ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

    Часть XII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 31 января 2008 г.

 

В предыдущей части статьи я нашла две группы частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3. Для квадратов 15-ого и 21-ого порядка были показаны решения из обеих групп. Читателям предлагалось построить таким способом соответствующие идеальные квадраты для 27-ого и 33-ого порядка. Я решила показать эти квадраты, мне самой было интересно их построить. Для квадрата 27-ого порядка приводится и образующая таблица, чтобы читатели лучше поняли все закономерности этой таблицы и сравнили её с образующей таблицей соответствующего идеального квадрата первой группы. Итак, на рис. 1 вы видите образующую таблицу, а на рис. 2 порождаемый ею идеальный квадрат 27-ого порядка. Напомню, что в этом квадрате, как и в следующем квадрате 33-ого порядка, действуют нестандартные качели. Идеальные квадраты этой группы (группы с нестандартными качелями) хороши тем, что они начинаются с числа 1.

 

 

27

213

477

606

60

299

397

553

140

243

456

45

687

276

488

586

175

329

432

672

126

255

519

704

100

364

626

3

210

476

605

61

322

398

554

143

219

453

44

686

277

511

587

176

332

408

669

125

254

520

727

101

365

629

26

211

475

604

58

298

401

555

144

242

454

43

685

274

487

590

177

333

431

670

124

253

517

703

104

366

630

5

216

483

612

66

303

380

559

148

221

459

51

693

282

492

569

181

337

410

675

132

261

525

708

83

370

634

8

192

480

611

65

304

403

560

149

224

435

48

692

281

493

592

182

338

413

651

129

260

524

709

106

371

635

9

215

481

610

64

301

379

563

150

225

458

49

691

280

490

568

185

339

414

674

130

259

523

706

82

374

636

13

194

486

618

72

309

384

542

154

229

437

54

699

288

498

573

164

343

418

653

135

267

531

714

87

353

640

14

197

462

615

71

308

385

565

155

230

440

30

696

287

497

574

187

344

419

656

111

264

530

713

88

376

641

15

198

485

616

70

307

382

541

158

231

441

53

697

286

496

571

163

347

420

657

134

265

529

712

85

352

644

19

202

464

621

78

315

390

546

137

235

445

32

702

294

504

579

168

326

424

661

113

270

537

720

93

357

623

20

203

467

597

75

314

389

547

160

236

446

35

678

291

503

578

169

349

425

662

116

246

534

719

92

358

646

23

204

468

620

76

313

388

544

136

239

447

36

701

292

502

577

166

325

428

663

117

269

535

718

91

355

622

2

208

472

599

81

321

396

552

141

218

451

40

680

297

510

585

174

330

407

667

121

248

540

726

99

363

627

25

209

473

602

57

318

395

551

142

241

452

41

683

273

507

584

173

331

430

668

122

251

516

723

98

362

628

1

212

474

603

80

319

394

550

139

217

455

42

684

296

508

583

172

328

406

671

123

252

539

724

97

361

625

6

191

478

607

59

324

402

558

147

222

434

46

688

275

513

591

180

336

411

650

127

256

518

729

105

369

633

7

214

479

608

62

300

399

557

146

223

457

47

689

278

489

588

179

335

412

673

128

257

521

705

102

368

632

4

190

482

609

63

323

400

556

145

220

433

50

690

279

512

589

178

334

409

649

131

258

522

728

103

367

631

12

195

461

613

67

302

405

564

153

228

438

29

694

283

491

594

186

342

417

654

110

262

526

707

108

375

639

11

196

484

614

68

305

381

561

152

227

439

52

695

284

494

570

183

341

416

655

133

263

527

710

84

372

638

10

193

460

617

69

306

404

562

151

226

436

28

698

285

495

593

184

340

415

652

109

266

528

711

107

373

637

18

201

465

596

73

310

383

567

159

234

444

33

677

289

499

572

189

348

423

660

114

245

532

715

86

378

645

17

200

466

619

74

311

386

543

156

233

443

34

700

290

500

575

165

345

422

659

115

268

533

716

89

354

642

16

199

463

595

77

312

387

566

157

232

442

31

676

293

501

576

188

346

421

658

112

244

536

717

90

377

643

24

207

471

600

56

316

391

545

162

240

450

39

681

272

505

580

167

351

429

666

120

249

515

721

94

356

648

21

206

470

601

79

317

392

548

138

237

449

38

682

295

506

581

170

327

426

665

119

250

538

722

95

359

624

22

205

469

598

55

320

393

549

161

238

448

37

679

271

509

582

171

350

427

664

118

247

514

725

96

360

647

 

                                                                                                 Рис. 1

 

Примечание: в образующей таблице не изображён столбец разностей и строка с номерами циклов качания качелей. Это легко написать по имеющимся в таблице данным.

 

 

1

212

474

603

80

319

394

550

139

217

455

42

684

296

508

583

172

328

406

671

123

252

539

724

97

361

625

602

57

318

395

551

142

241

452

41

683

273

507

584

173

331

430

668

122

251

516

723

98

362

628

25

209

473

396

552

141

218

451

40

680

297

510

585

174

330

407

667

121

248

540

726

99

363

627

2

208

472

599

81

321

239

447

36

701

292

502

577

166

325

428

663

117

269

535

718

91

355

622

23

204

468

620

76

313

388

544

136

678

291

503

578

169

349

425

662

116

246

534

719

92

358

646

20

203

467

597

75

314

389

547

160

236

446

35

579

168

326

424

661

113

270

537

720

93

357

623

19

202

464

621

78

315

390

546

137

235

445

32

702

294

504

420

657

134

265

529

712

85

352

644

15

198

485

616

70

307

382

541

158

231

441

53

697

286

496

571

163

347

264

530

713

88

376

641

14

197

462

615

71

308

385

565

155

230

440

30

696

287

497

574

187

344

419

656

111

87

353

640

13

194

486

618

72

309

384

542

154

229

437

54

699

288

498

573

164

343

418

653

135

267

531

714

9

215

481

610

64

301

379

563

150

225

458

49

691

280

490

568

185

339

414

674

130

259

523

706

82

374

636

611

65

304

403

560

149

224

435

48

692

281

493

592

182

338

413

651

129

260

524

709

106

371

635

8

192

480

380

559

148

221

459

51

693

282

492

569

181

337

410

675

132

261

525

708

83

370

634

5

216

483

612

66

303

242

454

43

685

274

487

590

177

333

431

670

124

253

517

703

104

366

630

26

211

475

604

58

298

401

555

144

686

277

511

587

176

332

408

669

125

254

520

727

101

365

629

3

210

476

605

61

322

398

554

143

219

453

44

586

175

329

432

672

126

255

519

704

100

364

626

27

213

477

606

60

299

397

553

140

243

456

45

687

276

488

427

664

118

247

514

725

96

360

647

22

205

469

598

55

320

393

549

161

238

448

37

679

271

509

582

171

350

250

538

722

95

359

624

21

206

470

601

79

317

392

548

138

237

449

38

682

295

506

581

170

327

426

665

119

94

356

648

24

207

471

600

56

316

391

545

162

240

450

39

681

272

505

580

167

351

429

666

120

249

515

721

16

199

463

595

77

312

387

566

157

232

442

31

676

293

501

576

188

346

421

658

112

244

536

717

90

377

643

619

74

311

386

543

156

233

443

34

700

290

500

575

165

345

422

659

115

268

533

716

89

354

642

17

200

466

383

567

159

234

444

33

677

289

499

572

189

348

423

660

114

245

532

715

86

378

645

18

201

465

596

73

310

226

436

28

698

285

495

593

184

340

415

652

109

266

528

711

107

373

637

10

193

460

617

69

306

404

562

151

695

284

494

570

183

341

416

655

133

263

527

710

84

372

638

11

196

484

614

68

305

381

561

152

227

439

52

594

186

342

417

654

110

262

526

707

108

375

639

12

195

461

613

67

302

405

564

153

228

438

29

694

283

491

409

649

131

258

522

728

103

367

631

4

190

482

609

63

323

400

556

145

220

433

50

690

279

512

589

178

334

257

521

705

102

368

632

7

214

479

608

62

300

399

557

146

223

457

47

689

278

489

588

179

335

412

673

128

105

369

633

6

191

478

607

59

324

402

558

147

222

434

46

688

275

513

591

180

336

411

650

127

256

518

729

 

                                                          Рис. 2

 

Теперь покажу идеальный квадрат 33-ого порядка из этой же группы. Опускаю образующую таблицу этого квадрата, при желании её очень легко восстановить по самому квадрату. Квадрат представлен в виде двух половинок, он “разрезан” по вертикали. Для получения полной картинки соедините две половинки (рис. 3-4).

 

                                     Идеальный квадрат 33-ого порядка – часть I

 

1

834

610

293

98

967

516

358

169

939

649

397

1032

874

788

329

208

290

69

968

515

357

172

938

650

427

1031

875

785

300

209

53

687

436

514

360

171

937

651

398

1028

876

784

330

210

52

690

435

145

915

728

933

643

425

1055

868

780

325

202

48

682

430

141

907

755

593

109

1011

1026

869

779

324

205

47

683

460

140

908

752

564

110

1010

819

469

245

327

204

46

684

431

137

909

751

594

111

1009

822

468

244

1080

695

533

676

458

164

901

747

589

103

1005

814

463

240

1072

722

560

373

21

853

902

746

588

106

1004

815

493

239

1073

719

531

374

20

852

601

278

89

105

1003

816

464

236

1074

718

561

375

19

855

600

277

90

959

500

348

491

263

1066

714

556

367

15

847

595

273

82

986

527

340

186

952

631

713

555

370

14

848

625

272

83

983

498

341

185

951

634

410

1046

889

13

849

596

269

84

982

528

342

184

954

633

409

1047

860

764

315

223

296

76

978

523

334

180

946

628

405

1039

887

791

307

219

61

664

444

522

337

179

947

658

404

1040

884

762

308

218

60

667

443

155

922

734

948

629

401

1041

883

792

309

217

63

666

442

156

893

731

579

124

1023

1033

879

787

301

213

55

661

438

148

920

758

571

120

1018

796

477

253

304

212

56

691

437

149

917

729

572

119

1017

799

476

254

1087

701

545

662

434

150

916

759

573

118

1020

798

475

255

1058

698

546

388

33

837

912

754

565

114

1012

793

471

247

1085

725

538

384

28

829

609

286

67

113

1013

823

470

248

1082

696

539

383

27

832

608

287

97

965

512

356

467

249

1081

726

540

382

30

831

607

288

68

962

513

355

198

936

646

721

532

378

22

826

603

280

95

989

505

351

193

928

642

418

1024

867

23

856

602

281

92

960

506

350

192

931

641

419

1054

866

776

323

201

282

91

990

507

349

195

930

640

420

1025

863

777

322

231

45

679

459

499

345

187

925

636

412

1052

890

769

318

226

37

675

451

133

900

742

955

635

413

1049

861

770

317

225

40

674

452

163

899

743

587

102

1001

1048

891

771

316

228

39

673

453

134

896

744

586

132

1002

811

492

237

312

220

34

669

445

161

923

736

582

127

994

807

484

232

1065

709

557

668

446

158

894

737

581

126

997

806

485

262

1064

710

554

366

11

845

924

738

580

129

996

805

486

233

1061

711

553

396

12

844

624

270

79

121

991

801

478

260

1088

703

549

391

4

840

616

265

75

973

524

362

479

257

1059

704

548

390

7

839

617

295

74

974

521

333

176

944

654

705

547

393

6

838

618

266

71

975

520

363

177

943

657

402

1036

882

 

                                                                  Рис. 3

 

                                   Идеальный квадрат 33-ого порядка – часть II

 

54

688

433

147

913

727

570

115

1019

824

472

252

1084

697

543

385

146

914

757

569

116

1016

795

473

251

1083

700

542

386

31

833

611

566

117

1015

825

474

250

1086

699

541

387

2

830

612

289

99

969

820

466

246

1078

694

537

379

29

857

604

285

94

961

510

352

166

1079

724

536

380

26

828

605

284

93

964

509

353

196

932

644

422

381

25

858

606

283

96

963

508

354

167

929

645

421

1056

870

778

598

279

88

958

504

346

194

956

637

417

1051

862

774

319

199

42

988

503

347

191

927

638

416

1050

865

773

320

229

41

677

455

135

190

957

639

415

1053

864

772

321

200

38

678

454

165

903

745

591

411

1045

859

768

313

227

65

670

450

160

895

741

583

100

999

808

767

314

224

36

671

449

159

898

740

584

130

998

809

488

234

1067

66

672

448

162

897

739

585

101

995

810

487

264

1068

712

558

369

154

892

735

577

128

1022

802

483

259

1060

708

550

364

9

841

623

578

125

993

803

482

258

1063

707

551

394

8

842

620

267

77

977

804

481

261

1062

706

552

365

5

843

619

297

78

976

525

336

178

1057

702

544

392

32

835

615

292

70

972

517

331

174

940

656

428

389

3

836

614

291

73

971

518

361

173

941

653

399

1034

878

786

613

294

72

970

519

332

170

942

652

429

1035

877

789

303

211

57

966

511

359

197

934

648

424

1027

873

781

298

207

49

689

461

142

168

935

647

423

1030

872

782

328

206

50

686

432

143

911

753

568

426

1029

871

783

299

203

51

685

462

144

910

756

567

112

1014

794

775

326

230

43

681

457

136

906

748

562

108

1006

821

494

241

1077

44

680

456

139

905

749

592

107

1007

818

465

242

1076

720

535

377

138

904

750

563

104

1008

817

495

243

1075

723

534

376

24

827

599

590

131

1000

813

490

235

1071

715

529

372

16

854

626

274

87

985

812

489

238

1070

716

559

371

17

851

597

275

86

984

502

344

188

1069

717

530

368

18

850

627

276

85

987

501

343

189

926

632

414

395

10

846

622

268

81

979

496

339

181

953

659

406

1044

886

763

621

271

80

980

526

338

182

950

630

407

1043

885

766

311

221

64

981

497

335

183

949

660

408

1042

888

765

310

222

35

665

447

157

175

945

655

400

1038

880

760

306

214

62

692

439

153

919

730

576

403

1037

881

790

305

215

59

663

440

152

918

733

575

122

1021

800

761

302

216

58

693

441

151

921

732

574

123

992

797

480

256

1089

 

                                                                  Рис. 4

 

В квадрате выделен белым цветом первый цикл качания качелей.

Великолепный идеальный квадрат! Это пока самый сложный из всех магических квадратов, построенных мной. И самый прекрасный! Как знают читатели, я больше всего люблю идеальные квадраты, которые начинаются с числа 1.

Ещё раз замечу, что для квадратов 33-ого порядка я ещё не сочинила матрицу преобразования “строки-диагонали” и потому не могла применить его к квадрату, построенному в предыдущей части статьи методом стандартных качелей. Но я посмотрела на центральную строку этого квадрата и убедилась, что она превратилась в главную диагональ квадрата, изображённого на рис. 3-4. Вот так по аналогичной образующей таблице я получила этот квадрат из группы квадратов с нестандартными качелями.

 

                                               ***

 

    3 февраля 2008 г.

 

Хочу показать аналогичные группы частных решений для идеальных квадратов порядков, не кратных 3. Сделаю это подробно, начиная с самого минимального порядка идеального квадрата. Покажу все образующие таблицы. Во-первых, это поможет тем, кто ещё не совсем понял метод качелей и закон формирования образующей таблицы. Во-вторых, эти две группы частных решений, аналогичные показанным выше двум группам частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3, интересны сами по себе. Рассматривая их, я увидела один сложный момент при формировании образующих таблиц для второй группы частных решений (нестандартные качели). Этот момент возник и в группе с нестандартными качелями для квадратов порядков, кратных 3. То есть это общий сложный момент для нестандартных качелей (в стандартных качелях эта сложность отсутствует). Я, конечно, нашла хитрый путь преодоления этой сложности, который, однако, не буду излагать здесь. Пусть читатели сами проанализируют все образующие таблицы и найдут свой способ решения возникающей проблемы. Вполне возможно, что он будет проще моего способа.

 

Напомню, о каких двух группах частных решений я собираюсь рассказать. Первая группа – это частное решение, получаемое самыми простыми качелями с тривиальной образующей таблицей (эти таблицы я тоже покажу, чтобы читатели поняли, почему я называю их тривиальными). Эта группа идеальных квадратов относится к стандартным качелям. Построив такой идеальный квадрат, я затем применяю к нему комбинацию двух преобразований: сначала параллельный перенос на торе, а затем “строки-диагонали”. Таким образом я получаю частное решение из другой группы квадратов – с нестандартными качелями. Идеальные квадраты этой группы начинаются с числа 1. Между этими двумя частными решениями существует жёсткая зависимость, которая, разумеется, отражается на их образующих таблицах. Очень интересен факт, что зависимость между начальными цепочками первых n чисел точно такая же, как в двух группах идеальных квадратов порядков, кратных 3, а именно: числа в начальной цепочке второй группы квадратов следуют точно через одно. Но всё станет понятнее, когда вы увидите наглядные примеры. Итак, я начинаю с идеального квадрата пятого порядка. На рис. 5 изображена тривиальная образующая таблица, а на рис. 6 порождаемый ею идеальный квадрат пятого порядка. Совершенно понятно, почему образующие таблицы этих частных решений я называю тривиальными. Потому что в них всё совсем просто и ничего не надо вычислять, да и таблицу эту можно вообще не составлять, так как матрица идеального квадрата заполняется элементарно без всяких вычислений: числа в начальной цепочке следуют по порядку, числа в циклах качания качелей тоже следуют по порядку, наконец, и номера циклов качания качелей следуют по порядку (k=1, k=2, …). Показываю эти тривиальные таблицы только для того, чтобы вы могли сравнить их с образующими таблицами квадратов второй группы (с нестандартными качелями).

 

 

 

5

6

12

18

24

-1

1

7

13

19

25

-1

2

8

14

20

21

-1

3

9

15

16

22

-1

4

10

11

17

23

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

 

                                                                         Рис. 5

 

22

3

9

15

16

14

20

21

2

8

1

7

13

19

25

18

24

5

6

12

10

11

17

23

4

 

                                                                      Рис. 6

 

Перед вами частное решение первой группы (стандартные качели). Качели здесь качаются так: через 2 ячейки вправо, через 1 ячейку влево. Сумма шагов качания, как всегда (для всех видов качелей), на 2 меньше порядка квадрата.

Теперь показываю соответствующее частное решение из второй группы (нестандартные качели). Этот квадрат получается, как я уже говорила, если квадрат с рис. 6 перенести на торе, так чтобы центральная строка оказалась первой, а затем применить к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”. На рис. 7 – образующая таблица, на рис. 8 – порождаемый ею квадрат. Сравнивайте образующие таблицы здесь и далее! Суть в том, что я строю квадраты этой группы, не применяя указанные преобразования, а именно по образующей таблице, которую формирую, имея образующую таблицу соответствующего квадрата первой группы.

 

 

5

22

19

11

8

-2

2

24

16

13

10

3

4

21

18

15

7

-2

1

23

20

12

9

-2

3

25

17

14

6

 

 

k=4

k=3

k=2

k=1

 

                                                                         Рис. 7

 

1

23

20

12

9

15

7

4

21

18

24

16

13

10

2

8

5

22

19

11

17

14

6

3

25

 

                                                                        Рис. 8

 

Обратите внимание: шаги качания качелей здесь не изменились, как и в квадрате первой группы – через 2 ячейки вправо, через 1 ячейку влево.

Далее показываю в такой же последовательности идеальные квадраты двух групп с их образующими таблицами для следующих порядков, не кратных 3.

На рис. 9-10 – для идеального квадрата седьмого порядка первой группы.

 

 

7

8

16

24

32

40

48

-1

1

9

17

25

33

41

49

-1

2

10

18

26

34

42

43

-1

3

11

19

27

35

36

44

-1

4

12

20

28

29

37

45

-1

5

13

21

22

30

38

46

-1

6

14

15

23

31

39

47

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

 

                                                                         Рис. 9

 

20

28

29

37

45

4

12

44

3

11

19

27

35

36

26

34

42

43

2

10

18

1

9

17

25

33

41

49

32

40

48

7

8

16

24

14

15

23

31

39

47

6

38

46

5

13

21

22

30

 

                                                                      Рис. 10

 

Здесь качели качаются так: через 3 ячейки вправо, через 2 ячейки влево.

На рис. 11-12 образующая таблица и порождаемый ею идеальный квадрат соответствующего частного решения второй группы.

 

 

 

7

20

33

46

10

23

36

-2

2

15

35

48

12

25

38

-2

4

17

30

43

14

27

40

5

6

19

32

45

9

22

42

-2

1

21

34

47

11

24

37

-2

3

16

29

49

13

26

39

-2

5

18

31

44

8

28

41

 

 

k=2

k=4

k=6

k=1

k=3

k=5

 

                                                                      Рис. 11

 

1

21

34

47

11

24

37

45

9

22

42

6

19

32

40

4

17

30

43

14

27

35

48

12

25

38

2

15

23

36

7

20

33

46

10

18

31

44

8

28

41

5

13

26

39

3

16

29

49

 

                                                                      Рис. 12

 

Здесь шаги качания сменились на симметричные: через 2 ячейки вправо, через 3 ячейки влево.

 

На очереди у нас идеальные квадраты 11-ого порядка. На рис. 13-14 вы видите тривиальную образующую таблицу и её идеальный квадрат, а на рис. 15-16 соответствующую образующую таблицу и порождаемый ею идеальный квадрат второй группы. Сравнивайте и анализируйте!

 

 

 

11

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

-1

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

-1

2

14

26

38

50

62

74

86

98

110

111

-1

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

112

-1

4

16

28

40

52

64

76

88

89

101

113

-1

5

17

29

41

53

65

77

78

90

102

114

-1

6

18

30

42

54

66

67

79

91

103

115

-1

7

19

31

43

55

56

68

80

92

104

116

-1

8

20

32

44

45

57

69

81

93

105

117

-1

9

21

33

34

46

58

70

82

94

106

118

-1

10

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

 

 

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

k=6

k=7

k=8

k=9

k=10

 

                                               Рис. 13

 

42

54

66

67

79

91

103

115

6

18

30

102

114

5

17

29

41

53

65

77

78

90

52

64

76

88

89

101

113

4

16

28

40

112

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

62

74

86

98

110

111

2

14

26

38

50

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

72

84

96

108

120

11

12

24

36

48

60

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

10

82

94

106

118

9

21

33

34

46

58

70

32

44

45

57

69

81

93

105

117

8

20

92

104

116

7

19

31

43

55

56

68

80

 

                                                                      Рис. 14

 

 

11

42

73

104

14

45

87

118

28

59

90

-2

2

44

75

106

16

47

78

120

30

61

92

-2

4

35

77

108

18

49

80

111

32

63

94

-2

6

37

68

110

20

51

82

113

23

65

96

-2

8

39

70

101

22

53

84

115

25

56

98

9

10

41

72