МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=kp

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Работая над задачей построения идеального квадрата 12-ого порядка, который пока так и не построился, я вспомнила придуманный мной метод построения идеальных квадратов порядка n=3p, p=2, 3, 4… В статье “Идеальные квадраты порядков кратных 9” подробно описан этот метод и построены идеальные квадраты 9-ого, 27-ого и 81-ого порядков.

 

Метод очень простой. Напомню построение идеального квадрата 9-ого порядка. Сначала строится составной ассоциативный квадрат на базе магического квадрата третьего порядка, он же берётся в качестве основного (хотя можно взять в качестве основного другой вариант магического квадрата третьего порядка). На рис. 1 воспроизвожу составной ассоциативный квадрат 9-ого порядка.

 

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

18

14

10

63

59

55

54

50

46

13

12

17

58

57

62

49

48

53

74

79

78

38

43

42

2

7

6

81

77

73

45

41

37

9

5

1

76

75

80

40

39

44

4

3

8

29

34

33

20

25

24

65

70

69

36

32

28

27

23

19

72

68

64

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

                                                        Рис. 1

 

А теперь в этом квадрате делаем перестановку строк по очень простой схеме – с шагом 2, то есть через 2 столбца. Ещё проще можно объяснить эту схему перестановки так: на рис. 2 вы видите три секции, содержащие по три столбца. В первой секции помещаются первые столбцы из каждой такой же секции исходного квадрата, во второй секции – вторые столбцы из каждой секции исходного квадрата, и в третьей секции – третьи столбцы. Всё очень просто и легко запоминается. И вот он – идеальный квадрат (рис. 2)!

 

 

11

56

47

16

61

52

15

60

51

18

63

54

14

59

50

10

55

46

13

58

49

12

57

48

17

62

53

74

38

2

79

43

7

78

42

6

81

45

9

77

41

5

73

37

1

76

40

4

75

39

3

80

44

8

29

20

65

34

25

70

33

24

69

36

27

72

32

23

68

28

19

64

31

22

67

30

21

66

35

26

71

 

                                                                     Рис. 2

 

Интересно отметить, что точно так же можно переставить и строки, схема такая же. На рис. 3 вы видите идеальный квадрат, полученный перестановкой строк.

 

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

74

79

78

38

43

42

2

7

6

29

34

33

20

25

24

65

70

69

18

14

10

63

59

55

54

50

46

81

77

73

45

41

37

9

5

1

36

32

28

27

23

19

72

68

64

13

12

17

58

57

62

49

48

53

76

75

80

40

39

44

4

3

8

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

                                                                      Рис. 3

 

                                                                        ***

 

Примечание: можете ли вы превратить идеальный квадрат с рис 2 или с рис. 3 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата)? Я делаю это очень просто: параллельный перенос на торе, отражение относительно вертикальной оси симметрии и применение преобразования “строки-диагонали”. И вот перед вами идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (рис. 3а); я преобразовала квадрат с рис 3.

 

 

1

22

50

80

65

12

42

36

61

56

5

35

54

75

24

13

43

64

68

15

9

30

55

76

25

53

38

78

72

16

37

31

59

8

20

48

49

79

19

11

41

71

63

3

33

34

62

74

23

51

45

66

10

4

44

29

57

6

27

52

73

67

14

18

39

69

58

7

28

47

77

26

21

46

40

70

17

2

32

60

81

 

                                                                      Рис. 3а

 

Посмотрите, как интересно трансформировалась начальная цепочка. Люблю магические квадраты, начинающиеся с числа 1! На мой взгляд, они самые прекрасные.

Кстати, в моих планах написание статьи “Преобразования магических квадратов”.

 

                                                                        ***

 

Когда я придумала этот метод, работая над задачей построения идеального квадрата 9-ого порядка, мне в голову не пришла мысль попробовать этот метод для квадрата 16-ого порядка, потому что в то время я считала, что идеальные квадраты существуют только нечётного порядка.

И вот теперь опробовала этот метод на квадрате 16-ого порядка. Всё получилось! На рис. 4 показываю составной ассоциативный квадрат 16-ого порядка, построенный на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка (он же взят в качестве основного).

 

 

1

14

15

4

209

222

223

212

225

238

239

228

49

62

63

52

8

11

10

5

216

219

218

213

232

235

234

229

56

59

58

53

12

7

6

9

220

215

214

217

236

231

230

233

60

55

54

57

13

2

3

16

221

210

211

224

237

226

227

240

61

50

51

64

113

126

127

116

161

174

175

164

145

158

159

148

65

78

79

68

120

123

122

117

168

171

170

165

152

155

154

149

72

75

74

69

124

119

118

121

172

167

166

169

156

151

150

153

76

71

70

73

125

114

115

128

173

162

163

176

157

146

147

160

77

66

67

80

177

190

191

180

97

110

111

100

81

94

95

84

129

142

143

132

184

187

186

181

104

107

106

101

88

91

90

85

136

139

138

133

188

183

182

185

108

103

102

105

92

87

86

89

140

135

134

137

189

178

179

192

109

98

99

112

93

82

83

96

141

130

131

144

193

206

207

196

17

30

31

20

33

46

47

36

241

254

255

244

200

203

202

197

24

27

26

21

40

43

42

37

248

251

250

245

204

199

198

201

28

23

22

25

44

39

38

41

252

247

246

249

205

194

195

208

29

18

19

32

45

34

35

48

253

242

243

256

 

                                                                      Рис. 4

 

Здесь перестановку надо делать с шагом 3, то есть через 3 столбца. Или точно так же заполнять столбцами секции. На рис. 4 и на рис. 5 выделены эти секции, здесь их будет 4. В первой секции помещаются все первые столбцы секций исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы и так далее. На рис. 5 вы видите готовый идеальный квадрат 16-ого порядка. Хотя идеальный квадрат 16-ого порядка я уже построила другим способом (из пандиагонального квадрата Франклина), тем не менее, этот экземпляр тоже очень ценный, ибо он является принципиально новым квадратом.

 

 

1

209

225

49

14

222

238

62

15

223

239

63

4

212

228

52

8

216

232

56

11

219

235

59

10

218

234

58

5

213

229

53

12

220

236

60

7

215

231

55

6

214

230

54

9

217

233

57

13

221

237

61

2

210

226

50

3

211

227

51

16

224

240

64

113

161

145

65

126

174

158

78

127

175

159

79

116

164

148

68

120

168

152

72

123

171

155

75

122

170

154

74

117

165

149

69

124

172

156

76

119

167

151

71

118

166

150

70

121

169

153

73

125

173

157

77

114

162

146

66

115

163

147

67

128

176

160

80

177

97

81

129

190

110

94

142

191

111

95

143

180

100

84

132

184

104

88

136

187

107

91

139

186

106

90

138

181

101

85

133

188

108

92

140

183

103

87

135

182

102

86

134

185

105

89

137

189

109

93

141

178

98

82

130

179

99

83

131

192

112

96

144

193

17

33

241

206

30

46

254

207

31

47

255

196

20

36

244

200

24

40

248

203

27

43

251

202

26

42

250

197

21

37

245

204

28

44

252

199

23

39

247

198

22

38

246

201

25

41

249

205

29

45

253

194

18

34

242

195

19

35

243

208

32

48

256

 

                                                                       Рис. 5

 

Красивейший идеальный квадрат! Посмотрите, как оригинально расположилась начальная цепочка первых 16 чисел в этом квадрате (выделена розовым цветом).

Предлагаю читателям самостоятельно переставить в исходном ассоциативном квадрате с рис. 4 строки по такой же схеме. Вы получите ещё один идеальный квадрат 16-ого порядка.

Составных ассоциативных квадратов 16-ого порядка на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка можно построить очень много. Как известно, существует 48 ассоциативных квадратов четвёртого порядка. Прикиньте, сколько можно построить составных квадратов 16-ого порядка. И каждый такой квадрат очень просто превратить в идеальный описанным методом.

Далее точно так же можно построить идеальный квадрат 64-ого порядка, затем 256-ого и вообще любого порядка n=4p, p=2, 3, 4…

Теперь берём составной ассоциативный квадрат 25-ого порядка и таким же способом превращаем его в идеальный. Но для такого порядка метод не актуален, потому что проще сразу строить идеальный квадрат на базе идеального квадрата пятого порядка (он же и основной).

 

А вот для квадрата 36-ого порядка ничего не получится, потому что ассоциативного квадрата шестого порядка не существует. Не будет работать этот метод и для квадрата 100-ого порядка, то есть вообще для таких порядков, в основании степени которых стоит число 4m+2 (m=1, 2, 3…). Следовательно, данный метод действует для порядков n=kp, k>2 и не равно 4m+2, p=2, 3, 4…

 

                                               ***

 

26 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

      27 апреля 2008 г.

 

Покажу ещё один вариант превращения ассоциативного квадрата 9-ого порядка в идеальный. Составной ассоциативный квадрат я сейчас построила на базе магического квадрата третьего порядка, но в качестве основного взяла другой вариант магического квадрата третьего порядка. Этот ассоциативный квадрат 9-ого порядка вы видите на рис. 6.

 

 

13

18

11

58

63

56

49

54

47

12

14

16

57

59

61

48

50

52

17

10

15

62

55

60

53

46

51

76

81

74

40

45

38

4

9

2

75

77

79

39

41

43

3

5

7

80

73

78

44

37

42

8

1

6

31

36

29

22

27

20

67

72

65

30

32

34

21

23

25

66

68

70

35

28

33

26

19

24

71

64

69

 

                                                        Рис. 6

 

Как видите, получился совсем другой квадрат, отличный от квадрата с рис. 1. Превращаю этот квадрат в идеальный, переставляя столбцы описанным выше способом (рис. 7).

 

 

13

58

49

18

63

54

11

56

47

12

57

48

14

59

50

16

61

52

17

62

53

10

55

46

15

60

51

76

40

4

81

45

9

74

38

2

75

39

3

77

41

5

79

43

7

80

44

8

73

37

1

78

42

6

31

22

67

36

27

72

29

20

65

30

21

66

32

23

68

34

25

70

35

26

71

28

19

64

33

24

69

 

                                                                      Рис. 7

 

Идеальный квадрат тоже, понятно, получился другой.

 

Ещё покажу составной идеальный квадрат 25-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата пятого порядка (в качестве основного взят другой идеальный квадрат пятого порядка). Интересно, что в этом квадрате тоже можно переставить столбцы описанным методом и получить другой идеальный квадрат. Можно переставить так же и строки.

Итак, на рис. 8 воспроизвожу составной идеальный квадрат 25-ого порядка (он был построен в одной из моих статей). Я разделила его на 5 секций по 5 столбцов в каждой, чтобы было хорошо видно, как будут переставляться столбцы.

 

 

1

23

20

14

7

551

573

570

564

557

226

248

245

239

232

326

348

345

339

332

401

423

420

414

407

15

9

2

21

18

565

559

552

571

568

240

234

227

246

243

340

334

327

346

343

415

409

402

421

418

22

16

13

10

4

572

566

563

560

554

247

241

238

235

229

347

341

338

335

329

422

416

413

410

404

8

5

24

17

11

558

555

574

567

561

233

230

249

242

236

333

330

349

342

336

408

405

424

417

411

19

12

6

3

25

569

562

556

553

575

244

237

231

228

250

344

337

331

328

350

419

412

406

403

425

351

373

370

364

357

451

473

470

464

457

26

48

45

39

32

501

523

520

514

507

176

198

195

189

182

365

359

352

371

368

465

459

452

471

468

40

34

27

46

43

515

509

502

521

518

190

184

177

196

193

372

366

363

360

354

472

466

463

460

454

47

41

38

35

29

522

516

513

510

504

197

191

188

185

179

358

355

374

367

361

458

455

474

467

461

33

30

49

42

36

508

505

524

517

511

183

180

199

192

186

369

362

356

353

375

469

462

456

453

475

44

37

31

28

50

519

512

506

503

525

194

187

181

178

200

526

548

545

539

532

126

148

145

139

132

301

323

320

314

307

476

498

495

489

482

76

98

95

89

82

540

534

527

546

543

140

134

127

146

143

315

309

302

321

318

490

484

477

496

493

90

84

77

96

93

547

541

538

535

529

147

141

138

135

129

322

316

313

310

304

497

491

488

485

479

97

91

88

85

79

533

530

549

542

536

133

130

149

142

136

308

305

324

317

311

483

480

499

492

486

83

80

99

92

86

544

537

531

528

550

144

137

131

128

150

319

312

306

303

325

494

487

481

478

500

94

87

81

78

100

426

448

445

439

432

101

123

120

114

107

576

598

595

589

582

151

173

170

164

157

251

273

270

264

257

440

434

427

446

443

115

109

102

121

118

590

584

577

596

593

165

159

152

171

168

265

259

252

271

268

447

441

438

435

429

122

116

113

110

104

597

591

588

585

579

172

166

163

160

154

272

266

263

260

254

433

430

449

442

436

108

105

124

117

111

583

580

599

592

586

158

155

174

167

161

258

255

274

267

261

444

437

431

428

450

119

112

106

103

125

594

587

581

578

600

169

162

156

153

175

269

262

256

253

275

201

223

220

214

207

276

298

295

289

282

376

398

395

389

382

51

73

70

64

57

601

623

620

614

607

215

209

202

221

218

290

284

277

296

293

390

384

377

396

393

65

59

52

71

68

615

609

602

621

618

222

216

213

210

204

297

291

288

285

279

397

391

388

385

379

72

66

63

60

54

622

616

613

610

604

208

205

224

217

211

283

280

299

292

286

383

380

399

392

386

58

55

74

67

61

608

605

624

617

611

219

212

206

203

225

294

287

281

278

300

394

387

381

378

400

69

62

56

53

75

619

612

606

603

625

 

                                                                       Рис. 8

 

Посмотрите, как компактно расположилась начальная цепочка первых 25 чисел в этом квадрате. Теперь переставляю столбцы и получаю новый идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9. Таким образом, метод применим и к идеальному составному квадрату, как частному случаю ассоциативного составного квадрата.

 

 

1

551

226

326

401

23

573

248

348

423

20

570

245

345

420

14

564

239

339

414

7

557

232

332

407

15

565

240

340

415

9

559

234

334

409

2

552

227

327

402

21

571

246

346

421

18

568

243

343

418

22

572

247

347

422

16

566

241

341

416

13

563

238

338

413

10

560

235

335

410

4

554

229

329

404

8

558

233

333

408

5

555

230

330

405

24

574

249

349

424

17

567

242

342

417

11

561

236

336

411

19

569

244

344

419

12

562

237

337

412

6

556

231

331

406

3

553

228

328

403

25

575

250

350

425

351

451

26

501

176

373

473

48

523

198

370

470

45

520

195

364

464

39

514

189

357

457

32

507

182

365

465

40

515

190

359

459

34

509

184

352

452

27

502

177

371

471

46

521

196

368

468

43

518

193

372

472

47

522

197

366

466

41

516

191

363

463

38

513

188

360

460

35

510

185

354

454

29

504

179

358

458

33

508

183

355

455

30

505

180

374

474

49

524

199

367

467

42

517

192

361

461

36

511

186

369

469

44

519

194

362

462

37

512

187

356

456

31

506

181

353

453

28

503

178

375

475

50

525

200

526

126

301

476

76

548

148

323

498

98

545

145

320

495

95

539

139

314

489

89

532

132

307

482

82

540

140

315

490

90

534

134

309

484

84

527

127

302

477

77

546

146

321

496

96

543

143

318

493

93

547

147

322

497

97

541

141

316

491

91

538

138

313

488

88

535

135

310

485

85

529

129

304

479

79

533

133

308

483

83

530

130

305

480

80

549

149

324

499

99

542

142

317

492

92

536

136

311

486

86

544

144

319

494

94

537

137

312

487

87

531

131

306

481

81

528

128

303

478

78

550

150

325

500

100

426

101

576

151

251

448

123

598

173

273

445

120

595

170

270

439

114

589

164

264

432

107

582

157

257

440

115

590

165

265

434

109

584

159

259

427

102

577

152

252

446

121

596

171

271

443

118

593

168

268

447

122

597

172

272

441

116

591

166

266

438

113

588

163

263

435

110

585

160

260

429

104

579

154

254

433

108

583

158

258

430

105

580

155

255

449

124

599

174

274

442

117

592

167

267

436

111

586

161

261

444

119

594

169

269

437

112

587

162

262

431

106

581

156

256

428

103

578

153

253

450

125

600

175

275

201

276

376

51

601

223

298

398

73

623

220

295

395

70

620

214

289

389

64

614

207

282

382

57

607

215

290

390

65

615

209

284

384

59

609

202

277

377

52

602

221

296

396

71

621

218

293

393

68

618

222

297

397

72

622

216

291

391

66

616

213

288

388

63

613

210

285

385

60

610

204

279

379

54

604

208

283

383

58

608

205

280

380

55

605

224

299

399

74

624

217

292

392

67

617

211

286

386

61

611

219

294

394

69

619

212

287

387

62

612

206

281

381

56

606

203

278

378

53

603

225

300

400

75

625

 

                                                    Рис. 9

 

Ну, и напомню читателям, что идеальный квадрат 25-ого порядка, как вообще любого нечётного порядка не кратного 3, можно построить методом качелей с тривиальной образующей таблицей. Это совсем просто – играючи. Доступно даже ребёнку. Попробуйте, покажите ребёнку этот квадрат, он изображён на рис. 10.

 

 

482

508

534

560

586

612

13

39

65

91

117

143

169

195

221

247

273

299

325

326

352

378

404

430

456

194

220

246

272

298

324

350

351

377

403

429

455

481

507

533

559

585

611

12

38

64

90

116

142

168

506

532

558

584

610

11

37

63

89

115

141

167

193

219

245

271

297

323

349

375

376

402

428

454

480

218

244

270

296

322

348

374

400

401

427

453

479

505

531

557

583

609

10

36

62

88

114

140

166

192

530

556

582

608

9

35

61

87

113

139

165

191

217

243

269

295

321

347

373

399

425

426

452

478

504

242

268

294

320

346

372

398

424

450

451

477

503

529

555

581

607

8

34

60

86

112

138

164

190

216

554

580

606

7

33

59

85

111

137

163

189

215

241

267

293

319

345

371

397

423

449

475

476

502

528

266

292

318

344

370

396

422

448

474

500

501

527

553

579

605

6

32

58

84

110

136

162

188

214

240

578

604

5

31

57

83

109

135

161

187

213

239

265

291

317

343

369

395

421

447

473

499

525

526

552

290

316

342

368

394

420

446

472

498

524

550

551

577

603

4

30

56

82

108

134

160

186

212

238

264

602

3

29

55

81

107

133

159

185

211

237

263

289

315

341

367

393

419

445

471

497

523

549

575

576

314

340

366

392

418

444

470

496

522

548

574

600

601

2

28

54

80

106

132

158

184

210

236

262

288

1

27

53

79

105

131

157

183

209

235

261

287

313

339

365

391

417

443

469

495

521

547

573

599

625

338

364

390

416

442

468

494

520

546

572

598

624

25

26

52

78

104

130

156

182

208

234

260

286

312

50

51

77

103

129

155

181

207

233

259

285

311

337

363

389

415

441

467

493

519

545

571

597

623

24

362

388

414

440

466

492

518

544

570

596

622

23

49

75

76

102

128

154

180

206

232

258

284

310

336

74

100

101

127

153

179

205

231

257

283

309

335

361

387

413

439

465

491

517

543

569

595

621

22

48

386

412

438

464

490

516

542

568

594

620

21

47

73

99

125

126

152

178

204

230

256

282

308

334

360

98

124

150

151

177

203

229

255

281

307

333

359

385

411

437

463

489

515

541

567

593

619

20

46

72

410

436

462

488

514

540

566

592

618

19

45

71

97

123

149

175

176

202

228

254

280

306

332

358

384

122

148

174

200

201

227

253

279

305

331

357

383

409

435

461

487

513

539

565

591

617

18

44

70

96

434

460

486

512

538

564

590

616

17

43

69

95

121

147

173

199

225

226

252

278

304

330

356

382

408

146

172

198

224

250

251

277

303

329

355

381

407

433

459

485

511

537

563

589

615

16

42

68

94

120

458

484

510

536

562

588

614

15

41

67

93

119

145

171

197

223

249

275

276

302

328

354

380

406

432

170

196

222

248

274

300

301

327

353

379

405

431

457

483

509

535

561

587

613

14

40

66

92

118

144

 

                                                                      Рис. 10

 

Раскрашивайте дальше циклы качания качелей вместе с ребёнком. А потом предложите ребёнку построить точно таким же методом квадрат 29-ого порядка. Для этого, конечно, поставьте в центральную ячейку число 421 и напишите числа начальной цепочки (первые 29 чисел).

 

Понятно, что таким методом можно построить и квадрат 125-ого порядка, и квадрат 49-ого порядка и вообще любого порядка n=kp, k=2m+1, m=2, 3, 4…, p=2, 3, 4…  и k не равно 3t, другими словами: основание степени k нечётное число не кратное 3.

 

                                               ***

 

                                           29 апреля 2008 г.

 

Покажу читателям ещё один идеальный квадрат, построенный представленным на этой странице методом – квадрат 64-ого порядка. Напомню, что уже был показан один составной идеальный квадрат 64-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата восьмого порядка. Теперь я сначала построю составной ассоциативный квадрат на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка (его же возьму в качестве основного), а затем с помощью перестановки столбцов по описанной выше схеме получу их него идеальный квадрат. Составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка можно построить несколькими способами:

а) на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат 16-ого порядка;

б) на базе ассоциативного квадрата 16-ого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат четвёртого порядка;

в) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, он же и основной;

г) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, в качестве основного берётся другой ассоциативный квадрат восьмого порядка.

Я выбрала третий способ. На рис. 11 вы видите ассоциативный квадрат восьмого порядка, который выбран мной для построения составного ассоциативного квадрата 64-ого порядка. Этот квадрат я построила, когда искала метод построения идеального квадрата 12-ого порядка, он почти идеальный, но почти – это всё же не совсем. В нём нет магических сумм всего в 4 разломанных диагоналях. А вот квадрат 64-ого порядка, который я построила на базе этого почти идеального квадрата, вполне идеальный.

 

1

58

22

45

44

19

63

8

56

47

3

28

29

6

42

49

24

15

35

60

61

38

10

17

33

26

54

13

12

51

31

40

25

34

14

53

52

11

39

32

48

55

27

4

5

30

50

41

16

23

59

36

37

62

18

9

57

2

46

21

20

43

7

64

 

                                                                      Рис. 11

 

На рис. 12 изображена матрица, с помощью которой строится составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка.

 

 

 

+3648

+1344

+2816

+2752

+1152

+3968

+448

+3520

+2944

+128

+1728

+1792

+320

+2624

+3072

+1472

+896

+2176

+3776

+3840

+2368

+576

+1024

+2048

+1600

+3392

+768

+704

+3200

+1920

+2496

+1536

+2112

+832

+3328

+3264

+640

+2432

+1984

+3008

+3456

+1664

+192

+256

+1856

+3136

+2560

+960

+1408

+3712

+2240

+2304

+3904

+1088

+512

+3584

+64

+2880

+1280

+1216

+2688

+384

+4032

 

                                                                      Рис. 12

 

Можно построить этот квадрат вручную, с помощью калькулятора, и столбцы затем тоже вручную переставить. Но по программе всё-таки удобнее: быстрее и надёжнее, в смысле отсутствия ошибок. Пишу программу, которая строит составной квадрат, а заодно и переставляет в построенном квадрате столбцы. Столбцы надо переставлять точно так же по секциям, будет 8 секций по 8 столбцов в каждой. В первой секции помещаются все первые столбцы из каждой секции исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы из каждой секции и так далее. Это равносильно перестановке столбцов с шагом 7, то есть через 7 столбцов.

Далее привожу идеальный квадрат 64-ого порядка в том виде, как он записан в файл программой. Он представлен в двух частях, в каждой части 32 столбца. Квадрат строится по программе мгновенно.

 

Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 1:

 

1  3649  1345  2817  2753  1153  3969  449  58  3706  1402  2874  2810  1210  4026  506  22  3670  1366  2838  2774  1174  3990  470  45  3693  1389  2861  2797  1197  4013  493

 56  3704  1400  2872  2808  1208  4024  504  47  3695  1391  2863  2799  1199  4015  495  3  3651  1347  2819  2755  1155  3971  451  28  3676  1372  2844  2780  1180  3996  476

 24  3672  1368  2840  2776  1176  3992  472  15  3663  1359  2831  2767  1167  3983  463  35  3683  1379  2851  2787  1187  4003  483  60  3708  1404  2876  2812  1212  4028  508

 33  3681  1377  2849  2785  1185  4001  481  26  3674  1370  2842  2778  1178  3994  474  54  3702  1398  2870  2806  1206  4022  502  13  3661  1357  2829  2765  1165  3981  461

 25  3673  1369  2841  2777  1177  3993  473  34  3682  1378  2850  2786  1186  4002  482  14  3662  1358  2830  2766  1166  3982  462  53  3701  1397  2869  2805  1205  4021  501

 48  3696  1392  2864  2800  1200  4016  496  55  3703  1399  2871  2807  1207  4023  503  27  3675  1371  2843  2779  1179  3995  475  4  3652  1348  2820  2756  1156  3972  452

 16  3664  1360  2832  2768  1168  3984  464  23  3671  1367  2839  2775  1175  3991  471  59  3707  1403  2875  2811  1211  4027  507  36  3684  1380  2852  2788  1188  4004  484

 57  3705  1401  2873  2809  1209  4025  505  2  3650  1346  2818  2754  1154  3970  450  46  3694  1390  2862  2798  1198  4014  494  21  3669  1365  2837  2773  1173  3989  469

 3521  2945  129  1729  1793  321  2625  3073  3578  3002  186  1786  1850  378  2682  3130  3542  2966  150  1750  1814  342  2646  3094  3565  2989  173  1773  1837  365  2669  3117

 3576  3000  184  1784  1848  376  2680  3128  3567  2991  175  1775  1839  367  2671  3119  3523  2947  131  1731  1795  323  2627  3075  3548  2972  156  1756  1820  348  2652  3100

 3544  2968  152  1752  1816  344  2648  3096  3535  2959  143  1743  1807  335  2639  3087  3555  2979  163  1763  1827  355  2659  3107  3580  3004  188  1788  1852  380  2684  3132

 3553  2977  161  1761  1825  353  2657  3105  3546  2970  154  1754  1818  346  2650  3098  3574  2998  182  1782  1846  374  2678  3126  3533  2957  141  1741  1805  333  2637  3085

 3545  2969  153  1753  1817  345  2649  3097  3554  2978  162  1762  1826  354  2658  3106  3534  2958  142  1742  1806  334  2638  3086  3573  2997  181  1781  1845  373  2677  3125

 3568  2992  176  1776  1840  368  2672  3120  3575  2999  183  1783  1847  375  2679  3127  3547  2971  155  1755  1819  347  2651  3099  3524  2948  132  1732  1796  324  2628  3076

 3536  2960  144  1744  1808  336  2640  3088  3543  2967  151  1751  1815  343  2647  3095  3579  3003  187  1787  1851  379  2683  3131  3556  2980  164  1764  1828  356  2660  3108

 3577  3001  185  1785  1849  377  2681  3129  3522  2946  130  1730  1794  322  2626  3074  3566  2990  174  1774  1838  366  2670  3118  3541  2965  149  1749  1813  341  2645  3093

 1473  897  2177  3777  3841  2369  577  1025  1530  954  2234  3834  3898  2426  634  1082  1494  918  2198  3798  3862  2390  598  1046  1517  941  2221  3821  3885  2413  621  1069

 1528  952  2232  3832  3896  2424  632  1080  1519  943  2223  3823  3887  2415  623  1071  1475  899  2179  3779  3843  2371  579  1027  1500  924  2204  3804  3868  2396  604  1052

 1496  920  2200  3800  3864  2392  600  1048  1487  911  2191  3791  3855  2383  591  1039  1507  931  2211  3811  3875  2403  611  1059  1532  956  2236  3836  3900  2428  636  1084

 1505  929  2209  3809  3873  2401  609  1057  1498  922  2202  3802  3866  2394  602  1050  1526  950  2230  3830  3894  2422  630  1078  1485  909  2189  3789  3853  2381  589  1037

 1497  921  2201  3801  3865  2393  601  1049  1506  930  2210  3810  3874  2402  610  1058  1486  910  2190  3790  3854  2382  590  1038  1525  949  2229  3829  3893  2421  629  1077

 1520  944  2224  3824  3888  2416  624  1072  1527  951  2231  3831  3895  2423  631  1079  1499  923  2203  3803  3867  2395  603  1051  1476  900  2180  3780  3844  2372  580  1028

 1488  912  2192  3792  3856  2384  592  1040  1495  919  2199  3799  3863  2391  599  1047  1531  955  2235  3835  3899  2427  635  1083  1508  932  2212  3812  3876  2404  612  1060

 1529  953  2233  3833  3897  2425  633  1081  1474  898  2178  3778  3842  2370  578  1026  1518  942  2222  3822  3886  2414  622  1070  1493  917  2197  3797  3861  2389  597  1045

 2049  1601  3393  769  705  3201  1921  2497  2106  1658  3450  826  762  3258  1978  2554  2070  1622  3414  790  726  3222  1942  2518  2093  1645  3437  813  749  3245  1965  2541

 2104  1656  3448  824  760  3256  1976  2552  2095  1647  3439  815  751  3247  1967  2543  2051  1603  3395  771  707  3203  1923  2499  2076  1628  3420  796  732  3228  1948  2524

 2072  1624  3416  792  728  3224  1944  2520  2063  1615  3407  783  719  3215  1935  2511  2083  1635  3427  803  739  3235  1955  2531  2108  1660  3452  828  764  3260  1980  2556

 2081  1633  3425  801  737  3233  1953  2529  2074  1626  3418  794  730  3226  1946  2522  2102  1654  3446  822  758  3254  1974  2550  2061  1613  3405  781  717  3213  1933  2509

 2073  1625  3417  793  729  3225  1945  2521  2082  1634  3426  802  738  3234  1954  2530  2062  1614  3406  782  718  3214  1934  2510  2101  1653  3445  821  757  3253  1973  2549

 2096  1648  3440  816  752  3248  1968  2544  2103  1655  3447  823  759  3255  1975  2551  2075  1627  3419  795  731  3227  1947  2523  2052  1604  3396  772  708  3204  1924  2500

 2064  1616  3408  784  720  3216  1936  2512  2071  1623  3415  791  727  3223  1943  2519  2107  1659  3451  827  763  3259  1979  2555  2084  1636  3428  804  740  3236  1956  2532

 2105  1657