ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

     Часть VIII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Начинаю рассматривать более подробно идеальные квадраты 15-ого порядка.

Во второй части статьи был построен методом стандартных качелей идеальный квадрат, который вы видите на рис. 1. Там объяснялось, какие качели я называю стандартными.

 

 

34

22

86

120

136

200

189

57

93

152

216

8

70

134

178

102

153

212

6

68

130

179

43

19

82

116

150

196

185

54

28

79

112

146

210

181

50

99

162

213

2

66

128

175

44

159

222

3

62

126

173

40

29

88

109

142

206

195

46

95

89

118

139

202

191

60

91

155

219

12

63

122

171

38

25

215

9

72

123

167

36

23

85

119

148

199

187

56

105

151

115

149

208

184

52

101

165

211

5

69

132

168

32

21

83

1

65

129

177

33

17

81

113

145

209

193

49

97

161

225

143

205

194

58

94

157

221

15

61

125

174

42

18

77

111

75

121

170

39

27

78

107

141

203

190

59

103

154

217

11

201

188

55

104

163

214

7

71

135

166

35

24

87

108

137

131

180

31

20

84

117

138

197

186

53

100

164

223

4

67

182

51

98

160

224

13

64

127

176

45

16

80

114

147

198

172

41

30

76

110

144

207

183

47

96

158

220

14

73

124

48

92

156

218

10

74

133

169

37

26

90

106

140

204

192

 

                                                                      Рис. 1

 

В указанной части статьи вы можете посмотреть образующую таблицу этого квадрата. Качели здесь качаются с такими шагами: через 7 ячеек вправо, через 6 ячеек влево. На рисунке вы видите закрашенными три цикла качания качелей (не считая нулевого – начальной цепочки первых 15 чисел).

Внимательно изучив построение методом качелей квадратов низших порядков, приступаю к квадрату 15-ого порядка с накопленным опытом и большими знаниями и навыками. Стало интересно запрограммировать качели по аналогии с тем, как я это делала для квадратов низших порядков и прогнать программу до конца. Сколько она построит квадратов такого вида?

Не буду подробно показывать подготовку к написанию программы. Она состоит, как помнит читатель, в том, чтобы нарисовать образующую таблицу и поставить в ней начальные условия, то есть все те числа, которые будут считаться известными. Предлагаю читателям выполнить этот этап самостоятельно. Я же расскажу о результате. Программа выдала мне 1152 варианта! И работала она меньше минуты.

Конечно, не смогу показать здесь все полученные по программе квадраты, и даже файл не буду помещать на сайт, потому что очень большой. Кроме того, я поленилась писать блок превращения образующей таблицы в сам квадрат и поэтому результаты программа выдала мне в виде образующих таблиц (как помнит читатель, так же было для пандиагональных квадратов 5-ого порядка). Покажу здесь два первых варианта, выданных программой. Ну, разумеется, квадрат, изображённый на рис. 1, тоже выдался программой. Итого получается три квадрата. На рис. 2 вы видите первый вариант, выданный программой, а на рис. 3 – второй, но уже, конечно, не в виде образующих таблиц, а в виде идеальных квадратов.

 

 

86

58

134

120

91

167

138

155

186

199

219

8

22

42

70

185

201

214

9

23

37

72

85

56

133

119

105

166

137

153

55

131

118

104

180

136

152

183

200

216

4

24

38

67

87

198

215

6

19

39

68

82

57

130

116

103

179

150

151

182

132

115

101

178

149

165

181

197

213

5

21

34

69

83

52

212

3

20

36

64

84

53

127

117

100

176

148

164

195

196

112

102

175

146

163

194

210

211

2

18

35

66

79

54

128

1

17

33

65

81

49

129

113

97

177

145

161

193

209

225

98

172

147

160

191

208

224

15

16

32

63

80

51

124

114

30

31

62

78

50

126

109

99

173

142

162

190

206

223

14

174

143

157

192

205

221

13

29

45

61

77

48

125

111

94

44

75

76

47

123

110

96

169

144

158

187

207

220

11

28

139

159

188

202

222

10

26

43

74

90

46

122

108

95

171

73

89

60

121

107

93

170

141

154

189

203

217

12

25

41

156

184

204

218

7

27

40

71

88

59

135

106

92

168

140

 

                                                                       Рис. 2

 

Поскольку, как я уже не раз отмечала, каждый цикл качания качелей в точности повторяет схему расположения первых 15 чисел, то я закрасила здесь четвёртый цикл, в котором одна из ячеек совпала с левой верхней ячейкой. Этот цикл даёт представление о положении начальной цепочки, если бы одно из первых 15 чисел стояло в левой верхней ячейке.

 

 

86

103

179

120

46

122

138

155

186

202

222

8

19

39

70

185

201

217

12

23

34

69

85

101

178

119

60

121

137

153

100

176

118

59

135

136

152

183

200

216

7

27

38

64

84

198

215

6

22

42

68

79

99

175

116

58

134

150

151

182

174

115

56

133

149

165

181

197

213

5

21

37

72

83

94

212

3

20

36

67

87

98

169

114

55

131

148

164

195

196

109

54

130

146

163

194

210

211

2

18

35

66

82

102

173

1

17

33

65

81

97

177

113

49

129

145

161

193

209

225

53

124

144

160

191

208

224

15

16

32

63

80

96

172

117

30

31

62

78

95

171

112

57

128

139

159

190

206

223

14

132

143

154

189

205

221

13

29

45

61

77

93

170

111

52

44

75

76

92

168

110

51

127

147

158

184

204

220

11

28

142

162

188

199

219

10

26

43

74

90

91

167

108

50

126

73

89

105

166

107

48

125

141

157

192

203

214

9

25

41

156

187

207

218

4

24

40

71

88

104

180

106

47

123

140

 

                                                                       Рис. 3

 

Сравнив эти идеальные квадраты, я сразу увидела преобразование “плюс-минус …”, которое их связывает. Оно комбинированное, в нём участвуют четыре числа – 3, 42, 45 и 48. Покажу матрицу этого преобразования (рис. 4).

 

 

 

+45

+45

 

-45

-45

 

 

 

+3

+3

 

-3

-3

 

 

 

+3

+3

 

-3

-3

 

+45

+45

 

-45

-45

 

 

+45

+45

 

-45

-45

 

 

 

 

 

+3

+3

 

-3

-3

 

 

 

+3

+3

 

-3

+42

+45

 

-45

-45

 

 

 

+42

 

-45

-45

 

 

 

 

 

 

 

+3

+3

 

+42

 

 

 

 

+3

+3

+45

+42

-3

-45

-45

 

 

 

 

-3

-48

-45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+3

+48

+45

 

 

 

 

 

+48

+48

 

-48

-48

 

 

 

 

 

-45

-48

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+45

+48

+3

 

 

 

 

+45

+45

+3

-42

-45

-3

-3

 

 

 

 

-42

 

-3

-3

 

 

 

 

 

 

 

+45

+45

 

-42

 

 

 

+45

+45

 

-45

-42

+3

 

-3

-3

 

 

 

+3

+3

 

-3

-3

 

 

 

 

 

+45

+45

 

-45

-45

 

 

+45

+45

 

-45

-45

 

+3

+3

 

-3

-3

 

 

 

+3

+3

 

-3

-3

 

 

 

+45

+45

 

-45

-45

 

 

                                                                       Рис. 4

 

Вот такое сложное преобразование, которое сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Наложив эту матрицу на преобразуемый квадрат  с рис. 2 и произведя все действия сложения и вычитания над числами, попавшими в закрашенные ячейки, вы получите новый идеальный квадрат, который изображён на рис. 3. Центральная симметрия этого преобразования восхитительна! Вот почему оно сохраняет ассоциативность квадрата. При этом ещё и суммы по всем строкам, столбцам и диагоналям (как главным, так и разломанным) тоже не изменяются. И значит, сохраняется пандиагональность.

 

А теперь хочу посмотреть на квадраты с качелями другого вида (с другими шагами). Дублирую квадрат из второй части статьи (рис. 5).

 

 

1

93

27

44

70

46

168

162

194

205

121

213

147

119

85

37

65

56

174

158

187

200

131

219

143

112

80

11

99

23

167

154

193

210

126

212

139

118

90

6

92

19

43

75

51

198

132

224

145

106

78

12

104

25

31

63

57

179

160

181

140

116

84

8

97

20

41

69

53

172

155

191

204

128

217

4

103

30

36

62

49

178

165

186

197

124

223

150

111

77

42

74

55

166

153

192

209

130

211

138

117

89

10

91

18

176

159

188

202

125

221

144

113

82

5

101

24

38

67

50

208

135

216

137

109

88

15

96

17

34

73

60

171

152

184

149

115

76

3

102

29

40

61

48

177

164

190

196

123

222

9

98

22

35

71

54

173

157

185

206

129

218

142

110

86

45

66

47

169

163

195

201

122

214

148

120

81

2

94

28

175

151

183

207

134

220

136

108

87

14

100

16

33

72

59

203

127

215

146

114

83

7

95

26

39

68

52

170

161

189

141

107

79

13

105

21

32

64

58

180

156

182

199

133

225

 

                                                                     Рис. 5

 

В этом квадрате совсем другая схема расположения первых 15 чисел и качели соответственно другие. В отличие от качелей показанного выше вида (стандартных) эти качели я назвала нестандартными, потому что образующая таблица этого квадрата резко отличается от образующей таблицы стандартных качелей. Шаги качелей здесь такие: через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево. Квадрат хорош тем, что начинается он с числа 1. На рисунке закрашены первые два цикла качания качелей (не считая нулевого).

Попробую запрограммировать этот вид качелей. Зафиксирую положение чисел 1 и 15. Все полученные квадраты, следовательно, будут начинаться с числа 1. Очень интересно, что получится в этом случае. Много ли будет идеальных квадратов такого вида.

 

                                               ***

 

Страница помещена на сайт 30 декабря 2007 г.

 

 

1 января 2008 г.

 

Итак, я обещала рассказать о результатах построения по программе квадратов такого вида, как квадрат на рис. 5. Результат работы составленной программы оказался интересным – снова 1152 квадрата! Просто не верится, что так много можно получить идеальных квадратов. И программа работала всего 3 минуты! Это если выводить на экран (и в файл) образующие таблицы, а если их не выводить, то ещё меньше. Как и в предыдущем случае, покажу два первых варианта, выданных программой. Эти идеальные квадраты вы видите на рис. 6 и рис. 7.

 

 

1

87

103

174

20

31

192

208

54

125

136

222

73

114

155

171

17

44

190

203

51

122

149

220

68

111

152

14

85

98

187

198

49

135

146

217

63

109

165

11

82

93

169

30

41

132

148

219

65

106

162

13

84

95

166

27

43

189

200

46

62

119

160

8

81

92

179

25

38

186

197

59

130

143

216

3

79

105

176

22

33

184

210

56

127

138

214

75

116

157

178

24

35

181

207

58

129

140

211

72

118

159

5

76

102

194

205

53

126

137

224

70

113

156

2

89

100

173

21

32

124

150

221

67

108

154

15

86

97

168

19

45

191

202

48

69

110

151

12

88

99

170

16

42

193

204

50

121

147

223

10

83

96

167

29

40

188

201

47

134

145

218

66

107

164

180

26

37

183

199

60

131

142

213

64

120

161

7

78

94

185

196

57

133

144

215

61

117

163

9

80

91

177

28

39

128

141

212

74

115

158

6

77

104

175

23

36

182

209

55

71

112

153

4

90

101

172

18

34

195

206

52

123

139

225

 

                                                   Рис. 6

 

Я закрасила в этом квадрате 11-ый цикл качания качелей. Показываю следующий идеальный квадрат (второй вариант, выданный программой).

 

 

1

147

103

174

20

31

192

208

54

125

76

222

73

114

155

175

17

44

186

203

55

122

89

216

68

115

152

14

141

98

187

198

49

135

86

217

63

109

165

11

142

93

169

30

41

132

88

219

65

106

162

13

144

95

166

27

43

189

200

46

62

119

156

8

145

92

179

21

38

190

197

59

126

83

220

3

139

105

176

22

33

184

210

56

127

78

214

75

116

157

178

24

35

181

207

58

129

80

211

72

118

159

5

136

102

194

201

53

130

77

224

66

113

160

2

149

96

173

25

32

124

90

221

67

108

154

15

146

97

168

19

45

191

202

48

69

110

151

12

148

99

170

16

42

193

204

50

121

87

223

6

143

100

167

29

36

188

205

47

134

81

218

70

107

164

180

26

37

183

199

60

131

82

213

64

120

161

7

138

94

185

196

57

133

84

215

61

117

163

9

140

91

177

28

39

128

85

212

74

111

158

10

137

104

171

23

40

182

209

51

71

112

153

4

150

101

172

18

34

195

206

52

123

79

225

 

                                                                       Рис. 7

 

В этом квадрате закрашен седьмой цикл качания качелей. Посмотрите внимательно на эти два квадрата! В начальной цепочке чисел поменялись местами два числа – 6 и 10. А все остальные числа занимают одинаковые позиции. И, разумеется, квадраты связаны преобразованием “плюс-минус …”. Оно комбинированное, в нём участвуют четыре числа: 4, 56, 60, 64. Я покажу матрицу этого преобразования чуть позже. А прежде покажу всё-таки одну образующую таблицу, чтобы напомнить читателям, какой она имеет вид для данного типа идеальных квадратов и как её запрограммировать, чтобы получить все образующие таблицы. Показываю образующую таблицу квадрата, изображённого на рис. 7 (рис. 8):

 

 

15

146

97

168

19

45

191

202

48

124

90

221

67

108

154

-3

2

149

96

173

25

32

194

201

53

130

77

224

66

113

160

2

5

136

102

178

24

35

181

207

58

129

80

211

72

118

159

-5

3

139

105

176

22

33

184

210

56

127

78

214

75

116

157

-5

8

145

92

179

21

38

190

197

59

126

83

220

62

119

156

2

13

144

95

166

27

43

189

200

46

132

88

219

65

106

162

-3

11

142

93

169

30

41

187

198

49

135

86

217

63

109

165

13

14

141

98

175

17

44

186

203

55

122

89

216

68

115

152

-3

1

147

103

174

20

31

192

208

54

125

76

222

73

114

155

-6

4

150

101

172

18

34

195

206

52

123

79

225

71

112

153

1

10

137

104

171

23

40

182

209

51

128

85

212

74

111

158

2

9

140

91

177

28

39

185

196

57

133

84

215

61

117

163

1

7

138

94

180

26

37

183

199

60

131

82

213

64

120

161

-6

6

143

100

167

29

36

188

205

47

134

81

218

70

107

164

-3

12

148

99

170

16

42

193

204

50

121

87

223

69

110

151

 

 

k=9

k=6

k=11

k=1

k=2

k=12

k=13

k=3

k=8

k=5

k=14

k=4

k=7

k=10

 

                                                                        Рис. 8

 

Закономерности формирования этой таблицы рассматривались во второй части данной статьи. Напомню, что этот вид качелей назван мной нестандартным, в отличие от качелей первого вида, имеющих образующую таблицу другой структуры и другие шаги качания. Ещё раз подчеркну, что при составлении программы следует зафиксировать положение двух чисел – 1 и 15. Попробуйте составить программу для получения всех образующих таблиц данного вида (а по ним и идеальных квадратов) самостоятельно. Это очень хороший пример для тех, кто пробует себя в программировании.

 

А теперь показываю матрицу преобразования “плюс-минус …”, которое связывает два идеальных квадрата, изображённых на рис. 6 и рис. 7 (рис. 9).

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

+4

 

 

-4

 

+4

 

-60

-4

 

+4

 

 

+56

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4

 

+64

 

 

-4

 

+4

 

 

-4

-60

+4

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

-4

 

+4

-60

 

-4

 

+4

 

+60

-4

 

+4

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

-4

+60

+4

 

 

-4

 

+4

 

 

-64

 

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-56

 

 

-4

 

+4

+60

 

-4

 

+4

 

 

-4

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

                                                   Рис. 9

 

Понятно, что это преобразование сохраняет и ассоциативность, и пандиагональность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Если исследовать все идеальные квадраты данного вида, то можно найти ещё много подобных преобразований.

 

Ну и, наконец, покажу ещё один идеальный квадрат их этой группы, это вариант № 1152, то есть самый последний из выданных программой (рис. 10):

 

1

144

50

132

208

151

69

20

102

178

76

219

185

117

43

130

209

152

66

23

100

179

77

216

188

115

44

2

141

53

64

26

97

180

78

214

191

112

45

3

139

56

127

210

153

174

80

222

193

106

39

5

147

58

121

204

155

72

28

91

194

107

36

8

145

59

122

201

158

70

29

92

171

83

220

11

142

60

123

199

161

67

30

93

169

86

217

195

108

34

125

207

163

61

24

95

177

88

211

189

110

42

13

136

54

62

21

98

175

89

212

186

113

40

14

137

51

128

205

164

172

90

213

184

116

37

15

138

49

131

202

165

63

19

101

192

118

31

9

140

57

133

196

159

65

27

103

166

84

215

6

143

55

134

197

156

68

25

104

167

81

218

190

119

32

135

198

154

71

22

105

168

79

221

187

120

33

4

146

52

73

16

99

170

87

223

181

114

35

12

148

46

129

200

162

173

85

224

182

111

38

10

149

47

126

203

160

74

17

96

183

109

41

7

150

48

124

206

157

75

18

94

176

82

225

 

                                                                       Рис. 10

 

В этом квадрате я закрасила 14-ый (последний) цикл качания качелей. И ещё покажу образующую таблицу этого квадрата (рис. 11). Читатель может сравнить её с образующей таблицей предыдущего квадрата (рис. 8) и ему станут совсем понятны все закономерности формирования этих таблиц.

 

 

 

15

138

49

131

202

165

63

19

101

172

90

213

184

116

37

1

14

137

51

128

205

164

62

21

98

175

89

212

186

113

40

2

13

136

54

125

207

163

61

24

95

177

88

211

189

110

42

3

11

142

60

123

199

161

67

30

93

169

86

217

195

108

34

3

8

145

59

122

201

158

70

29

92

171

83

220

194

107

36

2

5

147

58

121

204

155

72

28

91

174

80

222

193

106

39

1

3

139

56

127

210

153

64

26

97

180

78

214

191

112

45

1

2

141

53

130

209

152

66

23

100

179

77

216

188

115

44

-6

1

144

50

132

208

151

69

20

102

178

76

219

185

117

43

-3

7

150

48

124

206

157

75

18

94

176

82

225

183

109

41

-2

10

149

47

126

203

160

74

17

96

173

85

224

182

111

38

8

12

148

46

129

200

162

73

16

99

170

87

223

181

114

35

-2

4

146

52

135

198

154

71

22

105

168

79

221

187

120

33

-3

6

143

55

134

197

156

68

25

104

167

81

218

190

119

32

-6

9

140

57

133

196

159

65

27

103

166

84

215

192

118

31

 

 

k=9

k=3

k=8

k=13

k=10

k=4

k=1

k=6

k=11

k=5

k=14

k=12

k=7

k=2

 

                                                                        Рис. 11

 

А теперь стоит обратить внимание на связи между квадратами этих двух групп (с качелями двух видов). Не случайно количество квадратов в каждой группе оказалось равным 1152. Исходный квадрат для квадратов второй группы я получила из квадрата первой группы, применив к нему сначала перенос на торе, а затем преобразование “строки-диагонали”. Таким образом, если я теперь к любому квадрату второй группы применю сначала преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, а затем перенесу полученный квадрат на торе, то я получу один из квадратов первой группы. О преобразовании, обратном преобразованию “строки-диагонали”, я рассказывала раньше (не помню сейчас, в какой статье). Матрицу этого преобразования сочинить очень легко: положите перед собой два квадрата – исходный и тот, что получился из него применением преобразования “строки-диагонали”. А теперь во втором квадрате впишите аij в естественном порядке и перепишите эти аij в первый квадрат (туда, где они стоят). И матрица готова!

Покажу отмеченный факт на последнем идеальном квадрате второй группы (с рис. 10). Применив к нему преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, получаю квадрат, который вы видите на рис. 12.

 

 

1

209

97

193

145

161

177

113

49

65

81

33

129

17

225

53

64

80

36

123

24

212

15

196

104

187

148

160

176

117

210

91

194

142

163

175

116

57

68

79

35

126

18

219

2

72

83

34

125

21

213

9

197

105

181

149

157

178

115

56

92

195

136

164

172

118

55

71

87

38

124

20

216

3

204

86

42

128

19

215

6

198

99

182

150

151

179

112

58

70

189

137

165

166

119

52

73

85

41

132

23

214

5

201

93

40

131

27

218

4

200

96

183

144

152

180

106

59

67

88

138

159

167

120

46

74

82

43

130

26

222

8

199

95

186

133

25

221

12

203

94

185

141

153

174

107

60

61

89

37

156

168

114

47

75

76

44

127

28

220

11

207

98

184

140

22

223

10

206

102

188

139

155

171

108

54

62

90

31

134

170

111

48

69

77

45

121

29

217

13

205

101

192

143

154

224

7

208

100

191

147

158

169

110

51

63

84

32

135

16

109

50

66

78

39

122

30

211

14

202

103

190

146

162

173

 

                                                                      Рис. 12

 

Этот квадрат не является идеальным, так как он утратил ассоциативность. Но его очень просто сделать идеальным, применив параллельный перенос на торе; смотрите этот идеальный квадрат на рис. 13. Совершенно очевидно, что мы получили идеальный квадрат из первой группы, со стандартными качелями (такой, как квадраты на рис. 1, 2, 3).

 

 

138

159

167

120

46

74

82

43

130

26

222

8

199

95

186

133

25

221

12

203

94

185

141

153

174

107

60

61

89

37

156

168

114

47

75

76

44

127

28

220

11

207

98

184

140

22

223

10

206

102

188

139

155

171

108

54

62

90

31

134

170

111

48

69

77

45

121

29

217

13

205

101

192

143

154

224

7

208

100

191

147

158

169

110

51

63

84

32

135

16

109

50

66

78

39

122

30

211

14

202

103

190

146

162

173

1

209

97

193

145

161

177

113

49

65

81

33

129

17

225

53

64

80

36

123

24

212

15

196

104

187

148

160

176

117

210

91

194

142

163

175

116

57

68

79

35

126

18

219

2

72

83

34

125

21

213

9

197

105

181

149

157

178

115

56

92

195

136

164

172

118

55

71

87

38

124

20

216

3

204

86

42

128

19

215

6

198

99

182

150

151

179

112

58

70

189

137

165

166

119

52

73

85

41

132

23

214

5

201

93

40

131

27

218

4

200

96

183

144

152

180

106

59

67

88

 

                                                                      Рис. 13

 

Таким образом, составив программу для второго вида качелей, я за 2-3 минуты применила к 1152 квадратам первой группы комбинацию двух преобразований и получила 1152 новых идеальных квадрата! Ну, уж если открывать банк идеальных квадратов 15-ого порядка, то в него, конечно, надо записать 1152 квадрата второй группы, потому что эти квадраты начинаются с числа 1. А квадраты первой группы, по большому счёту, не являются новыми, так как все они получаются из квадратов второй группы применением всего двух элементарных преобразований: сначала преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, а затем параллельный перенос на торе. И поэтому 1152 квадрата первой группы в банк идеальных квадратов 15-ого порядка не попадают.

 

Итак, я показала качели двух видов для построения идеальных квадратов 15-ого порядка, с такими шагами качания: 6+7 и 2+11.

Если квадрат, изображённый на рис. 1, повернуть на 90 градусов, то получится образец идеального квадрата с такими шагами качания: 1+12.

Вот ещё один образец квадрата с шагами 1+12 (рис. 14), через 1 ячейку влево, через 12 ячеек вправо.

 

 

18

201

195

140

7

154

128

177

114

56

91

70

223

89

32

90

35

22

199

188

147

9

161

121

175

118

59

92

63

216

67

214

83

42

24

206

181

145

13

164

122

168

111

60

95

53

102

69

221

76

40

28

209

182

138

6

165

125

172

109

174

116

46

100

73

224

77

33

21

210

185

142

4

158

132

151

130

178

119

47

93

66

225

80

37

19

203

192

144

11

148

14

152

123

171

120

50

97

64

218

87

39

26

196

190

197

183

141

15

155

127

169

113

57

99

71

211

85

43

29

36

30

200

187

139

8

162

129

176

106

55

103

74