ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IX

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Если вы читали предыдущую часть статьи, то знаете, что там я рассмотрела идеальные квадраты 15-ого порядка в свете своего метода качелей.

 

Пропускаю идеальные квадраты 17-ого и 19-ого порядков, так как для них всё аналогично квадратам 5, 7, 11 или 13-ого порядка. Это порядки не кратные 3; для таких квадратов, как помнит читатель, работают очень простые качели с тривиальной образующей таблицей, которые и программировать не надо, потому что и так всё понятно и нечего вычислять в программе. Идеальные квадраты таких порядков очень легко получить из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, просто переставляя строки или столбцы с постоянным шагом.

Поэтому перехожу к идеальным квадратам 21-ого порядка. Во второй части статьи было построено несколько идеальных квадратов методом стандартных качелей. Если прогонять составленную там программу для всех значений переменных, то она выполняется очень долго. Я не стала выполнять программу до конца, ограничившись несколькими вариантами квадратов. На рис. 1 вы видите квадрат, полученный по программе и затем перенесённый на торе, так что в левой верхней ячейке стоит число 1.

 

 

1

23

397

309

155

111

243

375

177

353

221

89

265

67

199

331

287

133

45

419

441

95

257

76

193

325

289

140

49

402

440

21

22

380

313

162

113

237

369

186

345

227

42

379

296

166

120

239

363

180

354

219

101

263

68

202

319

283

142

56

406

423

20

269

74

194

328

277

136

58

413

427

3

41

399

295

149

124

246

365

174

348

228

93

398

315

148

107

250

372

176

342

222

102

261

80

200

320

286

130

52

415

434

7

24

72

206

326

278

139

46

409

436

14

28

381

314

168

106

233

376

183

344

216

96

270

297

167

126

232

359

187

351

218

90

264

81

198

332

284

131

55

403

430

16

35

385

207

324

290

137

47

412

424

10

37

392

301

150

125

252

358

170

355

225

92

258

75

154

108

251

378

169

338

229

99

260

69

201

333

282

143

53

404

433

4

31

394

308

327

291

135

59

410

425

13

25

388

310

161

112

234

377

189

337

212

103

267

71

195

119

238

360

188

357

211

86

271

78

197

321

285

144

51

416

431

5

34

382

304

163

279

138

60

408

437

11

26

391

298

157

121

245

364

171

356

231

85

254

82

204

323

247

371

175

339

230

105

253

65

208

330

281

132

54

417

429

17

32

383

307

151

115

134

48

411

438

9

38

389

299

160

109

241

373

182

343

213

104

273

64

191

334

288

367

184

350

217

87

272

84

190

317

292

141

50

405

432

18

30

395

305

152

118

235

57

407

426

12

39

387

311

158

110

244

361

178

352

224

91

255

83

210

316

275

145

172

346

226

98

259

66

209

336

274

128

61

414

428

6

33

396

303

164

116

236

370

418

435

8

27

390

312

156

122

242

362

181

340

220

100

266

70

192

335

294

127

44

349

214

94

268

77

196

318

293

147

43

401

439

15

29

384

306

165

114

248

368

173

422

19

36

386

300

159

123

240

374

179

341

223

88

262

79

203

322

276

146

63

400

215

97

256

73

205

329

280

129

62

420

421

2

40

393

302

153

117

249

366

185

347

 

                                                                                                                      Рис. 1

 

Квадрат, понятно, не является идеальным, так как он утратил ассоциативность. Однако качели в этом пандиагональном квадрате тоже работают. И они имеют такие же шаги качания, как и в квадрате, из которого этот квадрат получен. Это стандартные качели. Шаги качания у них такие: через 10 ячеек вправо, через 9 ячеек влево. В квадрате выделена начальная цепочка первых чисел (1-21).

Далее я применяю к нему своё любимое преобразование “строки-диагонали”, которое превращает квадрат в идеальный (рис. 2).

 

 

1

285

97

234

36

143

268

358

390

55

66

183

311

415

190

348

160

423

330

227

121

245

23

144

256

377

386

53

77

170

312

403

209

344

158

434

317

228

109

20

281

95

257

364

397

51

73

189

300

404

196

355

156

430

336

216

110

7

292

93

241

42

132

54

76

171

309

416

205

337

159

433

318

225

122

16

274

96

244

24

141

269

373

379

296

417

193

356

155

431

329

212

123

4

293

92

242

35

128

270

361

398

50

74

182

343

166

429

325

231

111

5

280

103

240

31

147

258

362

385

61

72

178

315

405

194

328

213

120

17

289

85

243

34

129

267

374

394

43

75

181

297

414

206

352

148

432

18

277

104

239

32

140

254

375

382

62

71

179

308

401

207

340

167

428

326

224

107

250

30

136

273

363

383

49

82

177

304

420

195

341

154

439

324

220

126

6

278

91

255

372

395

58

64

180

307

402

204

353

163

421

327

223

108

15

290

100

232

33

139

46

83

176

305

413

191

354

151

440

323

221

119

2

291

88

251

29

137

266

359

396

303

409

210

342

152

427

334

219

115

21

279

89

238

40

135

262

378

384

47

70

187

351

164

436

316

222

118

3

288

101

247

22

138

265

360

393

59

79

169

306

412

192

335

218

116

14

275

102

235

41

134

263

371

380

60

67

188

302

410

203

338

165

424

10

294

90

236

28

145

261

367

399

48

68

175

313

408

199

357

153

425

322

229

114

248

37

127

264

370

381

57

80

184

295

411

202

339

162

437

331

211

117

13

276

99

260

368

392

44

81

172

314

407

200

350

149

438

319

230

113

11

287

86

249

25

146

63

69

173

301

418

198

346

168

426

320

217

124

9

283

105

237

26

133

271

366

388

310

400

201

349

150

435

332

226

106

12

286

87

246

38

142

253

369

391

45

78

185

347

161

422

333

214

125

8

284

98

233

39

130

272

365

389

56

65

186

298

419

197

321

215

112

19

282

94

252

27

131

259

376

387

52

84

174

299

406

208

345

157

441

 

                                                                      Рис. 2

 

Теперь я получила прекрасный во всех отношениях идеальный квадрат! А качели у него уже другие, я назвала их нестандартными, в отличие от качелей первого вида. Шаги качания у этих качелей таковы: через 2 ячейки вправо, через 17 ячеек влево. Квадрат хорош тем, что начинается он с числа 1.

Рисую далее образующую таблицу для этого квадрата (рис. 3).

 

 

 

21

279

89

238

40

135

262

378

384

47

70

187

303

409

210

342

152

427

334

219

115

-13

2

291

88

251

29

137

266

359

396

46

83

176

305

413

191

354

151

440

323

221

119

9

15

290

100

232

33

139

255

372

395

58

64

180

307

402

204

353

163

421

327

223

108

-12

6

278

91

250

30

136

273

363

383

49

82

177

304

420

195

341

154

439

324

220

126

1

18

277

104

239

32

140

254

375

382

62

71

179

308

401

207

340

167

428

326

224

107

12

17

289

85

243

34

129

267

374

394

43

75

181

297

414

206

352

148

432

328

213

120

1

5

280

103

240

31

147

258

362

385

61

72

178

315

405

194

343

166

429

325

231

111

-12

4

293

92

242

35

128

270

361

398

50

74

182

296

417

193

356

155

431

329

212

123

9

16

274

96

244

24

141

269

373

379

54

76

171

309

416

205

337

159

433

318

225

122

-13

7

292

93

241

42

132

257

364

297

51

73

189

300

404

196

355

156

430

336

216

110

19

20

281

95

245

23

144

256

377

386

53

77

170

312

403

209

344

158

434

317

228

109

-18

1

285

97

234

36

143

268

358

390

55

66

183

311

415

190

348

160

423

330

227

121

11

19

282

94

252

27

131

259

376

387

52

84

174

299

406

208

345

157

441

321

215

112

-4

8

284

98

233

39

130

272

365

389

56

65

186

298

419

197

347

161

422

333

214

125

3

12

286

87

246

38

142

253

369

391

45

78

185

310

400

201

349

150

435

332

226

106

-2

9

283

105

237

26

133

271

366

388

63

69

173

301

418

198

346

168

426

320

217

124

-2

11

287

86

249

25

146

260

368

392

44

81

172

314

407

200

350

149

438

319

230

113

3

13

276

99

248

37

127

264

370

381

57

80

184

295

411

202

339

162

437

331

211

117

-4

10

294

90

236

28

145

261

367

399

48

68

175

313

408

199

357

153

425

322

229

114

11

14

275

102

235

41

134

263

371

380

60

67

188

302

410

203

338

165

424

335

218

116

-18

3

288

101

247

22

138

265

360

393

59

79

169

306

412

192

351

164

436

316

222

118

 

 

k=13

k=4

k=11

k=1

k=6

k=12

k=17

k=18

k=2

k=3

k=8

k=14

k=19

k=9

k=16

k=7

k=20

k=15

k=10

k=5

 

                                                                       Рис. 3

 

А теперь даю эту же образующую таблицу с начальными условиями для составления программы, по которой можно получить все образующие таблицы подобного типа, а по ним и все идеальные квадраты с качелями такого вида (рис. 4).

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I-J

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

221

 

J-K

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

421

 

 

 

K-L

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L-M

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M-M1

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1-L1

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

231

 

L1-K1

L1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

431

 

 

 

K1-J1

K1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1-I1

J1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1-1

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-N

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-O

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

441

 

 

 

O-P

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P-Q

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q-11

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11-Q1

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1-P1

Q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1-O1

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O1-N1

O1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1-21

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=20

k=

k=10

k=

 

                                                                           Рис. 4

 

В этой образующей таблице вы видите те числа, которые известны. Это и есть начальные условия. Как видите, зафиксировано положение трёх чисел в начальной цепочке: 1, 11, 21. Проанализировав образующие таблицы имеющихся у меня идеальных квадратов данного вида, я установила следующую закономерность: I1=22-I, J1=22-J, …, Q1=22-Q. Таким образом, здесь варьируются 9 переменных: I, J, K, L, M, N, O, P, Q. Все они изменяются в интервале от 2 до 20, исключая 11. Представляете, сколько вариантов должна рассмотреть программа?! У меня не хватило терпения прогнать программу до конца, чтобы узнать, сколько же всего построится идеальных квадратов. Я поставила счётчик найденных вариантов на 100, это было выполнено за несколько секунд. Затем поставила счётчик на 300 решений, это было отработано за 2 минуты. Не стала экспериментировать дальше, потому что число решений должно быть огромным. Вывела первые 10 вариантов, поставив счётчик на 10. По-прежнему у меня решения выводятся в виде образующих таблиц. Лень писать блок для превращения образующей таблицы в идеальный квадрат. Я делаю это очень быстро вручную, то есть рисую на экране пустую таблицу 21х21, рядом копирую из файла образующую таблицу и переписываю её в матрицу для квадрата.

Ну, вот и покажу здесь два первых варианта, выданных программой, конечно, в виде готовых идеальных квадратов (рис. 5, рис. 6).

 

 

1

266

246

289

24

388

312

85

119

330

352

129

52

417

148

203

183

436

360

220

81

286

23

383

311

104

114

326

349

128

47

416

167

198

179

433

359

215

80

20

261

242

306

103

111

322

344

147

46

411

166

195

175

428

378

214

75

19

258

238

281

42

382

329

351

142

45

409

165

190

182

435

373

213

73

18

253

245

288

37

381

304

102

106

44

404

164

209

177

431

370

212

68

17

272

240

284

34

380

299

101

125

324

347

139

208

174

427

365

231

67

12

271

237

280

29

399

298

96

124

321

343

134

63

403

159

372

226

66

10

270

232

287

36

394

297

94

123

316

350

141

58

402

157

207

169

434

5

269

251

282

32

391

296

89

122

335

345

137

55

401

152

206

188

429

368

223

65

279

28

386

315

88

117

334

342

133

50

420

151

201

187

426

364

218

84

4

264

250

310

87

115

333

337

140

57

415

150

199

186

421

371

225

79

3

262

249

274

35

393

332

356

135

53

412

149

194

185

440

366

221

76

2

257

248

293

30

389

307

86

110

49

407

168

193

180

439

363

217

71

21

256

243

292

27

385

302

105

109

327

355

132

192

178

438

358

224

78

16

255

241

291

22

392

309

100

108

325

354

127

56

414

163

377

219

74

13

254

236

290

41

387

305

97

107

320

353

146

51

410

160

191

173

437

8

273

235

285

40

384

301

92

126

319

348

145

48

406

155

210

172

432

376

216

70

283

39

379

308

99

121

318

346

144

43

413

162

205

171

430

375

211

77

15

268

234

303

95

118

317

341

143

62

408

158

202

170

425

374

230

72

11

265

233

278

38

398

336

340

138

61

405

154

197

189

424

369

229

69

7

260

252

277

33

397

300

91

113

60

400

161

204

184

423

367

228

64

14

267

247

276

31

396

295

98

120

331

339

136

200

181

422

362

227

83

9

263

244

275

26

395

314

93

116

328

338

131

59

419

156

361

222

82

6

259

239

294

25

390

313

90

112

323

357

130

54

418

153

196

176

441

                                                          

     Рис. 5

 

Я закрасила в квадрате вместе с нулевым циклом качания качелей (начальная цепочка чисел от 1 до 21) самый последний, 20-ый, цикл. Далее следует второе решение.

 

 

1

267

245

310

24

388

291

85

120

329

352

150

52

417

127

204

182

436

360

220

81

307

23

383

290

104

114

326

349

149

47

416

146

198

179

433

359

215

80

20

261

242

285

103

111

323

343

168

46

411

145

195

176

427

378

214

75

19

258

239

301

42

382

330

350

163

45

409

144

190

183

434

373

213

73

18

253

246

308

37

381

283

102

106

44

404

143

209

177

431

370

212

68

17

272

240

305

34

380

278

101

125

324

347

160

208

174

428

364

231

67

12

271

237

302

28

399

277

96

124

321

344

154

63

403

138

371

226

66

10

270

232

309

35

394

276

94

123

316

351

161

58

402

136

207

169

435

5

269

251

303

32

391

275

89

122

335

345

158

55

401

131

206

188

429

368

223

65

300

29

385

294

88

117

334

342

155

49

420

130

201

187

426

365

217

84

4

264

250

289

87

115

333

337

162

56

415

129

199

186

421

372

224

79

3

262

249

295

36

392

332

356

156

53

412

128

194

185

440

366

221

76

2

257

248

314

30

389

286

86

110

50

406

147

193

180

439

363

218

70

21

256

243

313

27

386

280

105

109

327

355

153

192

178

438

358

225

77

16

255

241

312

22

393

287

100

108

325

354

148

57

413

142

377

219

74

13

254

236

311

41

387

284

97

107

320

353

167

51

410

139

191

173

437

7

273

235

306

40

384

281

91

126

319

348

166

48

407

133

210

172

432

376

216

71

304

39

379

288

98

121

318

346

165

43

414

140

205

171

430

375

211

78

14

268

234

282

95

118

317

341

164

62

408

137

202

170

425

374

230

72

11

265

233

299

38

398

336

340

159

61

405

134

196

189

424

369

229

69

8

259

252

298

33

397

279

92

112

60

400

141

203

184

423

367

228

64

15

266

247

297

31

396

274

99

119

331

339

157

200

181

422

362

227

83

9

263

244

296

26

395

293

93

116

328

338

152

59

419

135

361

222

82

6

260

238

315

25

390

292

90

113

322

357

151

54

418

132

197

175

441

 

                                                                      Рис. 6

 

В этом квадрате закрашен 10-ый цикл качания качелей. Очень хорошо видно, что каждый цикл качания качелей в точности повторяет схему начальной цепочки чисел. Напомню читателям: набор чисел в одном цикле качания качелей – это числа из одного столбца образующей таблицы. И ещё: образующую таблицу очень удобно переносить в матрицу для квадрата построчно.

Разумеется, все идеальные квадраты этого вида должны быть внесены в банк идеальных квадратов 21-ого порядка, так как они начинаются с числа 1. Самые красивые из всех идеальных квадратов! Но дело, конечно, не в их красоте. Базовые квадраты должны прежде всего начинаться с числа 1, а уже затем с других чисел.

Сравнив квадраты на рис. 5 и рис 6, я сразу увидела, что они связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Предлагаю читателям сделать матрицу этого преобразования по аналогии с тем, как это было показано для квадратов низших порядков.

 

Ещё покажу интереснейший экземпляр квадрата (рис. 7). Посмотрите на него! Он вроде бы совсем идеальный. Но что же в нём не так? Получив это решение по начальному варианту программы (в котором я забыла вставить проверку магичности квадрата, то есть сумм по строкам и столбцам), я проверила сначала суммы по всем диагоналям – главным и разломанным. Все эти суммы оказались такие, какие и должны быть. Ассоциативность в квадрате тоже есть (потому что это в программе проверяется). В последнюю очередь я решила проверить суммы по строкам и столбцам. И каково же было моё удивление, когда я обнаружила, что эти-то суммы не во всех строках и столбцах равны магической константе квадрата – 4641. А именно: в столбцах повторяются три значения сумм – 3696, 4641 и 5586, а в строках такие три значения – 4596, 4641 и 4686. Обратите внимание: если сложить две суммы, не равные магической константе, и полученную сумму разделить на 2, то получится магическая константа.

Таким образом, программа нашла несколько тысяч ложных решений. Вот такие чудеса! Кто бы мог подумать, что в ассоциативном квадрате суммы по всем диагоналям равны магической константе, а суммы в строках и столбцах имеют отклонения. Я была очень удивлена таким квадратом. Пришлось исправить программу, добавив в неё блок проверки сумм в строках и столбцах. Решила показать один из таких квазиидеальных квадратов. Повторю, программа выдала тысячи таких квадратов.

 

 

1

282

325

183

24

384

207

85

135

304

351

234

48

417

253

114

157

435

360

216

81

182

23

383

206

104

134

305

350

233

47

416

272

113

158

434

359

215

80

20

281

326

205

103

133

306

349

252

46

415

271

112

159

433

378

214

79

19

280

327

181

42

382

303

346

246

45

405

270

106

156

430

372

213

69

18

274

324

178

36

381

195

102

127

44

404

269

125

155

431

371

212

68

17

293

323

179

35

380

194

101

146

302

347

245

124

154

432

370

231

67

16

292

322

180

34

399

193

100

145

301

348

244

63

403

268

367

225

66

6

291

316

177

31

393

192

90

144

295

345

241

57

402

258

123

148

429

5

290

335

176

32

392

191

89

143

314

344

242

56

401

257

122

167

428

368

224

65

175

33

391

210

88

142

313

343

243

55

420

256

121

166

427

369

223

84

4

289

334

204

87

132

312

337

240

52

414

255

111

165

421

366

220

78

3

279

333

169

30

388

311

356

239

53

413

254

110

164

440

365

221

77

2

278

332

188

29

389

203

86

131

54

412

273

109

163

439

364

222

76

21

277

331

187

28

390

202

105

130

310

355

238

108

153

438

358

219

73

15

276

321

186

22

387

199

99

129

300

354

232

51

409

267

377

218

74

14

275

320

185

41

386

200

98

128

299

353

251

50

410

266

107

152

437

13

294

319

184

40

385

201

97

147

298

352

250

49

411

265

126

151

436

376

217

75

174

39

379

198

94

141

297

342

249

43

408

262

120

150

426

375

211