МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Эта страница является продолжением двух страниц:

“Квадраты Франклина (часть VI)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin6.htm

 

“Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

 

Наконец я совсем проникла в закономерности алгоритма Франклина, по которому построен его пандиагональный квадрат 16-ого порядка, и теперь должна начать всё сначала, чтобы мои читатели тоже поняли этот алгоритм. Последовательность изложения будет такова: сначала расскажу о построении пандиагональных квадратов, подобных пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, а затем покажу, как из пандиагональных квадратов я получила идеальные квадраты.

 

                            ПОСТРОЕНИЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Начать придётся с квадрата восьмого порядка. Когда я попробовала применить алгоритм Франклина к квадрату восьмого порядка первый раз, у меня не получился пандиагональный квадрат, а только дьявольски полумагический. Об этом подробно рассказано в одной из частей статьи “Квадраты Франклина”. Вот он – метод проб и ошибок! У меня был всего один образец – пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Я применила к нему свой метод качелей, составила для данного квадрата образующую таблицу. Но закономерности формирования образующей таблицы очень хитрые, и я не смогла сразу уловить их. Повторю здесь ту образующую таблицу, которую я составила для квадрата восьмого порядка в первой попытке (рис. 1), и сам дьявольски полумагический квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 2).

 

 

 

 

1

56

47

32

58

15

24

39

-6

-6

7

50

41

26

64

9

18

33

4

4

3

54

45

30

60

13

22

37

-2

-2

5

52

43

28

62

11

20

35

3

1

4

53

46

29

59

14

21

38

-2

-2

6

51

44

27

61

12

19

36

4

4

2

55

48

31

57

16

23

40

-6

-6

8

49

42

25

63

10

17

34

 

 

 

k=6

k=5

k=3

k=7

k=1

k=2

k=4

 

                                                        Рис. 1

 

Следует отметить, что формирование этой образующей таблицы имеет несколько особенностей по сравнению со стандартным методом качелей (что и затрудняет быстрое распознавание всех её закономерностей). Одной из таких особенностей является наличие двух столбцов разностей, которые отличаются всего одним числом (в первом столбце это число 3, а во втором – число 1). Одни столбцы таблицы формируются по первому столбцу разностей, а другие – по второму.

 

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

                                                   Рис. 2

 

Повторю: этот квадрат дьявольски полумагический.

 

Только после того, как я построила сама по этому алгоритму пандиагональный квадрат 32-ого порядка (смотрите его в указанной выше статье “Квадраты Франклина (часть VI)”), мне удалось выявить все закономерности формирования образующей таблицы. Тогда я возвратилась к квадрату восьмого порядка и внимательно посмотрела на его образующую таблицу. На рис. 3 вы видите правильную образующую таблицу, которая порождает пандиагональный квадрат. Сравните эти две таблицы и определите, где я допустила ошибку, строя таблицу в первый раз. Задачка из серии найдите различия.

 

 

 

 

1

56

47

31

58

15

24

40

-6

-6

7

50

41

25

64

9

18

34

4

4

3

54

45

29

60

13

22

38

-2

-2

5

52

43

27

62

11

20

36

3

1

4

53

46

30

59

14

21

37

-2

-2

6

51

44

28

61

12

19

35

4

4

2

55

48

32

57

16

23

39

-6

-6

8

49

42

26

63

10

17

33

 

 

 

k=6

k=5

k=3

k=7

k=1

k=2

k=4

 

                                                        Рис. 3

 

Нашли различия? Моя ошибка была единственная – я неправильно расположила максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Всё остальное было сделано правильно. Эта ошибка привела к тому, что я получила не пандиагональный квадрат, а дьявольски полумагичекий.

На рис. 4 показываю пандиагональный квадрат, порождаемый образующей таблицей с рис. 3.

 

 

1

56

49

47

42

31

26

8

58

15

10

24

17

40

33

63

7

50

55

41

48

25

32

2

64

9

16

18

23

34

39

57

3

54

51

45

44

29

28

6

60

13

12

22

19

38

35

61

5

52

53

43

46

27

30

4

62

11

14

20

21

36

37

59

 

                                                   Рис. 4

 

В квадрате раскрашены все циклы качания качелей. Сравните каждый цикл с набором чисел в соответствующем столбце образующей таблицы, чтобы понять, как числа из образующей таблицы переносятся в матрицу для квадрата.

 

Почти уверена в том, что такой пандиагональный квадрат был построен Франклином, просто он потерялся. Иначе непонятно, почему Франклин построил пандиагональный квадрат 16-ого порядка и не построил по такому же алгоритму пандиагональный квадрат восьмого порядка.

 

Ну, дублировать пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка не буду. Я уже показывала его несколько раз. Подчеркну только, что первозданный квадрат Франклина, найденный мной в Интернете (ссылка указана в статье “Квадраты Франклина”), я несколько преобразовала, чтобы он стал удобным для применения метода качелей.

 Сразу перехожу к квадрату 24-ого порядка.

Мне удалось установить, что по данному алгоритму Франклина строятся квадраты порядка n=8k, k=1, 2, 3… Об этом будет рассказано ниже.

Пандиагональный квадрат 24-ого порядка я уже построила без затруднений, на одном дыхании. Хотя по-прежнему вручную, то есть без программы (с частичной автоматизацией – при формировании наборов чисел в столбцах образующей таблицы). Как я уже сказала, все закономерности формирования образующей таблицы мне стали понятны, а это значит, что можно формализовать алгоритм и полностью автоматизировать построение квадратов.

 

Не буду показывать образующую таблицу для пандиагонального квадрата 24-ого порядка полностью, покажу только начальную цепочку и номера циклов качания качелей.

Начальная цепочка:

 

1        23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

 

Номера циклов качания качелей:

 

k=22 k=21 k=3 k=4 k=18 k=17 k=7 k=8 k=14 k=13 k=11 k=23 k=1 k=2 k=20 k=19 k=5 k=6 k=16 k=15 k=9 k=10 k=12

 

Осталось расположить максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Как это сделать, видно из образующих таблиц для квадратов восьмого (рис. 3) и 16-ого порядка. Теперь вы можете сформировать образующую таблицу самостоятельно.

На рис. 5 показываю готовый пандиагональный квадрат 24-ого порядка.

 

 

1

552

529

527

506

95

74

120

97

456

433

431

410

191

170

216

193

360

337

335

314

287

266

24

554

47

26

72

49

504

481

479

458

143

122

168

145

408

385

383

362

239

218

264

241

312

289

575

23

530

551

505

528

73

96

98

119

434

455

409

432

169

192

194

215

338

359

313

336

265

288

2

576

25

48

50

71

482

503

457

480

121

144

146

167

386

407

361

384

217

240

242

263

290

311

553

3

550

531

525

508

93

76

118

99

454

435

429

412

189

172

214

195

358

339

333

316

285

268

22

556

45

28

70

51

502

483

477

460

141

124

166

147

406

387

381

364

237

220

262

243

310

291

573

21

532

549

507

526

75

94

100

117

436

453

411

430

171

190

196

213

340

357

315

334

267

286

4

574

27

46

52

69

484

501

459

478

123

142

148

165

388

405

363

382

219

238

244

261

292

309

555

5

548

533

523

510

91

78

116

101

452

437

427

414

187

174

212

197

356

341

331

318

283

270

20

558

43

30

68

53

500

485

475

462

139

126

164

149

404

389

379

366

235

222

260

245

308

293

571

19

534

547

509

524

77

92

102

115

438

451

413

428

173

188

198

211

342

355

317

332

269

284

6

572

29

44

54

67

486

499

461

476

125

140

150

163

390

403

365

380

221

236

246

259

294

307

557

7

546

535

521

512

89

80

114

103

450

439

425

416

185

176

210

199

354

343

329

320

281

272

18

560

41

32

66

55

498

487

473

464

137

128

162

151

402

391

377

368

233

224

258

247

306

295

569

17

536

545

511

522

79

90

104

113

440

449

415

426

175

186

200

209

344

353

319

330

271

282

8

570

31

42

56

65

488

497

463

474

127

138

152

161

392

401

367

378

223

234

248

257

296

305

559

9

544

537

519

514

87

82

112

105

448

441

423

418

183

178

208

201

352

345

327

322

279

274

16

562

39

34

64

57

496

489

471

466

135

130

160

153

400

393

375

370

231

226

256

249

304

297

567

15

538

543

513

520

81

88

106

111

442

447

417

424

177

184

202

207

346

351

321

328

273

280

10

568

33

40

58

63

490

495

465

472

129

136

154

159

394

399

369

376

225

232

250

255

298

303

561

11

542

539

517

516

85

84

110

107

446

443

421

420

181

180

206

203

350

347

325

324

277

276

14

564

37

36

62

59

494

491

469

468

133

132

158

155

398

395

373

372

229

228

254

251

302

299

565

13

540

541

515

518

83

86

108

109

444

445

419

422

179

182

204

205

348

349

323

326

275

278

12

566

35

38

60

61

492

493

467

470

131

134

156

157

396

397

371

374

227

230

252

253

300

301

563

 

                                                                                                                      Рис. 5

 

Просто гениальный алгоритм придумал Франклин! Нет предела совершенству.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка я построила самым первым. Он показан в статье “Квадраты Франклина (часть VI)” (см. ссылку в начале данной статьи). Квадрат 40-ого порядка пока не строила. Кстати сказать, такой идеальный квадрат построен мной другим методом – методом построения составных квадратов (см. статью Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть I)).

 

А теперь покажу две основные закономерности для составления образующих таблиц при построении таких квадратов. Первая закономерность – это начальная цепочка первых n чисел (n – порядок квадрата). Приведу начальные цепочки для квадратов порядков 8-40, и вы наверняка сами увидите закономерность в составлении начальной цепочки, ибо она очевидна.

 

n=8:               1  7  3  5  4  6  2  8

n=16:             1  15  3  13  5  11  7  9  8  10  6  12  4  14  2  16

n=24:             1  23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

n=32:             1  31  3  29  5  27  7  25  9  23  11  21  13  19  15  17  16  18  14  20  12  22  10  24  8  26  6  28  4  30  2  32

n=40:             1  39  3  37  5  35  7  33  9  31  11  29  13  27  15  25  17  23  19  21  20  22  18  24  16  26  14  28  12  30  10  32  8  34  6  36  4  38  2  40

 

Увидеть эту закономерность было не очень сложно. Уверена, что и вы увидели её сразу. Теперь вы сможете написать начальную цепочку для построения пандиагонального квадрата любого порядка n=8k.

 

Сложнее было с номерами циклов качания качелей. Эту закономерность я увидела не сразу, а только после построения квадрата 32-ого порядка. Сначала приведу все строки образующих таблиц, содержащие номера циклов качания качелей, тоже для порядков 8-40.

 

n=8:               k=6  k=5  k=3  k=7  k=1  k=2  k=4

n=16:             k=14  k=13  k=3  k=4  k=10  k=9  k=7  k=15  k=1  k=2  k=12  k=11  k=5  k=6  k=8

n=24:             k=22  k=21 k=3  k=4  k=18  k=17  k=7  k=8  k=14  k=13  k=11  k=23  k=1  k=2  k=20  k=19  k=5  k=6  k=16  k=15  k=9  k=10  k=12

n=32:             k=30  k=29 k=3  k=4  k=26  k=25  k=7  k=8  k=22  k=21  k=11  k=12  k=18  k=17  k=15  k=31  k=1  k=2  k=28  k=27  k=5  k=6  k=24  k=23  k=9  k=10  k=20  k=19  k=13  k=14  k=16

n=40:             k=38  k=37 k=3  k=4  k=34  k=33  k=7  k=8  k=30  k=29  k=11  k=12  k=26  k=25  k=15  k=16  k=22  k=21  k=19  k=39  k=1  k=2  k=36  k=35  k=5  k=6  k=32  k=31  k=9  k=10  k=28  k=27  k=13  k=14  k=24  k=23  k=17  k=18  k=20

 

В общем виде (для любого порядка n) эту строку образующей таблицы можно записать так:

 

k=n-2  k=n-3  k=3  k=4  k=(n-2)-4  k=(n-3)-4  k=7  k=8  k=(n-2)-8  k=(n-3)-8  k=11  k=12  …  k=(n-2)/2  k=n-1  k=(n-1)-(n-2)  k=(n-1)-(n-3)  k=(n-1)-3  k=(n-1)-4  …  k=(n-1)-(n-2)/2

 

Вот такие хитрые последовательности. Посмотрите на них внимательно. Видите закономерность? Номера циклов слева и справа от центрального столбца образующей таблицы (соответствующий цикл выделен красным цветом) представляют две группы пар чисел (эти группы выделены двумя цветами). В одной группе идёт прибавление числа 4, а в другой группе вычитание числа 4. Суммы значений номеров циклов слева и справа от центрального столбца равны значению номера цикла в центральном столбце. Например, для квадрата порядка n=8: 1+6=7, 2+5=7, 4+3=7.

Долго я думала, чем же накладывается ограничение на порядок квадрата. Наконец поняла. Посмотрите на группы, выделенные фиолетовым цветом. Последний номер цикла перед центральным столбцом так зависит от порядка квадрата:

 

n=8:               k3 = 3 + 4*(8/8 – 1) = 3 + 4*0 = 3

n=16:             k7 = 3 + 4*(16/8 – 1) = 3 + 4*1 = 7

n=24:             k11 = 3 + 4*(24/8 – 1) = 3 + 4*2 = 11

n=32:             k15 = 3 + 4*(32/8 – 1) = 3 + 4*3 = 15

n=40:             k19 = 3 + 4*(40/8 – 1) = 3 + 4*4 = 19

 

В общем виде эта зависимость номера цикла от порядка квадрата выразится так:

 

k(n-2)/2 = 3 + 4*(n/8 – 1)

 

И этот номер цикла (первый слева от центрального столбца), как нетрудно видеть, равен (n – 2)/2. Получаем такое уравнение:

 

 3 + 4*(n/8 – 1) = (n – 2)/2

 

Это уравнение вообще-то является тождеством. Но есть одно условие: выражение (n/8 – 1) определяет количество прибавлений к 3 числа 4. Следовательно, значение этого выражения должно быть целым числом (при n=8 оно равно 0). А это возможно только для n кратных 8. Вот и стало понятно, почему для порядков не кратных 8 этот алгоритм не работает.

 

На этом я завершаю раздел, освещающий построение пандиагональных квадратов по алгоритму Франклина, и перехожу к следующему разделу.

 

ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Я уже показала получение идеального квадрата 16-ого порядка из пандиагонального квадрата Франклина. Но теперь начну опять с квадрата восьмого порядка, ибо я только что построила пандиагональный квадрат и превратила его в идеальный.

 

Пандиагональный квадрат восьмого порядка вы видите на рис. 4.

Напомню схему превращения пандиагонального квадрата в идеальный. Тут всё очень просто. Надо подобрать такой расклад первых n чисел начальной цепочки, чтобы сумма n/2 чисел слева была равна сумме n/2 чисел справа (nпорядок квадрата). Для квадрата восьмого порядка такой расклад легко подобрать без программы. Вот он:

 

слева:       1  4  6  7    

 

Числа справа определяются числами слева автоматически.

 

Далее надо правильно расположить числа начальной цепочки в матрице для квадрата – это очень важно! У меня, например, в квадрате 32-ого порядка это не сразу получилось, и мне пришлось дважды заполнять матрицу. Ну, а как расположить начальную цепочку правильно, это тоже маленькая хитрость, которая откроется вам с опытом.

Наконец, надо просто переписать строки из пандиагонального квадрата в соответствии с расположением начальной цепочки. При этом некоторые строки переворачиваются, то есть записываются в обратном порядке. Дополнительные строки (не содержащие чисел начальной цепочки) записываются как комплементарные, то есть дополняющие основные строки в смысле ассоциативности квадрата. На рис. 6 вы видите готовый идеальный квадрат восьмого порядка.

 

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

                                                    Рис. 6

 

Сравните этот идеальный квадрат с тем идеальным квадратом, который есть в Интернете (ссылка на тот квадрат указана и в Википедии; квадрат был исследован мной в первой части статьи “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”, построена целая группа подобных квадратов). Построенный сейчас квадрат принципиально новый, хотя схема расположения начальной цепочки точно такая же. Он не получается из известного квадрата никакими основными преобразованиями и даже перестановкой строк (или столбцов) не получается, потому что наборы чисел в строках (и в столбцах) разные. Исключение составляют первый и последний столбцы, в этих столбцах наборы чисел одинаковые. Хотя схемы построения этих двух идеальных квадратов очень похожи, они всё-таки не совсем совпадают.

 

Как я уже сказала, превращение пандиагонального квадрата 16-ого порядка в идеальный уже показано (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”). Там же показано и превращение квадрата 32-ого порядка. Остаётся квадрат 24-ого порядка. Другие пандиагональные квадраты я пока не построила.

 

Пандиагональный квадрат изображён на рис. 5. Подбираем нужный расклад начальной цепочки. Сумма всех чисел от 1 до 24 равна 300. Следовательно, суммы чисел начальной цепочки слева и справа должны равняться 150. Для квадрата 24-ого порядка, как ни странно, не удалось с ходу подобрать такой расклад начальной цепочки (для квадрата 32-ого порядка это удалось сразу). Поэтому написала программку. Программа нашла расклад мгновенно. Вот этот расклад (12 чисел, расположенных в левой половине квадрата):

 

                                      1   5   6   7   8   12   14   15   16   21   22   23

 

Теперь располагаю эти числа в матрице для квадрата (главное – сделать это правильно, маленький секрет, который не открываю, догадайтесь сами!). И затем просто переписываю строки из пандиагонального квадрата с рис. 5. На рис. 7 вы видите готовый идеальный квадрат 24-ого порядка. Красив, дьявольски красив! Даже не верится, что он абсолютно идеален. Всё проверила и перепроверила. Ассоциативность есть, пандиагональность есть, суммы во всех строках, столбцах и диагоналях равны магической константе квадрата – 6924. Ну, прямо хоть сейчас квадрат на выставку в кунсткамеру! А заодно и идеальные квадраты 16-ого и 32-ого порядка.

 

 

1

552

529

527

506

95

74

120

97

456

433

431

410

191

170

216

193

360

337

335

314

287

266

24

574

27

46

52

69

484

501

459

478

123

142

148

165

388

405

363

382

219

238

244

261

292

309

555

6

284

269

332

317

355

342

211

198

188

173

428

413

451

438

115

102

92

77

524

509

547

534

19

575

289

312

241

264

218

239

362

383

385

408

145

168

122

143

458

479

481

504

49

72

26

47

554

5

548

533

523

510

91

78

116

101

452

437

427

414

187

174

212

197

356

341

331

318

283

270

20

568

33

40

58

63

490

495

465

472

129

136

154

159

394

399

369

376

225

232

250

255

298

303

561

8

282

271

330

319

353

344

209

200

186

175

426

415

449

440

113

104

90

79

522

511

545

536

17

573

291

310

243

262

220

237

364

381

387

406

147

166

124

141

460

477

483

502

51

70

28

45

556

7

546

535

521

512

89

80

114

103

450

439

425

416

185

176

210

199

354

343

329

320

281

272

18

566

35

38

60

61

492

493

467

470

131

134

156

157

396

397

371

374

227

230

252

253

300

301

563

12

278

275

326

323

349

348

205

204

182

179

422

419

445

444

109

108

86

83

518

515

541

540

13

567

297

304

249

256

226

231

370

375

393

400

153

160

130

135

466

471

489

496

57

64

34

39

562

15

538

543

513

520

81

88

106

111

442

447

417

424

177

184

202

207

346

351

321

328

273

280

10

564

37

36

62

59

494

491

469

468

133

132

158

155

398

395

373

372

229

228

254

251

302

299

565

14

276

277

324

325

347

350

203

206

180

181

420

421

443

446

107

110

84

85

516

517

539

542

11

559

305

296

257

248

234

223

378

367

401

392

161

152

138

127

474

463

497

488

65

56

42

31

570

21

532

549

507

526

75

94

100

117

436

453

411

430

171

190

196

213

340

357

315

334

267

286

4

560

41

32

66

55

498

487

473

464

137

128

162

151

402

391

377

368

233

224

258

247

306

295

569

16

274

279

322

327

345

352

201

208

178

183

418

423

441

448

105

112

82

87

514

519

537

544

9

557

307

294

259

246

236

221

380

365

403

390

163

150

140

125

476

461

499

486

67

54

44

29

572

23

530

551

505

528

73

96

98

119

434

455

409

432

169

192

194

215

338

359

313

336

265

288

2

558

43

30

68

53

500

485

475

462

139

126

164

149

404

389

379

366

235

222

260

245

308

293

571

22

268

285

316

333

339

358

195

214

172

189

412

429

435

454

99

118

76

93

508

525

531

550

3

553

311

290

263

242

240

217

384

361

407

386

167

146

144

121

480

457

503

482

71

50

48

25

576

 

                                                                                    Рис. 7

 

Ну, что же, построим теперь идеальный квадрат следующего – 40-ого порядка? Если я хорошо изложила метод, то вы всё поняли и готовы построить такой квадрат. Правильно? Для предварительного этапа – построения пандиагонального квадрата 40-ого порядка – выше дана начальная цепочка и номера циклов качания качелей. Дерзайте!

 

А я пока отдохну и соберусь с мыслями. Мне пришлось немало потрудиться над задачей построения идеальных квадратов. Да ведь она ещё и не решена полностью! Пишу начало ряда чётно-чётных порядков:

 

12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  52  56  60  64  68  72  76  80  84  88  92  96  100

 

Для n=4 не существует идеального квадрата (это доказано мной в статье “Ассоциативные квадраты”).

В этом ряду выделены красным цветом порядки, для которых не знаю, как построить идеальные квадраты, и существуют ли они вообще. Значит, ровно половины квадратов нет. В общем виде порядок отсутствующих идеальных квадратов можно записать так:

 

n = 4*(2k+1),   k=1, 2, 3, 4…

 

Если вам что-нибудь известно об идеальных квадратах таких порядков, напишите мне, пожалуйста.

 

                                                                  ***

 

16 –18 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

20 апреля 2008 г.

 

Интересно, кто-нибудь из читателей этой страницы построил пандиагональный и идеальный квадраты 40-ого порядка? А я в качестве отдыха построила пандиагональный квадрат 40-ого порядка, но пока не превратила его в идеальный. Построение квадратов уже отлаженным методом – одно удовольствие. Катишься по накатанной дорожке, как лыжник по хорошей лыжне. Я на таких построениях просто отдыхаю и наслаждаюсь гармонией и красотой построенных квадратов.

 

Итак, на рис. 8-9 вы видите две половинки пандиагонального квадрата 40-ого порядка. Прекрасный квадрат!

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

1

1560

1521

1519

1482

159

122

200

161

1400

1361

1359

1322

319

282

360

321

1240

1201

1199

1562

79

42

120

81

1480

1441

1439

1402

239

202

280

241

1320

1281

1279

1242

399

362

440

39

1522

1559

1481

1520

121

160

162

199

1362

1399

1321

1360

281

320

322

359

1202

1239

1161

1600

41

80

82

119

1442

1479

1401

1440

201

240

242

279

1282

1319

1241

1280

361

400

402

3

1558

1523

1517

1484

157

124

198

163

1398

1363

1357

1324

317

284

358

323

1238

1203

1197

1564

77

44

118

83

1478

1443

1437

1404

237

204

278

243

1318

1283

1277

1244

397

364

438

37

1524

1557

1483

1518

123

158

164

197

1364

1397

1323

1358

283

318

324

357

1204

1237

1163

1598

43

78

84

117

1444

1477

1403

1438

203

238

244

277

1284

1317

1243

1278

363

398

404

5

1556

1525

1515

1486

155

126

196

165

1396

1365

1355

1326

315

286

356

325

1236

1205

1195

1566

75

46

116

85

1476

1445

1435

1406

235

206

276

245

1316

1285

1275

1246

395

366

436

35

1526

1555

1485

1516

125

156

166

195

1366

1395

1325

1356

285

316

326

355

1206

1235

1165

1596

45

76

86

115

1446

1475

1405

1436

205

236

246

275

1286

1315

1245

1276

365

396

406

7

1554

1527

1513

1488

153

128

194

167

1394

1367

1353

1328

313

288

354

327

1234

1207

1193

1568

73

48

114

87

1474

1447

1433

1408

233

208

274

247

1314

1287

1273

1248

393

368

434

33

1528

1553

1487

1514

127

154

168

193

1368

1393

1327

1354

287

314

328

353

1208

1233

1167

1594

47

74

88

113

1448

1473

1407

1434

207

234

248

273

1288

1313

1247

1274

367

394

408

9

1552

1529

1511

1490

151

130

192

169

1392

1369

1351

1330

311

290

352

329

1232

1209

1191

1570

71

50

112

89

1472

1449

1431

1410

231

210

272

249

1312

1289

1271

1250

391

370

432

31

1530

1551

1489

1512

129

152

170

191

1370

1391

1329

1352

289

312

330

351

1210

1231

1169

1592

49

72

90

111

1450

1471

1409

1432

209

232

250

271

1290

1311

1249

1272

369

392

410

11

1550

1531

1509

1492

149

132

190

171

1390

1371

1349

1332

309

292

350

331

1230

1211

1189

1572

69

52

110

91

1470

1451

1429

1412

229

212

270

251

1310

1291

1269

1252

389

372

430

29

1532

1549

1491

1510

131

150

172

189

1372

1389

1331

1350

291

310

332

349

1212

1229

1171

1590

51

70

92

109

1452

1469

1411

1430

211

230

252

269

1292

1309

1251

1270

371

390

412

13

1548

1533

1507

1494

147

134

188

173

1388

1373

1347

1334

307

294

348

333

1228

1213

1187

1574

67

54

108

93

1468

1453

1427

1414

227

214

268

253

1308

1293

1267

1254

387

374

428

27

1534

1547

1493

1508

133

148

174

187

1374

1387

1333

1348

293

308

334

347

1214

1227

1173

1588

53

68

94

107

1454

1467

1413

1428

213

228

254

267

1294

1307

1253

1268

373

388

414

15

1546

1535

1505

1496

145

136

186

175

1386

1375

1345

1336

305

296

346

335

1226

1215

1185

1576

65

56

106

95

1466

1455

1425

1416

225

216

266

255

1306

1295

1265

1256

385

376

426

25

1536

1545

1495

1506

135

146

176

185

1376

1385

1335

1346

295

306

336

345

1216

1225

1175

1586

55

66

96

105

1456

1465

1415

1426

215

226

256

265

1296

1305

1255

1266

375

386

416

17

1544

1537

1503

1498

143

138

184

177

1384

1377

1343

1338

303

298

344

337

1224

1217

1183

1578

63

58

104

97

1464

1457

1423

1418

223

218

264

257

1304

1297

1263

1258

383

378

424

23

1538

1543

1497

1504

137

144

178

183

1378

1383

1337

1344

297

304

338

343

1218

1223

1177

1584

57

64

98

103

1458

1463

1417

1424

217

224

258

263

1298

1303

1257

1264

377

384

418

19

1542

1539

1501

1500

141

140

182

179

1382

1379

1341

1340

301

300

342

339

1222

1219

1181

1580

61

60

102

99

1462

1459

1421

1420

221

220

262

259

1302

1299

1261

1260

381

380

422

21

1540

1541

1499

1502

139

142

180

181

1380

1381

1339

1342

299

302

340

341

1220

1221

1179

1582

59

62

100

101

1460

1461

1419

1422

219

222

260

261

1300

1301

1259

1262

379

382

420

 

                                                                        Рис. 8

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

1162

479

442

520

481

1080

1041

1039

1002

639

602

680

641

920

881

879

842

799

762

40

401

1160

1121

1119

1082

559

522

600

561

1000

961

959

922

719

682

760

721

840

801

1599

1200

441

480

482

519

1042

1079

1001

1040

601

640

642

679

882

919

841

880

761

800

2

439

1122

1159

1081

1120

521

560

562

599

962

999

921

960

681

720

722

759

802

839

1561

1164

477

444

518

483

1078

1043

1037

1004

637

604

678

643

918

883

877

844

797

764

38

403

1158

1123

1117

1084

557

524

598

563

998

963

957

924

717

684

758

723

838

803

1597

1198

443

478

484

517

1044

1077

1003

1038

603

638

644

677

884

917

843

878

763

798

4

437

1124

1157

1083

1118

523

558

564

597

964

997

923

958

683

718

724

757

804

837

1563

1166

475

446

516

485

1076

1045

1035

1006

635

606

676

645

916

885

875

846

795

766

36

405

1156

1125

1115

1086

555

526

596

565

996

965

955

926

715

686

756

725

836

805

1595

1196

445

476

486

515

1046

1075

1005

1036

605

636

646

675

886

915

845

876

765

796

6

435

1126

1155

1085

1116

525

556

566

595

966

995

925

956

685

716

726

755

806

835

1565

1168

473

448

514

487

1074

1047

1033

1008

633

608

674

647

914

887

873

848

793

768

34

407

1154

1127

1113

1088

553

528

594

567

994

967

953

928

713

688

754

727

834

807

1593

1194

447

474

488

513

1048

1073

1007

1034

607

634

648

673

888

913

847

874

767

794

8

433

1128

1153

1087

1114

527

554

568

593

968

993

927

954

687

714

728

753

808

833

1567

1170

471

450

512

489

1072

1049

1031

1010

631

610

672

649

912

889

871

850

791

770

32

409

1152

1129

1111

1090

551

530

592

569

992

969

951

930

711

690

752

729

832

809

1591

1192

449

472

490

511

1050

1071

1009

1032

609

632

650

671

890

911

849

872

769

792

10

431

1130

1151

1089

1112

529

552

570

591

970

991

929

952

689

712

730

751

810

831

1569

1172

469

452

510

491

1070

1051

1029

1012

629

612

670

651

910

891

869

852

789

772

30

411

1150

1131

1109

1092

549

532

590

571

990

971

949

932

709

692

750

731

830

811

1589

1190

451

470

492

509

1052

1069

1011

1030

611

630

652

669

892

909

851

870

771

790

12

429

1132

1149

1091

1110

531

550

572

589

972

989

931

950

691

710

732

749

812

829

1571

1174

467

454

508

493

1068

1053

1027

1014

627

614

668

653

908

893

867

854

787

774

28

413

1148

1133

1107

1094

547

534

588

573

988

973

947

934

707

694

748

733

828

813

1587

1188

453

468

494

507

1054

1067

1013

1028

613

628

654

667

894

907

853

868

773

788

14

427

1134

1147

1093

1108

533

548

574

587

974

987

933

948

693

708

734

747

814

827

1573

1176

465

456

506

495

1066

1055

1025

1016

625

616

666

655

906

895

865

856

785

776

26

415

1146

1135

1105

1096

545

536

586

575

986

975

945

936

705

696

746

735

826

815

1585

1186

455

466

496

505

1056

1065

1015

1026

615

626

656

665

896

905

855

866

775

786

16

425

1136

1145

1095

1106

535

546

576

585

976

985

935

946

695

706

736

745

816

825

1575

1178

463

458

504

497

1064

1057

1023

1018

623

618

664

657

904

897

863

858

783

778

24

417

1144

1137

1103

1098

543

538

584

577

984

977

943

938

703

<