НОВАЯ ГРУППА ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

 

Рассматривая в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latid12.htm метод построения идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, я обнаружила новую группу идеальных квадратов 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Новый идеальный квадрат построен так: в формуле

 

[1]                                           cij = 12*aij + bij + 1

 

переставлены первый и второй латинские квадраты, то есть использована такая формула:

 

[2]                                           cij = 12*bij + aij + 1.

 

Продублирую здесь новый идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой (рис. 1):

 

1

84

31

124

87

101

11

74

32

130

93

102

117

66

133

48

55

16

111

65

143

38

56

22

128

94

105

6

73

36

127

88

99

5

83

26

47

50

20

118

69

138

37

60

19

112

63

137

3

77

35

122

92

106

9

78

25

132

91

100

115

64

135

41

59

14

116

70

141

42

49

24

121

96

103

4

75

29

131

86

104

10

81

30

45

54

13

120

67

136

39

53

23

110

68

142

8

82

33

126

85

108

7

76

27

125

95

98

119

62

140

46

57

18

109

72

139

40

51

17

123

89

107

2

80

34

129

90

97

12

79

28

43

52

15

113

71

134

44

58

21

114

61

144

 

Рис. 1

 

Теперь посмотрим на идеальные квадраты других чётно-чётных порядков, построенные таким способом. Начнём с квадратов 8-ого порядка. Сначала покажу исходный идеальный квадрат 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” (рис. 2), и соответствующие ему два обобщённых ортогональных латинских квадрата (рис. 3 - 4).

 

1

63

54

36

41

23

30

12

27

10

8

61

51

34

48

21

47

22

28

9

7

62

52

33

50

40

45

19

26

16

5

59

6

60

49

39

46

20

25

15

32

13

3

58

56

37

43

18

44

17

31

14

4

57

55

38

53

35

42

24

29

11

2

64

 

Рис. 2

 

Первый латинский квадрат

 

0

7

6

4

5

2

3

1

3

1

0

7

6

4

5

2

5

2

3

1

0

7

6

4

6

4

5

2

3

1

0

7

0

7

6

4

5

2

3

1

3

1

0

7

6

4

5

2

5

2

3

1

0

7

6

4

6

4

5

2

3

1

0

7

 

Рис. 3

 

Второй латинский квадрат

 

0

6

5

3

0

6

5

3

2

1

7

4

2

1

7

4

6

5

3

0

6

5

3

0

1

7

4

2

1

7

4

2

5

3

0

6

5

3

0

6

7

4

2

1

7

4

2

1

3

0

6

5

3

0

6

5

4

2

1

7

4

2

1

7

 

Рис. 4

 

Идеальный квадрат на рис. 2 построен с помощью латинских квадратов с рис. 3 и рис. 4 по формуле [1]. Теперь построим идеальный квадрат с помощью этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. На рис. 5 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

1

56

47

29

6

51

44

26

20

10

57

40

23

13

62

35

54

43

28

2

49

48

31

5

15

61

38

19

12

58

33

24

41

32

7

53

46

27

4

50

60

34

17

16

63

37

22

11

30

3

52

42

25

8

55

45

39

21

14

59

36

18

9

64

 

Рис. 5

 

Преобразую немного этот идеальный квадрат (рис. 6):

 

1

20

54

15

41

60

30

39

56

10

43

61

32

34

3

21

47

57

28

38

7

17

52

14

29

40

2

19

53

16

42

59

6

23

49

12

46

63

25

36

51

13

48

58

27

37

8

18

44

62

31

33

4

22

55

9

26

35

5

24

50

11

45

64

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом идеальном квадрате форма начальной цепочки не изменилась, она по-прежнему строится ходом  шахматного коня. Однако с точки зрения метода качелей шаги качания качелей поменялись на симметричные; в квадрате с рис. 2 качели качались так: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо (1+5), а в квадрате с рис. 6 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 1 ячейку вправо (5+1). Несмотря на то, что форма начальной цепочки не изменилась, мы получили оригинальный квадрат.

Понятно, что каждому идеальному квадрату, подобному квадрату с рис. 2, соответствует идеальный квадрат, подобный квадрату с рис. 6. Следовательно, мы имеем новую группу идеальных квадратов 8-ого порядка, в которой будет ровно столько же идеальных квадратов, сколько в первой группе квадратов с начальной цепочкой “ход конём”, то есть 98304.

 

Теперь посмотрим на квадраты 16-ого порядка. На рис. 7 показываю исходный идеальный квадрат 16-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

1

251

174

237

220

152

199

130

177

75

126

61

108

40

23

82

19

86

16

255

170

233

213

148

195

134

192

79

122

57

101

36

104

39

18

81

11

254

173

236

216

151

194

129

187

78

125

60

121

53

100

35

22

96

15

250

169

229

212

147

198

144

191

74

190

77

124

56

103

34

17

91

14

253

172

232

215

146

193

139

208

143

186

73

117

52

99

38

32

95

10

249

165

228

211

150

210

145

203

142

189

76

120

55

98

33

27

94

13

252

168

231

164

227

214

160

207

138

185

69

116

51

102

48

31

90

9

245

12

248

167

226

209

155

206

141

188

72

119

50

97

43

30

93

26

89

5

244

163

230

224

159

202

137

181

68

115

54

112

47

107

46

29

92

8

247

162

225

219

158

205

140

184

71

114

49

118

64

111

42

25

85

4

243

166

240

223

154

201

133

180

67

183

66

113

59

110

45

28

88

7

242

161

235

222

157

204

136

197

132

179

70

128

63

106

41

21

84

3

246

176

239

218

153

221

156

200

135

178

65

123

62

109

44

24

87

2

241

171

238

175

234

217

149

196

131

182

80

127

58

105

37

20

83

6

256

 

Рис. 7

 

На рис. 8 показан первый латинский квадрат, на рис. 9 – второй латинский квадрат. Из этих двух обобщённых ортогональных латинских квадратов построен идеальный квадрат с рис. 7 по формуле [1].

 

Первый латинский квадрат

 

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

11

4

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

12

8

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

13

9

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

10

14

10

14

13

9

12

8

11

4

7

3

6

2

1

5

0

15

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат

 

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

12

11

7

6

1

0

10

13

12

11

7

6

1

0

10

13

14

9

8

4

3

2

5

15

14

9

8

4

3

2

5

15

 

Рис. 9

 

А теперь построим идеальный квадрат из этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. Полученный квадрат изображён на рис. 10.

 

1

176

219

207

190

122

109

25

12

165

216

196

183

115

98

22

34

86

241

240

155

143

78

58

45

89

252

229

152

132

71

51

119

99

18

6

161

224

203

191

126

106

29

9

172

213

200

180

136

68

55

35

82

246

225

160

139

79

62

42

93

249

236

149

220

197

184

116

103

19

2

166

209

208

187

127

110

26

13

169

253

233

156

133

72

52

39

83

242

230

145

144

75

63

46

90

30

10

173

217

204

181

120

100

23

3

162

214

193

192

123

111

59

47

94

250

237

153

140

69

56

36

87

243

226

150

129

80

177

128

107

31

14

170

221

201

188

117

104

20

7

163

210

198

146

134

65

64

43

95

254

234

157

137

76

53

40

84

247

227

167

211

194

182

113

112

27

15

174

218

205

185

124

101

24

4

88

244

231

147

130

70

49

48

91

255

238

154

141

73

60

37

108

21

8

164

215

195

178

118

97

32

11

175

222

202

189

121

77

57

44

85

248

228

151

131

66

54

33

96

251

239

158

138

206

186

125

105

28

5

168

212

199

179

114

102

17

16

171

223

235

159

142

74

61

41

92

245

232

148

135

67

50

38

81

256

 

Рис. 10

 

Преобразую этот квадрат (рис. 11):

 

1

34

119

136

220

253

30

59

177

146

167

88

108

77

206

235

176

86

99

68

197

233

10

47

128

134

211

244

21

57

186

159

219

241

18

55

184

156

173

94

107

65

194

231

8

44

125

142

207

240

6

35

116

133

217

250

31

64

182

147

164

85

105

74

190

155

161

82

103

72

204

237

14

43

113

130

215

248

28

61

122

143

224

246

19

52

181

153

170

95

112

70

195

228

5

41

109

78

203

225

2

39

120

140

221

254

27

49

178

151

168

92

25

58

191

160

166

83

100

69

201

234

15

48

118

131

212

245

12

45

126

139

209

242

23

56

188

157

174

91

97

66

199

232

165

89

106

79

208

230

3

36

117

137

218

255

32

54

179

148

216

252

29

62

187

145

162

87

104

76

205

238

11

33

114

135

196

229

9

42

127

144

214

243

20

53

185

154

175

96

102

67

183

152

172

93

110

75

193

226

7

40

124

141

222

251

17

50

115

132

213

249

26

63

192

150

163

84

101

73

202

239

16

38

98

71

200

236

13

46

123

129

210

247

24

60

189

158

171

81

22

51

180

149

169

90

111

80

198

227

4

37

121

138

223

256

 

Рис. 11

 

Вот такой получился оригинальный квадрат! Как видите, начальная цепочка в этом квадрате не строится ходом шахматного коня. Не имеет она и линейную форму, как в идеальном квадрате 12-ого порядка (рис. 1). С точки зрения метода качелей мы имеем другие шаги качания качелей, нежели в идеальном квадрате с рис. 7. В квадрате с рис. 7 качели качаются так: через 1 ячейку влево, через 13 ячеек вправо (1+13), в квадрате с рис. 11 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 9 ячеек вправо (5+9).

 

Примечание: поясню для тех читателей, кто не знакомился с методом качелей, как определяются шаги качания качелей. Смотрим на квадрат с рис. 11. Начинаем с нижней строки квадрата. В этой строке стоит число 4 из начальной цепочки (начальная цепочка – это первые n чисел, n – порядок квадрата). Двигаемся вверх, к следующей строке, в этой строке стоит число 13 из начальной цепочки, от числа 4 до числа 13 надо пройти 5 ячеек влево. Далее, в следующей строке стоит число 16 из начальной цепочки. От числа 13 до числа 16 надо пройти вправо 9 ячеек. Дальше всё повторяется: 5 ячеек влево, 9 ячеек вправо, поэтому метод и получил название качелей.

 

Думаю, интересно показать образующую таблицу этого идеального квадрата, если бы он строился методом качелей. Смотрите эту таблицу на рис. 12.

 

 

1

34

119

136

220

253

30

59

177

146

167

88

108

77

206

235

-3

4

37

121

138

223

256

22

51

180

149

169

90

111

80

198

227

-9

13

46

123

129

210

247

24

60

189

158

171

81

98

71

200

236

-3

16

38

115

132

213

249

26

63

192

150

163

84

101

73

202

239

9

7

40

124

141

222

251

17

50

183

152

172

93

110

75

193

226

-2

9

42

127

144

214

243

20

53

185

154

175

96

102

67

196

229

-2

11

33

114

135

216

252

29

62

187

145

162

87

104

76

205

238

8

3

36

117

137

218

255

32

54

179

148

165

89

106

79

208

230

-9

12

45

126

139

209

242

23

56

188

157

174

91

97

66

199

232

-3

15

48

118

131

212

245

25

58

191

160

166

83

100

69

201

234

13

2

39

120

140

221

254

27

49

178

151

168

92

109

78

203

225

-3

5

41

122

143

224

246

19

52

181

153

170

95

112

70

195

228

-9

14

43

113

130

215

248

28

61

190

155

161

82

103

72

204

237

8

6

35

116

133

217

250

31

64

182

147

164

85

105

74

207

240

-2

8

44

125

142

219

241

18

55

184

156

173

94

107

65

194

231

-2

10

47

128

134

211

244

21

57

186

159

176

86

99

68

197

233

 

k=0

k=2

k=7

k=8

k=13

k=15

k=1

k=3

k=11

k=9

k=10

k=5

k=6

k=4

k=12

k=14

 

Рис. 12

 

Напомню, что при построении идеального квадрата с рис. 10 первым латинским квадратом служил латинский квадрат с рис. 9. Преобразуем этот латинский квадрат точно так, как мы преобразовали идеальный квадрат с рис. 10 (поворот на 90 градусов и отражение). Полученный латинский квадрат (смотрите его на рис. 13) будет первым латинским квадратом при построении идеального квадрата с рис. 11.

 

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

1

3

11

9

10

5

1

3

11

9

10

5

6

4

12

14

0

2

7

8

13

15

 

Рис. 13

 

Сравните этот латинский квадрат с образующей таблицей (рис. 12) и с идеальным квадратом (рис. 11). В первой строке латинского квадрата стоят номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей (смотрите нижнюю строку в образующей таблице). И далее латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей. Смотрите соответствующую раскраску циклов качания качелей в идеальном квадрате и в латинском квадрате. Таким образом, связь точно такая же, как для идеальных квадратов группы с начальной цепочкой “ход конём”.

 

Перехожу к идеальному квадрату 20-ого порядка. На рис. 14 вы видите идеальный квадрат 20-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

1

393

258

371

357

315

214

229

325

122

281

113

278

71

177

195

94

49

25

142

23

148

20

399

256

372

347

306

204

230

323

128

300

119

276

72

167

186

84

50

89

45

22

141

13

398

251

377

355

314

209

225

322

121

293

118

271

77

175

194

166

184

90

43

28

160

19

396

252

367

346

304

210

223

328

140

299

116

272

67

277

75

174

189

85

42

21

153

18

391

257

375

354

309

205

222

321

133

298

111

296

112

267

66

164

190

83

48

40

159

16

392

247

366

344

310

203

228

340

139

333

138

291

117

275

74

169

185

82

41

33

158

11

397

255

374

349

305

202

221

208

240

339

136

292

107

266

64

170

183

88

60

39

156

12

387

246

364

350

303

345

302

201

233

338

131

297

115

274

69

165

182

81

53

38

151

17

395

254

369

244

370

343

308

220

239

336

132

287

106

264

70

163

188

100

59

36

152

7

386

15

394

249

365

342

301

213

238

331

137

295

114

269

65

162

181

93

58

31

157

32

147

6

384

250

363

348

320

219

236

332

127

286

104

270

63

168

200

99

56

98

51

37

155

14

389

245

362

341

313

218

231

337

135

294

109

265

62

161

193

180

199

96

52

27

146

4

390

243

368

360

319

216

232

327

126

284

110

263

68

262

61

173

198

91

57

35

154

9

385

242

361

353

318

211

237

335

134

289

105

290

103

268

80

179

196

92

47

26

144

10

383

248

380

359

316

212

227

326

124

334

129

285

102

261

73

178

191

97

55

34

149

5

382

241

373

358

311

217

235

207

226

324

130

283

108

280

79

176

192

87

46

24

150

3

388

260

379

356

312

351

317

215

234

329

125

282

101

273

78

171

197

95

54

29

145

2

381

253

378

259

376

352

307

206

224

330

123

288

120

279

76

172

187

86

44

30

143

8

400

 

Рис. 14

 

Не буду показывать обобщённые ортогональные латинские квадраты, из которых этот идеальный квадрат построен. Читатели легко могут получить их разложением самого идеального квадрата на латинские квадраты.

А теперь построим идеальный квадрат из тех же латинских квадратов, из которых построен идеальный квадрат с рис. 14, но поменяем латинские квадраты местами, то есть используем такую формулу:

 

cij = 20*bij + aij + 1

 

где aij – элементы первого латинского квадрата,  bij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, cij – соответствующие элементы идеального квадрата.

 

Полученный идеальный квадрат 20-ого порядка вы видите на рис. 15.

 

1

42

165

109

334

315

257

151

98

73

281

222

345

389

34

195

277

131

218

373

260

148

83

70

284

226

347

392

36

199

280

128

203

370

4

46

167

112

336

319

353

381

22

185

269

134

215

377

11

58

173

101

322

305

249

154

95

77

291

238

219

380

8

43

170

104

326

307

252

156

99

80

288

223

350

384

26

187

272

136

338

313

241

142

85

69

294

235

357

391

38

193

261

122

205

369

14

55

177

111

296

239

360

388

23

190

264

126

207

372

16

59

180

108

323

310

244

146

87

72

271

138

213

361

2

45

169

114

335

317

251

158

93

61

282

225

349

394

35

197

172

116

339

320

248

143

90

64

286

227

352

396

39

200

268

123

210

364

6

47

97

71

298

233

341

382

25

189

274

135

217

371

18

53

161

102

325

309

254

155

27

192

276

139

220

368

3

50

164

106

327

312

256

159

100

68

283

230

344

386

15

57

171

118

333

301

242

145

89

74

295

237

351

398

33

181

262

125

209

374

246

147

92

76

299

240

348

383

30

184

266

127

212

376

19

60

168

103

330

304

354

395

37

191

278

133

201

362

5

49

174

115

337

311

258

153

81

62

285

229

204

366

7

52

176

119

340

308

243

150

84

66

287

232

356

399

40

188

263

130

329

314

255

157

91

78

293

221

342

385

29

194

275

137

211

378

13

41

162

105

290

224

346

387

32

196

279

140

208

363

10

44

166

107

332

316

259

160

88

63

265

129

214

375

17

51

178

113

321

302

245

149

94

75

297

231

358

393

21

182

163

110

324

306

247

152

96

79

300

228

343

390

24

186

267

132

216

379

20

48

82

65

289

234

355

397

31

198

273

121

202

365

9

54

175

117

331

318

253

141

28

183

270

124

206

367

12

56

179

120

328

303

250

144

86

67

292

236

359

400

 

Рис. 15

 

Примечание: квадрат я сразу преобразовала (поворот на 90 градусов и отражение).

 

Всё получилось аналогично квадратам 16-ого порядка. Произошло изменение шагов качания качелей; в этом идеальном квадрате шаги качания качелей такие: через 5 ячеек вправо, через 13 ячеек влево (сравните с шагами качания качелей в идеальном квадрате с рис. 14). Вы можете составить образующую таблицу этого квадрата для построения его методом качелей. Далее по номерам циклов качания качелей составьте первый латинский квадрат, используемый для построения этого идеального квадрата, и сравните его с идеальным квадратом.

 

Я ожидала получить в этой группе идеальных квадратов 20-ого порядка линейную начальную цепочку. Однако моё предположение не оправдалось. Может быть, в идеальном квадрате 24-ого порядка, построенном таким способом, будет линейная начальная цепочка? Надо проверить.

 

***

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid2.htm был построен следующий идеальный квадрат 24-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” [из обратимого квадрата] (рис. 16):

 

2

573

521

469

424

380

336

291

343

395

442

486

530

45

89

133

184

236

288

243

199

155

106

54

104

52

23

571

519

470

426

382

313

293

345

396

440

484

551

43

87

134

186

238

265

245

201

156

203

154

102

50

21

569

517

472

428

384

315

295

347

394

438

482

549

41

85

136

188

240

267

247

269

249

204

152

100

71

19

567

518

474

430

361

317

297

348

392

436

503

547

39

86

138

190

217

192

219

271

251

202

150

98

69

17

565

520

476

432

363

319

299

346

390

434

501

545

37

88

140

90

142

169

221

273

252

200

148

119

67

15

566

522

478

409

365

321

300

344

388

455

499

543

38

541

40

92

144

171

223

275

250

198