Эта страница для тех, кто уже

                                                        ознакомился со всеми предыдущими

                                                        материалами о магических квадратах:

 

1.     Магические квадраты;

2.     Методы построения магических квадратов;

3.     Построение чётно-нечётных магических квадратов методом четырёх квадратов;

4.     Пандиагональные квадраты.

 

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

 

Магический квадрат может быть заполнен любыми натуральными числами, в таком случае он называется нетрадиционным, в отличие от традиционного (нормального), заполненного числами от 1 до n2.

 

Конечно, не рассматриваются тривиальные квадраты, заполненные одинаковыми числами. Так, например, если заполнить квадрат любого порядка одними единицами, понятно, что он будет и магическим, и даже пандиагональным.

 

К примеру, магический квадрат можно заполнить только нечётными числами или только чётными. Такой магический квадрат можно построить методом террас (см. “Методы построения магических квадратов”). На рис. 1 вы видите магический квадрат пятого порядка, заполненный нечётными числами от 1 до 49, он построен методом террас.

 

21

47

13

39

5

7

23

49

15

31

33

9

25

41

17

19

35

1

27

43

45

11

37

3

29

 

Рис. 1

 

Методом террас можно построить магический квадрат, заполненный числами, представляющими собой последовательные члены арифметической прогрессии (из натуральных чисел) с разностью, равной натуральному числу.

 

Нетрадиционный магический квадрат можно получить простым прибавлением к числам в каждой ячейке нормального (традиционного) магического квадрата любого натурального числа. Таким приёмом я пользовалась в своём методе четырёх квадратов (см. “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Если к числам каждой ячейки квадрата, изображённого на рис. 1, прибавить 1, то получится магический квадрат, заполненный чётными числами от 2 до 50 (см. рис. 2).

 

22

48

14

40

6

8

24

50

16

32

34

10

26

42

18

20

36

2

28

44

46

12

38

4

30

 

Рис. 2

 

В книге “Математические досуги”(М.: Мир, 1972) я нашла два нетрадиционных магических квадрата, заполненных простыми числами. Первый из них – квадрат Дьюдени – заполнен не последовательными простыми числами (рис. 3). Его магическая константа равна 111, это наименьшая из постоянных для магических квадратов, составленных из простых чисел (доказано Дьюдени).

 

67

1

43

13

37

61

31

73

7

 

Рис. 3

 

Второй квадрат составил Дж. Н. Манси в 1913 г. Этот квадрат заполнен 144-мя первыми нечётными простыми числами (исключается единственное чётное простое число 2). Его магическая константа равна 4514. Вы видите этот квадрат на рис. 4.  Автор квадрата доказал, что наименьший магический квадрат из последовательных нечётных простых чисел должен иметь порядок 12.

 

1

823

821

809

811

797

19

29

313

31

23

37

89

83

211

79

641

631

619

709

617

53

43

739

97

227

103

107

193

557

719

727

607

139

757

281

223

653

499

197

109

113

563

479

173

761

587

157

367

379

521

383

241

467

257

263

269

167

601

599

349

359

353

647

389

331

317

311

409

307

293

449

503

523

233

337

547

397

421

17

401

271

431

433

229

491

373

487

461

251

443

463

137

439

457

283

509

199

73

541

347

191

181

569

577

571

163

593

661

101

643

239

691

701

127

131

179

613

277

151

659

673

677

683

71

67

61

47

59

743

733

41

827

3

7

5

13

11

787

769

773

419

149

751

 

Рис. 4

 

В Википедии в статье “Магический квадрат” приведён ещё один нетрадиционный квадрат, заполненный простыми числами, показываю его на рис. 5.

 

17

89

71

113

59

5

47

29

101

 

Рис. 5

 

По ссылке  

            http://www.algana.co.uk/Puzzles/numbers/magicsquares/magicsquares.htm

я нашла занимательные нетрадиционные квадраты пятого, четвёртого и третьего порядка, которые заполнены числами от 1 до 50 (все вместе). Эти квадраты показаны на рис. 6.

 

4

26

50

15

37

 

 

 

 

48

13

40

2

29

6

33

21

42

38

5

27

46

16

44

19

31

8

11

34

24

25

49

14

41

3

43

20

32

7

36

23

10

17

39

1

28

47

9

30

18

45

22

12

35

 

Рис. 6

 

Может ли нетрадиционный магический квадрат быть пандиагональным? Очевидно, что да. Если мы ко всем числам пандиагонального квадрата прибавим одно и то же число, то полученный магический нетрадиционный квадрат тоже будет пандиагональным. На рис. 7 приведён нетрадиционный пандиагональный магический квадрат пятого порядка. Его магическая константа равна 115. Такая же сумма получается по всем разломанным диагоналям. Исходный пандиагональный квадрат пятого порядка взят по указанной выше ссылке, там написано, что это квадрат №1233 из 3600 пандиагональных квадратов пятого порядка.  Ко всем числам исходного квадрата я прибавила 10. Понятно, что магическая константа полученного квадрата увеличилась на 50 и стала равна 115.

 

13

17

24

26

35

21

30

33

12

19

32

14

16

25

28

20

23

27

34

11

29

31

15

18

22

 

Рис. 7

 

Однако пандиагональные нетрадиционные квадраты могут быть построены и другими способами. Несколько таких квадратов я нашла очень давно в журналах “Наука и жизнь”. Как известно нормальных (традиционных) пандиагональных квадратов шестого порядка не существует. А нетрадиционные пандиагональные есть! Приведённый на рис. 8 квадрат построил читатель журнала “Наука и жизнь” Я. Д. Журба (см. № 9, 1979 г., стр. 110). В журнале подробно описывается метод построения этого квадрата. Квадрат замечателен ещё и тем, что он является и ассоциативным, то есть сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу – 50. Магическая константа квадрата равна 150. Понятно, что сумма чисел по всем десяти разломанным диагоналям тоже равна 150. Вот такой удивительный квадрат!

 

1

47

6

48

5

43

35

17

30

16

31

21

36

12

41

13

40

8

42

10

37

9

38

14

29

19

34

20

33

15

7

45

2

44

3

49

 

                                                                     Рис. 8

 

В связи с тем, что указанный журнал очень старый и найти его трудно, воспроизведу здесь и формулу построения этого квадрата, которой пользовался читатель. Обозначим матрицу строящегося квадрата Х, а две матрицы, из которых он строится – Y и Z. Тогда числа матрицы Х получаются из чисел матриц Y и Z по следующей формуле:

 

хij = 7yij + zij + 1  (i,j=1,2,3…6)

 

Далее даны матрицы Y и Z:

 

0

6

0

6

0

6

 

0

4

5

5

4

0

4

2

4

2

4

2

6

2

1

1

2

6

5

1

5

1

5

1

0

4

5

5

4

0

5

1

5

1

5

1

6

2

1

1

2

6

4

2

4

2

4

2

0

4

5

5

4

0

0

6

0

6

0

6

6

2

1

1

2

6

                                        Матрица Y      Матрица Z

 

Читатель даёт ссылку на журнал “Наука и жизнь”, №5, 1978 г., стр. 143.

 

Второй квадрат, тоже шестого порядка, построил читатель журнала В. Р. Герасимец (см. журнал “Наука и жизнь”, №5, 1979 г., стр. 134-135). Вот какой способ использован при построении этого квадрата: в матрице 7х7 расположены в естественном порядке числа от 1 до 49 (рис 9а). Числа, попавшие на горизонтальный и вертикальный центральные ряды, вычеркнуты. Из оставшихся 36 чисел построен нетрадиционный пандиагональный квадрат шестого порядка (рис. 9б). Магическая константа этого квадрата тоже равна 150.

 

1

2

3

4

5

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

8

9

10

11

12

13

14

 

 

1

43

19

13

41

33

15

16

17

18

19

20

21

 

 

34

12

48

15

5

36

22

23

24

25

26

27

28

 

 

3

21

44

10

30

42

29

30

31

32

33

34

35

 

 

37

9

17

49

7

31

36

37

38

39

40

41

42

 

 

35

45

14

16

38

2

43

44

45

46

47

48

49

 

 

40

20

8

47

29

6

 

                                             Рис. 9а                                     Рис. 9б

 

Ещё один замечательный нетрадиционный квадрат В. Р. Герасимца приводится в том же журнале. На рис 10а вы видите нормальный магический квадрат шестого порядка. Он примечателен тем, что числа в нём сгруппированы четвёрками – девять групп, каждая из которых состоит из четырёх последовательных чисел, заполняющих квадраты второго порядка. Если просуммировать числа в каждом квадрате 2х2 и вписать их в матрицу 3х3, то снова подучается магический квадрат (рис. 10б)! Только уже нетрадиционный. Девять чисел, из которых он составлен, представляют собой арифметическую прогрессию с разностью 16, а магическая константа его равна удвоенной константе исходного квадрата шестого порядка.

 

5

6

36

33

15

16

 

 

 

 

 

7

8

34

35

14

13

 

 

 

 

 

26

25

20

19

10

11

 

 

 

 

 

28

27

18

17

12

9

 

 

26

138

58

24

23

2

3

29

30

 

 

106

74

42

21

22

1

4

31

32

 

 

90

10

122

 

                                                   Рис. 10а                       Рис. 10б

 

И, наконец, в этом же номере журнала отмечается, что попытки построить нетрадиционный пандиагональный квадрат шестого порядка предпринимались очень давно. Ещё в 1892 г. Рауз Болл опубликовал в своём математическом эссе (Лондон) один из таких квадратов (рис. 11). Принцип отбора чисел для этого квадрата был следующий: из натурального ряда чисел от 1 до 40 удалены все числа, кратные 10: 10, 20, 30 и 40. Из оставшихся 36 чисел и составлен квадрат с магической константой 120, который является к тому же и пандиагональным.

 

28

1

26

36

8

21

3

35

7

27

23

25

34

24

22

2

29

9

4

32

19

12

39

14

13

17

15

37

5

33

38

11

31

6

16

18

 

Рис. 11

 

                                                                     ***

 

25 сентября 2007 г.

 

Работая с матричными методами построения пандиагональных квадратов, найденными мной совсем недавно по ссылке

 

http://www.grogono.com/magic/

 

я обнаружила очень много нетрадиционных пандиагональных квадратов, о которых решила рассказать.

 

Начну с квадратов пятого порядка. Для их построения в указанной статье даётся матрица, изображённая на рис. 12:

 

Aa

Bd

Cb

De

Ec

Db

Ee

Ac

Ba

Cd

Bc

Ca

Dd

Eb

Ae

Ed

Ab

Be

Cc

Da

Ce

Dc

Ea

Ad

Bb

 

                                                              Рис. 12

 

Значения переменных, входящих в эти сочетания, таковы: A=0, B=1, C=2, D=3, E=4. Подставив эти значения, получим (рис. 13):

 

00

13

21

34

42

31

44

02

10

23

12

20

33

41

04

43

01

14

22

30

24

32

40

03

11

 

                                                               Рис. 13

 

А теперь посмотрим на числа в ячейках квадрата, как на десятичные числа. И мы имеем нетрадиционный пандиагональный квадрат пятого порядка с магической константой, равной 110! Ну, а если посмотреть на эти числа, как на пятеричные, то мы получим традиционный пандиагональный квадрат пятого порядка. Чтобы иметь дело с привычным заполнением квадратов числами от 1 до n2, я прибавляла ко всем числам в ячейках единицу. При этом изменяется только магическая константа, она будет равна 115. А квадрат по-прежнему остаётся магическим и пандиагональным!

Далее можно перебрать все возможные значения переменных B, C, D, E и получить таким образом по той же самой матрице 24  пандиагональных квадрата, как нетрадиционных, так и традиционных. Я составила программу, по которой построила все 24 нетрадиционных пандиагональных квадрата пятого порядка. Вот они:

 

1                                   2

 1  14  22  35  43           1  15  22  44  33

 32  45  3  11  24           42  34  3  11  25

 13  21  34  42  5           13  21  45  32  4  

 44  2  15  23  31           35  2  14  23  41  

 25  33  41  4  12           24  43  31  5  12  

 

 3                                   4

 1  13  32  25  44           1  15  32  43  24

 22  45  4  11  33           42  23  4  11  35

 14  31  23  42  5           14  31  45  22  3

 43  2  15  34  21           25  2  13  34  41

 35  24  41  3  12           33  44  21  5  12

 

 5                                   6  

 1  13  42  24  35           1  14  42  33  25           

 22  34  5  11  43           32  23  5  11  44

 15  41  23  32  4           15  41  34  22  3  

 33  2  14  45  21           24  2  13  45  31

 44  25  31  3  12           43  35  21  4  12

 

 7                                   8

 1  24  13  35  42           1  25  13  44  32

 33  45  2  21  14           43  34  2  21  15

 22  11  34  43  5           22  11  45  33  4  

 44  3  25  12  31           35  3  24  12  41  

 15  32  41  4  23           14  42  31  5  23

 

 9                                   10    

 1  22  33  15  44           1  25  33  42  14  

 13  45  4  21  32           43  12  4  21  35  

 24  31  12  43  5          24  31  45  13  2  

 42  3  25  34  11           15  3  22  34  41  

 35  14  41  2  23           32  44  11  5  23  

 

11                                  12

 1  22  43  14  35           1  24  43  32  15  

 13  34  5  21  42           33  12  5  21  44  

 25  41  12  33  4          25  41  34  13  2  

 32  3  24  45  11           14  3  22  45  31

 44  15  31  2  23           42  35  11  4  23

 

 13                                14

 1  33  14  25  42           1  35  14  43  22  

 24  45  2  31  13           44  23  2  31  15

 32  11  23  44  5           32  11  45  24  3

 43  4  35  12  21           25  4  33  12  41  

 15  22  41  3  34           13  42  21  5  34  

 

15                                  16

 1  32  24  15  43           1  35  24  42  13

 14  45  3  31  22           44  12  3  31  25

 33  21  12  44  5           33  21  45  14  2

 42  4  35  23  11           15  4  32  23  41  

 25  13  41  2  34           22  43  11  5  34

 

 17                                 18

 1  32  44  13  25           1  33  44  22  15  

 14  23  5  31  42           24  12  5  31  43  

 35  41  12  24  3           35  41  23  14  2  

 22  4  33  45  11           13  4  32  45  21  

 43  15  21  2  34          42  25  11  3  34  

 

 19                                 20

 1  43  15  24  32           1  44  15  33  22

 25  34  2  41  13           35  23  2  41  14  

 42  11  23  35  4           42  11  34  25  3  

 33  5  44  12  21          24  5  43  12  31  

 14  22  31  3  45           13  32  21  4  45

 

 21                                 22

 1  42  25  14  33           1  44  25  32  13

 15  34  3  41  22           35  12  3  41  24  

 43  21  12  35  4           43  21  34  15  2  

 32  5  44  23  11           14  5  42  23  31

 24  13  31  2  45          22  33  11  4  45  

 

 23                                 24  

 1  42  35  13  24           1  43  35  22  14

 15  23  4  41  32           25  12  4  41  33

 44  31  12  25  3           44  31  23  15  2

 22  5  43  34  11           13  5  42  34  21  

 33  14  21  2  45           32  24  11  3  45

 

Но и это ещё не всё! В статье говорится, что можно варьировать и саму матрицу, сделав 6 разных видов. И, следовательно, использовав все 6 матриц, мы получим 144 пандиагональных квадрата! Не буду приводить здесь остальные 120 квадратов. Идея их построения ясна.

 

Не останавливаюсь и на этом! Что мешает построить квадрат, посмотрев на числа в матрице на рис. 13, в другой системе счисления, отличной от десятичной и пятеричной? Ничто не мешает! И вот перед вами два квадрата (рис. 14), построенные в шестеричной (слева) и семеричной (справа) системах счисления.

 

1

10

14

23

27

 

1

11

16

26

31

20

29

3

7

16

23

33

3

8

18

9

13

22

26

5

10

15

25

30

5

28

2

11

15

19

32

2

12

17

22

17

21

25

4

8

19

24

29

4

9

 

Рис. 14

 

Магическая константа квадрата слева равна 75, а квадрата справа – 85. Интересно отметить, что левый квадрат заполнен числами из промежутка [1,29], из которого вычеркнуты числа 6, 12, 18, 24. Правый квадрат заполнен числами из промежутка [1,33], из которого вычеркнуты числа 6, 7, 13, 14, 20, 21, 27, 28. Заметьте, что в обоих случаях вычёркивание происходит через 5 чисел (5 – это порядок квадрата).

 

В других системах счисления предлагаю читателям построить квадраты. Представили, сколько можно построить нетрадиционных пандиагональных квадратов пятого порядка, используя всего одну матрицу?

 

Теперь перейдём к квадратам седьмого порядка. Всё совершенно аналогично. Матрицу вы видите на рис. 15.

 

Aa

Bb

Cc

Dd

Ee

Ff

Gg

Fe

Gf

Ag

Ba

Cb

Dc

Ed

Db

Ec

Fd

Ge

Af

Bg

Ca

Bf

Cg

Da

Eb

Fc

Gd

Ae

Gc

Ad

Be

Cf

Dg

Ea

Fb

Eg

Fa

Gb

Ac

Bd

Ce

Df

Cd

De

Ef

Fg

Ga

Ab

Bc

 

Рис. 15

 

Значения переменных таковы: A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, F=5, G=6. Подставив эти значения в матрицу, получаем (рис. 16):

 

00

11

22

33

44

55

66

54

65

06

10

21

32

43

31

42

53

64

05

16

20

15

26

30

41

52

63

04

62

03

14

25

36

40

51

46

50

61

02

13

24

35

23

34

45

56

60

01

12

 

Рис. 16

 

Если посмотреть на числа, заполнившие матрицу, как на десятичные числа, то мы имеем нетрадиционный пандиагональный квадрат с магической константой 231. Если же посмотреть на эти числа, как на семеричные, то получается традиционный пандиагональный квадрат. Перебрав все возможные комбинации значений переменных B, C, D, E, F, G, мы получим 720 нетрадиционных пандиагональных квадратов! В статье “Магические квадраты седьмого порядка” я построила 720 традиционных пандиагональных квадрата седьмого порядка. Вы можете посмотреть на них по ссылке:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan7.htm

 

По той же самой программе, изменив основание 7 на основание 10, можно построить 720 нетрадиционных пандиагональных квадрата. Приведу здесь текст программы. Каждый читатель может построить по этой программе квадраты самостоятельно.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(7, 7)

12 W = 1

15 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

20 FOR I = 1 TO 6

25 B = I

30 FOR J = 1 TO 6

35 IF I = J THEN 520

40 C = J

45 FOR K = 1 TO 6

50 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 60

55 GOTO 515

60 D = K

65 FOR L = 1 TO 6

70 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 80

75 GOTO 510

80 E = L

85 FOR M = 1 TO 6

90 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 100

95 GOTO 505

100 F = M

110 FOR N = 1 TO 6

115 IF N <> I THEN IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> M THEN 125

120 GOTO 500

125 G = N: A = 0:

130 A(1, 1) = 1: A(1, 2) = B * 7 + B + 1: A(1, 3) = C * 7 + C + 1: A(1, 4) = D * 7 + D + 1: A(1, 5) = E * 7 + E + 1: A(1, 6) = F * 7 + F + 1: A(1, 7) = G * 7 + G + 1

135 A(2, 1) = F * 7 + E + 1: A(2, 2) = G * 7 + F + 1: A(2, 3) = A * 7 + G + 1: A(2, 4) = B * 7 + A + 1: A(2, 5) = C * 7 + B + 1: A(2, 6) = D * 7 + C + 1: A(2, 7) = E * 7 + D + 1

140 A(3, 1) = D * 7 + B + 1: A(3, 2) = E * 7 + C + 1: A(3, 3) = F * 7 + D + 1: A(3, 4) = G * 7 + E + 1: A(3, 5) = A * 7 + F + 1: A(3, 6) = B * 7 + G + 1: A(3, 7) = C * 7 + A + 1

145 A(4, 1) = B * 7 + F + 1: A(4, 2) = C * 7 + G + 1: A(4, 3) = D * 7 + A + 1: A(4, 4) = E * 7 + B + 1: A(4, 5) = F * 7 + C + 1: A(4, 6) = G * 7 + D + 1: A(4, 7) = A * 7 + E + 1

150 A(5, 1) = G * 7 + C + 1: A(5, 2) = A * 7 + D + 1: A(5, 3) = B * 7 + E + 1: A(5, 4) = C * 7 + F + 1: A(5, 5) = D * 7 + G + 1: A(5, 6) = E * 7 + A + 1: A(5, 7) = F * 7 + B + 1

155 A(6, 1) = E * 7 + G + 1: A(6, 2) = F * 7 + A + 1: A(6, 3) = G * 7 + B + 1: A(6, 4) = A * 7 + C + 1: A(6, 5) = B * 7 + D + 1: A(6, 6) = C * 7 + E + 1: A(6, 7) = D * 7 + F + 1

160 A(7, 1) = C * 7 + D + 1: A(7, 2) = D * 7 + E + 1: A(7, 3) = E * 7 + F + 1: A(7, 4) = F * 7 + G + 1: A(7, 5) = G * 7 + A + 1: A(7, 6) = A * 7 + B + 1: A(7, 7) = B * 7 + C + 1

165 PRINT W: PRINT #1, W

170 FOR X = 1 TO 7

175 FOR Y = 1 TO 7

180 PRINT A(X, Y);

185 PRINT #1, A(X, Y);

190 NEXT Y

195 PRINT : PRINT #1,

200 NEXT X

205 PRINT : PRINT #1,

210 W = W + 1

500 NEXT N

505 NEXT M

510 NEXT L

515 NEXT K

520 NEXT J

525 NEXT I

530 CLOSE #1

535 END

 

Подчеркну ещё раз: по приведённой программе вы получите 720 традиционных пандиагональных квадратов, о которых я сказала выше. Чтобы получить нетрадиционные пандиагональные квадраты, надо изменить основание 7 в формулах для вычисления чисел в ячейках квадрата на основание 10.

 

Покажу ещё немного преобразованный квадрата с рис. 16. Ну, прежде всего, прибавим к числам в каждой ячейке единицу. Затем применим преобразование “строки-диагонали” (см. об этом преобразовании в статьях “Пандиагональные квадраты” и “Магические квадраты седьмого порядка”). Мы получим нетрадиционный квадрат, который не только пандиагональный, но и ассоциативный, в том смысле, что сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу – 68, при этом в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Симметрия абсолютная! Этот квадрат изображён на рис. 17.

 

1

53

35

17

62

44

26

37

12

64

46

21

3

55

66

41

23

5

57

32

14

25

7

52

34

16

61

43

54

36

11

63

45

27

2

13

65

47

22

4

56

31

42

24

6

51

33

15

67

 

Рис. 17

 

Вот какие есть интересные нетрадиционные квадраты!

 

Здесь тоже, как вы уже догадались, можно построить квадраты в других системах счисления. На рис. 18 показаны квадраты, построенные в восьмеричной (слева) и в девятеричной системах счисления, к которым я применила преобразование “строки-диагонали”, в результате чего они стали ассоциативными в указанном выше смысле.

 

1

43

29

15

50

36

22

 

1

48

32

16

56

40

24

31

10

52

38

17

3

45

34

11

58

42

19

3

50

54

33

19

5

47

26

12

60

37

21

5

52

29

13

21

7

42

28

14

49

35

23

7

47

31

15

55

39

44

30

9

51

37

23

2

49

33

10

57

41

25

2

11

53

39

18

4

46

25

12

59

43

20

4

51

28

34

20

6

41

27

13

55

38

22

6

46

30

14

61

 

Рис. 18

 

Магическая константа квадрата слева равна 196, а квадрата справа – 217. Интересно отметить, что левый квадрат заполнен числами из промежутка [1,55], из которого вычеркнуты числа 8, 16, 24, 32, 40, 48. Правый квадрат заполнен числами из промежутка [1,61], из которого вычеркнуты числа 8, 9, 17, 18, 26, 27, 35, 36, 44, 45, 53, 54.  Заметьте, что вычёркивание в обоих случаях происходит через 7 чисел (7 – это порядок квадрата). Какая во всём закономерность, как всё строго и красиво. Не перестаю удивляться математической гармонии!

 

И все 720 вариантов, порождаемых матрицей на рис. 15,  можно построить в других системах счисления. Представьте, сколько будет нетрадиционных пандиагональных квадратов седьмого порядка!

 

Ещё замечу, что для построения всех этих квадратов можно воспользоваться приведённой выше программой, вставляя в неё вместо основания системы счисления 7, другое основание.

 

Наконец, мне удалось построить нетрадиционный пандиагональный квадрат двенадцатого порядка. Его вы видите на рис. 19.

 

 

1

192

19

198

73

120

91

126

145

48

163

54

168

49

150

43

96

121

78

115

24

193

6

187

40

153

58

159

112

81

130

87

184

9

202

15

201

16

183

10

129

88

111

82

57

160

39

154

2

191

20

197

74

119

92

125

146

47

164

53

167

50

149

44

95

122

77

116

23

194

5

188

41

152

59

158

113

80

131

86

185

8

203

14

200

17

182

11

128

89

110

83

56

161

38

155

3

190

21

196

75

118

93

124

147

46

165

52

166

51

148

45

94

123

76

117

22

195

4

189

42

151

60

157

114

79

132

85

186

7

204

13

199

18

181

12

127

90

109

84

55

162

37

156

 

Рис. 19

 

Магическая константа этого квадрата равна 1230. Он получился у меня по суммарной матрице, которую я сочинила из 6 матриц, приведённых в указанной выше статье, при значениях переменных: A=12, B=6, C=72, D=36, E=3, F=1 (см. статью “Магические квадраты двенадцатого порядка”). Квадрат заполнен числами из промежутков [1,24], [37,60], [73,96], [109,132], [145,168], [181,204]. Посмотрите, какая интересная закономерность: 24 числа используются, следующие 12 чисел пропускаются, затем опять 24 числа используются и следующие 12 пропускаются и т. д.

 

                                               ***

 

23 октября 2007 г.

 

Расскажу, какой интересный нетрадиционный квадрат я построила, работая над поиском метода построения пандиагонального квадрата 15-ого порядка.

Об этой задаче вы можете прочитать на страницах “Магические квадраты одиннадцатого порядка” и “Магические квадраты пятнадцатого порядка”. Построенный мной магический нетрадиционный квадрата 15-ого порядка является идеальным, то есть он пандиагональный и ассоциативный! Построить идеальный квадрат 15-ого порядка – традиционный – мне так и не удалось.

Мой партнёр Г. Александров прислал мне ассоциативный квадрат 15-ого порядка, построенный из 25 квадратов 3х3. Как строить такие квадраты, рассказано в вышеназванной статье о магических квадратах 15-ого порядка. Он написал мне, что не по всем разломанным диагоналям есть магическая сумма: нет её по шести диагоналям в обоих направлениях. Тогда я вспомнила одно интересное преобразование “плюс-минус…”, которое сохраняет ассоциативность квадрата, но не сохраняет пандиагональность. И нарушает это преобразование суммы именно по тем разломанным диагоналям, по которым в нашем квадрате нет магической суммы. Я решила попробовать применить это преобразование к данному квадрату. Применять его пришлось дважды: для того, чтобы выровнять суммы по разломанным диагоналям обоих направлений. Всё прошло чудесно! Суммы выровнялись и квадрат стал пандиагональным и ассоциативность при этом сохранилась, то есть он стал идеальным! Но! В квадрате появились одинаковые числа. И всё пошло насмарку. Полученный идеальный нетрадиционный квадрат я решила показать. Итак, всё по порядку.

На рис. 20 изображён исходный ассоциативный магический квадрат (традиционный), который мне прислал Георгий.

 

 

179

174

175

71

66

67

188

183

184

125

120

121

17

12

13

172

176

180

64

68

72

181

185

189

118

122

126

10

14

18

177

178

173

69

70

65

186

187

182

123

124

119

15

16

11

98

93

94

35

30

31

152

147

148

89

84

85

206

201

202

91

95

99

28

32

36

145

149

153

82

86

90

199

203

207

96

97

92

33

34

29

150

151

146

87

88

83

204

205

200

62

57

58

224

219

220

116

111

112

8

3

4

170

165

166

55

59

63

217

221

225

109

113

117

1

5

9

163

167

171

60

61

56

222

223

218

114

115

110

6

7

2

168

169

164

26

21

22

143

138

139

80

75

76

197

192

193

134

129

130

19

23

27

136

140

144

73

77

81

190

194

198

127

131

135

24

25

20

141

142

137

78

79

74

195

196

191

132

133

128

215

210

211

107

102

103

44

39

40

161

156

157

53

48

49

208

212

216

100

104

108

37

41

45

154

158

162

46

50

54

213

214

209

105

106

101

42

43

38

159

160

155

51

52

47

 

Рис. 20

 

Вот такой интересный квадрат! Чуть-чуть не хватает  в нём до пандиагональности. На рис. 21 показываю матрицу преобразования “плюс-минус 15”, с помощью которого мне удалось выровнять суммы в разломанных диагоналях одного направления.

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-15

+15

 

                                            Рис. 21

 

Это преобразование сохраняет ассоциативность квадрата, но нарушает пандиагональность – это если бы исходный квадрат был пандиагональным. А в нашем случае преобразование как раз выравнивает суммы в шести разломанных диагоналях одного направления, а суммы в разломанных диагоналях другого направления остаются неизменными. В результате применения этого преобразования получился квадрат, который вы видите на рис. 22.

 

 

164

189

175

71

66

67

188

183

184

125

120

121

17

12

13

172

176

165

79

68

72

181

185

189

118

122

126

10

14

18

177

178

173

69

55

80

186

187

182

123

124

119

15

16

11

98

93

94

35

30

31

137

162

148

89

84

85

206

201

202

91

95

99

28

32

36

145

149

138

97

86

90

199

203

207

96

97

92

33

34

29

150

151

146

87

73

98

204

205

200

62

57

58

224

219

220

116

111

112

8

3

4

155

180

166

70

59

63

217

221

225

109

113

117

1

5

9

163

167

156

60

46

71

222

223

218

114

115

110

6

7

2

168

169

164

26

21

22

128

153

139

80

75

76

197

192

193

134

129

130

19

23

27

136

140

129

88

77

81

190

194

198

127

131

135

24

25

20

141

142

137

78

64

89

195

196

191

132

133

128

215

210

211

107

102

103

44

39

40

146

171

157

53

48

49

208

212

216

100

104

108

37

41

45

154

158

147

61

50

54

213

214

209

105

106

101

42

43

38

159

160

155

51

37

62

 

Рис. 22

 

Для выравнивания сумм по разломанным диагоналям другого направления я применила к квадрату с рис. 22 преобразование “плюс-минус 5”, матрицу которого вы видите на рис. 23. Это преобразование совершенно аналогично показанному выше.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  Рис. 23

 

В результате получился идеальный квадрат, только, увы, нетрадиционный, потому что в нём есть одинаковые числа. Этот квадрат изображён на рис. 24.

 

 

164

189

175

71

66

67

188

183

184

125

120

121

17

7

18

172

176

165

79

68

72

181

185

189

118

122

121

15

14

18

177

178

173

69

55

80

186

187

182

118

129

119

15

16

11

98

93

94

35

30

31

137

157

153

89

84

85

206

201

202

91

95

99

28

32

31

150

149

138

97

86

90

199

203

207

96

97

92

28

39

29

150

151

146

87

73

98

204

205

200

62

52

63

224

219

220

116

111

112

8

3

4

155

180

166

75

59

63

217

221

225

109

113

117

1

5

9

163

167

151

60

46

71

222

223

218

114

115

110

6

7

2

163

174

164

26

21

22

128

153

139

80

75

76

197

187

198

134

129

130

19

23

27

136

140

129

88

77

76

195

194

198

127

131

135

24

25

20

141

142

137

73

69

89

195

196

191

132

133

128

215

210

211

107

97

108

44

39

40

146

171

157

53

48

49

208

212

211

105

104

108

37

41

45

154

158

147

61

50

54

208

219

209

105

106

101

42

43

38

159

160

155

51

37

62

 

Рис. 24

 

Интересно заметить, что хотя квадрат получился нетрадиционный, его магическая константа такая же, как у традиционного магического квадрата 15-ого порядка – 1695. Такие же суммы имеются по всем разломанным диагоналям, то есть квадрат пандиагональный. И, наконец, он ассоциативен абсолютно так же, как традиционный квадрат, то есть сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна 226, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. И даже чётно-нечётный рисунок в квадрате симметричен.

Просто чудо-квадрат! Я попробовала убрать из квадрата дубли (то есть повторяющиеся числа), заменив их теми числами, которые из квадрата исчезли, но у меня ничего не получилось. Попытайтесь вы сделать это! Если вам удастся, то вы получите традиционный идеальный квадрат 15-ого порядка, который нам с Георгием пока получить не удалось.

 

А вообще это хорошая задача для урока информатики или математики в средней школе. Подключайтесь, молодые!

 

Покажу ещё те числа, которые исчезли из квадрата и их расположение в исходном квадрате (рис. 25).

 

 

179

174

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

126

10

 

 

 

 

 

 

 

65

 

 

 

123

124

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152

147

148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

145

 

 

82

 

 

 

 

 

 

 

 

33

34

 

 

 

 

 

 

83

 

 

 

 

 

58

 

 

 

 

 

 

 

 

 

170

 

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

171

 

 

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

168

 

 

 

 

 

143

 

 

 

 

 

 

192

193

 

 

 

 

 

 

 

 

144

 

 

81

190

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

79

74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102

103

 

 

 

161

 

 

 

 

 

 

 

216

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

213

214

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

47

 

                                                 Рис. 25

 

42 числа исчезли из квадрата, 42 дубля появились. Перечислю и дубли (повторяющиеся числа): 71, 155, 189, 37, 98, 128, 89, 137, 97, 129, 146, 80, 62, 164, 121, 105, 118, 108, 18, 208, 69, 157, 187, 39, 15, 211, 31, 195, 28, 198, 97, 129, 150, 76, 151, 75, 73, 153, 219, 7, 63, 163. Замечу, что пара чисел 97, 129 дублируется дважды. Интересно отметить, что как исчезнувшие числа, так и дубли – комплементарные пары чисел, то есть сумма чисел в каждой паре равна 226. И, наконец, сумма всех исчезнувших чисел равна сумме всех дублей, что вполне понятно, иначе не получился бы магический квадрат.

 

Не могу сказать, возможно ли восстановить в квадрате, изображённом на рис. 24, исчезнувшие числа, убрав при этом все дубли. Может быть, эта задача не имеет решения. Но это тоже надо доказать!

 

                                      ***

 

3 мая 2008 г.

 

Как давно была написана эта статья! Сейчас вот читаю и вспоминаю, как мы вместе с Г. Александровым трудились над построением идеального квадрата 15-ого порядка. Это уже стало историей. Вскоре наши пути разошлись, и мы продолжали строить этот квадрат в одиночку.

Сейчас идеальные квадраты любого нечётного порядка построены и Георгием и мной. Мы сделали это разными методами.

Теперь я бьюсь над задачей построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка n=4*(2k+1), k=1, 2, 3… Для идеальных квадратов чётно-чётного порядка n=8k, k=1, 2, 3… мной разработан метод построения.

 

Работая над этой темой, я построила несколько интересных нетрадиционных идеальных квадратов. Смотрите об этом статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealst.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm

 

                                                           ***

 

4 мая 2008 г.

 

Нашла в Интернете несколько интересных нетрадиционных квадратов, которые хочу здесь показать.

Этот квадрат (рис. 26) найден по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/eingebettet/beispiel3.html

 

 

46

41

44

47

23

20

17

22

3

32

50

5

40

10

61

59

27

2

29

56

58

37

16

35

51

53

8

26

13

64

34

11

54

25

55

4

33

15

60

14

30

7

28

49

63

36

9

38

6

52

1

31

12

57

39

62

43

48

45

42

18

21

24

19

 

                                                                      Рис. 26

 

Перед вами традиционный магический квадрат восьмого порядка. А внутри него находятся 4 нетрадиционных ассоциативных квадрата третьего порядка. Квадрат становится гораздо интереснее, если два нижних квадрата третьего порядка повернуть на 180 градусов. Тогда и сам квадрат восьмого порядка будет ассоциативным. Смотрите этот квадрат на рис. 26а.

 

46

41

44

47

23

20

17

22

3

32

50

5

40

10

61

59

27

2

29

56

58

37

16

35

51

53

8

26

13

64

34

11

54

31

1

52

39

57

12

14

30

49

28

7

9

36

63

38

6

4

55

25

60

15

33

62

43

48

45

42

18

21

24

19

 

                                                                      Рис. 26а

 

Второй квадрат найден по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/eingebettet/beispiel3.html

 

Его вы видите на рис. 27.

 

28

8

6

49

36

2

46

29

9

20

32

27

37

21

45

38

17

40

19

11

5

7

26

34

25

16

24

43

15

39

31

10

33

12

35

47

13

23

18

30

41

3

4

42

44

1

14

48

22

 

                                                                      Рис. 27

 

Это традиционный магический квадрат седьмого порядка. А внутри него находится нетрадиционный ассоциативный квадрат пятого порядка. Далее: в квадрате пятого порядка видим вписанный нетрадиционный ассоциативный квадрат третьего порядка. Забавный квадрат!

 

Наконец, третий квадрат (см. рис. 28) найден по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/pandiagonal/pandiagonal.html

 

 

17

46

12

55

54

9

47

20

16

51

21

42

43

24

50

13

53

10

48

19

18

45

11

56

44

23

49

14

15

52

22

41

25

64

2

39

62

27

37

4

8

33

31

58

35

6

60

29

63

26

40

1

28

61

3

38

34

7

57

32

5

36

30

59

 

                                                                      Рис. 28

 

Это традиционный пандиагональный квадрат восьмого порядка. Он интересен тем, что составлен из 4 нетрадиционных пандиагональных квадратов четвёртого порядка, все они имеют одинаковую магическую константу – 130.

 

Думаю, что в Интернете можно найти ещё очень много подобных забавных квадратов. Если ваш ребёнок занимается магическими квадратами, ищите для него такие квадраты. Ребёнку будет интересно учиться на забавных примерах.

 

                                               ***

 

ДОБАВЛЕНИЕ (19 сентября 2008 г):

 

Ещё немного о нетрадиционных идеальных квадратах чётно-нечётного порядка.

На рис. 8 изображён нетрадиционный идеальный квадрат 6-ого порядка из старого журнала “Наука и жизнь”. Я обнаружила, что из приведённых двух вспомогательных квадратов можно построить множество нетрадиционных идеальных квадратов 6-ого порядка, если в формуле для построения использовать другой множитель. Например, на рис. 29 вы видите нетрадиционный идеальный квадрат 6-ого порядка, построенный по формуле

 

хij = 8yij + zij + 1  (i, j = 1, 2, 3…6)

 

с помощью тех же вспомогательных квадратов с матрицами Y и Z.

 

<

1

53

6

54

5

49