МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k

 

Часть II

 

Внимание! Оригинал.

При копировании

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Я продолжаю свой рассказ.

Вы уже построили идеальный квадрат 40-ого порядка из пандиагонального квадрата, представленного в предыдущей части этой статьи? Если построили, очень хорошо! А если нет, то сейчас увидите этот квадрат. Я, конечно же, не могла остановиться на пандиагональном квадрате, не превратив его в идеальный.

 

Для подбора нужного расклада начальной цепочки программу писать было лень, и решила сделать это без программы. Ну, пришлось повозиться минут 30. Вот какой расклад я получила (это числа начальной цепочки, расположенные в левой половине идеального квадрата):

 

1  7  9  10  11  12  13  14  15  16  18  20  22  24  33  35  36  37  38  39

 

Дальше всё очень просто. Я уже рассказывала, как заполнять матрицу для идеального квадрата, перенося в неё строки из пандиагонального квадрата.

 

На рис. 1-2 вы видите две половинки идеального квадрата 40-ого порядка, построенного по схеме Франклина с применением метода качелей. Чтобы получить полный квадрат, соедините эти две половинки, часть 1, понятно, будет левая половинка, а часть 2 – правая половинка.

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

1

1560

1521

1519

1482

159

122

200

161

1400

1361

1359

1322

319

282

360

321

1240

1201

1199

1598

43

78

84

117

1444

1477

1403

1438

203

238

244

277

1284

1317

1243

1278

363

398

404

10

792

769

872

849

911

890

671

650

632

609

1032

1009

1071

1050

511

490

472

449

1192

1599

801

840

721

760

682

719

922

959

961

1000

561

600

522

559

1082

1119

1121

1160

401

7

1554

1527

1513

1488

153

128

194

167

1394

1367

1353

1328

313

288

354

327

1234

1207

1193

1596

45

76

86

115

1446

1475

1405

1436

205

236

246

275

1286

1315

1245

1276

365

396

406

12

790

771

870

851

909

892

669

652

630

611

1030

1011

1069

1052

509

492

470

451

1190

1597

803

838

723

758

684

717

924

957

963

998

563

598

524

557

1084

1117

1123

1158

403

9

1552

1529

1511

1490

151

130

192

169

1392

1369

1351

1330

311

290

352

329

1232

1209

1191

1584

57

64

98

103

1458

1463

1417

1424

217

224

258

263

1298

1303

1257

1264

377

384

418

14

788

773

868

853

907

894

667

654

628

613

1028

1013

1067

1054

507

494

468

453

1188

1595

805

836

725

756

686

715

926

955

965

996

565

596

526

555

1086

1115

1125

1156

405

11

1550

1531

1509

1492

149

132

190

171

1390

1371

1349

1332

309

292

350

331

1230

1211

1189

1582

59

62

100

101

1460

1461

1419

1422

219

222

260

261

1300

1301

1259

1262

379

382

420

16

786

775

866

855

905

896

665

656

626

615

1026

1015

1065

1056

505

496

466

455

1186

1593

807

834

727

754

688

713

928

953

967

994

567

594

528

553

1088

1113

1127

1154

407

13

1548

1533

1507

1494

147

134

188

173

1388

1373

1347

1334

307

294

348

333

1228

1213

1187

1580

61

60

102

99

1462

1459

1421

1420

221

220

262

259

1302

1299

1261

1260

381

380

422

18

784

777

864

857

903

898

663

658

624

617

1024

1017

1063

1058

503

498

464

457

1184

1575

825

816

745

736

706

695

946

935

985

976

585

576

546

535

1106

1095

1145

1136

425

15

1546

1535

1505

1496

145

136

186

175

1386

1375

1345

1336

305

296

346

335

1226

1215

1185

1578

63

58

104

97

1464

1457

1423

1418

223

218

264

257

1304

1297

1263

1258

383

378

424

20

782

779

862

859

901

900

661

660

622

619

1022

1019

1061

1060

501

500

462

459

1182

1573

827

814

747

734

708

693

948

933

987

974

587

574

548

533

1108

1093

1147

1134

427

33

1528

1553

1487

1514

127

154

168

193

1368

1393

1327

1354

287

314

328

353

1208

1233

1167

1576

65

56

106

95

1466

1455

1425

1416

225

216

266

255

1306

1295

1265

1256

385

376

426

22

780

781

860

861

899

902

659

662

620

621

1020

1021

1059

1062

499

502

460

461

1180

1571

829

812

749

732

710

691

950

931

989

972

589

572

550

531

1110

1091

1149

1132

429

35

1526

1555

1485

1516

125

156

166

195

1366

1395

1325

1356

285

316

326

355

1206

1235

1165

1574

67

54

108

93

1468

1453

1427

1414

227

214

268

253

1308

1293

1267

1254

387

374

428

24

778

783

858

863

897

904

657

664

618

623

1018

1023

1057

1064

497

504

458

463

1178

1569

831

810

751

730

712

689

952

929

991

970

591

570

552

529

1112

1089

1151

1130

431

37

1524

1557

1483

1518

123

158

164

197

1364

1397

1323

1358

283

318

324

357

1204

1237

1163

1572

69

52

110

91

1470

1451

1429

1412

229

212

270

251

1310

1291

1269

1252

389

372

430

36

766

795

846

875

885

916

645

676

606

635

1006

1035

1045

1076

485

516

446

475

1166

1567

833

808

753

728

714

687

954

927

993

968

593

568

554

527

1114

1087

1153

1128

433

39

1522

1559

1481

1520

121

160

162

199

1362

1399

1321

1360

281

320

322

359

1202

1239

1161

1570

71

50

112

89

1472

1449

1431

1410

231

210

272

249

1312

1289

1271

1250

391

370

432

38

764

797

844

877

883

918

643

678

604

637

1004

1037

1043

1078

483

518

444

477

1164

1561

839

802

759

722

720

681

960

921

999

962

599

562

560

521

1120

1081

1159

1122

439

 

                                                                         Рис. 1

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2

 

1162

479

442

520

481

1080

1041

1039

1002

639

602

680

641

920

881

879

842

799

762

40

437

1124

1157

1083

1118

523

558

564

597

964

997

923

958

683

718

724

757

804

837

1563

1169

1231

1210

351

330

312

289

1352

1329

1391

1370

191

170

152

129

1512

1489

1551

1530

31

440

362

399

1242

1279

1281

1320

241

280

202

239

1402

1439

1441

1480

81

120

42

79

1562

1168

473

448

514

487

1074

1047

1033

1008

633

608

674

647

914

887

873

848

793

768

34

435

1126

1155

1085

1116

525

556

566

595

966

995

925

956

685

716

726

755

806

835

1565

1171

1229

1212

349

332

310

291

1350

1331

1389

1372

189

172

150

131

1510

1491

1549

1532

29

438

364

397

1244

1277

1283

1318

243

278

204

237

1404

1437

1443

1478

83

118

44

77

1564

1170

471

450

512

489

1072

1049

1031

1010

631

610

672

649

912

889

871

850

791

770

32

423

1138

1143

1097

1104

537

544

578

583

978

983

937

944

697

704

738

743

818

823

1577

1173

1227

1214

347

334

308

293

1348

1333

1387

1374

187

174

148

133

1508

1493

1547

1534

27

436

366

395

1246

1275

1285

1316

245

276

206

235

1406

1435

1445

1476

85

116

46

75

1566

1172

469

452

510

491

1070

1051

1029

1012

629

612

670

651

910

891

869

852

789

772

30

421

1140

1141

1099

1102

539

542

580

581

980

981

939

942

699

702

740

741

820

821

1579

1175

1225

1216

345

336

306

295

1346

1335

1385

1376

185

176

146

135

1506

1495

1545

1536

25

434

368

393

1248

1273

1287

1314

247

274

208

233

1408

1433

1447

1474

87

114

48

73

1568

1174

467

454

508

493

1068

1053

1027

1014

627

614

668

653

908

893

867

854

787

774

28

419

1142

1139

1101

1100

541

540

582

579

982

979

941

940

701

700

742

739

822

819

1581

1177

1223

1218

343

338

304

297

1344

1337

1383

1378

183

178

144

137

1504

1497

1543

1538

23

416

386

375

1266

1255

1305

1296

265

256

226

215

1426

1415

1465

1456

105

96

66

55

1586

1176

465

456

506

495

1066

1055

1025

1016

625

616

666

655

906

895

865

856

785

776

26

417

1144

1137

1103

1098

543

538

584

577

984

977

943

938

703

698

744

737

824

817

1583

1179

1221

1220

341

340

302

299

1342

1339

1381

1380

181

180

142

139

1502

1499

1541

1540

21

414

388

373

1268

1253

1307

1294

267

254

228

213

1428

1413

1467

1454

107

94

68

53

1588

1194

447

474

488

513

1048

1073

1007

1034

607

634

648

673

888

913

847

874

767

794

8

415

1146

1135

1105

1096

545

536

586

575

986

975

945

936

705

696

746

735

826

815

1585

1181

1219

1222

339

342

300

301

1340

1341

1379

1382

179

182

140

141

1500

1501

1539

1542

19

412

390

371

1270

1251

1309

1292

269

252

230

211

1430

1411

1469

1452

109

92

70

51

1590

1196

445

476

486

515

1046

1075

1005

1036

605

636

646

675

886

915

845

876

765

796

6

413

1148

1133

1107

1094

547

534

588

573

988

973

947

934

707

694

748

733

828

813

1587

1183

1217

1224

337

344

298

303

1338

1343

1377

1384

177

184

138

143

1498

1503

1537

1544

17

410

392

369

1272

1249

1311

1290

271

250

232

209

1432

1409

1471

1450

111

90

72

49

1592

1198

443

478

484

517

1044

1077

1003

1038

603

638

644

677

884

917

843

878

763

798

4

411

1150

1131

1109

1092

549

532

590

571

990

971

949

932

709

692

750

731

830

811

1589

1195

1205

1236

325

356

286

315

1326

1355

1365

1396

165

196

126

155

1486

1515

1525

1556

5

408

394

367

1274

1247

1313

1288

273

248

234

207

1434

1407

1473

1448

113

88

74

47

1594

1200

441

480

482

519

1042

1079

1001

1040

601

640

642

679

882

919

841

880

761

800

2

409

1152

1129

1111

1090

551

530

592

569

992

969

951

930

711

690

752

729

832

809

1591

1197

1203

1238

323

358

284

317

1324

1357

1363

1398

163

198

124

157

1484

1517

1523

1558

3

402

400

361

1280

1241

1319

1282

279

242

240

201

1440

1401

1479

1442

119

82

80

41

1600

 

                                Рис. 2

 

Ну, как квадратик? По-моему просто великолепный! Открою, так и быть, секрет расположения начальной цепочки в идеальном квадрате. Всё очень просто: надо разбить весь набор чисел (набор расклада для левой половины квадрата, который приведён в самом начале статьи) на две группы – чётные и нечётные числа и располагать эти числа в порядке возрастания, чередуя нечётные и чётные числа. Вот и вся хитрость!

Теперь нет никаких тайн в этом методе, и вы легко построите пандиагональный и идеальный квадраты следующего – 48-ого – порядка. Тем более что в предыдущей части статьи дана подсказка для построения этих квадратов. Единственная сложность – подобрать нужный расклад начальной цепочки для идеального квадрата. А не придумает ли кто-нибудь общий метод подбора такого расклада, чтобы можно было его формализовать и запрограммировать? По-моему, это можно сделать. Ну, это как раз будет один из блоков конкурсной программы, если таковую кто-то будет составлять (см. о конкурсной программе в предыдущей части статьи). В большинстве случаев я подобрала нужный расклад без программы.

 

Следует заметить, что это второй идеальный квадрат 40-ого порядка. Первый я построила в статье “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка” методом построения составных квадратов на базе идеального квадрата восьмого порядка, найденного в Интернете. Понятно, что это два разных квадрата.

 

У меня не осталось ни малейшего сомнения в том, что описанный метод построения пандиагональных и идеальных квадратов по схеме Франклина работает для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…

В статье показаны квадраты порядков 8, 16, 24, 32 и 40. Я вывела общие формулы (для любого порядка данной группы порядков) для суммы в первом столбце и в первой строке построенного этим методом пандиагонального квадрата. Обе эти формулы дают выражение, выражающее магическую константу квадрата, то есть

 

S = n*(n2 + 1)/2

 

                                                                  ***

 

21 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

      22 апреля 2008 г.

 

Теперь хочу применить метод качелей к идеальному квадрату восьмого порядка, построенному описанным методом, как это было сделано для идеального квадрата восьмого порядка, найденного в Интернете (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть I)”. Была построена группа подобных идеальных квадратов (36 штук).

 

Воспроизвожу на рис. 3 идеальный квадрат восьмого порядка, построенный по схеме Франклина с применением метода качелей.

 

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

                                                                       Рис. 3

 

Составляю образующую таблицу для этого квадрата (рис. 4):

 

 

 

 

1

56

47

31

57

9

18

34

-6

-6

7

50

41

25

63

15

24

40

4

4

3

54

45

29

59

11

20

36

-2

-2

5

52

43

27

61

13

22

38

3

1

4

53

46

30

60

12

19

35

-2

-2

6

51

44

28

62

14

21

37

4

4

2

55

48

32

58

10

17

33

-6

-6

8

49

42

26

64

16

23

39

 

 

 

k=6

k=5

k=3

k=7

k=1

k=2

k=4

 

                                                                           Рис. 4

 

Образующая таблица очень похожа на образующую таблицу для построения пандиагонального квадрата по схеме Франклина, однако имеет несколько особенностей. Не буду останавливаться на этих особенностях (любознательные читатели найдут их сами), а покажу процесс переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата. Начинать надо с расположения в матрице начальной цепочки. Как её надо расположить, видно на рис. 3 (начальная цепочка выделена сиреневым цветом). Ну, а далее переносятся числа по столбцам образующей таблицы, сначала из первого столбца – первый цикл качания качелей (k=6), затем из второго столбца (k=5) и так далее. Перенос чисел тоже несколько необычен, поэтому покажу его подробно для первых двух циклов (рис. 5 и рис. 6).

 

1

56

49

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

53

52

5

 

 

 

 

 

 

 

 

7

50

55

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

51

54

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

 

1

56

49

47

42

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

46

43

53

52

5

 

 

 

 

 

 

 

 

7

50

55

41

48

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

44

45

51

54

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Вы поняли схему переноса чисел? Не забывайте, что следование чисел в каждом цикле качания качелей повторяет следование чисел в начальной цепочке. Это поможет вам понять, как записываются числа из столбца образующей таблицы в матрицу для квадрата. Далее показываю завершение заполнения матрицы, раскрашивая циклы качания качелей, но не меняя картинку при каждом новом цикле (рис. 7).

 

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

                                                                       Рис. 7

 

Ну, а теперь надо написать образующую таблицу в общем виде с некоторыми начальными условиями и запрограммировать её. Пишу таблицу (рис. 8):

 

 

 

 

1

 

 

 

57

 

 

 

1-I

1-I

I

 

 

 

 

 

 

 

I-J

I-J

J

 

 

 

 

 

 

 

J-K

J-K

K

 

 

 

 

 

 

 

3

1

K-1

 

 

 

 

 

 

 

K-1-L

K-1-L

L

 

 

 

 

 

 

 

L-M

L-M

M

 

 

 

 

 

 

 

M-8

M-8

8

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=7

k=

k=

k=

 

                                                                      Рис. 8

 

Составив и выполнив программу для этой образующей таблицы, я получила всего 6 идеальных квадратов. Сложная схема формирования таблицы накладывает жёсткие условия, поэтому так мало получилось вариантов. Вспомните, для идеального квадрата, найденного в Интернете, я построила группу из 36 квадратов, подобных исходному квадрату.

 

Показываю все шесть квадратов, записанных программой в файл:

 

№ 1                                                               №  2 

 1  32  25  47  42  55  50  8                        1  32  25  55  50  47  42  8

 62  35  38  20  21  12  13  59                    62  35  38  12  13  20  21  59

 4  54  51  46  43  29  28  5                        4  46  43  54  51  29  28  5 

 63  9  16  17  24  34  39  58                      63  17  24  9  16  34  39  58 

 7  26  31  41  48  49  56  2                        7  26  31  49  56  41  48  2 

 60  37  36  22  19  14  11  61                    60  37  36  14  11  22  19  61 

 6  52  53  44  45  27  30  3                        6  44  45  52  53  27  30  3 

 57  15  10  23  18  40  33  64                    57  23  18  15  10  40  33  64 

 

 № 3                                                              № 4 

 1  48  41  31  26  55  50  8                        1  48  41  55  50  31  26  8 

 62  19  22  36  37  12  13  59                    62  19  22  12  13  36  37  59 

 4  54  51  30  27  45  44  5                        4  30  27  54  51  45  44  5 

 63  9  16  33  40  18  23  58                      63  33  40  9  16  18  23  58

 7  42  47  25  32  49  56  2                        7  42  47  49  56  25  32  2 

 60  21  20  38  35  14  11  61                    60  21  20  14  11  38  35  61 

 6  52  53  28  29  43  46  3                        6  28  29  52  53  43  46  3 

 57  15  10  39  34  24  17  64                    57  39  34  15  10  24  17  64 

 

 № 5                                                              № 6

 1  56  49  31  26  47  42  8                        1  56  49  47  42  31  26  8

 62  11  14  36  37  20  21  59                    62  11  14  20  21  36  37  59

 4  46  43  30  27  53  52  5                        4  30  27  46  43  53  52  5

 63  17  24  33  40  10  15  58                    63  33  40  17  24  10  15  58 

 7  50  55  25  32  41  48  2                        7  50  55  41  48  25  32  2

 60  13  12  38  35  22  19  61                    60  13  12  22  19  38  35  61 

 6  44  45  28  29  51  54  3                        6  28  29  44  45  51  54  3 

 57  23  18  39  34  16  9  64                      57  39  34  23  18  16  9  64 

 

Этих идеальных квадратов мало, но они прекрасны!

 

Покажу одно преобразование “плюс-минус 16”, связывающее квадраты № 5 и № 6. На рис. 9 изображена матрица этого преобразования.

 

 

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Вы видели где-нибудь такое преобразование? Наверняка не видели. Это преобразование сохраняет идеальность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Как пользоваться матрицей преобразования, мои читатели, конечно, уже знают.

 

Подобную процедуру применения метода качелей можно выполнить и для идеального квадрата 16-ого (а также других) порядка. Но, как я уже отметила, схема формирования образующей таблицы и переноса чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата очень непростая, поэтому программа получается сложная и длинная. Кто не боится сложностей, попробуйте! По программе вы получите группу идеальных квадратов, подобных тому, который построен мной.

 

На этом я пока завершаю рассказ об идеальных квадратах порядка n=8k, k=1, 2, 3, 4…

Буду решать вторую часть задачи, то есть займусь построением идеальных квадратов порядка n=4*(2k+1), k=1, 2, 3, 4…

 

                                                     ***

 

24 апреля 2008 г.

 

Небольшое литературное отступление. Однажды я прочла в каком-то лермонтовском произведении такую фразу: “Я хочу рассказать вам…”. Такая простая фраза! Но она почему-то потрясла меня до глубины души и осталась в памяти навсегда. Может быть, в ней была какая-то особенная – лермонтовская – интонация? Уже и не помню, какое это было произведение, а фраза запомнилась. Лермонтов был, вне всякого сомнения, гениальным писателем. На моём сайте вы можете посмотреть некоторые его произведения и несколько картин.

 

Сегодняшнюю запись начну с этой фразы –

Я хочу рассказать вам, как работаю над построением идеального квадрата 12-ого порядка. Знаете, как захватывает работа, и по ночам даже изобретаются какие-то схемы и методы. Но, увы! Пока поиск не дал результатов. Покажу здесь один замечательный ассоциативный квадрат, который мне удалось построить (пытаюсь идти путём, похожим на путь построения идеальных квадратов порядка n=8k). Смотрите этот квадрат на рис. 7.

 

1

72

109

108

13

60

96

121

48

25

84

133

141

76

33

40

129

88

52

21

100

117

64

9

2

71

110

107

14

59

95

122

47

26

83

134

140

77

32

41

128

89

53

20

101

116

65

8

3

70

111

106

15

58

94

123

46

27

82

135

139

78

31

42

127

90

54

19

102

115

66

7

138

79

30

43

126

91

55

18

103

114

67

6

10

63

118

99

22

51

87

130

39

34

75

142

137

80

29

44

125

92

56

17

104

113

68

5

11

62

119

98

23

50

86

131

38

35

74

143

136

81

28

45

124

93

57

16

105

112

69

4

12

61

120

97

24

49

85

132

37

36

73

144

 

                                                                       Рис. 7

 

Чудесный ассоциативный квадрат! Посмотрите, какое оригинальное расположение начальной цепочки первых 12 чисел. И метод качелей в квадрате действует. Вот вам образующая таблица этого квадрата в подтверждение действия метода качелей (рис. 8):

 

 

 

1

72

109

108

13

60

144

96

121

48

25

84

-1

2

71

110

107

14

59

143

95

122

47

26

83

-1

3

70

111

106

15

58

142

94

123

46

27

82

-7

10

63

118

99

22

51

135

87

130

39

34

75

-1

11

62

119

98

23

50

134

86

131

38

35

74

-1

12

61

120

97

24

49

133

85

132

37

36

73

8

4

69

112

105

16

57

141

93

124

45

28

81

-1

5

68

113

104

17

56

140

92

125

44

29

80

-1

6

67

114

103

18

55

139

91

126

43

30

79

-1

7

66

115

102

19

54

138

90

127

42

31

78

-1

8

65

116

101

20

53

137

89

128

41

32

77

-1

9

64

117

100

21

52

136

88

129

40

33

76

 

 

k=5

k=9

k=8

k=1

k=4

k=11

k=7

k=10

k=3

k=2

k=6

 

                                                                      Рис. 8

 

И перед вами очень простой и оригинальный алгоритм построения ассоциативных квадратов 12-ого порядка. На рис. 7 выделен первый цикл качания качелей (столбец образующей таблицы при k=5).

 

Но меня сейчас не интересует построение ассоциативных квадратов. Ищу идеальный квадрат! Попробовала превратить в идеальный представленный ассоциативный квадрат (рис. 7). Но это, к сожалению, оказалось невозможно, потому что в раскладе начальной цепочки числа 1 и 12 обязательно должны находиться в одной половине квадрата (число 144, комплементарное к числу 1, находится в строке с числом 12). А в идеальном квадрате числа 1 и 12 должны находиться в разных половинах квадрата, так как они дополняют друг друга до 13. Во всех построенных мной идеальных квадратах порядка n числа начальной цепочки в левой половине квадрата являются комплементарными к числам в правой половине квадрата в том смысле, что для каждого числа в одной половине есть число в другой половине, дающее в сумме с ним n+1. Возможно ли построить идеальный квадрат с нарушением этого правила, я пока не знаю.

 

Итак, вот вам один экземпляр кандидата в идеальные квадраты. В нём всё есть – и магичность, и ассоциативность. Не хватает только пандиагональности. Есть ещё путь перестановки строк и столбцов. Ведь, как известно, в ассоциативном квадрате можно переставлять симметричные строки и столбцы. И таких перестановок будет очень много. Но даст ли это хоть один идеальный квадрат? У меня есть программа перестановки строк и столбцов в квадрате 12-ого порядка, но выполнить её до конца не могу – очень долго выполняется.

К тому же строки ещё можно переворачивать, то есть записывать в обратном порядке. Это увеличивает число рассматриваемых вариантов в несколько раз. Задача получается аналогичной задаче Френикля. Там тоже был дан магический квадрат восьмого порядка и требовалось превратить его в пандиагональный таким же путём: переставляя строки и некоторые из них переворачивая. Эту задачу я решила, поскольку программа для квадрата восьмого порядка не так долго выполняется. Квадрат Френикля не превращается в пандиагональный таким способом.

 

Предлагаю заинтересовавшимся читателям попробовать решить задачу превращения ассоциативного квадрата с рис. 7 в идеальный. Но мне всё-таки кажется, что это тупиковый путь.

 

Покажу ещё два ассоциативных квадрата 12-ого порядка, которые построены другими методами и поэтому принципиально отличаются от приведённого выше квадрата. Первый из них (рис. 9) построен методом квадратных рамок, а второй – методом Рауз-Болла (рис. 10).

 

 

1

134

34

117

53

90

91

56

112

27

143

12

24

35

135

52

116

79

78

113

57

142

26

13

36

23

51

136

80

115

114

77

141

58

14

25

37

50

22

81

137

102

103

140

76

15

59

48

49

38

82

21

101

138

139

104

16

75

47

60

72

83

39

100

20

127

126

17

105

46

74

61

84

71

99

40

128

19

18

125

45

106

62

73

85

98

70

129

41

6

7

44

124

63

107

96

97

86

130

69

5

42

43

8

64

123

95

108

120

131

87

4

68

31

30

65

9

94

122

109

132

119

3

88

32

67

66

29

93

10

110

121

133

2

118

33

89

54

55

92

28

111

11

144

 

                                                                       Рис. 9

 

Посмотрите, как необычно здесь расположены первые 12 чисел. И заметьте: все числа начальной цепочки в левой половине квадрата комплементарны числам начальной цепочки в правой половине квадрата (до 13). У этого квадрата, как мне кажется, больше шансов превратиться в идеальный, чем у квадрата с рис. 7. Попробуйте, уважаемые читатели! У меня уже голова идёт кругом от этой задачи. Может быть, есть какой-то очень простой метод, но я его не вижу.

 

 

1

143

142

4

5

139

138

8

9

135

134

12

132

14

15

129

128

18

19

125

124

22

23

121

120

26

27

117

116

30

31

113

112

34

35

109

37

107

106

40

41

103

102

44

45

99

98

48

49

95

94

52

53

91

90

56

57

87

86

60

84

62

63

81

80

66

67

77

76

70

71

73

72

74

75

69

68

78

79

65

64

82

83

61

85

59

58

88

89

55

54

92

93

51

50

96

97

47

46

100

101

43

42

104

105

39

38

108

36

110

111

33

32

114

115

29

28

118

119

25

24

122

123

21

20

126

127

17

16

130

131

13

133

11

10

136

137

7

6

140

141

3

2

144

 

                                                                       Рис. 10

 

Это принципиально новый ассоциативный квадрат с другой схемой расположения первых 12 чисел.

 

И, наконец, ещё один кандидат в идеальные квадраты – это ассоциативный квадрат, построенный на базе магического квадрата третьего порядка, в качестве основного я взяла ассоциативный квадрат четвёртого порядка, который изображён на рис. 11.

 

 

1

14

15

4

8

11

10

5

12

7

6

9

13

2

3

16

 

                                                                      Рис. 11

 

А на рис. 12 вы видите базовый квадрат третьего порядка.

 

2

7

6

5

1

4

3

8

 

                                                                      Рис. 12

 

На рис. 13 показываю готовый составной ассоциативный квадрат 12-ого порядка.

 

17

30

31

20

97

110

111

100

81

94

95

84

24

27

26

21

104

107

106

101

88

91

90

85

28

23

22

25

108

103

102

105

92

87

86

89

29

18

19

32

109

98

99

112

93

82

83

96

129

142

143

132

65

78

79

68

1

14

15

4

136

139

138

133

72

75

74

69

8

11

10

5

140

135

134

137

76

71

70

73

12

7

6

9

141

130

131

144

77

66

67

80

13

2

3

16

49

62

63

52

33

46

47

36

113

126

127

116

56

59

58

53

40

43

42

37

120

123

122

117

60

55

54

57

44

39

38

41

124

119

118

121

61

50

51

64

45

34

35

48

125

114

115

128

 

                                                                       Рис. 13

 

В этом составном квадрате тоже есть начальная цепочка первых 12 чисел. Посмотрите на неё, она выделена жёлтым цветом. Не правда ли, очень оригинальна?

 

Покажу и ещё один составной ассоциативный квадрат, в котором базовый и основной квадраты поменяю местами. Смотрите этот квадрат на рис. 14.

 

 

2

7

6

119

124

123

128

133

132

29

34

33

9

5

1

126

122

118

135

131

127

36

32

28

4

3

8

121

120

125

130

129

134

31

30

35

65

70

69

92

97

96

83

88

87

38

43

42

72

68

64

99

95

91

90

86

82

45

41

37

67

66

71

94

93

98

85

84

89

40

39

44

101

106

105

56

61

60

47

52

51

74

79

78

108

104

100

63

59

55

54

50

46

81

77

73

103

102

107

58

57

62

49

48

53

76

75

80

110

115

114

11

16

15

20

25

24

137

142

141

117

113

109

18

14

10

27

23

19

144

140

136

112

111

116

13

12

17

22

21

26

139

138

143

 

                                                                       Рис. 14

 

А в этом квадрате вот как расположились первые 12 чисел (выделены зелёным цветом). Причудливо и не похоже ни на одну прежнюю схему.

 

Ну, вот я привела здесь несколько разных ассоциативных квадратов 12-ого порядка, каждый из которых можно попробовать превратить в идеальный.

 

Напомню читателям, что точно такой путь был пройден мной при построении идеального квадрата 9-ого порядка. Свой первый идеальный квадрат я построила матричным методом, найденным в Интернете. А потом пыталась превратить в идеальный хоть один из ассоциативных квадратов. Понятно, почему за исходный материал брались именно ассоциативные квадраты, ведь для идеальности им не хватает только пандиагональности. Было сделано невероятное количество попыток. Что только я ни делала с ассоциативными квадратами. И, наконец, нашла метод! В составном ассоциативном квадрате просто переставила столбцы по определённой схеме. И так получила свой второй идеальный квадрат 9-ого порядка. Этот метод описан в статье “Идеальные квадраты порядков кратных 9”. Он работает для любого порядка n=3p, p=2, 3, 4…

 

Замечу, что всё это было задолго до изобретения мной метода качелей, а также гораздо раньше опубликования Александровым его метода построения идеальных квадратов нечётного порядка.

А потом я построила точно так же из ассоциативных квадратов нечётного порядка не кратного 3 (построенных методом террас) идеальные квадраты путём простой перестановки столбцов с постоянным шагом. И тут-то на примере идеального квадрата 11-ого порядка увидела впервые качели (с тривиальной образующей таблицей). Весь этот путь очень подробно описан в статье “Идеальные квадраты. Метод качелей”, которая написана в 14 частях. И после такой титанической работы, проделанной мной при разработке этого уникального метода, Н. Громов (друг Александрова и популяризатор математических знаний, как он сам себя называет) может обвинять меня в плагиате.

 

Теперь напомню читателям, что любой из приведённых выше ассоциативных квадратов элементарно превращается в пандиагональный преобразованием трёх квадратов, которое обнаружено мной при работе с ассоциативными квадратами. Не буду повторять суть этого преобразования, а просто покажу все пандиагональные квадраты, которые получаются из приведённых здесь ассоциативных квадратов. Но при этом квадраты теряют ассоциативность!

 

Итак, превращаю квадрат с рис. 7 в пандиагональный (рис. 15).

 

 

1

72

109

108

13

60

133

84

25

48

121

96

141

76

33

40

129

88

9

64

117

100

21

52

2

71

110

107

14

59

134

83

26

47

122

95

140

77

32

41

128

89

8

65

116

101

20

53

3

70

111

106

15

58

<