ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть X

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

В предыдущей части я рассказала об идеальных квадратах 21-ого порядка. Теперь хочу рассмотреть идеальные квадраты 27-ого порядка. Опять пропускаю квадраты порядков 23 и 25. Идеальные квадраты таких порядков построить очень просто. Идеальные квадраты 25-ого порядка были показаны в одной из предыдущих частей статьи.

Идеальный квадрат 27-ого порядка тоже был мной построен в статье “Пандиагональные квадраты порядков, кратных 9”. Построен он был очень простым методом: определённым образом переставляются столбцы в ассоциативном квадрате, построенном на базе магического квадрата третьего порядка. Интересно отметить, что этим методом можно построить идеальный квадрат любого порядка, который является степенью числа 3. В указанной статье было показано построение идеальных квадратов 9-ого, 27-ого и 81-ого порядка. Красивый метод и, главное, очень простой. Достаточно иметь магический квадрат третьего порядка и больше ничего. Всё можно сделать даже без компьютера, а те, кто хорошо складывает в уме, могут обойтись и без калькулятора. Показываю здесь идеальный квадрат 27-ого порядка (рис. 1):

 

 

92

137

128

497

542

533

416

461

452

97

142

133

502

547

99

144

135

504

549

540

423

468

459

95

140

131

500

545

94

139

130

499

544

535

418

463

454

93

138

129

498

543

155

119

83

560

524

488

479

443

407

160

124

88

565

529

162

126

90

567

531

495

486

450

414

158

122

86

563

527

157

121

85

562

526

490

481

445

409

156

120

84

561

525

110

101

146

515

506

551

434

425

470

115

106

151

520

511

117

108

153

522

513

558

441

432

477

113

104

149

518

509

112

103

148

517

508

553

436

427

472

111

102

147

516

507

659

704

695

335

380

371

11

56

47

664

709

700

340

385

666

711

702

342

387

378

18

63

54

662

707

698

338

383

661

706

697

337

382

373

13

58

49

660

705

696

336

381

722

686

650

398

362

326

74

38

2

727

691

655

403

367

729

693

657

405

369

333

81

45

9

725

689

653

401

365

724

688

652

400

364

328

76

40

4

723

687

651

399

363

677

668

713

353

344

389

29

20

65

682

673

718

358

349

684

675

720

360

351

396

36

27

72

680

671

716

356

347

679

670

715

355

346

391

31

22

67

678

669

714

354

345

254

299

290

173

218

209

578

623

614

259

304

295

178

223

261

306

297

180

225

216

585

630

621

257

302

293

176

221

256

301

292

175

220

211

580

625

616

255

300

291

174

219

317

281

645

236

200

164

641

605

569

322

286

250

241

205

324

288

252

243

207

171

648

612

576

320

284

248

239

203

319

283

247

238

202

166

643

607

571

318

282

246

237

201

272

263

308

191

182

227

596

587

632

277

268

313

196

187

279

270

315

198

189

234

603

594

639

275

266

311

194

185

274

265

310

193

184

229

598

589

634

273

264

309

192

183

 

 

538

421

466

457

96

141

132

501

546

537

420

465

456

536

419

464

455

91

136

127

496

541

532

415

460

451

534

417

462

453

98

143

134

503

548

539

422

467

458

493

484

448

412

159

123

87

564

528

492

483

447

411

491

482

446

410

154

118

82

559

523

487

478

442

406

489

480

444

408

161

125

89

566

530

494

485

449

413

556

439

430

475

114

105

150

519

510

555

438

429

474

554

437

428

473

109

100

145

514

505

550

433

424

469

552

435

426

471

116

107

152

521

512

557

440

431

476

376

16

61

52

663

708

699

339

384

375

15

60

51

374

14

59

50

658

703

694

334

379

370

10

55

46

372

12

57

48

665

710

701

341

386

377

17

62

53

331

79

43

7

726

690

654

402

366

330

78

42

6

329

77

41

5

721

685

649

397

361

325

73

37

1

327

75

39

3

728

692

656

404

368

332

80

44

8

394

34

25

70

681

672

717

357

348

393

33

24

69

392

32

23

68

676

667

712

352

343

388

28

19

64

390

30

21

66

683

674

719

359

350

395

35

26

71

214

583

628

619

258

303

294

177

222

213

582

627

618

212

581

626

617

253

298

289

172

217

208

577

622

613

210

579

624

615

260

305

296

179

224

215

584

629

620

169

646

610

574

321

285

249

240

204

168

645

609

573

167

644

608

572

316

280

244

235

199

163

640

604

568

165

642

606

570

323

287

251

242

206

170

647

611

575

232

601

592

637

276

267

312

195

186

231

600

591

636

230

599

590

635

271

262

307

190

181

226

595

586

631

228

597

588

633

278

269

314

197

188

233

602

593

638

 

                                                                  Рис. 1

 

С целью лучшего изображения я “разрезала” квадрат на две части по вертикали, он представлен в виде двух половинок. Понятно, что для получения полной картинки надо соединить две части квадрата.

 

Это пока единственный идеальный квадрат 27-ого порядка, имеющийся у меня в наличии. Посмотрите на этот квадрат внимательно. Я выделила в нём первые 27 чисел. Это девять столбиков по три числа. При внимательном рассмотрении можно заметить, что другие столбики в матрице непостижимым образом связаны с этими начальными столбиками. Когда я представляла идеальный квадрат 9-ого порядка, построенный таким же методом, там это было видно очень хорошо. Есть даже некоторая аналогия с методом качелей. Вот, например, два столбика – начальный и стоящий с ним рядом (рис. 2):

 

11

56

18

63

13

58

 

                                                                       Рис. 2

 

Числа в начальном столбце связаны так: 13+5=18, 18-7=11. Числа в столбце, стоящем рядом, связаны точно так же!

 

Ну, для начала получу из этого идеального квадрата идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Что для этого надо сделать, читатели уже знают, потому что я показывала этот путь не один раз. Сначала перенесу квадрат на торе, так чтобы центральная строка оказалась первой, а затем отражу его относительно вертикальной оси симметрии, так чтобы число 1 оказалось в левой верхней ячейке. В результате таких преобразований квадрат утратит ассоциативность. Чтобы превратить квадрат в идеальный, надо применить к нему преобразование “строки-диагонали”. И на рис. 3 вы видите второй идеальный квадрат 27-ого порядка. Этот квадрат начинается с числа 1.

 

 

1

192

42

311

17

268

370

318

384

576

521

605

145

580

502

37

309

78

266

377

277

379

571

339

612

152

641

100

44

133

73

264

330

275

386

632

334

607

699

648

107

164

131

80

142

325

273

366

639

341

587

694

643

708

171

116

33

140

332

97

361

634

402

594

701

596

703

166

663

207

138

393

95

368

452

397

589

654

603

710

227

658

202

52

388

93

348

459

404

461

649

598

690

234

665

182

50

238

160

343

454

357

468

656

416

685

229

726

189

48

191

59

350

407

352

463

717

423

692

533

721

184

7

198

57

308

414

359

443

712

418

672

540

728

542

5

193

43

315

12

177

450

719

479

667

535

681

549

3

497

41

310

79

270

445

294

486

674

488

676

544

70

504

39

128

77

265

331

289

481

303

495

683

524

68

499

25

135

75

137

329

274

434

298

490

258

531

66

560

23

130

34

144

327

92

365

305

551

253

526

619

567

21

83

32

139

394

99

363

456

558

260

506

617

562

628

90

30

119

392

94

349

451

399

321

513

615

515

626

85

583

126

390

155

347

458

358

460

508

574

522

624

146

581

121

214

162

345

411

356

467

718

572

517

610

153

579

101

212

157

223

406

354

447

716

422

335

608

148

646

108

210

110

221

413

178

442

714

483

671

606

695

644

103

169

117

219

474

176

449

295

478

669

492

702

642

704

167

112

205

469

174

429

293

485

304

487

678

601

711

165

659

203

476

241

424

291

438

302

494

259

523

706

232

666

201

51

239

431

250

433

300

555

257

530

614

230

661

187

46

237

60

248

440

286

550

255

510

621

566

722

185

53

196

55

246

15

284

557

322

505

616

519

630

183

6

194

62

313

10

282

375

320

512

569

514

625

150

 

 

105

216

161

218

410

355

448

720

417

668

536

724

547

211

114

225

408

173

446

715

484

675

534

677

545

8

109

220

475

180

444

290

482

670

493

684

543

69

500

200

473

175

430

297

480

299

491

679

529

64

498

24

471

236

428

292

439

306

489

254

527

71

565

19

129

243

426

245

437

301

556

261

525

618

563

26

88

28

61

252

435

281

554

256

511

613

561

627

86

35

124

247

16

288

552

317

509

620

520

622

84

582

122

395

14

283

376

324

507

573

518

629

151

577

120

213

158

263

374

319

385

568

516

609

149

584

106

208

156

222

372

272

383

575

340

604

147

645

104

215

115

217

409

279

381

636

338

611

700

640

102

168

113

224

470

172

367

631

336

591

698

647

709

163

111

204

477

179

425

638

403

586

696

600

707

170

664

199

472

240

432

296

401

593

655

595

705

231

662

206

47

235

427

249

441

465

653

602

691

226

660

186

54

242

56

244

436

285

651

420

689

233

727

181

49

195

63

251

11

280

553

415

687

537

725

188

2

190

58

312

18

287

371

316

673

532

723

546

9

197

38

307

13

267

378

323

380

539

682

541

4

501

45

314

74

262

373

276

387

570

680

548

65

496

40

132

81

269

326

271

382

637

342

528

72

503

20

127

76

141

333

278

362

635

337

592

67

564

27

134

29

136

328

96

369

633

398

590

697

559

22

87

36

143

389

91

364

457

405

588

650

599

623

82

31

123

396

98

344

455

400

466

657

597

686

89

578

118

391

159

351

453

353

464

652

421

693

228

585

125

209

154

346

412

360

462

713

419

688

538

729

 

                                                                                  Рис. 3

 

Напомню читателям, что матрицы преобразования “строки-диагонали” были показаны для пандиагональных квадратов 5-ого, 7-ого, 9-ого и 11-ого порядков.  Самую первую такую матрицу я сочинила для квадратов 5-ого порядка. Это был восхитительно! Так красиво все строки исходного квадрата переходят в диагонали нового квадрата. Затем попробовала сочинить матрицу такого преобразования для квадратов 7-ого порядка. Это вызвало некоторые трудности – не было ещё опыта, не увидела все закономерности. А уже при написании матрицы этого преобразования для квадратов 9-ого порядка не возникло ни малейших трудностей. И я написала матрицы этого преобразования до порядка 27 включительно. Рекомендация: при написании матрицы сначала перепишите первую строку исходного квадрата в главную диагональ нового квадрата, и от неё уже начинайте “танцевать”. И ещё, конечно, надо положить перед собой одну из готовых матриц этого преобразования, как образец.

Замечу, что преобразование “строки-диагонали” применимо только к пандиагональным квадратам нечётного порядка.

 

В квадрате на рис. 3 выделена главная диагональ, это первая строка в исходном квадрате. Как уже заметили читатели, ценность этого преобразования в том, что оно позволяет превратить пандиагональный квадрат в идеальный. Разумеется, это возможно не всегда, а только в том случае, когда исходный квадрат получен из идеального квадрата другим преобразованием или комбинацией преобразований (например, параллельный перенос на торе, перестановка строк, отражение).

Ну, а ещё с помощью этого преобразования мне удалось свести банк базовых пандиагональных квадратов пятого порядка, состоящий из 144 квадратов, к одному базовому квадрату. Смотрите об этом в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”.

 

Далее перехожу к методу стандартных качелей. Как помнят читатели, я остановилась при рассмотрении метода качелей на квадрате 33-ого порядка, потому что программа очень большая и не хочется её писать и выполнять. Я сначала пропустила порядок 27 потому, что у меня уже был построен идеальный квадрат этого порядка другим методом. А теперь вот подумала, что для идеальных квадратов 27-ого порядка тоже надо попробовать метод качелей. И решила сначала построить идеальный квадрат 27-ого порядка этим методом, а потом уж, если придёт вдохновение, написать программу и для квадратов 33-ого порядка. А читателям предлагаю сделать это прямо сейчас! Уверяю вас, вы получите истинное наслаждение, когда на экране замелькают идеальные квадраты 33-ого порядка, построенные по вашей программе. В восьмой части данной статьи запрограммированы стандартные и нестандартные качели для квадратов 15-ого порядка.

В предыдущей части запрограммированы нестандартные качели для квадратов 21-ого порядка. Стандартные качели для квадратов 21-ого порядка тоже были запрограммированы (во второй части статьи).

 

Итак, я рисую образующую таблицу для стандартных качелей с целью запрограммировать её и построить идеальные квадраты 27-ого порядка. Далее пишу программу, отлаживаю её и получаю результаты. Но о результатах расскажу в другой раз.

 

                                               ***

 

Страница помещена на сайт 10 января 2008 г.

 

                                       __________

 

12 января 2008 г.

 

Ура-а-а! Есть идеальные квадраты 27-ого порядка.

Пришлось попыхтеть над программой, она всё-таки длинная получилась, хотя совсем не сложная, конечно. Ничего сложного в ней нет. Отладка не заняла много времени. Было несколько описок, которые быстро увидела и устранила. И программа начала выдавать образующие таблицы для идеальных квадратов! Но прежде покажу читателям образующую таблицу с начальными условиями, которые я задала при составлении программы (рис. 4).

 

 

 

27

28

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

700

728

-1

1

29

57

 

 

 

 

365

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

673

701

729

-1

2

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

674

702

703

3-K

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

675

676

704

K-L

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

649

677

705

L-M

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

650

678

 

M-N

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

651

 

 

N-O

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O-P

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P-R

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-S

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S-T

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T-U

T

 

68

 

 

 

 

376

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U-14

U

41

 

 

 

 

 

377

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U-14

14

 

 

 

 

 

 

378

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T-U

28-U

 

 

 

 

 

 

352

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

716

S-T

28-T

 

 

 

 

 

 

353

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

689

 

R-S

28-S

 

 

 

 

 

 

354

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

662

 

 

P-R

28-R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O-P

28-P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-O

28-O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M-N

28-N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L-M

28-M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K-L

28-L

 

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-K

28-K

52

80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

25

53

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

26

54

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

727

 

 

k=1

k=2

k=

k=

k=

k=

k=13

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=24

k=25

k=26

 

                                                                       Рис. 4

 

Замечу, что для более компактного изображения я пропустила в таблице пять столбцов, эти столбцы пустые, в них нет никаких чисел.

В таблицу вписаны все числа, которые я считаю известными, это и есть начальные условия для моей программы. Как видите, я зафиксировала пять чисел в начальной цепочке из 27 чисел: 27, 1, 14, 2, 3. В результате этого, по законам формирования таблицы, будут известны ещё два числа: 25 и 26. Отмечу, что числа 27, 1 и 14 фиксировать надо обязательно. Числа же 2 и 3 зафиксированы просто для того, чтобы было меньше варьируемых переменных. Таким образом, у меня оказалось 10 варьируемых переменных, все они изменяются в интервале от 4 до 24, исключая 14. Если же числа 2 и 3 не фиксировать, тогда варьируемых переменных будет 12, и все они будут изменяться в интервале от 2 до 26, исключая 14. Вот такую маленькую хитрость я применила при составлении этой большой программы, уменьшив таким образом её размер. Ну, время выполнения всей программы, конечно, мало от этого изменилось. Прикиньте на досуге, сколько вариантов должна рассмотреть программа даже в моём исполнении. И последняя маленькая хитрость: чтобы за числами 2 и 3 сразу не следовало следующее по порядку число 4, я задала в качестве начального значения для переменной K число 7. Просто так, для разнообразия. Я могла задать здесь любое число в интервале от 4 до 24, кроме числа 14. Вот и все технические моменты моей программы. А далее поставила сразу счётчик на 5 решений, потому что ведь выполнить программу до конца – это можно и до смерти не дождаться! Тем более что программы я пишу на стареньком и очень медленном языке BASIC. Ну, первые пять решений программы выдала за 10 секунд. Как всегда, решения у меня выводятся в виде образующих таблиц. А идеальный квадрат по его образующей таблице я пишу вручную. Покажу здесь образующие таблицы для трёх первых решений, чтобы читатель увидел, что они представляют собой. Итак, вот три первых решения, выданных программой. В первой строке выводятся значения варьируемых переменных, во второй строке разности (самый левый столбец образующей таблицы), а потом сама таблица.

 

1

 7  4  5  6  8  9  11  13  10  16  12  18  15  17  19  20  22  23  24  21

-1 -1 -4  3 -1 -1 -2 -1 -2 -2  3 -6  2  2 -6  3 -2 -2 -1 -2 -1 -1  3 -4 -1 -1 

27  28  56  165  88  112  140  195  224  279  335  256  415  367  311  471  396  447  503  532  587  616  644  564  669  700  728

 1  29  57  169  85  113  141  197  225  281  337  253  421  365  309  477  393  449  505  533  589  617  645  561  673  701  729

 2  30  61  166  86  114  143  198  227  283  334  259  419  363  315  474  395  451  506  535  590  618  642  565  674  702  703

 3  34  58  167  87  116  144  200  229  280  340  257  417  369  312  476  397  452  508  536  591  615  646  566  675  676  704

 7  31  59  168  89  117  146  202  226  286  338  255  423  366  314  478  398  454  509  537  588  619  647  567  649  677  705

 4  32  60  170  90  119  148  199  232  284  336  261  420  368  316  479  400  455  510  534  592  620  648  541  650  678  709

 5  33  62  171  92  121  145  205  230  282  342  258  422  370  317  481  401  456  507  538  593  621  622  542  651  682  706

 6  35  63  173  94  118  151  203  228  288  339  260  424  371  319  482  402  453  511  539  594  595  623  543  655  679  707

 8  36  65  175  91  124  149  201  234  285  341  262  425  373  320  483  399  457  512  540  568  596  624  547  652  680  708

 9  38  67  172  97  122  147  207  231  287  343  263  427  374  321  480  403  458  513  514  569  597  628  544  653  681  710

 11  40  64  178  95  120  153  204  233  289  344  265  428  375  318  484  404  459  487  515  570  601  625  545  654  683  711

 13  37  70  176  93  126  150  206  235  290  346  266  429  372  322  485  405  433  488  516  574  598  626  546  656  684  713

 10  43  68  174  99  123  152  208  236  292  347  267  426  376  323  486  379  434  489  520  571  599  627  548  657  686  715

 16  41  66  180  96  125  154  209  238  293  348  264  430  377  324  460  380  435  493  517  572  600  629  549  659  688  712

 14  39  72  177  98  127  155  211  239  294  345  268  431  378  298  461  381  439  490  518  573  602  630  551  661  685  718

 12  45  69  179  100  128  157  212  240  291  349  269  432  352  299  462  385  436  491  519  575  603  632  553  658  691  716

 18  42  71  181  101  130  158  213  237  295  350  270  406  353  300  466  382  437  492  521  576  605  634  550  664  689  714

 15  44  73  182  103  131  159  210  241  296  351  244  407  354  304  463  383  438  494  522  578  607  631  556  662  687  720

 17  46  74  184  104  132  156  214  242  297  325  245  408  358  301  464  384  440  495  524  580  604  637  554  660  693  717

 19  47  76  185  105  129  160  215  243  271  326  246  412  355  302  465  386  441  497  526  577  610  635  552  666  690  719

 20  49  77  186  102  133  161  216  217  272  327  250  409  356  303  467  387  443  499  523  583  608  633  558  663  692  721

 22  50  78  183  106  134  162  190  218  273  331  247  410  357  305  468  389  445  496  529  581  606  639  555  665  694  722

 23  51  75  187  107  135  136  191  219  277  328  248  411  359  306  470  391  442  502  527  579  612  636  557  667  695  724

 24  48  79  188  108  109  137  192  223  274  329  249  413  360  308  472  388  448  500  525  585  609  638  559  668  697  725

 21  52  80  189  82  110  138  196  220  275  330  251  414  362  310  469  394  446  498  531  582  611  640  560  670  698  726

 25  53  81  163  83  111  142  193  221  276  332  252  416  364  307  475  392  444  504  528  584  613  641  562  671  699  723

 26  54  55  164  84  115  139  194  222  278  333  254  418  361  313  473  390  450  501  530  586  614  643  563  672  696  727

 

 2

 7  4  5  6  8  9  11  13  12  18  10  16  15  17  19  20  22  23  24  21

-1 -1 -4  3 -1 -1 -2 -1 -2 -2  1 -6  4  4 -6  1 -2 -2 -1 -2 -1 -1  3 -4 -1 -1

 27  28  56  165  88  112  140  195  224  279  335  310  471  369  257  415  394  447  503  532  587  616  644  564  669  700  728

 1  29  57  169  85  113  141  197  225  281  337  309  477  365  253  421  393  449  505  533  589  617  645  561  673  701  729

 2  30  61  166  86  114  143  198  227  283  336  315  473  361  259  420  395  451  506  535  590  618  642  565  674  702  703

 3  34  58  167  87  116  144  200  229  282  342  311  469  367  258  422  397  452  508  536  591  615  646  566  675  676  704

 7  31  59  168  89  117  146  202  228  288  338  307  475  366  260  424  398  454  509  537  588  619  647  567  649  677  705

 4  32  60  170  90  119  148  201  234  284  334  313  474  368  262  425  400  455  510  534  592  620  648  541  650  678  709

 5  33  62  171  92  121  147  207  230  280  340  312  476  370  263  427  401  456  507  538  593  621  622  542  651  682  706

 6  35  63  173  94  120  153  203  226  286  339  314  478  371  265  428  402  453  511  539  594  595  623  543  655  679  707

 8  36  65  175  93  126  149  199  232  285  341  316  479  373  266  429  399  457  512  540  568  596  624  547  652  680  708

 9  38  67  174  99  122  145  205  231  287  343  317  481  374  267  426  403  458  513  514  569  597  628  544  653  681  710

 11  40  66  180  95  118  151  204  233  289  344  319  482  375  264  430  404  459  487  515  570  601  625  545  654  683  711

 13  39  72  176  91  124  150  206  235  290  346  320  483  372  268  431  405  433  488  516  574  598  626  546  656  684  713

 12  45  68  172  97  123  152  208  236  292  347  321  480  376  269  432  379  434  489  520  571  599  627  548  657  686  715

 18  41  64  178  96  125  154  209  238  293  348  318  484  377  270  406  380  435  493  517  572  600  629  549  659  688  714

 14  37  70  177  98  127  155  211  239  294  345  322  485  378  244  407  381  439  490  518  573  602  630  551  661  687  720

 10  43  69  179  100  128  157  212  240  291  349  323  486  352  245  408  385  436  491  519  575  603  632  553  660  693  716

 16  42  71  181  101  130  158  213  237  295  350  324  460  353  246  412  382  437  492  521  576  605  634  552  666  689  712

 15  44  73  182  103  131  159  210  241  296  351  298  461  354  250  409  383  438  494  522  578  607  633  558  662  685  718

 17  46  74  184  104  132  156  214  242  297  325  299  462  358  247  410  384  440  495  524  580  606  639  554  658  691  717

 19  47  76  185  105  129  160  215  243  271  326  300  466  355  248  411  386  441  497  526  579  612  635  550  664  690  719

 20  49  77  186  102  133  161  216  217  272  327  304  463  356  249  413  387  443  499  525  585  608  631  556  663  692  721

 22  50  78  183  106  134  162  190  218  273  331  301  464  357  251  414  389  445  498  531  581  604  637  555  665  694  722

 23  51  75  187  107  135  136  191  219  277  328  302  465  359  252  416  391  444  504  527  577  610  636  557  667  695  724

 24  48  79  188  108  109  137  192  223  274  329  303  467  360  254  418  390  450  500  523  583  609  638  559  668  697  725

 21  52  80  189  82  110  138  196  220  275  330  305  468  362  256  417  396  446  496  529  582  611  640  560  670  698  726

 25  53  81  163  83  111  142  193  221  276  332  306  470  364  255  423  392  442  502  528  584  613  641  562  671  699  723

 26  54  55  164  84  115  139  194  222  278  333  308  472  363  261  419  388  448  501  530  586  614  643  563  672  696  727

 

 3

 7  4  5  6  8  9  11  15  10  16  12  18  13  17  19  20  22  23  24  21

-1 -1 -4  3 -1 -1 -2 -1 -2 -4  5 -6  2  2 -6  5 -4 -2 -1 -2 -1 -1  3 -4 -1 -1 

27  28  56  165  88  112  140  195  224  279  389  258  415  367  311  471  342  445  503  532  587  616  644  564  669  700  728

 1  29  57  169  85  113  141  197  225  281  393  253  421  365  309  477  337  449  505  533  589  617  645  561  673  701  729

 2  30  61  166  86  114  143  198  227  285  388  259  419  363  315  472  341  451  506  535  590  618  642  565  674  702  703

 3  34  58  167  87  116  144  200  231  280  394  257  417  369  310  476  343  452  508  536  591  615  646  566  675  676  704

 7  31  59  168  89  117  146  204  226  286  392  255  423  364  314  478  344  454  509  537  588  619  647  567  649  677  705

 4  32  60  170  90  119  150  199  232  284  390  261  418  368  316  479  346  455  510  534  592  620  648  541  650  678  709

 5  33  62  171  92  123  145  205  230  282  396  256  422  370  317  481  347  456  507  538  593  621  622  542  651  682  706

 6  35  63  173  96  118  151  203  228  288  391  260  424  371  319  482  348  453  511  539  594  595  623  543  655  679  707

 8  36  65  177  91  124  149  201  234  283  395  262  425  373  320  483  345  457  512  540  568  596  624  547  652  680  708

 9  38  69  172  97  122  147  207  229  287  397  263  427  374  321  480  349  458  513  514  569  597  628  544  653  681  710

 11  42  64  178  95  120  153  202  233  289  398  265  428  375  318  484  350  459  487  515  570  601  625  545  654  683  711

 15  37  70  176  93  126  148  206  235  290  400  266  429  372  322  485  351  433  488  516  574  598  626  546  656  684  713

 10  43  68  174  99  121  152  208  236  292  401  267  426  376  323  486  325  434  489  520  571  599  627  548  657  686  717

 16  41  66  180  94  125  154  209  238  293  402  264  430  377  324  460  326  435  493  517  572  600  629  549  659  690  712

 14  39  72  175  98  127  155  211  239  294  399  268  431  378  298  461  327  439  490  518  573  602  630  551  663  685  718

 12  45  67  179  100  128  157  212  240  291  403  269  432  352  299  462  331  436  491  519  575  603  632  555  658  691  716

 18  40  71  181  101  130  158  213  237  295  404  270  406  353  300  466  328  437  492  521  576  605  636  550  664  689  714

 13  44  73  182  103  131  159  210  241  296  405  244  407  354  304  463  329  438  494  522  578  609  631  556  662  687  720

 17  46  74  184  104  132  156  214  242  297  379  245  408  358  301  464  330  440  495  524  582  604  637  554  660  693  715

 19  47  76  185  105  129  160  215  243  271  380  246  412  355  302  465  332  441  497  528  577  610  635  552  666  688  719

 20  49  77  186  102  133  161  216  217  272  381  250  409  356  303  467  333  443  501  523  583  608  633  558  661  692  721

 22  50  78  183  106  134  162  190  218  273  385  247  410  357  305  468  335  447  496  529  581  606  639  553  665  694  722

 23  51  75  187  107  135  136  191  219  277  382  248  411  359  306  470  339  442  502  527  579  612  634  557  667  695  724

 24  48  79  188  108  109  137  192  223  274  383  249  413  360  308  474  334  448  500  525  585  607  638  559  668  697  725

 21  52  80  189  82  110  138  196  220  275  384  251  414  362  312  469  340  446  498  531  580  611  640  560  670  698  726

 25  53  81  163  83  111  142  193  221  276  386  252  416  366  307  475  338  444  504  526  584  613  641  562  671  699  723

 26  54  55  164  84  115  139  194  222  278  387  254  420  361  313  473  336  450  499  530  586  614  643  563  672  696  727

 

Вы можете вписать любую из этих таблиц в пустую таблицу, приготовленную для составления программы (рис. 4), чтобы лучше понять закономерности её формирования.

А вот и идеальный квадрат (рис. 5), это самый первый вариант решения.

 

Идеальный квадрат 27-ого порядка:

 

 

211

239

294

345

268

431

378

298

461

381

439

490

518

573

602

630

551

661

685

718

14

39

72

177

98

127

155

600

629

549

659

688

712

16

41

66

180

96

125

154

209

238

293

348

264

430

377

324

460

380

435

493

517

572

236

292

347

267

426

376

323

486

379

434

489

520

571

599

627

548

657

686

715

10

43

68

174

99

123

152

208

626

546

656

684

713

13

37

70

176

93

126

150

206

235

290

346

266

429

372

322

485

405

433

488

516

574

598

289

344

265

428

375

318

484

404

459

487

515

570

601

625

545

654

683

711

11

40

64

178

95

120

153

204

233

544

653

681

710

9

38

67

172

97

122

147

207

231

287

343

263

427

374

321

480

403

458

513

514

569

597

628

341

262

425

373

320

483

399

457

512

540

568

596

624

547

652

680

708

8

36

65

175

91

124

149

201

234

285

655

679

707

6

35

63

173

94

118

151

203

228

288

339

260

424

371

319

482

402

453

511

539

594

595

623

543

258

422

370

317

481

401

456

507

538

593

621

622

542

651

682

706

5

33

62

171

92

121

145

205

230

282

342

678

709

4

32

60

170

90

119

148

199

232

284

336

261

420

368

316

479

400

455

510

534

592

620

648

541

650

423

366

314

478

398

454

509

537

588

619

647

567

649

677

705

7

31

59

168

89

117

146

202

226

286

338

255

704

3

34

58

167

87

116

144

200

229

280

340

257

417

369

312

476

397

452

508

536

591

615

646

566

675

676

363

315

474

395

451

506

535

590

618

642

565

674

702

703

2

30

61

166

86

114

143

198

227

283

334

259

419

1

29

57

169

85

113

141

197

225

281

337

253

421

365

309

477

393

449

505

533

589

617

645

561

673

701

729

311

471

396

447

503

532

587

616

644

564

669

700

728

27

28

56

165

88

112

140

195

224

279

335

256

415

367

54

55

164

84

115

139

194

222

278

333

254

418

361

313

473

390

450

501

530

586

614

643

563

672

696

727

26

475

392

444

504

528

584

613

641

562

671

699

723

25

53

81

163

83

111

142

193

221

276

332

252

416

364

307

80

189

82

110

138

196

220

275

330

251

414

362

310

469

394

446

498

531

582

611

640

560

670

698

726

21

52

388

448

500

525

585

609

638

559

668

697

725

24

48

79

188

108

109

137

192

223

274

329

249

413

360

308

472

187

107

135

136

191

219

277

328

248

411

359

306

470

391

442

502

527

579

612

636

557

667

695

724

23

51

75

445

496

529

581

606

639

555

665

694

722

22

50

78

183

106

134

162

190

218

273

331

247

410

357

305

468

389

102

133

161

216

217

272

327

250

409

356

303

467

387

443

499

523

583

608

633

558

663

692

721

20

49

77

186

497

526

577

610

635

552

666

690

719

19

47

76

185

105

129

160

215

243

271

326

246

412

355

302

465

386

441

132

156

214

242

297

325

245

408

358

301

464

384

440

495

524

580

604

637

554

660

693

717

17

46

74

184

104

522

578

607

631

556

662

687

720

15

44

73

182

103

131

159

210

241

296

351

244

407

354

304

463

383

438

494

158

213

237

295

350

270

406

353

300

466

382

437

492

521

576

605

634

550

664

689

714

18

42

71

181

101

130

575

603

632

553

658

691

716

12

45

69

179

100

128

157

212

240

291

349

269

432

352

299

462

385

436

491

519

 

                                                                                                                             Рис. 5

 

 

Напомню читателям, что этот квадрат построен методом стандартных качелей. Шаги качания здесь таковы: через 13 ячеек вправо, через 12 ячеек влево. В квадрате выделены нулевой цикл качания качелей – это начальная цепочка первых 27 чисел, и седьмой цикл.

Предлагаю читателям написать идеальные квадраты по оставшимся двум образующим таблицам.

 

А я теперь хочу получить из квадрата с рис. 5 идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Как уже знают читатели, это мои самые любимые идеальные квадраты. Кроме того, в этом квадрате будет другой вид качелей, с другими шагами качания (нестандартные качели). И, наконец, самое главное: квадраты, начинающиеся с числа 1, должны открывать банк базовых идеальных квадратов.

Итак, перенесу сначала квадрат с рис. 5 на торе, так чтобы центральная строка стала первой. А затем применю к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”.

 

Получившийся самый идеальный квадрат 27-ого порядка покажу в следующий раз.

 

                                               ***

 

Жду от читателей идеальный квадрат 33-ого порядка, построенный методом стандартных качелей. Ну, пожалуйста, постройте кто-нибудь такой квадрат! Мне не хочется писать ещё одну большущую программу. Если кто-нибудь построит такой квадрат (совершенно аналогично тому, как я построила только что идеальные квадраты 27-ого порядка), то это будет для меня самым лучшим подарком. Это будет подтверждением того, что мой метод понятен другим и работает. Сделайте же мне такой подарок к наступающему дню рождения! Или вам совсем не нравится качаться на качелях? (шутка)

 

                                                                         ***

 

13 января 2008 г.

 

Показываю обещанный самый идеальный квадрат 27-ого порядка (рис. 6).

 

 

1

212

315

605

34

241

478

637

60

271

401

558

173

331

457

667

97

249

487

698

126

416

520

727

154

367

573

602

29

240

474

634

58

296

398

554

170

326

456

663

94

247

512

695

122

413

515

726

150

364

571

26

209

311

471

630

57

291

395

550

167

351

454

660

90

246

507

692

118

410

540

724

147

360

570

21

206

307

599

54

238

293

396

551

169

349

451

664

87

244

509

693

119

412

538

721

151

357

568

23

207

308

601

52

235

475

627

55

164

348

447

661

85

269

506

689

116

407

537

717

148

355

593

20

203

305

596

51

231

472

625

80

290

392

548

657

84

264

503

685

113

432

535

714

144

354

588

17

199

302

621

49

228

468

624

75

287

388

545

189

346

444

504

686

115

430

532

718

141

352

590

18

200

304

619

46

232

465

622

77

288

389

547

187

343

448

654

82

266

429

528

715

139

377

587

14

197

299

618

42

229

463

647

74

284

386

542

186

339

445

652

107

263