ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть I

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу указывать

ссылку на данную страницу.

 

 

Об идеальных квадратах я уже рассказывала много в других статьях. Это будет как бы обобщающая статья.

 

Определение:

 

        Идеальным квадратом называется такой магический квадрат,

который является одновременно ассоциативным и пандиагональным.

 

Как известно, пандиагональные квадраты существуют для квадратов нечётных (больше 3) и чётно-чётных порядков. Ассоциативные тоже (квадрат третьего порядка ассоциативен, но не пандиагонален). А вот одновременно и ассоциативные, и пандиагональные, то есть идеальные, возможны только для квадратов нечётных порядков (больше 3). Самый первый идеальный квадрат – магический квадрат пятого порядка.

 

Примечание: несколько месяцев спустя после написания этой статьи я зарегистрировалась на одном математическом форуме. И там мне дали ссылку, где приведён идеальный квадрат восьмого порядка. Для порядка n=4 идеальные квадраты действительно не существуют (это доказано в одной из моих статей – “Ассоциативные квадраты”). А вот восьмого порядка есть. Смотрите этот квадрат по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Я пока не знаю, существуют ли идеальные квадраты других чётно-чётных порядков. Собираюсь исследовать этот вопрос. Смотрите мою статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

В силу ассоциативности в идеальном квадрате сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу: n2+1, где n – порядок квадрата. В центральной ячейке идеального квадрата порядка n стоит число (n2+1)/2.

 

Итак, покажу самый первый идеальный квадрат – пятого порядка (рис. 1).

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

                                                                      Рис. 1

 

О пандиагональных квадратах пятого порядка мной написано очень много (см. статьи “Пандиагональные квадраты” и “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Доказано, что идеальный квадрат, изображённый на рис.1, является самым базовым квадратом, в том смысле, что из него можно получить остальные 143 пандиагональных квадрата, применяя к нему различные преобразования. Вот какой это удивительный идеальный квадрат!

 

Далее показываю идеальный квадрат седьмого порядка (рис. 2).

 

 

1

38

26

14

44

32

20

28

9

46

34

15

3

40

48

29

17

5

42

23

11

19

7

37

25

13

43

31

39

27

8

45

33

21

2

10

47

35

16

4

41

22

30

18

6

36

24

12

49

 

                                                                      Рис. 2

 

Этот квадрат я построила матричным методом, найденным по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

А вот другой идеальный квадрат, построенный перестановкой строк из ассоциативного квадрата, построенного методом террас (рис. 3):

 

 

16

48

24

7

32

8

40

22

5

30

13

38

21

46

35

11

36

19

44

27

3

41

17

49

25

1

33

9

47

23

6

31

14

39

15

4

29

12

37

20

45

28

10

42

18

43

26

2

34

 

                                                                      Рис. 3

 

Из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, можно получить ещё несколько идеальных квадратов, переставляя строки с другим шагом (на рис. 3 строки переставлены с шагом 1, то есть через одну строку). А можно точно так же переставлять столбцы, оставляя строки на месте.

Замечу здесь, что из двух идеальных квадратов седьмого порядка (рис. 2 и рис. 3) я отдаю предпочтение квадрату, изображённому на рис. 2, потому что у него в левой верхней ячейке стоит число 1. Мне очень нравятся именно квадраты, начинающиеся с числа 1, они выглядят самыми совершенными. Поэтому я всегда в дальнейшем буду стараться получить идеальный квадрат, начинающийся с единицы.

Метод построения идеального квадрата из ассоциативного путём перестановки строк (или столбцов) годится для всех нечётных порядков не кратных 3. Очень простой метод!

 

А вот теперь у нас как раз на очереди квадрат девятого порядка, то есть кратного 3. Первый идеальный квадрат девятого порядка я построила матричным методом (см. ссылку выше). Смотрите его на рис. 4.

 

1

34

44

80

23

6

42

66

73

20

29

65

72

27

36

31

67

22

50

33

57

12

19

52

61

71

14

54

78

58

13

37

47

56

8

18

43

79

7

5

41

77

75

3

39

64

74

26

35

45

69

24

4

28

68

11

21

30

63

70

25

49

32

60

15

51

46

55

10

17

53

62

9

16

40

76

59

2

38

48

81

 

                                                                      Рис. 4

 

Но это я уже преобразовала квадрат, построенный матричным методом, чтобы получить в верхней левой ячейке число 1. Первоначально квадрат был таким (рис. 5):

 

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

26

79

54

14

67

42

2

55

30

11

64

39

8

61

36

23

76

51

60

32

4

75

47

19

72

44

16

81

53

25

69

41

13

57

29

1

66

38

10

63

35

7

78

50

22

31

6

59

46

21

74

43

18

71

52

27

80

40

15

68

28

3

56

37

12

65

34

9

62

49

24

77

 

                                                                     Рис. 5

 

Идеальный квадрат на рис. 5 обладает замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри него, равна магической константе квадрата – 369. На рис. 5 выделено 4 таких квадрата 3х3 для примера. Идеальный квадрат на рис. 4, полученный из квадрата с рис. 5 комбинацией различных преобразований, утратил это свойство.

 

Я очень долго пыталась построить идеальный квадрат девятого порядка из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, но мне это не удавалось. А потом совершенно случайно я переставила строки в другом ассоциативном квадрате, построенном на базе магического квадрата третьего порядка. И идеальный квадрат получился! Подробно об этом рассказано в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”. Здесь я покажу идеальный квадрат, построенный этим методом (рис. 6).

 

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

74

79

78

38

43

42

2

7

6

29

34

33

20

25

24

65

70

69

18

14

10

63

59

55

54

50

46

81

77

73

45

41

37

9

5

1

36

32

28

27

23

19

72

68

64

13

12

17

58

57

62

49

48

53

76

75

80

40

39

44

4

3

8

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

                                                                     Рис. 6

 

Идеальный квадрат на рис. 6 тоже обладает таким же свойством, как и квадрат на рис. 5.

 

Я построила очень много идеальных квадратов девятого порядка разными методами (см. статьи: “Магические квадраты девятого порядка”, “Идеальные квадраты девятого порядка”, “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Мной введено понятие “прототип идеального квадрата”, именно на примере идеальных квадратов девятого порядка.

 

А теперь перехожу к идеальным квадратам 11-ого порядка, о которых, кажется, нигде ещё подробно не рассказала. По указанной выше ссылке, где даны матричные методы построения пандиагональных квадратов, о квадратах 11-ого порядка написано очень мало, приведена какая-то матрица в самом общем виде, но ни одного квадрата не построено, и как вообще такой квадрат построить – совершенно непонятно. Да плюс к тому статья написана по-английски, а я не знаю языка. Для тех, кто заинтересуется, повторю ссылку:

 

http://www.grogono.com/magic/11x11.php

 

Но у меня есть прекрасный метод построения пандиагональных квадратов нечётных порядков, не кратных 3 (а 11 как раз такой порядок) из ассоциативного квадрата, построенного методом террас. Я уже сказала об этом методе выше. Вот этим методом я и воспользуюсь. Сначала покажу квадрат 11-ого порядка, построенный методом террас (рис. 7). Этот квадрат ассоциативен, но не пандиагонален.

 

 

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

 

                                                  Рис. 7

 

Теперь начну делать из этого ассоциативного квадрата идеальные. Сначала переставлю строки, оставляя на месте столбцы. Как я уже говорила, строки можно переставлять с разным шагом: 1 (через одну строку), 2 (через две строки), 3 (через три строки) и т. д.  На рис. 8 показан идеальный квадрат, полученный перестановкой строк с шагом 2, а на рис. 9 – с шагом 3.

 

 

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

 

                                                                      Рис. 8

 

 

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

 

                                                                     Рис. 9

 

На рис. 9 изображён чётно-нечётный рисунок квадрата. Он симметричен относительно обеих осей симметрии – горизонтальной и вертикальной и относительно центра квадрата.

 

Как для всех пандиагональных квадратов нечётного порядка, в квадратах 11-ого порядка можно применить стандартную перестановку строк и/или столбцов. Это преобразование я называю “диагонали-диагонали”, потому что оно не изменяет наборов чисел в строках и столбцах, а переводит все 22 диагонали (2 главные и 20 разломанных) исходного квадрата в другие 22 диагонали нового квадрата. На рис. 10 вы видите квадрат с рис. 8 со стандартно переставленными столбцами, на рис. 11 – со стандартно переставленными строками, а на рис. 12 переставлены и строки, и столбцы.

 

 

77

5

65

114

53

102

41

90

29

78

17

26

86

14

74

2

62

111

50

110

38

98

107

35

95

23

83

22

71

10

59

119

47

56

116

55

104

43

92

31

80

19

68

7

16

76

4

64

113

52

101

40

89

28

88

97

25

85

13

73

1

61

121

49

109

37

46

106

34

94

33

82

21

70

9

58

118

6

66

115

54

103

42

91

30

79

18

67

87

15

75

3

63

112

51

100

39

99

27

36

96

24

84

12

72

11

60

120

48

108

117

45

105

44

93

32

81

20

69

8

57

 

                                                                      Рис. 10

 

 

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

 

                                                                     Рис. 11

 

 

77

5

65

114

53

102

41

90

29

78

17

117

45

105

44

93

32

81

20

69

8

57

36

96

24

84

12

72

11

60

120

48

108

87

15

75

3

63

112

51

100

39

99

27

6

66

115

54

103

42

91

30

79

18

67

46

106

34

94

33

82

21

70

9

58

118

97

25

85

13

73

1

61

121

49

109

37

16

76

4

64

113

52

101

40

89

28

88

56

116

55

104

43

92

31

80

19

68

7

107

35

95

23

83

22

71

10

59

119

47

26

86

14

74

2

62

111

50

110

38

98

 

                                                                     Рис. 12

 

На рис. 10 выделены цветом разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата с рис. 8. Преобразование одновременной перестановки строк и столбцов сохраняет ещё набор чисел в одной из главных диагоналей. Очевидно, что преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов не сохраняет ассоциативность квадрата. Все три квадрата (рис. 10, 11, 12) не являются ассоциативными, но их очень просто превратить в ассоциативные, а значит, в идеальные, параллельным переносом на торе. Новых идеальных квадратов при этом не получится.

 

Далее  я получаю новый идеальный квадрат из ассоциативного (с рис. 7), переставляя столбцы с шагом 1 (через один столбец) и оставляя на месте строки. Смотрите этот квадрат на рис. 13.

 

 

42

54

66

67

79

91

103

115

6

18

30

102

114

5

17

29

41

53

65

77

78

90

52

64

76

88

89

101

113

4

16

28

40

112

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

62

74

86

98

110

111

2

14

26

38

50

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

72

84

96

108

120

11

12

24

36

48

60

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

10

82

94

106

118

9

21

33

34

46

58

70

32

44

45

57

69

81

93

105

117

8

20

92

104

116

7

19

31

43

55

56

68

80

 

                                                                     Рис. 13

 

(Примечание: на рисунке выделены первые 11 чисел, смотрите об этом далее).

 

Этот квадрат мне понадобится, чтобы сделать самый красивый идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Сначала я перенесу квадрат с рис. 13 на торе (см. рис. 14):

 

 

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

72

84

96

108

120

11

12

24

36

48

60

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

10

82

94

106

118

9

21

33

34

46

58

70

32

44

45

57

69

81

93

105

117

8

20

92

104

116

7

19

31

43

55

56

68

80

42

54

66

67

79

91

103

115

6

18

30

102

114

5

17

29

41

53

65

77

78

90

52

64

76

88

89

101

113

4

16

28

40

112

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

62

74

86

98

110

111

2

14

26

38

50

 

                                                                     Рис. 14

 

А вот сейчас мне понадобится преобразование “строки-диагонали”. Я уже много раз рассказывала об этом преобразовании: для пандиагональных квадратов пятого, седьмого, девятого и пятнадцатого порядков. Поэтому сразу приведу матрицу преобразования для квадрата 11-ого порядка. Пусть исходный пандиагональный квадрат имеет матрицу А(ai,j). Тогда квадрат, преобразованный преобразованием “строки-диагонали”, будет иметь следующую матрицу (рис. 15):

 

 

а1,1

а6,7

а11,2

а5,8

а10,3

а4,9

а9,4

а3,10

а8,5

а2,11

а7,6

а7,7

а1,2

а6,8

а11,3

а5,9

а10,4

а4,10

а9,5

а3,11

а8,6

а2,1

а2,2

а7,8

а1,3

а6,9

а11,4

а5,10

а10,5

а4,11

а9,6

а3,1

а8,7

а8,8

а2,3

а7,9

а1,4

а6,10

а11,5

а5,11

а10,6

а4,1

а9,7

а3,2

а3,3

а8,9

а2,4

а7,10

а1,5

а6,11

а11,6

а5,1

а10,7

а4,2

а9,8

а9,9

а3,4

а8,10

а2,5

а7,11

а1,6

а6,1

а11,7

а5,2

а10,8

а4,3

а4,4

а9,10

а3,5

а8,11

а2,6

а7,1

а1,7

а6,2

а11,8

а5,3

а10,9

а10,10

а4,5

а9,11

а3,6

а8,1

а2,7

а7,2

а1,8

а6,3

а11,9

а5,4

а5,5

а10,11

а4,6

а9,1

а3,7

а8,2

а2,8

а7,3

а1,9

а6,4

а11,10

а11,11

а5,6

а10,1

а4,7

а9,2

а3,8

а8,3

а2,9

а7,4

а1,10

а6,5

а6,6

а11,1

а5,7

а10,2

а4,8

а9,3

а3,9

а8,4

а2,10

а7,5

а1,11

 

                                                                    Рис. 15

 

Применяю это преобразование к пандиагональному квадрату с рис. 14. В результате получаю идеальный квадрат, который показан на рис. 16. Это самый лучший идеальный квадрат для меня, потому что он начинается с числа 1!

 

 

1

43

74

105

15

46

88

119

29

60

91

103

13

55

86

117

27

58

89

10

41

72

84

115

25

56

98

8

39

70

101

22

53

65

96

6

37

68

110

20

51

82

113

23

35

77

108

18

49

80

111

32

63

94

4

16

47

78

120

30

61

92

2

44

75

106

118

28

59

90

11

42

73

104

14

45

87

99

9

40

71

102

12

54

85

116

26

57

69

100

21

52

83

114

24

66

97

7

38

50

81

112

33

64

95

5

36

67

109

19

31

62

93

3

34

76

107

17

48

79

121

 

                                                                     Рис. 16

 

Посмотрите, какой оригинальный чётно-нечётный рисунок у этого идеального квадрата. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

А сейчас применю преобразование “строки-диагонали” к идеальному квадрату с рис. 8. Полученный пандиагональный квадрат изображён на рис. 17.

 

 

77

1

57

113

48

104

39

95

30

86

21

82

17

73

8

64

120

55

100

35

91

26

98

33

78

13

69

4

60

116

51

107

42

103

38

94

29

85

20

76

11

56

112

47

119

54

110

34

90

25

81

16

72

7

63

3

59

115

50

106

41

97

32

88

12

68

19

75

10

66

111

46

102

37

93

28

84

24

80

15

71

6

62

118

53

109

44

89

40

96

31

87

22

67

2

58

114

49

105

45

101

36

92

27

83

18

74

9

65

121

61

117

52

108

43

99

23

79

14

70

5

 

                                                                      Рис. 17

 

Этот квадрат пандиагональный, но не ассоциативный. Превращаю его в ассоциативный (а значит, в идеальный) параллельным переносом на торе. Смотрите на рис. 18.

 

 

97

32

88

12

68

3

59

115

50

106

41

102

37

93

28

84

19

75

10

66

111

46

118

53

109

44

89

24

80

15

71

6

62

2

58

114

49

105

40

96

31

87

22

67

18

74

9

65

121

45

101

36

92

27

83

23

79

14

70

5

61

117

52

108

43

99

39

95

30

86

21

77

1

57

113

48

104

55

100

35

91

26

82

17

73

8

64

120

60

116

51

107

42

98

33

78

13

69

4

76

11

56

112

47

103

38

94

29

85

20

81

16

72

7

63

119

54

110

34

90

25

 

                                                                    Рис. 18

 

Применю к этому квадрату (с рис. 18) преобразование “строки-диагонали”. Получился пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 19.

 

 

97

117

16

36

56

87

107

6

26

46

77

1

32

52

72

92

112

22

42

62

82

102

37

57

88

108

7

27

47

67

98

118

17

73

93

113

12

43

63

83

103

2

33

53

109

8

28

48

68

99

119

18

38

58

78

13

44

64

84

104

3

23

54

74

94

114

49

69

89

120

19

39

59

79

110

9

29

85

105

4

24

55

75

95

115

14

34

65

121

20

40

60

80

100

10

30

50

70

90

25

45

76

96

116

15

35

66

86

106

5

61

81

101

11

31

51

71

91

111

21

41

 

                                                                     Рис. 19

 

Интереснейший получился квадрат! Во-первых, очень гармонично расположены первые 11 чисел (я выделила их). Во-вторых, числа в строках почти всегда отличаются друг от друга на 20 (за редкими исключениями). Прямо чудо-квадрат! Чувствую, что в этом квадрате можно найти какой-то ключ к построению пандиагональных квадратов 11-ого порядка. Из этого квадрата я элементарно получаю идеальный квадрат параллельным переносом на торе (см. рис. 20).

 

 

23

54

74

94

114

13

44

64

84

104

3

59

79

110

9

29

49

69

89

120

19

39

95

115

14

34

65

85

105

4

24

55

75

10

30

50

70

90

121

20

40

60

80

100

35

66

86

106

5

25

45

76

96

116

15

71

91

111

21

41

61

81

101

11

31

51

107

6

26

46

77

97

117

16

36

56

87

22

42

62

82

102

1

32

52

72

92

112

47

67

98

118

17

37

57

88

108

7

27

83

103

2

33

53

73

93

113

12

43

63

119

18

38

58

78

109

8

28

48

68

99

 

                                                                     Рис. 20

 

Повернём этот квадрат (рис. 20) на 90 градусов против часовой стрелки (см. рис. 21):

 

 

3

39

75

100

15

51

87

112

27

63

99

104

19

55

80

116

31

56

92

7

43

68

84

120

24

60

96

11

36

72

108

12

48

64

89

4

40

76

101

16

52

88

113

28

44

69

105

20

45

81

117

32

57

93

8

13

49

85

121

25

61

97

1

37

73

109

114

29

65

90

5

41

77

102

17

53

78

94

9

34

70

106

21

46

82

118

33

58

74

110

14

50

86

111

26

62

98

2

38

54

79

115

30

66

91

6

42

67

103

18

23

59

95

10

35

71

107

22

47

83

119

 

                                                                     Рис. 21

 

Сравните этот идеальный квадрат с квадратом, изображённым на рис. 8! Вы увидите, что он получен из него перестановками строк и столбцов по определённой схеме. Об этом преобразовании нестандартной перестановки одновременно строк и столбцов я уже рассказала в статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка”. Красивое преобразование! Оно не изменяет наборов чисел в строках, столбцах и главных диагоналях, а все разломанные диагонали исходного квадрата переводит в другие разломанные диагонали нового квадрата. Читатели могут самостоятельно написать матрицу этого преобразования по аналогии с тем, как это показано для квадратов 15-ого порядка (см. указанную выше статью). Замечательно то, что преобразование переводит идеальный квадрат в идеальный. К идеальному квадрату на рис. 21 можно снова применить это преобразование, тогда получится идеальный квадрат, в котором строки и столбцы переставлены по другой схеме относительно квадрата с рис. 8. Таким образом, это преобразование имеет несколько вариантов.

 

И, наконец, надо рассказать о том, что все построенные здесь идеальные квадраты 11-ого порядка имеют пандиагональный прототип  и сами порождаются пандиагональным прототипом (понятие прототипа идеального квадрата я ввела при рассмотрении идеальных квадратов девятого порядка). Покажу это на примере самого лучшего идеального квадрата, который начинается с числа 1 (рис. 16). На рис. 22 вы видите прототип этого квадрата, который является пандиагональным квадратом.

 

 

72

53

23

4

106

87

57

38

19

121

91

22

113

94

75

45

26

7

109

79

60

41

82

63

44

14

116

97

67

48

29

10

101

32

2

104

85

66

36

17

119

89

70

51

92

73

54

24

5

107

88

58

39

20

111

42

12

114

95

76

46

27

8

110

80

61

102

83

64

34

15

117

98

68

49

30

11

52

33

3

105

86

56

37

18

120

90

71

112

93

74

55

25

6

108

78

59

40

21

62

43

13

115

96

77

47

28

9

100

81

1

103

84

65

35

16

118

99

69

50

31

 

                                                                     Рис. 22

 

Квадрат легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе. В свою очередь квадрат с рис. 16 является прототипом другого пандиагонального квадрата, его вы видите на рис. 23.

 

 

31

81

21

71

11

61

111

51

101

41

91

62

112

52

102

42

92

32

82

22

72

1

93

33

83

12

73

2

63

113

53

103

43

3

64

114

54

104

44

94

23

84

13

74

34

95

24

85

14

75

4

65

115

55

105

76

5

66

116

45

106

35

96

25

86

15

107

36

97

26

87

16

77

6

56

117

46

17

67

7

57

118

47

108

37

98

27

88

48

109

38

99

28

78

18

68

8

58

119

79

19

69

9

59

120

49

110

39

89

29

121

50

100

40

90

30

80

20

70

10

60

 

                                                                  Рис. 23

 

Этот квадрат тоже элементарно превращается в идеальный параллельным переносом на торе.

 

На этом я завершаю рассказ о пандиагональных и идеальных квадратах 11-ого порядка и перехожу к квадратам 13-ого порядка.

 

Примечание: просматривая написанные статьи, я обнаружила, что у меня уже есть статья, посвящённая квадратам 11-ого порядка. Ну, ничего, здесь приведено несколько новых квадратов.

 

Здесь всё совершенно аналогично квадратам 11-ого порядка, поэтому расскажу очень кратко, предоставляя читателям возможность построить несколько идеальных квадратов самостоятельно.

Прежде всего, покажу ассоциативный квадрат 13-ого порядка, построенный методом террас, из которого и буду получать идеальные квадраты (рис. 24).

 

 

7

92

21

106

35

120

49

134

63

148

77

162

91

104

20

105

34

119

48

133

62

147

76

161

90

6

19

117

33

118

47

132

61

146

75

160

89

5

103

116

32

130

46

131

60

145

74

159

88

4

102

18

31

129

45

143

59

144

73

158

87

3

101

17

115

128

44

142

58

156

72

157

86

2

100

16

114

30

43

141

57

155

71

169

85

1

99

15

113

29

127

140

56

154

70

168

84

13

98

14

112

28

126

42

55

153

69

167

83

12

97

26

111

27

125

41

139

152

68

166

82

11

96

25

110

39

124

40

138

54

67

165

81

10

95

24

109

38

123

52

137

53

151

164

80

9

94

23

108

37

122

51

136

65

150

66

79

8

93

22

107

36

121

50

135

64

149

78

163

 

                                                  Рис. 24

 

Переставляю в этом ассоциативном квадрате столбцы с шагом 1 (через один столбец), оставляя строки на месте. И идеальный квадрат 13-ого порядка готов! Всем понятно, что этот метод построения пандиагональных (и идеальных) квадратов для квадратов нечётных порядков, не кратных 3, самый простой. На рис. 25 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

134

148

162

7

21

35

49

63

77

91

92

106

120

62

76

90

104

105

119

133

147

161

6

20

34

48

146

160

5

19

33

47

61

75

89

103

117

118

132

74

88

102

116

130

131

145

159

4

18

32

46

60

158

3

17

31

45

59

73

87

101

115

129

143

144

86

100

114

128

142

156

157

2

16

30

44

58

72

1

15

29

43

57

71

85

99

113

127

141

155

169

98

112

126

140

154

168

13

14

28

42

56

70

84

26

27

41

55

69

83

97

111

125

139

153

167

12

110

124

138

152

166

11

25

39

40

54

68

82

96

38

52

53

67

81

95

109

123

137

151

165

10

24

122

136

150

164

9

23

37

51

65

66

80

94

108

50

64

78

79

93

107

121

135

149

163

8

22

36

 

                                                  Рис. 25

 

Посмотрите на этот идеальный квадрат. Я выделила первые 13 чисел. Сразу бросается в глаза определённая закономерность в расположении этих чисел. Я посмотрела на все идеальные квадраты низших нечётных порядков, построенные этим методом. И во всех увидела ту же закономерность! Кроме квадратов нечётных порядков, кратных 3, которые, как я уже говорила, этим методом не строятся. Этот результат показался мне очень интересным. Покажу здесь все эти идеальные квадраты, чтобы наглядно продемонстрировать этот результат. На рис. 26 вы видите идеальные квадраты 5, 7, 11 порядков, построенные данным методом. Я так же выделила в каждом квадрате первые n чисел (n – порядок квадрата). Квадрат 11-ого порядка уже был показан выше (см. рис. 13).

 

 

22

3

9

15

16

14

20

21

2

8

1

7

13

19

25

18

24

5

6

12

10

11

17

23

4

 

 

20

28

29

37

45

4