ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

                                                             Часть I

 

Несколько дней назад зарегистрировалась на математическом форуме и узнала, что существует идеальный квадрат восьмого порядка.

Дали ссылку, где приводится такой квадрат, вот эта ссылка:

 

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Утверждение о том, что идеальные квадраты существуют только для нечётных порядков n>3, было записано в Википедии. В своей статье “Ассоциативные квадраты” я доказала, что не существует идеальных квадратов четвёртого порядка. А для высших чётно-чётных порядков приняла на веру. И до сих пор считала, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков, начиная с пятого. Это оказалось совершенно неверно. Поэтому не верьте всему, что написано в Википедии. Любое утверждение надо проверять и доказывать.

Статья “Магический квадрат” в Википедии поправлена.

 

На этой странице хочу показать идеальные квадраты восьмого порядка. А об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков пока сама ничего не знаю.

 

На рис. 1 вы видите идеальный квадрат восьмого порядка, взятый по приведённой выше ссылке.

 

7

42

55

26

31

50

47

2

62

19

14

35

38

11

22

59

1

48

49

32

25

56

41

8

60

21

12

37

36

13

20

61

4

45

52

29

28

53

44

5

57

24

9

40

33

16

17

64

6

43

54

27

30

51

46

3

63

18

15

34

39

10

23

58

 

                                                    Рис. 1

 

Замечательный идеальный квадрат! И я уже вижу в этом квадрате качели. Покажу образующую таблицу этого квадрата (на рис. 1 выделена начальная цепочка первых 8 чисел). Кстати, схема построения этого квадрата очень похожа на схему Франклина в его дьявольски полумагических квадратах (см. статью Квадраты Франклина).

 Смотрите образующую таблицу приведённого идеального квадрата на рис. 2.

 

 

 

7

42

55

26

63

18

15

34

6

1

48

49

32

57

24

9

40

-3

4

45

52

29

60

21

12

37

-2

6

43

54

27

62

19

14

35

3

3

46

51

30

59

22

11

38

-2

5

44

53

28

61

20

13

36

-3

8

41

56

25

64

17

16

33

6

2

47

50

31

58

23

10

39

 

 

k=5

k=6

k=3

k=7

k=2

k=1

k=4

 

                                                                         Рис. 2

 

Все законы формирования образующей таблицы такие же, как в методе качелей. При переносе чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата есть одна особенность. Поэтому покажу этот процесс подробно. На рис. 3 вы видите перенесёнными три столбца образующей таблицы, три цикла качания качелей (при k=5, k=6 и k=3). Здесь всё, как обычно.

 

 

7

42

55

26

31

50

47

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

48

49

32

25

56

41

8

 

 

 

 

 

 

 

 

4

45

52

29

28

53

44

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6

43

54

27

30

51

46

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       Рис. 3

 

А вот со следующего цикла (при k=7) появляется особенность: числа пишутся теперь, начиная с нижней левой ячейки вверх. На рис. 4 вы видите завершение заполнения матрицы числами из образующей таблицы.

 

 

7

42

55

26

31

50

47

2

62

19

14

35

38

11

22

59

1

48

49

32

25

56

41

8

60

21

12

37

36

13

20

61

4

45

52

29

28

53

44

5

57

24

9

40

33

16

17

64

6

43

54

27

30

51

46

3

63

18

15

34

39

10

23

58

 

                                                                                       Рис. 4

 

Такова схема построения данного идеального квадрата с применением метода качелей.

 

А теперь я хочу построить по этой схеме другие идеальные квадраты восьмого порядка. Но буду строить не в точности такие же квадраты, а квадраты, начинающиеся с числа 1. Как вы помните, это мои самые любимые квадраты. Квадрат с рис. 4 тоже можно сделать начинающимся с числа 1, применив к нему преобразование параллельного переноса на торе. Но при этом он утратит ассоциативность и уже не будет идеальным (рис. 5).

 

1

48

49

32

25

56

41

8

60

21

12

37

36

13

20

61

4

45

52

29

28

53

44

5

57

24

9

40

33

16

17

64

6

43

54

27

30

51

46

3

63

18

15

34

39

10

23

58

7

42

55

26

31

50

47

2

62

19

14

35

38

11

22

59

 

                                                    Рис. 5

 

Кстати, этот пример пандиагонального квадрата показывает, что по данной схеме можно строить и пандиагональные квадраты восьмого порядка, не являющиеся идеальными.

 

 Для построения идеальных квадратов, начинающихся с числа 1, я запрограммирую образующую таблицу, которую вы видите на рис. 6.

 

 

 

1

 

 

 

57

 

 

 

1-I

I

 

 

 

 

 

 

 

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

K-L

L

 

 

 

 

 

 

 

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

M-N

N

 

 

 

 

 

 

 

N-8

8

 

 

 

64

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=7

k=

k=

k=

 

                                                                         Рис. 6

 

Программа выдала 36 идеальных квадратов. Все они, понятно, начинаются с числа 1. Показываю первые 7 квадратов, как они записаны программой в файл:

 

№ 1                                                   № 2

 1  32  41  56  49  48  25  8                1  32  49  48  41  56  25  8

 63  34  23  10  15  18  39  58            63  34  15  18  23  10  39  58 

 4  29  44  53  52  45  28  5                4  29  52  45  44  53  28  5 

 62  35  22  11  14  19  38  59            62  35  14  19  22  11  38  59

 6  27  46  51  54  43  30  3                6  27  54  43  46  51  30  3 

 60  37  20  13  12  21  36  61            60  37  12  21  20  13  36  61 

 7  26  47  50  55  42  31  2                7  26  55  42  47  50  31  2 

 57  40  17  16  9  24  33  64              57  40  9  24  17  16  33  64 

 

 № 3                                                  № 4

 1  48  25  56  49  32  41  8                1  48  49  32  25  56  41  8

 63  18  39  10  15  34  23  58            63  18  15  34  39  10  23  58 

 4  45  28  53  52  29  44  5                4  45  52  29  28  53  44  5 

 62  19  38  11  14  35  22  59            62  19  14  35  38  11  22  59 

 6  43  30  51  54  27  46  3                6  43  54  27  30  51  46  3 

 60  21  36  13  12  37  20  61            60  21  12  37  36  13  20  61 

 7  42  31  50  55  26  47  2                7  42  55  26  31  50  47  2

 57  24  33  16  9  40  17  64             57  24  9  40  33  16  17  64 

 

 № 5                                                  № 6

 1  56  25  48  41  32  49  8                1  56  41  32  25  48  49  8

 63  10  39  18  23  34  15  58            63  10  23  34  39  18  15  58 

 4  53  28  45  44  29  52  5                4  53  44  29  28  45  52  5

 62  11  38  19  22  35  14  59            62  11  22  35  38  19  14  59 

 6  51  30  43  46  27  54  3                6  51  46  27  30  43  54  3 

 60  13  36  21  20  37  12  61            60  13  20  37  36  21  12  61 

 7  50  31  42  47  26  55  2                7  50  47  26  31  42  55  2 

 57  16  33  24  17  40  9  64              57  16  17  40  33  24  9  64 

 

№ 7

 1  32  41  56  49  48  25  8

 62  35  22  11  14  19  38  59

 4  29  44  53  52  45  28  5

 63  34  23  10  15  18  39  58

 7  26  47  50  55  42  31  2

 60  37  20  13  12  21  36  61

 6  27  46  51  54  43  30  3

 57  40  17  16  9  24  33  64

 

Все квадраты вы можете посмотреть здесь:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

На рис. 7 и рис. 8 показываю первые два квадрата наглядно.

 

                                                                  Квадрат № 1

 

1

32

41

56

49

48

25

8

63

34

23

10

15

18

39

58

4

29

44

53

52

45

28

5

62

35

22

11

14

19

38

59

6

27

46

51

54

43

30

3

60

37

20

13

12

21

36

61

7

26

47

50

55

42

31

2

57

40

17

16

9

24

33

64

 

                                                    Рис. 7

 

                                                                  Квадрат № 2

 

1

32

49

48

41

56

25

8

63

34

15

18

23

10

39

58

4

29

52

45

44

53

28

5

62

35

14

19

22

11

38

59

6

27

54

43

46

51

30

3

60

37

12

21

20

13

36

61

7

26

55

42

47

50

31

2

57

40

9

24

17

16

33

64

 

                                                    Рис. 8

 

Посмотрите на эти два квадрата, у них совершенно одинаковые начальные цепочки первых 8 чисел. Значит, они отличаются только переставленными циклами качания качелей. И, конечно же, связаны преобразованием типа “плюс-минус …”, а именно – “плюс-минус 8” , матрицу которого вы видите на рис. 9.

 

 

 

 

+8

-8

-8

+8

 

 

 

 

-8

+8

+8

-8

 

 

 

 

+8

-8

-8

+8

 

 

 

 

-8

+8

+8

-8

 

 

 

 

+8

-8

-8

+8

 

 

 

 

-8

+8

+8

-8

 

 

 

 

+8

-8

-8

+8

 

 

 

 

-8

+8

+8

-8

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Наложите эту матрицу на квадрат № 1, выполните все действия с числами, попавшими в жёлтые и зелёные ячейки, остальные числа перепишите без изменения, и вы получите квадрат № 2. Красивейшее преобразование! Оно сохраняет идеальность квадрата. Если рассмотреть все 36 идеальных квадратов, можно увидеть несколько подобных преобразований, связывающих эти квадраты.

 

Ну, а теперь, у меня, конечно, возникает вопрос: можно ли по этой схеме построить идеальные квадраты 12-ого и высших чётно-чётных порядков? Прежде всего, делаю попытку построить частные решения, аналогичные имеющимся решениям для квадратов восьмого порядка. Первое частное решение строю по аналогии с квадратом с рис. 1. Сначала составляю образующую таблицу (рис. 10):

 

 

 

11

110

131

86

71

38

143

26

23

50

83

98

10

1

120

121

96

61

48

133

36

13

60

73

108

-3

4

117

124

93

64

45

136

33

16

57

76

105

-2

6

115

126

91

66

43

138

31

18

55

78

103

-2

8

113

128

89

68

41

140

29

20

53

80

101

-2

10

111

130

87

70

39

142

27

22

51

82

99

7

3

118

123

94

63

46

135

34

15

58

75

106

-2

5

116

125

92

65

44

137

32

17

56

77

104

-2

7

114

127

90

67

42

139

30

19

54

79

102

-2

9

112

129

88

69

40

141

28

21

52

81

100

-3

12

109

132

85

72

37

144

25

24

49

84

97

10

2

119

122

95

62

47

134

35

14

59

74

107

 

 

k=9

k=10

k=7

k=5

k=3

k=11

k=2

k=1

k=4

k=6

k=8

 

                                                                         Рис. 10

 

Теперь составляю квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 11):

 

11

110

131

86

71

38

47

62

95

122

119

2

142

27

22

51

82

99

106

75

58

15

34

135

1

120

121

96

61

48

37

72

85

132

109

12

140

29

20

53

80

101

104

77

56

17

32

137

4

117

124

93

64

45

40

69

88

129

112

9

138

31

18

55

78

103

102

79

54

19

30

139

6

115

126

91

66

43

42

67

90

127

114

7

136

33

16

57

76

105

100

81

52

21

28

141

8

113

128

89

68

41

44

65

92

125

116

5

133

36

13

60

73

108

97

84

49

24

25

144

10

111

130

87

70

39

46

63

94

123

118

3

143

26

23

50

83

98

107

74

59

14

35

134

 

                                                    Рис. 11

 

И вот какой интересный получился квадрат! Когда я строила идеальные квадраты нечётных порядков, мне встречались подобные квадраты и были названы мной псевдоидеальными.

 

Примечание:  нашла в статье “Идеальные квадраты” такой квадрат 21-ого порядка. Он назван не псевдоидеальным, а квазиидеальным. Но смысл тот же самый.

 

В этом квадрате суммы по главным и разломанным диагоналям равны магической константе квадрата. Он ассоциативен. Что же в нём не так? Нет нужных сумм в строках и в столбцах! Суммы чисел в строках принимают два значения: 894 и 846 в строгом чередовании; суммы чисел в столбцах имеют значения: 872 и 868 и тоже чередуются. Вот такой малости не хватает этому квадрату до идеальности, он просто-напросто не магический. А если не обратить внимания на суммы в строках и в столбцах, то вполне можно принять его за идеальный. Вот поэтому я и назвала такие квадраты псевдоидеальными.

 

Совершенно такой же псевдоидеальный квадрат построился по аналогии с квадратом с рис. 7. Покажу этот квадрат (рис. 12), пропуская его образующую таблицу.

 

 

1

48

61

96

109

132

121

120

85

72

37

12

143

98

83

50

35

14

23

26

59

74

107

134

4

45

64

93

112

129

124

117

88

69

40

9

142

99

82

51

34

15

22

27

58

75

106

135

6

43

66

91

114

127

126

115

90

67

42

7

140

101

80

53

32

17

20

29

56

77

104

137

8

41

68

89

116

125

128

113

92

65

44

5

138

103

78

55

30

19

18

31

54

79

102

139

10

39

70

87

118

123

130

111

94

63

46

3

136

105

76

57

28

21

16

33

52

81

100

141

11

38

71

86

119

122

131

110

95

62

47

2

133

108

73

60

25

24

13

36

49

84

97

144

 

                                                    Рис. 12

 

Итак, с частными решениями ничего не получилось. Значит, надо составлять программу и искать все решения. Может быть, среди всех решений и найдутся идеальные квадраты. Этим сейчас и займусь. Если будут результаты, расскажу.

 

                                                                  ***

 

Посетите математический форум, вот ссылка на страницу с темой “Магические квадраты”:

 

http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=108142#108142

 

Благодаря участию в этом форуме я узнала о существовании идеального квадрата восьмого порядка. Об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков я спросила на форуме, но мне пока не ответили.

 

25-27 марта 2008 г.

                   г. Саратов

 

29-30  марта 2008 г.

 

Программу для построения идеальных квадратов 12-ого порядка по данной схеме составила, но выполнила не до конца. Пока не получила ни одного идеального квадрата. Что-то у меня возникает подозрение, что и не получу.

Ради интереса построила на досуге вручную аналогичное частное решение для квадрата 16-ого порядка. И снова получился псевдоидеальный квадрат! Вот чудеса!

На рис. 13 показываю этот псевдоидеальный квадрат 16-ого порядка. Посмотрите: суммы чисел во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, равны магической константе квадрата 2056. И ассоциативность имеется. А вот суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы.

 

 

1

64

81

128

145

192

209

240

225

224

177

160

113

96

49

16

255

194

175

130

111

66

47

18

31

34

79

98

143

162

207

242

4

61

84

125

148

189

212

237

228

221

180

157

116

93

52

13

254

195

174

131

110

67

46

19

30

35

78

99

142

163

206

243

6

59

86

123

150

187

214

235

230

219

182

155

118

91

54

11

252

197

172

133

108

69

44

21

28

37

76

101

140

165

204

245

8

57

88

121

152

185

216

233

232

217

184

153

120

89

56

9

250

199

170

135

106

71

42

23

26

39

74

103

138

167

202

247

10

55

90

119

154

183

218

231

234

215

186

151

122

87

58

7

248

201

168

137

104

73

40

25

24

41

72

105

136

169

200

249

12

53

92

117

156

181

220

229

236

213

188

149

124

85

60

5

246

203

166

139

102

75

38

27

22

43

70

107

134

171

198

251

14

51

94

115

158

179

222

227

238

211

190

147

126

83

62

3

244

205

164

141

100

77

36

29

20

45

68

109

132

173

196

253

15

50

95

114

159

178

223

226

239

210

191

146

127

82

63

2

241

208

161

144

97

80

33

32

17

48

65

112

129

176

193

256

 

                                                    Рис. 13

 

Неужели по данному алгоритму строится только идеальный квадрат восьмого порядка? Или всё-таки неверное частное решение ещё ни о чём не говорит? Надо всё-таки прогнать программу для квадратов 12-ого порядка до конца.

 

А пока порадую читателей сообщением, что идеальный квадрат чётно-чётного порядка всё-таки не единственный – квадрат 8-ого порядка. А метод построения составных квадратов у нас для чего? Понятно, что минимальный порядок идеального составного квадрата чётно-чётного порядка равен 40=8*5. Поскольку идеальный квадрат 40-ого порядка – это всё же редкостный экземпляр, покажу оба варианта составного квадрата.

 

Вариант первый

в качестве базового берём идеальный квадрат пятого порядка, который изображён на рис. 14, а в качестве основного – идеальный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 7.

 

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

                                                   Рис. 14

 

На рис. 15 вы видите матрицу, с помощью которой строится составной квадрат.

 

 

+1408

+576

+832

+1024

+896

+1152

+64

+1280

+448

+1344

+320

+768

+1216

+192

+1088

+256

+1472

+384

+640

+512

+704

+960

+128

+1536

 

                                                   Рис. 15

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка представлен в виде двух равных частей, он как бы разрезан по вертикали (рис. 16-17). Для получения целого квадрата соедините две половинки.

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

1

32

41

56

49

48

25

8

1409

1440

1449

1464

1457

1456

1433

1416

577

608

617

632

63

34

23

10

15

18

39

58

1471

1442

1431

1418

1423

1426

1447

1466

639

610

599

586

4

29

44

53

52

45

28

5

1412

1437

1452

1461

1460

1453

1436

1413

580

605

620

629

62

35

22

11

14

19

38

59

1470

1443

1430

1419

1422

1427

1446

1467

638

611

598

587

6

27

46

51

54

43

30

3

1414

1435

1454

1459

1462

1451

1438

1411

582

603

622

627

60

37

20

13

12

21

36

61

1468

1445

1428

1421

1420

1429

1444

1469

636

613

596

589

7

26

47

50

55

42

31

2

1415

1434

1455

1458

1463

1450

1439

1410

583

602

623

626

57

40

17

16

9

24

33

64

1465

1448

1425

1424

1417

1432

1441

1472

633

616

593

592

897

928

937

952

945

944

921

904

1153

1184

1193

1208

1201

1200

1177

1160

65

96

105

120

959

930

919

906

911

914

935

954

1215

1186

1175

1162

1167

1170

1191

1210

127

98

87

74

900

925

940

949

948

941

924

901

1156

1181

1196

1205

1204

1197

1180

1157

68

93

108

117

958

931

918

907

910

915

934

955

1214

1187

1174

1163

1166

1171

1190

1211

126

99

86

75

902

923

942

947

950

939

926

899

1158

1179

1198

1203

1206

1195

1182

1155

70

91

110

115

956

933

916

909

908

917

932

957

1212

1189

1172

1165

1164

1173

1188

1213

124

101

84

77

903

922

943

946

951

938

927

898

1159

1178

1199

1202

1207

1194

1183

1154

71

90

111

114

953

936

913

912

905

920

929

960

1209

1192

1169

1168

1161

1176

1185

1216

121

104

81

80

1345

1376

1385

1400

1393

1392

1369

1352

321

352

361

376

369

368

345

328

769

800

809

824

1407

1378

1367

1354

1359

1362

1383

1402

383

354

343

330

335

338

359

378

831

802

791

778

1348

1373

1388

1397

1396

1389

1372

1349

324

349

364

373

372

365

348

325

772

797

812

821

1406

1379

1366

1355

1358

1363

1382

1403

382

355

342

331

334

339

358

379

830

803

790

779

1350

1371

1390

1395

1398

1387

1374

1347

326

347

366

371

374

363

350

323

774

795

814

819

1404

1381

1364

1357

1356

1365

1380

1405

380

357

340

333

332

341

356

381

828

805

788

781

1351

1370

1391

1394

1399

1386

1375

1346

327

346

367

370

375

362

351

322

775

794

815

818

1401

1384

1361

1360

1353

1368

1377

1408

377

360

337

336

329

344

353

384

825

808

785

784

1089

1120

1129

1144

1137

1136

1113

1096

257

288

297

312

305

304

281

264

1473

1504

1513

1528

1151

1122

1111

1098

1103

1106

1127

1146

319

290

279

266

271

274

295

314

1535

1506

1495

1482

1092

1117

1132

1141

1140

1133

1116

1093

260

285

300

309

308

301

284

261

1476

1501

1516

1525

1150

1123

1110

1099

1102

1107

1126

1147

318

291

278

267

270

275

294

315

1534

1507

1494

1483

1094

1115

1134

1139

1142

1131

1118

1091

262

283

302

307

310

299

286

259

1478

1499

1518

1523

1148

1125

1108

1101

1100

1109

1124

1149

316

293

276

269

268

277

292

317

1532

1509

1492

1485

1095

1114

1135

1138

1143

1130

1119

1090

263

282

303

306

311

298

287

258

1479

1498

1519

1522

1145

1128

1105

1104

1097

1112

1121

1152

313

296

273

272

265

280

289

320

1529

1512

1489

1488

513

544

553

568

561

560

537

520

705

736

745

760

753

752

729

712

961

992

1001

1016

575

546

535

522

527

530

551

570

767

738

727

714

719

722

743

762

1023

994

983

970

516

541

556

565

564

557

540

517

708

733

748

757

756

749

732

709

964

989

1004

1013

574

547

534

523

526

531

550

571

766

739

726

715

718

723

742

763

1022

995

982

971

518

539

558

563

566

555

542

515

710

731

750

755

758

747

734

707

966

987

1006

1011

572

549

532

525

524

533

548

573

764

741

724

717

716

725

740

765

1020

997

980

973

519

538

559

562

567

554

543

514

711

730

751

754

759

746

735

706

967

986

1007

1010

569

552

529

528

521

536

545

576

761

744

721

720

713

728

737

768

1017

1000

977

976

 

                                                                                                                            Рис. 16

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

625

624

601

584

833

864

873

888

881

880

857

840

1025

1056

1065

1080

1073

1072

1049

1032

591

594

615

634

895

866

855

842

847

850

871

890

1087

1058

1047

1034

1039

1042

1063

1082

628

621

604

581

836

861

876

885

884

877

860

837

1028

1053

1068

1077

1076

1069

1052

1029

590

595

614

635

894

867

854

843

846

851

870

891

1086

1059

1046

1035

1038

1043

1062

1083

630

619

606

579

838

859

878

883

886

875

862

835

1030

1051

1070

1075

1078

1067

1054

1027

588

597

612

637

892

869

852

845

844

853

868

893

1084

1061

1044

1037

1036

1045

1060

1085

631

618

607

578

839

858

879

882

887

874

863

834

1031

1050

1071

1074

1079

1066

1055

1026

585

600

609

640

889

872

849

848

841

856

865

896

1081

1064

1041

1040

1033

1048

1057

1088

113

112

89

72

1281

1312

1321

1336

1329

1328

1305

1288

449

480

489

504

497

496

473

456

79

82

103

122

1343

1314

1303

1290

1295

1298

1319

1338

511

482

471

458

463

466

487

506

116

109

92

69

1284

1309

1324

1333

1332

1325

1308

1285

452

477

492

501

500

493

476

453

78

83

102

123

1342

1315

1302

1291

1294

1299

1318

1339

510

483

470

459

462

467

486

507

118

107

94

67

1286

1307

1326

1331

1334

1323

1310

1283

454

475

494

499

502

491

478

451

76

85

100

125

1340

1317

1300

1293

1292

1301

1316

1341

508

485

468

461

460

469

484

509

119

106

95

66

1287

1306

1327

1330

1335

1322

1311

1282

455

474

495

498

503

490

479

450

73

88

97

128

1337

1320

1297

1296

1289

1304

1313

1344

505

488

465

464

457

472

481

512

817

816

793

776

1217

1248

1257

1272

1265

1264

1241

1224

193

224

233

248

241

240

217

200

783

786

807

826

1279

1250

1239

1226

1231

1234

1255

1274

255

226

215

202

207

210

231

250

820

813

796

773

1220

1245

1260

1269

1268

1261

1244

1221

196

221

236

245

244

237

220

197

782

787

806

827

1278

1251

1238

1227

1230

1235

1254

1275

254

227

214

203

206

211

230

251

822

811

798

771

1222

1243

1262

1267

1270

1259

1246

1219

198

219

238

243

246

235

222

195

780

789

804

829

1276

1253

1236

1229

1228

1237

1252

1277

252

229

212

205

204

213

228

253

823

810

799

770

1223

1242

1263

1266

1271

1258

1247

1218

199

218

239

242

247

234

223

194

777

792

801

832

1273

1256

1233

1232

1225

1240

1249

1280

249

232

209

208

201

216

225

256

1521

1520

1497

1480

385

416

425

440

433

432

409

392

641

672

681

696

689

688

665

648

1487

1490

1511

1530

447

418

407

394

399

402

423

442

703

674

663

650

655

658

679

698

1524

1517

1500

1477

388

413

428

437

436

429

412

389

644

669

684

693

692

685

668

645

1486

1491

1510

1531

446

419

406

395

398

403

422

443

702

675

662

651

654

659

678

699

1526

1515

1502

1475

390

411

430

435

438

427

414

387

646

667

686

691

694

683

670

643

1484

1493

1508

1533

444

421

404

397

396

405

420

445

700

677

660

653

652

661

676

701

1527

1514

1503

1474

391

410

431

434

439

426

415

386

647

666

687

690

695

682

671

642

1481

1496

1505

1536

441

424

401

400

393

408

417

448

697

680

657

656

649

664

673

704

1009

1008

985

968

129

160

169

184

177

176

153

136

1537

1568

1577

1592

1585

1584

1561

1544

975

978

999

1018

191

162

151

138

143

146

167

186

1599

1570

1559

1546

1551

1554

1575

1594

1012

1005

988

965

132

157

172

181

180

173

156

133

1540

1565

1580

1589

1588

1581

1564

1541

974

979

998

1019

190

163

150

139

142

147

166