

222

205

153

52

84

193

126

94

41

149

180

68

16

72

25

3

112

219

208

156

49

86

194

135

98

31

137

170

138

172

69

28

6

109

221

209

165

53

76

182

125

102

40

99

43

141

169

71

29

15

113

211

197

155

57

85

183

127

186

124

101

44

150

173

61

17

5

117

220

198

157

54

88

56

89

195

128

91

32

140

177

70

18

7

114

223

201

154

210

158

46

77

185

132

100

33

142

174

73

21

4

116

224

106

212

200

162

55

78

187

129

103

36

139

176

74

30

8

20

12

115

213

202

159

58

81

184

131

104

45

143

166

62

175

63

22

9

118

216

199

161

59

90

188

121

92

35

147

37

144

178

66

19

11

119

225

203

151

47

80

192

130

93

 

                                                                      Рис. 13

 

 

176

55

74

78

30

187

8

129

106

103

212

36

200

139

162

149

153

180

52

68

84

16