ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=4k ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 14 июня 2008 г.

 

 

Я показала построение из обратимых квадратов совершенных квадратов. Этот метод был найден в статье:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm

 

Однако в этой статье метод показан только для квадратов четвёртого порядка и для третьего этапа преобразований приведено какое-то непонятное преобразование. Я обошла это преобразование и составила матрицы преобразований для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3… Написала матрицу в общем виде и запрограммировала её. Подробно об этом смотрите в моей статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

Далее меня заинтересовал вопрос построения идеальных квадратов из обратимых квадратов. Для квадратов нечётного порядка я рассмотрела этот вопрос в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm

 

Теперь рассмотрю данный метод для идеальных квадратов порядка n=4k, k=2, 3, 4… (идеального квадрата четвёртого порядка не существует).

Первая моя статья, посвящённая таким квадратам:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

В этой статье подробно исследован первый идеальный квадрат восьмого порядка, который был найден в Интернете. Я применила к нему метод качелей и построила 36 подобных идеальных квадратов, начинающихся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). Все 36 квадратов вы можете посмотреть здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

Квадраты следующих чётно-чётных порядков по данному алгоритму мне построить не удалось.

Матричное преобразование, превращающее обратимые квадраты в идеальные квадраты указанной группы квадратов сочинила с ходу. Вы видите его на рис. 1.

 

a11

a48

a61

a78

a71

a68

a41

a18

a87

a52

a37

a22

a27

a32

a57

a82

a14

a45

a64

a75

a74

a65

a44

a15

a86

a53

a36

a23

a26

a33

a56

a83

a16

a43

a66

a73

a76

a63

a46

a13

a84

a55

a34

a25

a24

a35

a54

a85

a17

a42

a67

a72

a77

a62

a47

a12

a81

a58

a31

a28

a21

a38

a51

a88

 

Рис. 1

 

Берём теперь самый простой обратимый квадрат восьмого порядка (мои читатели знают, как составляется такой квадрат) и применяем к нему преобразование с матрицей, представленной на рис. 1. Получаем следующий идеальный квадрат (рис. 2):

 

1

32

41

56

49

48

25

8

63

34

23

10

15

18

39

58

4

29

44

53

52

45

28

5

62

35

22

11

14

19

38

59

6

27

46

51

54

43

30

3

60

37

20

13

12

21

36

61

7

26

47

50

55

42

31

2

57

40

17

16

9

24

33

64

 

Рис. 2

 

Возьмём другой обратимый уникальный квадрат (рис. 3) и применим к нему преобразование. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 4.

 

1

2

3

4

9

10

11

12

5

6

7

8

13

14

15

16

17

18

19

20

25

26

27

28

21

22

23

24

29

30

31

32

33

34

35

36

41

42

43

44

37

38

39

40

45

46

47

48

49

50

51

52

57

58

59

60

53

54

55

56

61

62

63

64

 

Рис. 3

 

1

32

37

60

49

48

21

12

63

34

27

6

15

18

43

54

4

29

40

57

52

45

24

9

62

35

26

7

14

19

42

55

10

23

46

51

58

39

30

3

56

41

20

13

8

25

36

61

11

22

47

50

59

38

31

2

53

44

17

16

5

28

33

64

 

Рис. 4

 

Обратите внимание: в этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет другую форму, чем все квадраты данной группы. При внимательном рассмотрении вы увидите, что этот квадрат связан с квадратом с рис. 2 преобразованием “плюс-минус 4”. Получаем интересный вывод: моя группа из 36 квадратов может быть значительно пополнена другими идеальными квадратами. В статье о совершенных квадратах (ссылка на которую указана в самом начале страницы) сказано, что существует 10 уникальных обратимых квадратов восьмого порядка, каждый из которых порождает группу из 36864 обратимых квадратов. И из каждого обратимого квадрата получается совершенный квадрат. Я не знаю, есть ли точно такое взаимнооднозначное соответствие между обратимыми и идеальными квадратами восьмого (и других) порядка. Интересная тема для исследования!

Если матричным преобразованием, которое здесь представлено, каждый обратимый квадрат превращается в идеальный, то мы получим 368640 идеальных квадратов восьмого порядка. Однако есть уже один контраргумент. Дело в том, что совершенные квадраты остаются совершенными при параллельных переносах на торе, и в число 368640 входят все варианты, полученные данным преобразованием. А идеальные квадраты при параллельных переносах на торе утрачивают идеальность, поскольку при таких преобразованиях нарушается ассоциативность квадрата. Тогда можно предположить, что описанным матричным преобразованием можно получить 5760 идеальных квадратов. Гипотеза требует доказательства!

 

Как бы то ни было, преобразование работает – превращает обратимые квадраты в идеальные. На рис. 5 вы видите матрицу обратного преобразования, оно превращает идеальный квадрат в обратимый.

 

a11

a78

a58

a31

a38

a51

a71

a18

a85

a24

a44

a65

a64

a45

a25

a84

a83

a26

a46

a63

a66

a43

a23

a86

a17

a72

a52

a37

a32

a57

a77

a12

a87

a22

a42

a67

a62

a47

a27

a82

a13

a76

a56

a33

a36

a53

a73

a16

a15

a74

a54

a35

a34

a55

a75

a14

a81

a28

a48

a61

a68

a41

a21

a88

 

Рис. 5

 

Возьмём теперь тот самый идеальный квадрат, который был найден в Интернете, и применим к нему это преобразование. Идеальный квадрат вы видите на рис. 6, а полученный из него обратимый квадрат – на рис. 7.

 

7

42

55

26

31

50

47

2

62

19

14

35

38

11

22

59

1

48

49

32

25

56

41

8

60

21

12

37

36

13

20

61

4

45

52

29

28

53

44

5

57

24

9

40

33

16

17

64

6

43

54

27

30

51

46

3

63

18

15

34

39

10

23

58

 

Рис. 6

 

7

3

5

1

8

4

6

2

39

35

37

33

40

36

38

34

15

11

13

9

16

12

14

10

47

43

45

41

48

44

46

42

23

19

21

17

24

20

22

18

55

51

53

49

56

52

54

50

31

27

29

25

32

28

30

26

63

59

61

57

64

60

62

58

 

Рис. 7

 

Очевидно, что этот обратимый квадрат получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов.

 

А теперь рассмотрю другую группу идеальных квадратов восьмого порядка – это квадраты, построенные по алгоритму Франклина (доработкой его пандиагональных квадратов). Один из квадратов данной группы вы видите на рис. 8. По данному алгоритму мне удалось построить идеальные квадраты порядков n=8k, k=1, 2, 3… Подробно о построении этих квадратов смотрите статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 8

 

Интересно отметить: хотя в этом квадрате начальная цепочка имеет такую же форму, как в квадратах, подобных квадрату из Интернета, однако это принципиально новый квадрат, так как он не получается из квадратов указанной группы никакими эквивалентными преобразованиями и даже перестановками строк и столбцов не получается.

И сразу же хочу посмотреть, применимо ли к этому квадрату матричное преобразование, описанное матрицей на рис. 5. Результатом применения этого преобразования должен быть обратимый квадрат.

Увы! Как и следовало ожидать, обратимый квадрат не получился. Следовательно, для данной группы квадратов надо написать другое матричное преобразование, превращающее их в обратимые квадраты, и соответственно другое (обратное) преобразование для получения таких идеальных квадратов из обратимых.

 

На рис. 9 показана матрица преобразования, превращающего обратимые квадраты в идеальные, а на рис. 10 – матрица обратного преобразования.

 

a11

a48

a41

a76

a73

a66

a63

a18

a87

a52

a57

a24

a25

a34

a35

a82

a14

a67

a62

a77

a72

a45

a44

a15

a86

a31

a38

a21

a28

a53

a56

a83

a16

a43

a46

a71

a78

a61

a68

a13

a84

a55

a54

a27

a22

a37

a32

a85

a17

a64

a65

a74

a75

a42

a47

a12

a81

a36

a33

a26

a23

a58

a51

a88

 

Рис. 9

 

a11

a78

a58

a31

a38

a51

a71

a18

a44

a65

a85

a24

a25

a84

a64

a45

a42

a67

a83

a26

a27

a82

a66

a43

a13

a76

a52

a37

a36

a33

a77

a12

a87

a22

a46

a63

a62

a47

a23

a86

a56

a33

a17

a72

a73

a16

a32

a57

a54

a35

a15

a74

a75

a14

a34

a55

a81

a28

a48

a61

a68

a41

a21

a88

 

Рис. 10

 

Примеры начну показывать с обратного преобразования. Применяю это преобразование к идеальному квадрату с рис. 8 и получаю обратимый квадрат, соответствующий данному идеальному квадрату (рис. 11):

 

1

3

2

4

5

7

6

8

17

19

18

20

21

23

22

24

33

35

34

36

37

39

38

40

49

51

50

52

53

55

54

56

9

11

10

12

13

15

14

16

25

27

26

28

29

31

30

32

41

43

42

44

45

47

46

48

57

59

58

60

61

63

62

64

 

Рис. 11

 

Вот и получен ответ на вопрос о том, существует ли взаимнооднозначное соответствие между обратимыми и идеальными квадратами. Очевидно, что такого соответствия нет. Если мы применим к обратимому квадрату с рис. 11 матричное преобразование с рис. 1, получим идеальный квадрат из первой группы квадратов, вы видите этот квадрат на рис. 12.

 

1

56

25

48

41

32

49

8

62

11

38

19

22

35

14

59

4

53

28

45

44

29

52

5

63

10

39

18

23

34

15

58

7

50

31

42

47

26

55

2

60

13

36

21

20

37

12

61

6

51

30

43

46

27

54

3

57

16

33

24

17

40

9

64

 

Рис. 12

 

Таким образом, одному и тому же обратимому квадрату соответствуют по крайней мере два разных идеальных квадрата.

 

Посмотрим теперь, как работает преобразование с матрицей, изображённой на рис. 9. Это преобразование переводит обратимые квадраты в идеальные. Возьмём для первого примера обратимый квадрат с рис. 3. Полученный в результате преобразования идеальный квадрат изображён на рис. 13.

 

1

32

21

58

51

46

39

12

63

34

43

8

13

20

25

54

4

47

38

59

50

29

24

9

62

17

28

5

16

35

42

55

10

23

30

49

60

37

48

3

56

41

36

15

6

27

18

61

11

40

45

52

57

22

31

2

53

26

19

14

7

44

33

64

 

Рис. 13

 

Обратите внимание на начальную цепочку этого квадрата, она отличается от начальной цепочки квадрата с рис. 8.

Ещё пример, возьмём в качестве исходного квадрата обратимый квадрат с рис. 7. Мы получим в результате преобразования следующий идеальный квадрат (рис. 14):

 

7

42

47

28

29

52

53

2

62

19

22

33

40

9

16

59

1

54

51

30

27

48

41

8

60

15

10

39

34

21

20

61

4

45

44

31

26

55

50

5

57

24

17

38

35

14

11

64

6

49

56

25

32

43

46

3

63

12

13

36

37

18

23

58

 

Рис. 14

 

Этот пример показывает, что идеальные квадраты данной группы могут тоже начинаться с других чисел (а не только с числа 1), так же, как и квадраты первой группы. Квадрат, найденный в Интернете (см. рис. 6), и квадрат на рис. 14 получены из одного обратимого квадрата разными матричными преобразованиями.

 

Наконец, последний пример. Интересно посмотреть на идеальный квадрат, который получится из самого простого обратимого квадрата. Показываю этот квадрат на рис. 15.

 

1

32

25

54

51

46

43

8

63

34

39

12

13

20

21

58

4

47

42

55

50

29

28

5

62

17

24

9

16

35

38

59

6

27

30

49

56

41

48

3

60

37

36

15

10

23

18

61

7

44

45

52

53

26

31

2

57

22

19

14

11

40

33

64

 

Рис. 15

 

Думаю, что достаточно примеров. В статье о совершенных квадратах я составила все 10 уникальных обратимых квадратов восьмого порядка. Попробуйте проверить работу этого преобразования на других обратимых квадратах.

 

Можно, конечно, продолжить построение идеальных квадратов данной группы для следующих порядков n=8k. Предлагаю сделать это заинтересовавшимся читателям.

А мне очень интересно посмотреть на третью группу идеальных квадратов восьмого порядка.

 

16 июня 2008 г.

 

Третья группа идеальных квадратов порядка n=4k, k=2, 3, 4… была построена Г. Александровым методом цепей. Когда я прочла статью Александрова, попробовала построить идеальные квадраты этой группы (с начальной цепочкой, которая строится ходом шахматного коня) методом качелей. Разумеется, получилось и не могло не получиться, потому что здесь всё совершенно аналогично построению идеальных квадратов нечётного порядка с такой же начальной цепочкой (“ход конём”).

Итак, теперь я хочу показать матричное преобразование, превращающее обратимые квадраты в идеальные, для данной группы идеальных квадратов. Здесь получился очень интересный результат.

На рис. 16 показываю идеальный квадрат восьмого порядка из данной группы.

 

1

63

54

36

41

23

30

12

27

10

8

61

51

34

48

21

47

22

28

9

7

62

52

33

50

40

45

19

26

16

5

59

6

60

49

39

46

20

25

15

32

13

3

58

56

37

43

18

44

17

31

14

4

57

55

38

53

35

42

24

29

11

2

64

 

Рис. 16

 

Самое интересное в этой группе квадратов: матрица обратного преобразования, превращающего идеальные квадраты в обратимые, точно такая же, как матрица преобразования, превращающего обратимые квадраты в идеальные! На рис. 17 вы видите эту матрицу. С помощью этого матричного преобразования вы можете превратить обратимый квадрат в идеальный и идеальный квадрат в обратимый.

 

a11

a87

a75

a63

a51

a47

a35

a23

a34

a22

a18

a86

a74

a62

a58

a46

a57

a45

a33

a21

a17

a85

a73

a61

a72

a68

a56

a44

a32

a28

a16

a84

a15

a83

a71

a67

a55

a43

a31

a27

a38

a26

a14

a82

a78

a66

a54

a42

a53

a41

a37

a25

a13

a81

a77

a65

a76

a64

a52

a48

a36

a24

a12

a88

 

Рис. 17

 

Применяю преобразование к квадрату с рис. 16 и получаю соответствующий ему обратимый квадрат (рис. 18).

 

1

2

4

3

6

5

7

8

9

10

12

11

14

13

15

16

25

26

28

27

30

29

31

32

17

18

20

19

22

21

23

24

41

42

44

43

46

45

47

48

33

34

36

35

38

37

39

40

49

50

52

51

54

53

55

56

57

58

60

59

62

61

63

64

 

Рис. 18

 

Очевидно, что этот обратимый квадрат получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов. Однако (как и в случае с идеальными квадратами нечётного порядка кратного 3) из самого простого обратимого квадрата данным преобразованием идеальный квадрат не получается. Получается квазиидеальный квадрат; так я называю ассоциативные квадраты, в которых суммы по всем диагоналям (как главным, так и разломанным) равны магической константе квадрата, а суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы. Этот квазиидеальный квадрат вы видите на рис. 19.

 

1

63

53

43

33

31

21

11

20

10

8

62

52

42

40

30

39

29

19

9

7

61

51

41

50

48

38

28

18

16

6

60

5

59

49

47

37

27

17

15

24

14

4

58

56

46

36

26

35

25

23

13

3

57

55

45

54

44

34

32

22

12

2

64

 

Рис. 19

 

Посмотрите на начальную цепочку в этом квазиидеальном квадрате, числа в ней следуют по порядку.

 

Как вы уже, наверное, догадались, начальная цепочка идеального квадрата – это первая строка соответствующего ему обратимого квадрата. Для сравнения приведу образующую таблицу идеального квадрата с рис. 16 (при построении его методом качелей). Смотрите на рис. 20.

 

 

1

63

54

36

41

23

30

12

-1

2

64

53

35

42

24

29

11

-2

4

57

55

38

44

17

31

14

1

3

58

56

37

43

18

32

13

-3

6

60

49

39

46

20

25

15

1

5

59

50

40

45

19

26

16

-2

7

62

52

33

47

22

28

9

-1

8

61

51

34

48

21

27

10

 

 

k=7

k=6

k=4

k=5

k=2

k=3

k=1

 

Рис. 20

 

Сравните эту образующую таблицу с обратимым квадратом, изображённым на рис. 18. Вы увидите, что это абсолютно идентичные таблицы. Таким образом, для составления обратимого квадрата, являющегося прообразом идеального, достаточно знать начальную цепочку этого идеального квадрата. Приведу пример. Вот начальная цепочка идеального квадрата:

 

1  5  7  3  6  2  4  8

 

На рис. 21 показываю обратимый квадрат, соответствующий идеальному квадрату с такой начальной цепочкой.

 

1

5

7

3

6

2

4

8

33

37

39

35

38

34

36

40

49

53

55

51

54

50

52

56

17

21

23

19

22

18

20

24

41

45

47

43

46

42

44

48

9

13

15

11

14

10

12

16

25

29

31

27

30

26

28

32

57

61

63

59

62

58

60

64

 

Рис. 21

 

Закономерности составления этого обратимого квадрата точно такие же, как для квадратов 9-ого порядка, и эти закономерности очень похожи на закономерности формирования образующей таблицы в методе качелей.

 

Применим к этому квадрату матричное преобразование с рис. 17 и получим идеальный квадрат (рис. 22).

 

1

60

30

15

41

20

54

39

51

37

8

58

27

13

48

18

44

22

55

33

4

62

31

9

29

16

42

19

53

40

2

59

6

63

25

12

46

23

49

36

56

34

3

61

32

10

43

21

47

17

52

38

7

57

28

14

26

11

45

24

50

35

5

64

 

Рис. 22

 

Даже затрудняюсь сказать, какой метод построения проще: метод качелей или матричный метод.

 

Поскольку исходные обратимые квадраты для построения данной группы идеальных квадратов получаются из самого простого обратимого квадрата (заполненного числами по порядку) перестановкой строк и столбцов, то можно (как и в случае с идеальными квадратами 9-ого порядка) применить матричное преобразование дважды: сначала сделать матрицу преобразования, переставляющего в самом простом обратимом квадрате строки и столбцы, а затем применить уже представленное преобразование. Тогда с помощью нового матричного преобразования, объединившего оба этапа преобразований, можно будет строить идеальные квадраты из самых простых обратимых квадратов.

Подробно этот путь был показан для квадратов 9-ого порядка в статье “Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов”.

 

Но здесь будет показан первый путь, то есть уже представленное матричное преобразование. Итак, для того чтобы применить данное матричное преобразование, надо составить исходный обратимый квадрат. Как установлено, обратимый квадрат полностью определяется начальной цепочкой соответствующего ему идеального квадрата.

Г. Александров нашёл две группы частных решений для таких идеальных квадратов, начальные цепочки которых легко определяются. К сожалению, все идеальные квадраты чётно-чётного порядка (как и идеальные квадраты нечётного порядка) разделились на две группы порядков: n=8k и n=4*(2k+1). Рассмотрю здесь идеальные квадраты первой группы порядков.

Вот начальные цепочки Г. Александрова для группы частных решений этой серии порядков:

 

n=8                1  3  4  2  7  5  6  8

n=16              1  7  5  3  4  6  8  2  15  9  11  13  14  12  10  16

n=24              1  11  9  7  5  3  4  6  8  10  12  2  23 13  15  17  19  21  22  20  18  16  14  24 

n=32              1  15  13  11  9  7  5  3  4  6  8  10  12  14  16  2  31 17  19  21  23  25  27  29  30  28  26  24  22  20  18  32

и так далее.

 

Очевидно, что можно написать общую формулу начальной цепочки для подобных идеальных квадратов любого порядка n=8k, k=1, 2, 3… из данной группы частных решений.

Далее пишем матричное преобразование, представленное на рис. 17, тоже в общем виде. И теперь всё совсем просто: пишем программу, в которую будет достаточно ввести порядок квадрата, и программа мгновенно выдаст идеальный квадрат.

 

Понятно, что группа частных решений, описываемых представленными начальными цепочками Александрова, не является единственной группой частных решений. Представлю другую группу частных решений тоже для серии порядков n=8k, k=1, 2, 3…. Квадраты этой группы начинаются с числа 2, то есть число 2 стоит в левой верхней ячейке квадрата. Показываю начальные цепочки идеальных квадратов данной группы (рис. 23):

 

n=8

n=16

n=24

n=32

n=8k

2

2

2

2

 

2

4

4

4

4

 

4

3

6

6

6

 

6

1

8

8

8

 

8

8

7

10

10

 

6

5

12

12

 

 

5

3

11

14

 

 

7

1

9

16

 

 

 

16

7

15

 

 

 

14

5

13

 

 

 

12

3

11

 

 

 

10

1

9

 

 

 

9

24

7

 

 

 

11

22

5

 

 

 

13

20

3

 

 

15

18

1

 

9

 

 

16

32

 

7

 

 

14

30

 

5

 

 

13

28

 

3

 

 

15

26

 

1

 

 

17

24

 

n

 

 

19

22

 

n-2

 

 

21

20

 

n-4

 

 

23

18

 

n-6

 

 

 

17

 

n-8

 

 

 

19

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-7

 

 

 

 

 

n-5

 

 

 

 

 

n-3

 

 

 

 

 

n-1

 

Рис. 23

 

Вот такая незначительная модификация начальных цепочек Александрова даёт новую группу частных решений (кстати, именно об этой модификации начальных цепочек я писала на форуме; вот наступил удобный момент опробовать эту модификацию; это для тех, кто участвовал в форуме http://lib.mexmat.ru/forum/ и читал тему “Магические квадраты”).

Интересно отметить, что идеальные квадраты восьмого порядка этих двух групп связаны преобразованием “плюс-минус 1”. Удивительная связь! На рис. 24 вы видите идеальный квадрат из первой группы частных решений (с начальной цепочкой Александрова), а на рис. 25 изображён идеальный квадрат из второй группы частных решений (с модифицированной начальной цепочкой).

 

1

62

47

36

49

14

31

20

26

19

8

61

42

35

56

13

54

15

28

17

6

63

44

33

43

40

53

10

27

24

5

58

7

60

41

38

55

12

25

22

32

21

2

59

48

37

50

11

52

9

30

23

4

57

46

39

45

34

51

16

29

18

3

64

 

Рис. 24

 

2

61

48

35

50

13

32

19

25

20

7

62

41

36

55

14

53

16

27

18

5

64

43

34

44

39

54

9

28

23

6

57

8

59

42

37

56

11

26

21

31

22

1

60

47

38

49

12

51

10

29

24

3

58

45

40

46

33

52

15

30

17

4

63

 

Рис. 25

 

Сравните эти квадраты! Думаю, нет надобности показывать матрицу преобразования “плюс-минус 1”, превращающего один квадрат в другой, потому что связь очевидна. Замечу, что ни основными преобразованиями, ни параллельными переносами на торе квадрат с рис. 24 нельзя превратить в квадрат с рис. 25. Поэтому это два существенно различных идеальных квадрата, то есть они не являются эквивалентными. И даже перестановками строк и столбцов один квадрат не превращается в другой.

Для квадратов других порядков, вероятно, тоже существует похожая связь идеальных квадратов двух групп, но преобразование “плюс-минус …” будет комбинированным.

 

***

 

Вернёмся к построению идеальных квадратов из обратимых. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса будет демонстрироваться на примерах квадратов из второй группы частных решений. Сначала покажу конкретный пример для квадрата восьмого порядка. Начальная цепочка этого квадрата имеет вид:

 

2  4  3  1  8  6  5  7    (см. рис. 23).

 

Составим обратимый квадрат по данной начальной цепочке (рис. 26):

 

2

4

3

1

8

6

5

7

18

20

19

17

24

22

21

23

26

28

27

25

32

30

29

31

10

12

11

9

16

14

13

15

50

52

51

49

56

54

53

55

34

36

35

33

40

38

37

39

42

44

43

41

48

46

45

47

58

60

59

57

64

62

61

63

 

Рис. 26

 

Примените к этому обратимому квадрату преобразование, описанное матрицей на рис. 17, и вы получите идеальный квадрат, изображённый на рис. 25. Примените к квадрату с рис. 25 то же самое преобразование, и вы получите обратимый квадрат с рис. 26. Такая чудесная зависимость существует между обратимыми квадратами и идеальными квадратами порядка n=4k, имеющими начальную цепочку “ход конём”.

 

Ну, теперь надо продемонстрировать всё это для квадрата 16-ого порядка из рассматриваемой группы частных решений. Начнём с составления обратимого квадрата. Начальную цепочку берём в таблице на рис. 23. И вот перед вами обратимый квадрат 16-ого порядка, построенный для данной начальной цепочки (рис. 27):

 

2

4

6

8

7

5

3

1

16

14

12

10

9

11

13

15

34

36

38

40

39

37

35

33

48

46

44

42

41

43

45

47

66

68

70

72

71

69

67

65

80

78

76

74

73

75

77

79

98

100

102

104

103

101

99

97

112

110

108

106

105

107

109

111

114

116

118

120

119

117

115

113

128

126

124

122

121

123

125

127

82

84

86

88

87

85

83

81

96

94

92

90

89

91

93

95

50

52

54

56

55

53

51

49

64

62

60

58

57

59

61

63

18

20

22

24

23

21

19

17

32

30

28

26

25

27

29

31

226

228

230

232

231

229

227

225

240

238

236

234

233

235

237

239

194

196

198

200

199

197

195

193

208

206

204

202

201

203

205

207

162

164

166

168

167

165

163

161

176

174

172

170

169

171

173

175

130

132

134

136

135

133

131

129

144

142

140

138

137

139

141

143

146

148

150

152

151

149

147

145

160

158

156

154

153

155

157

159

178

180

182

184

183

181

179

177

192

190

188

186

185

187

189

191

210

212

214

216

215

213

211

209

224

222

220

218

217

219

221

223

242

244

246

248

247

245

243

241

256

254

252

250

249

251

253

255

 

Рис. 27

 

Теперь надо написать матрицу преобразования, аналогичную изображённой на рис. 17. Я уже написала такие матрицы для квадратов 12-ого и 16-ого порядка. Предлагаю сделать это читателям. После того, как вы напишете матрицу, примените это матричное преобразование к обратимому квадрату с рис. 27, и идеальный квадрат 16-ого порядка готов!

 

17 июня 2008 г.

 

Показываю матрицы преобразования для квадратов 12-ого и 16-ого порядка, превращающего обратимые квадраты в идеальные.  Для квадратов 12-ого порядка преобразование, конечно, тоже работает. В рассматриваемой сейчас группе частных решений нет квадратов порядка n=4*(2k+1). На рис. 28 вы видите матрицу преобразования для квадратов 12-ого порядка, а на рис. 29 – для квадратов 16-ого порядка.

 

a1,1

a12,11

a11,9

a10,7

a9,5

a8,3

a7,1

a6,11

a5,9

a4,7

a3,5

a2,3

a3,4

a2,2

a1,12

a12,10

a11,8

a10,6

a9,4

a8,2

a7,12

a6,10

a5,8

a4,6

a5,7

a4,5

a3,3

a2,1

a1,11

a12,9

a11,7

a10,5

a9,3

a8,1

a7,11

a6,9

a7,10

a6,8

a5,6

a4,4

a3,2

a2,12

a1,10

a12,8

a11,6

a10,4

a9,2

a8,12

a9,1

a8,11

a7,9

a6,7

a5,5

a4,3

a3,1

a2,11

a1,9

a12,7

a11,5

a10,3

a11,4

a10,2

a9,12

a8,10

a7,8

a6,6

a5,4

a4,2

a3,12

a2,10

a1,8

a12,6

a1,7

a12,5

a11,3

a10,1

a9,11

a8,9

a7,7

a6,5

a5,3

a4,1

a3,11

a2,9

a3,10

a2,8

a1,6

a12,4

a11,2

a10,12

a9,10

a8,8

a7,6

a6,4

a5,2

a4,12

a5,1

a4,11

a3,9

a2,7

a1,5

a12,3

a11,1

a10,11

a9,9

a8,7

a7,5

a6,3

a7,4

a6,2

a5,12

a4,10

a3,8

a2,6

a1,4

a12,2

a11,12

a10,10

a9,8

a8,6

a9,7

a8,5

a7,3

a6,1

a5,11

a4,9

a3,7

a2,5

a1,3

a12,1

a11,11

a10,9

a11,10

a10,8

a9,6

a8,4

a7,2

a6,12

a5,10

a4,8

a3,6

a2,4

a1,2

a12,12

 

Рис. 28

 

 

a1,1

a16,15

a15,13

a14,11

a13,9

a12,7

a11,5

a10,3

a9,1

a8,15

a7,13

a6,11

a5,9

a4,7

a3,5

a2,3

a3,4

a2,2

a1,16

a16,14

a15,12

a14,10

a13,8

a12,6

a11,4

a10,2

a9,16

a8,14

a7,12

a6,10

a5,8

a4,6

a5,7

a4,5

a3,3

a2,1

a1,15

a16,13

a15,11

a14,9

a13,7

a12,5

a11,3

a10,1

a9,15

a8,13

a7,11

a6,9

a7,10

a6,8

a5,6

a4,4

a3,2

a2,16

a1,14

a16,12

a15,10

a14,8

a13,6

a12,4

a11,2

a10,16

a9,14

a8,12

a9,13

a8,11

a7,9

a6,7

a5,5

a4,3

a3,1

a2,15

a1,13

a16,11

a15,9

a14,7

a13,5

a12,3

a11,1

a10,15

a11,16

a10,14

a9,12

a8,10

a7,8

a6,6

a5,4

a4,2

a3,16

a2,14

a1,12

a16,10

a15,8

a14,6

a13,4

a12,2

a13,3

a12,1

a11,15

a10,13

a9,11

a8,9

a7,7

a6,5

a5,3

a4,1

a3,15

a2,13

a1,11

a16,9

a15,7

a14,5

a15,6

a14,4

a13,2

a12,16

a11,14

a10,12

a9,10

a8,8

a7,6

a6,4

a5,2

a4,16

a3,14

a2,12

a1,10

a16,8

a1,9

a16,7

a15,5

a14,3

a13,1

a12,15

a11,13

a10,11

a9,9

a8,7

a7,5

a6,3

a5,1

a4,15

a3,13

a2,11

a3,12

a2,10

a1,8

a16,6

a15,4

a14,2

a13,16

a12,14

a11,12

a10,10

a9,8

a8,6

a7,4

a6,2

a5,16

a4,14

a5,15

a4,13

a3,11

a2,9

a1,7

a16,5

a15,3

a14,1

a13,15

a12,13

a11,11

a10,9

a9,7

a8,5

a7,3

a6,1

a7,2

a6,16

a5,14

a4,12

a3,10

a2,8

a1,6

a16,4

a15,2

a14,16

a13,14

a12,12

a11,10

a10,8

a9,6

a8,4

a9,5

a8,3

a7,1

a6,15

a5,13

a4,11

a3,9

a2,7

a1,5

a16,3

a15,1

a14,15

a13,13

a12,11

a11,9

a10,7

a11,8

a10,6

a9,4

a8,2

a7,16

a6,14

a5,12

a4,10

a3,8

a2,6

a1,4

a16,2

a15,16

a14,14

a13,12

a12,10

a13,11

a12,9

a11,7

a10,5

a9,3

a8,1

a7,15

a6,13

a5,11

a4,9

a3,7

a2,5

a1,3

a16,1

a15,15

a14,13

a15,14

a14,12

a13,10

a12,8

a11,6

a10,4

a9,2

a8,16

a7,14

a6,12

a5,10

a4,8

a3,6

a2,4

a1,2

a16,16

 

Рис. 29

 

Попутно расскажу немного о квадратах 12-ого порядка. Почему, например, в рассматриваемую группу частных решений не входят квадраты этого порядка? Составим начальную цепочку по аналогии с начальными цепочками в таблице на рис. 23:

 

2   4   6   5   3   1   12   10   8   7   9   11

 

Попробуем построить по этой начальной цепочке обратимый квадрат (рис. 30).

 

2

4

6

5

3

1

12

10

8

7

9

11

26

28

30

29

27

25

36

34

32

31

33

35

50

52

54

53

51

49

60

58

56

55

57

59

62

64

66

65

63

61

72

70

68

67

69

71

38

40

42

41

39

37

48

46

44

43

45

47

14

16

18

17

15

13

24

22

20

19

21

23

122

124

126

125

123

121

132

130

128

127

129

131

98

100

102

101

99

97

108

106

104

103

105

107

74

76

78

77

75

73

84

82

80

79

81

83

86

88

90

89

87

85

96

94

92

91

93

95

110

112

114

113

111

109

120

118

116

115

117

119

134

136

138

137

135

133

144

142

140

139

141

143

 

Рис. 30

 

Обратимый квадрат получился. Применим к нему матричное преобразование с рис. 28 и посмотрим, что же за квадрат у нас получится (рис. 31):

 

2

141

116

96

75

102

122

21

44

72

51

30

53

28

11

139

118

85

77

100

131

19

46

61

48

63

54

26

9

140

120

87

78

98

129

20

127

22

37

65

52

35

7

142

109

89

76

107

74

105

128

24

39

66

50

33

8

144

111

90

113

88

83

103

130

13

41

64

59

31

10

133

12

135

114

86

81

104

132

15

42

62

57

32

55

34

1

137

112

95

79

106

121

17

40

71

38

69

56

36

3

138

110

93

80

108

123

18

125

16

47

67

58

25

5

136

119

91

82

97

84

99

126

14

45

68

60

27

6

134

117

92

115

94

73

101

124

23

43

70

49

29

4

143

 

Рис. 31

 

Всё прекрасно в этом квадрате: он ассоциативный, суммы чисел во всех диагоналях (как главных, так и разломанных) равны магической константе квадрата, то есть он пандиагональный. Чего же не хватает? Да просто квадрат не магический! Нет магической суммы в строках и столбцах квадрата. Я называю такие квадраты квазиидеальными. Таким образом, не из любого обратимого квадрата 12-ого порядка данным преобразованием получается идеальный квадрат.

Так же все квадраты порядка n=4*(2k+1) выпадают из рассматриваемой группы частных решений. Для них существует другая группа частных решений, которая тоже найдена Александровым.

 

Кстати, интересно отметить, что совершенный квадрат из обратимого квадрата с рис. 30 с помощью матричного преобразования, которое я представила в статье о построении совершенных квадратов из обратимых, получается. Совершенный квадрат (любого порядка n=4k) получается из каждого обратимого квадрата, причём только один. Покажу этот совершенный квадрат (рис. 32):

 

2

141

6

140

3

144

11

136

7

137

10

133

35

112

31

113

34

109

26

117

30

116

27

120

50

93

54

92

51

96

59

88

55

89

58

85

71

76

67

77

70

73

62

81

66

80

63

84

38

105

42

104

39

108

47

100

43

101

46

97

23

124

19

125

22

121

14

129

18

128

15

132

134

9

138

8

135

12

143

4

139

5

142

1

119

28

115

29

118

25

110

33

114

32

111

36

86

57

90

56

87

60

95

52

91

53

94

49

83

64

79

65

82

61

74

69

78

68

75

72

98

45

102

44

99

48

107

40

103

41

106

37

131

16

127

17

130

13

122

21

126

20

123

24

 

Рис. 32

 

А теперь возьму другой обратимый квадрат 12-ого порядка (см. рис. 33) и применю к нему матричное преобразование, описанное матрицей с рис. 28.