ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

В предыдущей части статьи я завершила рассказ об идеальных квадратах 9-ого порядка. Они рассмотрены в свете моего метода качелей.

Теперь покажу несколько идеальных квадратов 11-ого порядка опять же применительно к методу качелей. Именно на квадратах 11-ого порядка в первой части данной статьи и был придуман этот прекрасный метод. Сначала я увидела очень простые качели, с тривиальной образующей таблицей. А увидела я их на готовом идеальном квадрате, построенном другим методом, а именно: в ассоциативном квадрате, построенном методом террас, переставлены столбцы с шагом 1 (то есть через один столбец). И всё! На рис. 1 я дублирую этот замечательный идеальный квадрат, который позволил мне увидеть качели.

 

 

42

54

66

67

79

91

103

115

6

18

30

102

114

5

17

29

41

53

65

77

78

90

52

64

76

88

89

101

113

4

16

28

40

112

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

62

74

86

98

110

111

2

14

26

38

50

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

72

84

96

108

120

11

12

24

36

48

60

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

10

82

94

106

118

9

21

33

34

46

58

70

32

44

45

57

69

81

93

105

117

8

20

92

104

116

7

19

31

43

55

56

68

80

 

                                                                      Рис. 1

 

Здесь качели качаются так: через 5 ячеек вправо, через 4 ячейки влево. Как уже знает читатель, если отразить этот квадрат относительно вертикальной оси симметрии, то шаги качания поменяются и будут такими: через 4 ячейки вправо, через 5 ячеек влево. Буду говорить в таких случаях, что шаги качания качелей симметричны.

 

 Для квадратов 11-ого порядка существуют качели 4 разных видов. Потому что сумма шагов качания качелей для таких квадратов равна

11-2=9, а это число можно сложить из двух ненулевых натуральных чисел четырьмя способами: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. Вот и покажу здесь образцы идеальных квадратов для каждого вида качелей. Читатель знает, что шаги качания качелей определяют схему расположения первых 11 чисел.

 

Образец квадрата с качелями, имеющими шаги 4+5, вы видите на рис. 1. Ещё интересно посмотреть на квадрат с расположением первых 11 чисел так, что одно из этих чисел стоит в левой верхней ячейке. Для этого можно просто перенести квадрат с рис. 1 на торе. При этом он, правда, утратит ассоциативность и, значит, идеальность, но останется пандиагональным. А в пандиагональных квадратах, как я уже отмечала, качели тоже работают. Итак, на рис. 2 показываю квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 параллельным переносом на торе.

 

 

1

13

25

37

49

61

73

85

97

109

121

72

84

96

108

120

11

12

24

36

48

60

22

23

35

47

59

71

83

95

107

119

10

82

94

106

118

9

21

33

34

46

58

70

32

44

45

57

69

81

93

105

117

8

20

92

104

116

7

19

31

43

55

56

68

80

42

54

66

67

79

91

103

115

6

18

30

102

114

5

17

29

41

53

65

77

78

90

52

64

76

88

89

101

113

4

16

28

40

112

3

15

27

39

51

63

75

87

99

100

62

74

86

98

110

111

2

14

26

38

50

 

                                                                      Рис. 2

 

Как видите, шаги качания качелей не изменились при таком преобразовании квадрата.

А теперь превращаю квадрат с рис. 2 в идеальный при помощи преобразования “строки-диагонали”. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 3.

 

 

1

43

74

105

15

46

88

119

29

60

91

103

13

55

86

117

27

58

89

10

41

72

84

115

25

56

98

8

39

70

101

22

53

65

96

6

37

68

110

20

51

82

113

23

35

77

108

18

49

80

111

32

63

94

4

16

47

78

120

30

61

92

2

44

75

106

118

28

59

90

11

42

73

104

14

45

87

99

9

40

71

102

12

54

85

116

26

57

69

100

21

52

83

114

24

66

97

7

38

50

81

112

33

64

95

5

36

67

109

19

31

62

93

3

34

76

107

17

48

79

121

 

                                                                      Рис. 3

 

И перед вами прекраснейший образец идеального квадрата, в котором качели качаются с такими шагами: через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. Этот квадрат получился самым прекрасным. Даже на торе переносить его не надо, потому что в левой верхней ячейке уже стоит число 1. В этих качелях образующая таблица уже не тривиальна. Я выделила на рисунке розовым цветом первый цикл качания качелей. Совершенно так же, как я делала для квадратов предыдущих порядков, можно нарисовать образующую таблицу для этого квадрата, зафиксировать в ней положение двух чисел – 1 и 11, написать программу для получения всех квадратов, получаемых по образующим таблицам такого типа. По этой программе вы получите множество идеальных квадратов. Самых идеальных! Потому что все они будут начинаться с числа 1.

А вот образец идеального квадрата с симметричными шагами качания качелей: через 2 ячейки влево, через 7 ячеек вправо (рис. 4).

 

 

5

65

114

53

102

41

90

29

78

17

77

86

14

74

2

62

111

50

110

38

98

26

35

95

23

83

22

71

10

59

119

47

107

116

55

104

43

92

31

80

19

68

7

56

76

4

64

113

52

101

40

89

28

88

16

25

85

13

73

1

61

121

49

109

37

97

106

34

94

33

82

21

70

9

58

118

46

66

115

54

103

42

91

30

79

18

67

6

15

75

3

63

112

51

100

39

99

27

87

96

24

84

12

72

11

60

120

48

108

36

45

105

44

93

32

81

20

69

8

57

117

 

                                                                     Рис. 4

           

И опять в левой верхней ячейке стоит одно из первых 11 чисел – число 5.

 

Теперь покажу образец квадрата для следующего вида качелей – с шагами 3+6 (рис. 5).

 

 

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

 

                                                                      Рис. 5

 

Перенесу квадрат на торе, чтобы в левой верхней ячейке оказалось одно из первых 11 чисел – 6. Смотрите полученный квадрат на рис. 6.

 

 

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

 

                                                                      Рис. 6

 

Этот квадрат пандиагональный. Я закрасила в нём два цикла качания качелей (не считая нулевого).

 

А вот нашла в своей коллекции ещё один образец с симметричными шагами качания качелей: через 6 ячеек вправо, через 3 ячейки влево. Этот квадрат идеальный. Показываю его на рис. 7.

 

 

5

86

35

116

76

25

106

66

15

96

45

65

14

95

55

4

85

34

115

75

24

105

114

74

23

104

64

13

94

54

3

84

44

53

2

83

43

113

73

33

103

63

12

93

102

62

22

92

52

1

82

42

112

72

32

41

111

71

31

101

61

21

91

51

11

81

90

50

10

80

40

121

70

30

100

60

20

29

110

59

19

89

49

9

79

39

120

69

78

38

119

68

28

109

58

18

99

48

8

17

98

47

7

88

37

118

67

27

108

57

77

26

107

56

16

97

46

6

87

36

117

 

                                                                      Рис. 7

 

Кстати, замечу, что квадратам 11-ого порядка посвящена следующая страница:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk11.htm

 

Именно на этой странице я сейчас ищу образцы квадратов, ну и, конечно, в первой части данной статьи.

 

У меня остался один вид качелей: с шагами 1+8. На рис. 8 представлен идеальный квадрат с качелями такого вида. Качели качаются через 1 ячейку вправо, через 8 ячеек влево.

 

 

36

108

48

120

60

11

72

12

84

24

96

46

118

58

9

70

21

82

33

94

34

106

56

7

68

19

80

31

92

43

104

55

116

77

17

78

29

90

41

102

53

114

65

5

87

27

99

39

100

51

112

63

3

75

15

97

37

109

49

121

61

1

73

13

85

25

107

47

119

59

10

71

22

83

23

95

35

117

57

8

69

20

81

32

93

44

105

45

6

67

18

79

30

91

42

103

54

115

66

16

88

28

89

40

101

52

113

64

4

76

26

98

38

110

50

111

62

2

74

14

86

 

                                                                      Рис. 8

 

Перенесу квадрат на торе так, чтобы число 11 оказалось в левой верхней ячейке. Схема расположения первых 11 чисел при этом параллельно сместится влево. Смотрите этот пандиагональный квадрат на рис. 9.

 

11

72

12

84

24

96

36

108

48

120

60

21

82

33

94

34

106

46

118

58

9

70

31

92

43

104

55

116

56

7

68

19

80

41

102

53

114

65

5

77

17

78

29

90

51

112

63

3

75

15

87

27

99

39

100

61

1

73

13

85

25

97

37

109

49

121

71

22

83

23

95

35

107

47

119

59

10

81

32

93

44

105

45

117

57

8

69

20

91

42

103

54

115

66

6

67

18

79

30

101

52

113

64

4

76

16

88

28

89

40

111

62

2

74

14

86

26

98

38

110

50

 

                                                                      Рис. 9

 

Этот квадрат элементарно превращается в идеальный применением преобразования “строки-диагонали” (предварительно квадрат повёрнут и отражён). На рис. 10 изображён новый идеальный квадрат:

 

 

11

35

70

105

19

54

78

113

27

62

97

107

21

45

80

115

29

64

99

2

37

72

82

117

31

66

90

4

39

74

109

12

47

57

92

6

41

76

100

14

49

84

119

33

43

67

102

16

51

86

121

24

59

94

8

18

53

88

112

26

61

96

10

34

69

104

114

28

63

98

1

36

71

106

20

55

79

89

3

38

73

108

22

46

81

116

30

65

75

110

13

48

83

118

32

56

91

5

40

50

85

120

23

58

93

7

42

77

101

15

25

60

95

9

44

68

103

17

52

87

111

 

                                                                      Рис. 10

 

И получился квадрат с качелями 2+7 (через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево), как квадрат, изображённый на рис. 3. Но здесь в левой верхней ячейке стоит не число 1. А ещё в этом квадрате очень интересная главная диагональ, она содержит такой набор чисел: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111. Квадрат на рис. 3 тоже имеет такой набор чисел в другой главной диагонали, но они следуют не по порядку. На рис. 10 закрашены четыре цикла качания качелей (не считая нулевого). На рис. 11 показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата.

 

 

11

35

70

105

19

54

78

113

27

62

97

107

21

45

80

115

29

64

99

2

37

72

82

117

31

66

90

4

39

74

109

12

47

57

92

6

41

76

100

14

49

84

119

33

43

67

102

16

51

86

121

24

59

94

8

18

53

88

112

26

61

96

10

34

69

104

114

28

63

98

1

36

71

106

20

55

79

89

3

38

73

108

22

46

81

116

30

65

75

110

13

48

83

118

32

56

91

5

40

50

85

120

23

58

93

7

42

77

101

15

25

60

95

9

44

68

103

17

52

87

111

 

                                                                      Рис. 11

 

Оригинальный рисунок. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

На этом я завершаю показ идеальных квадратов 11-ого порядка. Ещё раз отмечу: читатели могут пополнить коллекцию таких квадратов, запрограммировав любой вид качелей.

 

                                                                  ***

 

Страница помещена на сайт 26 декабря 2007 г.

 

 

   28 декабря 2007 г.

 

Теперь аналогично покажу идеальные квадраты 13-ого порядка в свете метода качелей.

Поскольку 13 – число не кратное 3, то здесь тоже всё очень просто и вполне аналогично квадратам 11-ого порядка. Сначала я построила идеальный квадрат самыми простыми качелями с тривиальной образующей таблицей. Этот квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

134

148

162

7

21

35

49

63

77

91

92

106

120

62

76

90

104

105

119

133

147

161

6

20

34

48

146

160

5

19

33

47

61

75

89

103

117

118

132

74

88

102

116

130

131

145

159

4

18

32

46

60

158

3

17

31

45

59

73

87

101

115

129

143

144

86

100

114

128

142

156

157

2

16

30

44

58

72

1

15

29

43

57

71

85

99

113

127

141

155

169

98

112

126

140

154

168

13

14

28

42

56

70

84

26

27

41

55

69

83

97

111

125

139

153

167

12

110

124

138

152

166

11

25

39

40

54

68

82

96

38

52

53

67

81

95

109

123

137

151

165

10

24

122

136

150

164

9

23

37

51

65

66

80

94

108

50

64

78

79

93

107

121

135

149

163

8

22

36

 

                                                  Рис. 12

 

Здесь качели качаются так: через 6 ячеек вправо, через 5 ячеек влево. Всего же для квадратов 13-ого порядка существует 5 видов качелей, с такими шагами качания: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6. Качели с симметричными шагами качания я не считаю различными.

Приведу квадрат с симметричными шагами качания: через 5 ячеек вправо, через 6 ячеек влево (рис. 13). Этот квадрат, в отличие от квадрата с рис. 12, начинается с числа из первых 13 чисел. В квадрате выделен оранжевым цветом первый цикл качания качелей (голубые ячейки – это нулевой цикл, начальная цепочка первых 13 чисел).

 

 

2

30

58

86

114

142

157

16

44

72

100

128

156

159

18

46

74

102

130

145

4

32

60

88

116

131

147

6

34

62

90

105

133

161

20

48

76

104

119

135

163

22

50

78

93

121

149

8

36

64

79

107

123

151

10

38

53

81

109

137

165

24

52

67

95

111

139

167

26

41

69

97

125

153

12

27

55

83

99

127

155

1

29

57

85

113

141

169

15

43

71

87

115

143

158

17

45

73

101

129

144

3

31

59

75

103

118

146

5

33

61

89

117

132

160

19

47

63

91

106

134

162

21

49

77

92

120

148

7

35

51

66

94

122

150

9

37

65

80

108

136

164

23

39

54

82

110

138

166

25

40

68

96

124

152

11

14

42

70

98

126

154

13

28

56

84

112

140

168

 

                                                   Рис. 13

 

Применим теперь к квадрату с рис. 12 преобразование параллельного переноса на торе так, чтобы в левой верхней ячейке оказалось число 1, а затем к полученному квадрату применим преобразование “строки-диагонали”. Полученный в результате таких преобразований идеальный квадрат вы видите на рис. 14. 

 

 

1

135

100

65

17

151

116

68

33

167

119

84

49

63

15

149

114

66

31

165

130

82

47

12

133

98

112

77

29

163

128

80

45

10

131

96

61

26

147

161

126

91

43

8

142

94

59

24

145

110

75

27

41

6

140

92

57

22

156

108

73

38

159

124

89

103

55

20

154

106

71

36

157

122

87

52

4

138

152

117

69

34

168

120

85

50

2

136

101

53

18

32

166

118

83

48

13

134

99

64

16

150

115

67

81

46

11

132

97

62

14

148

113

78

30

164

129

143

95

60

25

146

111

76

28

162

127

79

44

9

23

144

109

74

39

160

125

90

42

7

141

93

58

72

37

158

123

88

40

5

139

104

56

21

155

107

121

86

51

3

137

102

54

19

153

105

70

35

169

 

                                                  Рис. 14

 

В этом квадрате работают качели с такими шагами качания: через 2 ячейки вправо, через 9 ячеек влево. Самый красивый идеальный квадрат, так как начинается с числа 1. Читатели уже знают, как можно составить программу для получения множества идеальных квадратов данного типа. На рис. 15 показываю идеальный квадрат с симметричными шагами качания: через 2 ячейки влево, через 9 ячеек вправо. В этом квадрате в левой верхней ячейке стоит другое число – 13, но оно тоже из первых 13 чисел.

 

 

13

83

166

67

150

64

134

48

118

32

115

16

99

111

25

95

9

79

162

76

146

60

143

44

127

28

40

123

37

107

21

104

5

88

158

72

155

56

139

151

65

135

49

119

33

116

17

100

1

84

167

68

80

163

77

147

61

131

45

128

29

112

26

96

10

22

92

6

89

159

73

156

57

140

41

124

38

108

120

34

117

18

101

2

85

168

69

152

53

136

50

62

132

46

129

30

113

14

97

11

81

164

78

148

160

74

144

58

141

42

125

39

109

23

93

7

90

102

3

86

169

70

153

54

137

51

121

35

105

19

31

114

15

98

12

82

165

66

149

63

133

47

130

142

43

126

27

110

24

94

8

91

161

75

145

59

71

154

55

138

52

122

36

106

20

103

4

87

157

 

                                                  Рис. 15

 

Сразу замечу, что все квадраты 13-ого порядка, которые будут здесь представлены, получены мной из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой строк или столбцов с последующим применением преобразований: “строки-диагонали”, нестандартная (одновременная) перестановка строк и столбцов, поворот и отражение. Если в ассоциативном квадрате переставить только столбцы с шагом 1, то получится как раз квадрат, построенный методом качелей с тривиальной образующей таблицей (самые простые качели). Этот квадрат изображён на рис. 12. Коллекция идеальных квадратов 13-ого порядка у меня не такая большая, как например, коллекция идеальных квадратов 9-ого порядка.

И ещё один экземпляр с такими же качелями, как квадрат на рис. 15. Он начинается с числа 6. Смотрите рис. 16.

 

 

6

90

161

76

147

62

133

48

119

34

105

20

104

115

17

101

3

87

158

73

144

59

143

45

129

31

42

126

28

112

14

98

13

84

168

70

154

56

140

151

53

137

52

123

38

109

24

95

10

81

165

67

91

162

77

148

63

134

49

120

35

106

21

92

7

18

102

4

88

159

74

145

60

131

46

130

32

116

127

29

113

15

99

1

85

169

71

155

57

141

43

54

138

40

124

39

110

25

96

11

82

166

68

152

163

78

149

64

135

50

121

36

107

22

93

8

79

103

5

89

160

75

146

61

132

47

118

33

117

19

30

114

16

100

2

86

157

72

156

58

142

44

128

139

41

125

27

111

26

97

12

83

167

69

153

55

66

150

65

136

51

122

37

108

23

94

9

80

164

 

                                                                     Рис. 16

 

Очень интересные образцы! Схема расположения первых 13 чисел совершенно одинакова, но числа в этой схеме расположились по-разному. Эти два квадрата – хороший начальный материал для исследования всех квадратов этой группы. Предлагаю читателям заняться таким исследованием.

 

А я перехожу к следующему виду качелей – 1+10. У меня нашёлся экземпляр с таким качанием: через 1 ячейку влево, через 10 ячеек вправо. Вы видите этот идеальный квадрат на рис. 17. Это квадрат с рис. 13 повёрнутый и отражённый.

 

 

2

159

147

135

123

111

99

87

75

63

51

39

14

30

18

6

163

151

139

127

115

103

91

66

54

42

58

46

34

22

10

167

155

143

118

106

94

82

70

86

74

62

50

38

26

1

158

146

134

122

110

98

114

102

90

78

53

41

29

17

5

162

150

138

126

142

130

105

93

81

69

57

45

33

21

9

166

154

157

145

133

121

109

97

85

73

61

49

37

25

13

16

4

161

149

137

125

113

101

89

77

65

40

28

44

32

20

8

165

153

141

129

117

92

80

68

56

72

60

48

36

24

12

169

144

132

120

108

96

84

100

88

76

64

52

27

15

3

160

148

136

124

112

128

116

104

79

67

55

43

31

19

7

164

152

140

156

131

119

107

95

83

71

59

47

35

23

11

168

 

                                                                      Рис. 17

 

Здесь тоже закрашен первый цикл качания качелей. Обратите внимание: набор чисел этого цикла совсем другой, нежели в квадрате на рис. 13.

 

Следующий квадрат я получила из квадрата с рис. 15 поворотом и отражением. Он является представителем качелей с шагами 3+8, через 3 ячейки вправо, через 8 ячеек влево. Этот квадрат изображён на рис. 18.

 

 

13

111

40

151

80

22

120

62

160

102

31

142

71

83

25

123

65

163

92

34

132

74

3

114

43

154

166

95

37

135

77

6

117

46

144

86

15

126

55

67

9

107

49

147

89

18

129

58

169

98

27

138

150

79

21

119

61

159

101

30

141

70

12

110

52

64

162

104

33

131

73

2

113

42

153

82

24

122

134

76

5

116

45

156

85

14

125

54

165

94

36

48

146

88

17

128

57

168

97

39

137

66

8

106

118

60

158

100

29

140

69

11

109

51

149

91

20

32

143

72

1

112

41

152

81

23

121

63

161

103

115

44

155

84

26

124

53

164

93

35

133

75

4

16

127

56

167

96

38

136

78

7

105

47

145

87

99

28

139

68

10

108

50

148

90

19

130

59

157

 

                                                                     Рис. 18

 

И последний вид качелей с шагами 4+7. На рис. 19 представлен образец идеального квадрата с такими качелями. Качели качаются так: через 4 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. К сожалению, я не смогла получить квадрат такого вида, начинающийся с числа, входящего в начальную цепочку первых 13 чисел.

 

 

19

117

33

118

47

132

61

146

75

160

89

5

103

140

56

154

70

168

84

13

98

14

112

28

126

42

79

8

93

22

107

36

121

50

135

64

149

78

163

31

129

45

143

59

144

73

158

87

3

101

17

115

152

68

166

82

11

96

25

110

39

124

40

138

54

104

20

105

34

119

48

133

62

147

76

161

90

6

43

141

57

155

71

169

85

1

99

15

113

29

127

164

80

9

94

23

108

37

122

51

136

65

150

66

116

32

130

46

131

60

145

74

159

88

4

102

18

55

153

69

167

83

12

97

26

111

27

125

41

139

7

92

21

106

35

120

49

134

63

148

77

162

91

128

44

142

58

156

72

157

86

2

100

16

114

30

67

165

81

10

95

24

109

38

123

52

137

53

151

 

                                                                     Рис. 19

 

Так как любой цикл качания качелей в точности повторяет схему расположения первых 13 чисел, я закрасила второй цикл качания качелей, в котором есть ячейка, попавшая в левую верхнюю ячейку квадрата. Розовые ячейки этого цикла дают представление о начальной цепочке, если бы одно из чисел этой цепочки попало в левую верхнюю ячейку.

 

                                               КАЧЕЛИ В ДЕЙСТВИИ!

 

Методом качелей я построила множество пандиагональных квадратов, взяв за исходный квадрат с рис. 15. Эти квадраты позволили мне увидеть интереснейшие преобразования “плюс-минус …”, которые трудно сочинить, не имея перед собой готовых квадратов. Покажу два примера. Первое преобразование “плюс-минус 7” простое (некомбинированное), оно связывает квадрат с рис. 15 с квадратом, изображённым на рис. 20. Подчеркну ещё раз, что квадрат на рис. 20 не является идеальным, он только пандиагональный. Обратите внимание на то, что схема расположения первых 13 чисел в этих квадратах одинакова, и только в начальной цепочке два числа – 3 и 10 – поменялись местами. Показанное преобразование, таким образом, сохраняет пандиагональность квадрата, но не сохраняет ассоциативность.

 

 

13

83

159

67

150

64

134

48

118

32

115

23

99

111

25

95

9

79

162

76

153

60

143

44

120

28

40

123

37

114

21

104

5

81

158

72

155

56

139

151

65

135

42

119

33

116

17

100

1

84

167

75

80

163

77

147

61

131

45

128

36

112

26

96

3

22

92

6

89

166

73

156

57

133

41

124

38

108

127

34

117

18

94

2

85

168

69

152

53

136

50

55

132

46

129

30

113

14

97

11

88

164

78

148

160

74

144

58

141

49

125

39

109

16

93

7

90

102

10

86

169

70

146

54

137

51

121

35

105

19

31

107

15

98

12

82

165

66

149

63

140

47

130

142

43

126

27

110

24

101

8

91

161

68

145

59

71

154

62

138

52

122

29

106

20

103

4

87

157

 

                                                  Рис. 20

 

Покажу матрицу этого преобразования (рис. 21) для тех, кто не читал страницы, в которых рассказывалось о преобразованиях такого типа.

 

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

 

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

+7

 

 

 

-7

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Рис. 21

 

Наложите эту матрицу на преобразуемый квадрат с рис. 15, к числам, попавшим в жёлтые ячейки, прибавьте 7, а от чисел, оказавшихся в оранжевых ячейках, вычтите 7 – и новый пандиагональный квадрат готов!

 

Интересно отметить, что и ассоциативность квадрата на рис. 20 нарушилась на “плюс-минус 7”. Вот, например, в центральной строке, две пары чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, не дают в сумме 170, одна пара: 50+127=177, другая пара: 94+69=163. Одна сумма на 7 больше нужной, другая – на 7 меньше. Все остальные пары чисел в этой строке дают в сумме 170. То же самое в центральном столбце, главных диагоналях.

 

Теперь покажу ещё один пандиагональный квадрат, построенный по образцу того же квадрата с рис. 15. Смотрите его на рис. 22.

 

 

13

83

166

74

150

64

132

50

118

32

108

16

99

111

25

93

11

79

162

69

146

60

143

44

127