1

12

13

8

14

7

2

11

4

9

16

5

15

6

3

10

 

 

         Внимание! Оригинал.

            При копировании материалов

            прошу указывать ссылку

            на данную страницу.

 

 

МЕТОД КАЧЕЛЕЙ ДЛЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

    ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Итак, я решила отдохнуть от идеальных квадратов, завершив построение квадратов 27-ого порядка. Напомню читателям, что это не самый большой порядок идеального квадрата, который я построила. Самый большой – это идеальный квадрат 81-ого порядка. Правда, я построила его не методом качелей, а двумя (!) другими методами. Метод качелей для таких идеальных квадратов – это уже третий метод. Построение идеального квадрата 81-ого порядка показано на странице “Пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 9”.

А идеальные квадраты порядков от 5-ого до 27-ого построены методом качелей в статье “Идеальные квадраты”, которая написана в 10 частях. Вот ссылка на самую первую часть:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

Решив немного отвлечься от больших квадратов, я подумала: а не работает ли метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков? И вот возвращаюсь к самым маленьким пандиагональным квадратикам – четвёртого порядка. Ах, какие крохотные! Даже удивительно с ними работать после таких больших квадратов, как 27-ого или 81-ого порядка. Пандиагональные квадраты четвёртого порядка подробно рассмотрены мной в статье “Пандиагональные квадраты”. Это была самая первая моя статья о пандиагональных квадратах.

 

Как известно, существует три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Все такие квадраты я построила, не задаваясь даже вопросом о методе их построения. Была у меня программа построения всех 880-ти магических квадратов четвёртого порядка, которую я написала 15 лет назад. Вставив в неё блок проверки пандиагональности, попутно получила по этой программе и 48 пандиагональных квадратов. Ну, потом из Википедии узнала, что существуют преобразования параллельного переноса на торе, и с точностью до этих преобразований есть только три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Я бы сказала лучше так: есть три группы квадратов, а в каждой группе есть основной (базовый) квадрат, из которого параллельным переносом на торе получаются все квадраты данной группы. На рис. 1 показываю три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка:

 

 

1

8

10

15

 

1

8

11

14

 

1

8

13

12

12

13

3

6

12

13

2

7

14

11

2

7

7

2

16

9

6

3

16

9

4

5

16

9

14

11

5

4

15

10

5

4

15

10

3

6

 

                                                                      Рис. 1

 

Обратите внимание на расположение первых 4 чисел (начальная цепочка). В квадратах первых двух групп схема расположения одинакова. Для этих базовых квадратов у меня не получились качели. А вот для базового квадрата третьей группы (на рис. 1 справа), с другим расположением начальной цепочки, качели работают! Точно так же, как и для пандиагональных квадратов нечётных порядков. На рис. 2 рисую образующую таблицу этого квадрата.

 

 

2

4

5

16

9

1

2

7

14

11

-2

1

8

13

12

-1

3

6

15

10

 

k=1

k=3

k=2

 

                                                                           Рис. 2

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для квадратов нечётного порядка. Интересно, не правда ли?

Ну, а дальше составляю программу, которая для такого малютки пишется за 5 минут. Выполняю программу и получаю результат – четыре пандиагональных квадрата. Вот такие чудеса в решете! Показываю эти четыре квадрата, выданных программой. Надо ли говорить, что программа работала долю секунды.

 

1

 1  8  13  12

 14  11  2  7

 4  5  16  9

 15  10  3  6

 

 2

 1  12  13  8

 14  7  2  11

 4  9  16  5

 15  6  3  10

 

 3

 1  8  13  12

 15  10  3  6

 4  5  16  9

 14  11  2  7

 

 4

 1  12  13  8

 15  6  3  10

 4  9  16  5

 14  7  2  11

 

Как видите, первый квадрат – это исходный. А три другие очень просто получаются из него разными преобразованиями. Смотрите сами: второй квадрат получается из исходного преобразованием стандартной перестановки столбцов, третий квадрат – преобразованием стандартной перестановки строк, а четвёртый квадрат – стандартной перестановкой одновременно строк и столбцов.

Я посмотрела, почему программа не выдала остальные квадраты этой группы, ведь их всего 16. Оказалось, что в остальных квадратах другое расположение максимальных чисел в столбцах образующей таблицы (выделенные голубым цветом ячейки на рис. 2), но качели всё равно действуют.

Показываю квадрат № 2, выданный программой с закрашенными циклами качания качелей (рис. 3).

 

 

1

12

13

8

14

7

2

11

4

9

16

5

15

6

3

10

 

                                                    Рис. 3

 

Да, а шаги качания качелей, очевидно, таковы: через одну ячейку вправо, через одну ячейку влево.

Ещё хочу отметить, что и преобразование “плюс-минус …” связывает квадраты данной группы. Например, квадраты № 1 и № 2, выданные программой, связаны преобразованием “плюс-минус 4”. Вот матрица этого преобразования (рис. 4):

 

 

+4

 

- 4

 

-4

 

+4

 

+4

 

-4

 

-4

 

+4

 

                                                    Рис. 4

 

Такое нехитрое преобразование сохраняет пандиагональность квадрата. Наложите эту матрицу на квадрат № 1; к числам, попавшим в жёлтые ячейке, прибавьте 4, а от чисел, попавших в розовые ячейки, вычтите 4, и новый пандиагональный квадрат готов. Он, разумеется, не совсем новый, а всего лишь один из квадратов группы квадрата № 1. А с точки зрения качелей это преобразование равносильно тому, что два цикла качания качелей поменялись местами. Покажу это, поместив оба квадрата рядом и закрасив в них циклы качания качелей (рис. 5).

 

                                                  Квадрат № 1             Квадрат № 2

 

1

8

13

12

 

1

12

13

8

14

11

2

7

14

7

2

11

4

5

16

9

4

9

16

5

15

10

3

6

15

6

3

10

 

                                                                      Рис. 5

 

На рисунке очень хорошо видно, что оранжевый и белый циклы поменялись местами. Напомню читателям, что циклы качания качелей соответствуют столбцам образующей таблицы. Подобные преобразования я показывала в свете метода качелей для идеальных квадратов нескольких порядков (в статье “Идеальные квадраты”).

 

А теперь сама собой напрашивается мысль: а для квадратов высших чётно-чётных порядков действует метод качелей? Ну, просто сил нет! Это надо сейчас же смотреть пандиагональные квадраты восьмого порядка на предмет работы качелей.

Но если вдруг окажется, что и для квадратов восьмого порядка можно построить пандиагональные квадраты методом качелей, и для квадратов 12-ого порядка, и вообще для любого чётно-чётного порядка, то получается сенсация:

 

метод качелей – универсальный метод построения пандиагональных квадратов любого порядка!!!

 

Нет, право же надо отдохнуть. Не буду прямо сейчас смотреть на пандиагональньные квадраты восьмого порядка. Предлагаю сделать это читателям. Сенсацию я уже объявила. Почти уверена, что она действительно имеет место. Для пандиагональных квадратов четвёртого порядка это уже показано. Если кто-то из читателей покажет это на примере пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков больше 4, то всё равно открытие будет принадлежать мне. Согласны?

 

                                                             ***

 

Читайте мой живой журнал:

 

http://nataly-magique.livejournal.com/

 

                                                                  _________

 

 

17 января 2008 г.

г. Саратов

 

                                       18 января 2008 г.

 

Я переименовала статью, прежнее её название было “Пандиагональные квадраты четвёртого порядка в свете метода качелей”. Выше и были показаны квадраты четвёртого порядка.

 

А теперь покажу подтверждение объявленной сенсации на примере пандиагональных квадратов 12-ого порядка. Пока пропускаю квадраты 8-ого порядка, потому что с ходу не увидела квадрата, подходящего для метода качелей. А вот для пандиагонального квадрата 12-ого порядка сочинила образующую таблицу сразу (см. рис. 6), запрограммировала её и получила огромное количество пандиагональных квадратов подобного типа. Просто фантастика!

 

 

 

12

 

 

 

 

 

144

 

 

 

 

 

I-J

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J-K

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K-L

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L-M

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M-1

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-N

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-O

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O-Q

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q-R

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-S

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S-12

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=

k=

k=11

k=

k=

k=

k=

k=

 

                                                                           Рис. 6

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для пандиагональных квадратов нечётного порядка (идеальные квадраты, как известно, частный случай пандиагональных квадратов). Номера циклов качания качелей (нижняя строка образующей таблицы) тоже находятся в определённой зависимости от чисел в начальной цепочке. Читатели смогут увидеть эту зависимость в готовых образующих таблицах, которые буду показаны дальше. Итак, я зафиксировала в начальной цепочке положение двух чисел – 12 и 1. Все остальные числа в этой цепочке варьируются. Таким образом, имеем 10 переменных, каждая из которых принимает значения от 2 до 11. Представьте, сколько вариантов должна рассмотреть программа! У меня, как всегда, не хватило терпения прогнать программу до конца. Запустив программу, я ушла завтракать. Вернувшись, обнаружила, что программа ещё работает. Я прервала её, к моменту прерывания было найдено 1512 решений.

Как и раньше, я вывожу решения в виде образующих таблиц. Показываю первые три решения, сначала в том виде, как они выдались программой, а затем превращаю каждую образующую таблицу в пандиагональный квадрат.

 

1

-1 -1 -1 -1  5 -7  1 -2 -2  1 -2

 12  131  115  97  89  75  144  59  67  37  17  27

 2  130  117  104  90  76  134  58  69  44  18  28

 3  132  119  103  85  77  135  60  71  43  13  29

 4  122  118  105  92  78  136  50  70  45  20  30

 5  123  120  107  91  73  137  51  72  47  19  25

 6  124  110  106  93  80  138  52  62  46  21  32

 1  125  111  108  95  79  133  53  63  48  23  31

 8  126  112  98  94  81  140  54  64  38  22  33

 7  121  113  99  96  83  139  49  65  39  24  35

 9  128  114  100  86  82  141  56  66  40  14  34

 11  127  109  101  87  84  143  55  61  41  15  36

 10  129  116  102  88  74  142  57  68  42  16  26

 

 2

-1 -1 -1 -1  5 -10  1  1  1  1 -5

 12  128  118  97  89  75  144  20  34  37  53  63

 2  127  117  107  90  76  134  19  33  47  54  64

 3  132  116  106  85  77  135  24  32  46  49  65

 4  122  115  105  95  78  136  14  31  45  59  66

 5  123  120  104  94  73  137  15  36  44  58  61

 6  124  110  103  93  83  138  16  26  43  57  71

 1  125  111  108  92  82  133  17  27  48  56  70

 11  126  112  98  91  81  143  18  28  38  55  69

 10  121  113  99  96  80  142  13  29  39  60  68

 9  131  114  100  86  79  141  23  30  40  50  67

 8  130  109  101  87  84  140  22  25  41  51  72

 7  129  119  102  88  74  139  21  35  42  52  62

 

 3

-1 -1 -1 -2  6 -10  1  1  1  2 -6

 12  128  118  97  89  63  144  20  34  37  53  75

 2  126  117  107  91  64  134  18  33  47  55  76

 3  132  116  106  85  65  135  24  32  46  49  77

 4  122  114  105  95  67  136  14  30  45  59  79

 5  123  120  104  94  61  137  15  36  44  58  73

 7  124  110  102  93  71  139  16  26  42  57  83

 1  125  111  108  92  70  133  17  27  48  56  82

 11  127  112  98  90  69  143  19  28  38  54  81

 10  121  113  99  96  68  142  13  29  39  60  80

 9  131  115  100  86  66  141  23  31  40  50  78

 8  130  109  101  87  72  140  22  25  41  51  84

 6  129  119  103  88  62  138  21  35  43  52  74

 

В первой строке (сразу за номером решения) выводятся разности (самый левый столбец образующей таблицы). Напомню читателям, что образующую таблицу переписывать в готовый квадрат очень удобно построчно. Замечу, что у меня не выводятся номера циклов качания качелей (самая нижняя строка образующей таблицы). Итак, смотрите на пандиагональные квадраты 12-ого порядка, порождаемые приведёнными образующими таблицами (рис. 7, 8, 9).

 

 

1

125

111

108

95

79

133

53

63

48

23

31

21

32

6

124

110

106

93

80

138

52

62

46

72

47

19

25

5

123

120

107

91

73

137

51

136

50

70

45

20

30

4

122

118

105

92

78

85

77

135

60

71

43

13

29

3

132

119

103

117

104

90

76

134

58

69

44

18

28

2

130

12

131

115

97

89

75

144

59

67

37

17

27

16

26

10

129

116

102

88

74

142

57

68

42

61

41

15

36

11

127

109

101

87

84

143

55

141

56

66

40

14

34

9

128

114

100

86

82

96

83

139

49

65

39

24

35

7

121

113

99

112

98

94

81

140

54

64

38

22

33

8

126

 

                                                                       Рис. 7

 

 

1

125

111

108

92

82

133

17

27

48

56

70

57

71

6

124

110

103

93

83

138

16

26

43

36

44

58

61

5

123

120

104

94

73

137

15

136

14

31

45

59

66

4

122

115

105

95

78

85

77

135

24

32

46

49

65

3

132

116

106

117

107

90

76

134

19

33

47

54

64

2

127

12

128

118

97

89

75

144

20

34

37

53

63

52

62

7

129

119

102

88

74

139

21

35

42

25

41

51

72

8

130

109

101

87

84

140

22

141

23

30

40

50

67

9

131

114

100

86

79

96

80

142

13

29

39

60

68

10

121

113

99

112

98

91

81

143

18

28

38

55

69

11

126

 

                                                                      Рис. 8

 

 

1

125

111

108

92

70

133

17

27

48

56

82

57

83

7

124

110

102

93

71

139

16

26

42

36

44

58

73

5

123

120

104

94

61

137

15

136

14

30

45

59

79

4

122

114

105

95

67

85

65

135

24

32

46

49

77

3

132

116

106

117

107

91

64

134

18

33

47

55

76

2

126

12

128

118

97

89

63

144

20

34

37

53

75

52

74

6

129

119

103

88

62

138

21

35

43

25

41

51

84

8

130

109

101

87

72

140

22

141

23

31

40

50

78

9

131

115

100

86

66

96

68

142

13

29

39

60

80

10

121

113

99

112

98

90

69

143

19

28

38

54

81

11

127

 

                                                                      Рис. 9

 

Удивительно красивые пандиагональные квадраты! В левой верхней ячейке у них находится число 1 – вообще самые лучшие магические квадраты, которые с числа 1 начинаются (мне так кажется). Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 9 ячеек вправо. Заметьте, что сумма шагов качания 1+9=10, на 2 меньше порядка квадрата. Точно так же и для всех качелей в квадратах нечётного порядка. Отразив любой из этих трёх квадратов относительно одной из осей симметрии, получим пандиагональный квадрат с качелями, имеющими симметричные шаги качания, то есть через 1 ячейку вправо, через 9 ячеек влево. Всего же для квадратов 12-ого порядка должно быть пять видов качелей, с такими сложениями шагов качания: 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5. Не могу утверждать, что все они имеют место, так как не имею образцов с такими качелями.

 

А теперь посмотрите на последние два квадрата. Только два числа в начальной цепочке поменялись местами – 6 и 7. И, конечно же, эти квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Напомню, что комбинированным преобразованием “плюс-минус …” я называю такое преобразование, в котором участвуют несколько чисел, в отличие от простого преобразования, в котором участвует только одно число. Простое преобразование “плюс-минус 4” было показано выше для квадратов четвёртого порядка. На рис. 10 показываю матрицу комбинированного преобразования “плюс-минус …” для пандиагональных квадратов с рис. 8 и 9. Замечу, что для краткости я не пишу в ячейках матрицы aij.

 

 

 

 

 

 

 

-12

 

 

 

 

 

+12

 

+12

+1

 

 

-1

 

-12

+1

 

 

-1

 

 

 

+12

 

 

 

 

 

-12

 

 

 

 

-1

 

 

+13

 

 

-1

 

 

-11

 

-12

 

 

 

 

 

+12

 

 

 

 

 

 

+1

-12

 

-1

 

 

+1

+12

 

-1

 

 

 

 

 

-12

 

 

 

 

 

+12

 

+12

-1

 

 

+1

 

-12

-1

 

 

+1

 

 

 

+12

 

 

 

 

 

-12

 

 

 

 

+1

 

 

+11

 

 

+1

 

 

-13

 

-12

 

 

 

 

 

+12

 

 

 

 

 

 

-1

-12

 

+1

 

 

-1

+12

 

+1

 

                                                   Рис. 10

 

Вот такое красивое преобразование, которое, понятно, сохраняет пандиагональность квадрата. Читатели уже знают, как пользоваться этой матрицей. Надо наложить её на квадрат с рис. 8, выполнить все действия над числами, попавшими в закрашенные ячейки, а остальные числа переписать без изменения. И новый пандиагональный квадрат готов – это квадрат с рис. 9. Как видите, в преобразовании участвуют четыре числа – 1, 11, 12, 13.

Безусловно, среди всех пандиагональных квадратов этой группы есть ещё много квадратов, связанных преобразованиями такого типа. Но сочинить такое преобразование, не имея перед собой двух готовых квадратов, крайне сложно.

 

Если вы захотите получить много пандиагональных квадратов такого вида, составьте программу для образующей таблицы, изображённой на рис. 6 и выполните её. Вряд ли вам удастся выполнить её до конца, а если удастся, то вы получите точное число таких пандиагональных квадратов. Не поленитесь вставить в программу блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. Тогда вы будете получать решения в виде готовых пандиагональных квадратов. Как я уже говорила, решений будет очень много; я прервала программу, когда уже было найдено 1512 решений.

 

Вот посмотрите на пандиагональный квадрат, который я построила матричным методом в статье “Магические квадраты 12-ого порядка” (рис. 11).

 

1

132

19

138

3

130

21

136

5

128

23

134

143

14

125

8

141

16

123

10

139

18

121

12

74

59

92

65

76

57

94

63

78

55

96

61

72

85

54

79

70

87

52

81

68

89

50

83

25

108

43

114

27

106

45

112

29

104

47

110

119

38

101

32

117

40

99

34

115

42

97

36

98

35

116

41

100

33

118

39

102

31

120

37

48

109

30

103

46

111

28

105

44

113

26

107

49

84

67

90

51

82

69

88

53

80

71

86

95

62

77

56

93

64

75

58

91

66

73

60

122

11

140

17

124

9

142

15

126

7

144

13

24

133

6

127

22

135

4

129

20

137

2

131

 

                                                                      Рис. 11

 

В этом квадрате качели не работают. Вполне вероятно, что его можно превратить простой перестановкой строк и столбцов в такой квадрат, в котором качели будут действовать. У меня есть программа перестановки строк и столбцов для квадратов 12-ого порядка, при помощи которой я получала пандиагональные квадраты из ассоциативного. Надо будет на досуге попробовать переставить строки и столбцы в этом квадрате. Однако это может и не получиться.

Но достаточен тот факт, что я смогла методом качелей построить множество пандиагональных квадратов 12-ого порядка, хотя и только одного вида. Вполне возможно, что существует группа или даже несколько групп пандиагональных квадратов 12-ого порядка, которые не строятся методом качелей. Кстати, для квадратов четвёртого порядка тоже не все три группы квадратов были построены методом качелей, а только одна группа. Интересный вопрос для исследований.

 

А теперь, конечно, мне очень хочется показать метод качелей для пандиагональных квадратов 8-ого порядка. Но надо сочинить образующую таблицу. Пойду решать задачу.

 

Замечу, что о магических квадратах 12-ого порядка вы можете прочитать в статьях:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk12.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/panch.htm

 

                                                   ***

 

                                                    19 января 2008 г.

 

Сочинила образующую таблицу для пандиагонального квадрата 8-ого порядка по аналогии с таблицей для квадрата 12-ого порядка. Она изображена на рис. 12.

 

 

8

 

 

 

64

 

 

 

I-J

I

 

 

 

 

 

 

 

J-K

J

 

 

 

 

 

 

 

K-1

K

 

 

 

 

 

 

 

1-L

1

 

 

 

 

 

 

 

L-M

L

 

 

 

 

 

 

 

M-N

M

 

 

 

 

 

 

 

N-8

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

k=

k=

k=7

k=

k=

k=

 

                                                                           Рис. 12

 

Сильная вещь – аналогия! Из всех имеющихся у меня пандиагональных квадратов 8-ого порядка (а их у меня более 720!) не нашла ни одного квадрата, в котором явно работают качели. Тогда решила нарисовать образующую таблицу по аналогии с предыдущей. И, кажется, всё получилось.

Сейчас составлю программу для этой образующей таблицы и получу много-много пандиагональных квадратов, каких в моей коллекции ещё нет. Восторг!

Поскольку здесь всего 6 переменных и изменяются они от 2 до 7, есть надежда получить все пандиагональные квадраты данного вида.

 

                                               ***

 

Продолжаю свой рассказ. Программа составилась быстро и выполнилась мгновенно. Я даже отбросила в сторону лень и написала в программе блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. И программа выдала мне 144 пандиагональных квадрата 8-ого порядка! Торжествую и радуюсь. Я среди этих квадратов такой квадратик нашла – просто пальчики оближешь! Но сначала покажу первые 7 решений, выданных программой, могла бы и все 144 показать, но много места займут. А прикреплять отдельным файлом не хочется, тем более что у меня уже есть на сайте файл с пандиагональными квадратами 8-ого порядка, построенными матричным методом (720 штук!).

 

1

 1  51  48  38  57  27  24  14

 23  13  4  50  47  37  60  26

 59  32  22  9  3  56  46  33

 45  36  58  31  21  12  2  55

 8  54  41  35  64  30  17  11

 20  10  7  53  44  34  63  29

 62  25  19  16  6  49  43  40

 42  39  61  28  18  15  5  52

 

 2

 1  51  48  38  57  11  24  30

 21  31  4  50  45  39  60  10

 59  16  22  25  3  56  46  33

 47  36  58  13  23  28  2  53

 8  54  41  35  64  14  17  27

 20  26  5  55  44  34  61  15

 62  9  19  32  6  49  43  40

 42  37  63  12  18  29  7  52

 

 3

 1  51  48  30  57  35  24  14

 23  12  5  50  47  28  61  34

 59  40  22  9  3  56  46  25

 44  29  58  39  20  13  2  55

 8  54  41  27  64  38  17  11

 21  10  7  52  45  26  63  36

 62  33  19  16  6  49  43  32

 42  31  60  37  18  15  4  53

 

 4

 1  51  48  30  57  11  24  38

 20  39  5  50  44  31  61  10

 59  16  22  33  3  56  46  25

 47  29  58  12  23  37  2  52

 8  54  41  27  64  14  17  35

 21  34  4  55  45  26  60  15

 62  9  19  40  6  49  43  32

 42  28  63  13  18  36  7  53

 

 5

 1  51  48  14  57  35  24  30

 21  28  7  50  45  12  63  34

 59  40  22  25  3  56  46  9

 44  15  58  37  20  31  2  53

 8  54  41  11  64  38  17  27

 23  26  5  52  47  10  61  36

 62  33  19  32  6  49  43  16

 42  13  60  39  18  29  4  55

 

 6

 1  51  48  14  57  27  24  38

 20  37  7  50  44  13  63  26

 59  32  22  33  3  56  46  9

 45  15  58  28  21  39  2  52

 8  54  41  11  64  30  17  35

 23  34  4  53  47  10  60  29

 62  25  19  40  6  49  43  16

 42  12  61  31  18  36  5  55

 

 7

 1  52  40  45  57  20  32  13

 31  14  3  50  39  46  59  18

 60  24  29  9  4  56  37  41

 38  43  58  23  30  11  2  55

 8  53  33  44  64  21  25  12

 27  10  7  54  35  42  63  22

 61  17  28  16  5  49  36  48

 34  47  62  19  26  15  6  51

 

 

Помещу в матрицу самое первое решение и закрашу все циклы качания качелей (рис. 13).

 

 

1

51

48

38

57

27

24

14

23

13

4

50

47

37

60

26

59

32

22

9

3

56

46

33

45

36

58

31

21

12

2

55

8

54

41

35

64

30

17

11

20

10

7

53

44

34

63

29

62

25

19

16

6

49

43

40

42

39

61

28

18

15

5

52

 

                                                                      Рис. 13

 

Вам нравится? Мне очень! Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо. Сумма шагов, как видите, снова на 2 меньше порядка квадрата, как абсолютно во всех рассмотренных мной качелях.

Предлагаю читателям исследовать представленные квадраты на предмет преобразования “плюс-минус …”.

 

А теперь покажу квадрат, который просто великолепен. Когда я рассматривала квадраты 12-ого порядка, составленные по аналогичной образующей таблице, там я просто не дошла до аналогичного квадрата, потому что слишком много решений, и я их не стала даже все выводить и прервала программу. А вот здесь всё проще – и какой результат! Все 144 квадрата я, конечно же, вывела в файл. Потом посмотрела на них очень внимательно и увидела этот квадрат. Вот он, на рис. 14.

 

 

1

35

48

54

57

27

24

14

23

13

2

36

47

53

58

28

59

32

22

9

3

40

46

49

45

50

60

31

21

10

4

39

8

38

41

51

64

30

17

11

18

12

7

37

42

52

63

29

62

25

19

16

6

33

43

56

44

55

61

26

20

15

5

34

 

                                                                      Рис. 14

 

В чём же великолепие этого квадрата? Посмотрите на расположение чисел в начальной цепочке. Они следуют по порядку! И образующая таблица этого квадрата тривиальна так же, как в аналогичных качелях для идеальных квадратов нечётных порядков, не кратных 3. Вот покажу и образующую таблицу этого квадрата, чтобы читатели лучше поняли, в чём вся прелесть этого квадрата. Да, замечу, кстати, что среди решений, выданных программой, этот квадрат стоит под № 55. Смотрите на образующую таблицу (рис. 15):

 

 

 

8

38

41

51

64

30

17

11

1

4

39

45

50

60

31

21

10

1

3

40

46

49

59

32

22

9

1

2

36

47

53

58

28

23

13

-4

1

35

48

54

57

27

24

14

-1

5

34

44

55

61

26

20

15

-1

6

33

43

56

62

25

19

16

-1

7

37

42

52

63

29

18

12

 

 

k=4

k=5

k=6

k=7

k=3

k=2

k=1

 

                                                                           Рис. 15

 

Аналогичный квадрат есть и среди решений для пандиагональных квадратов 12-ого порядка (я получила его, искусственно задав в программе нужные значения переменных). Показываю его (рис. 16):

 

 

1

75

89

108

118

128

133

63

53

48

34

20

33

19

2

76

90

107

117

127

134

64

54

47

60

46

32

13

3

77

96

106

116

121

135

65

136

66

59

45

31

14

4

78

95

105

115

122

109

123

137

72

58

44

25

15

5

84

94

104

93

103

110

124

138

71

57

43

26

16

6

83

12

82

92

97

111

125

144

70

56

37

27

17

28

18

11

81

91

98

112

126

143

69

55

38

49

39

29

24

10

80

85

99

113

132

142

68

141

67

50

40

30

23

9

79

86

100

114

131

120

130

140

61

51

41

36

22

8

73

87

101

88

102

119

129

139

62

52

42

35

21

7

74

 

                                                                      Рис. 16

 

Нарисуйте образующую таблицу этого квадрата (пустая таблица для этого изображена на рис. 6). И вы увидите ещё лучше все закономерности.

 

А теперь внимание! Это же я не просто так показала такие прекрасные образцы пандиагональных квадратов 8-ого и 12-ого порядка. Дело в том, что по аналогии с этими квадратами строится пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка безо всяких вычислений. Просто рисуется аналогичная образующая таблица, заполняется по закону её формирования, а затем переписывается в матрицу для квадрата (построчно). И всё! Но так можно построить только один квадрат (точно так же, как простыми качелями с тривиальной образующей таблицей можно построить только один идеальный квадрат нечётного порядка, не кратного 3). А остальные квадраты надо, конечно, строить по программе. Для квадратов 8-ого порядка программа построила 144 таких квадрата. Для квадратов 12-ого и 16-ого порядка их число очень большое.

Итак, проделаю всё сказанное для квадрата 16-ого порядка. На рис. 17 вы видите совершенно аналогичную образующую таблицу, которая заполняется элементарно.

 

 

 

16

142

156

170

177

195

213

231

256

126

108

90

65

51

37

23

1

8

143

157

171

185

194

212

230

248

127

109

91

73

50

36

22

1

7

144

158

172

186

193

211

229

247

128

110

92

74

49

35

21

1

6

136

159

173

187

201

210

228

246

120

111

93

75

57

34

20

1

5

135

160

174

188

202

209

227

245

119

112

94

76

58

33

19

1

4

134

152

175

189

203

217

226

244

118

104

95

77

59

41

18

1

3

133

151

176

190

204

218

225

243

117

103

96

78

60

42

17

1

2

132

150

168

191

205

219

233

242

116

102

88

79

61

43

25

-8

1

131

149

167

192

206

220

234

241

115

101

87

80

62

44

26

-1

9

130

148

166

184

207

221

235

249

114

100

86

72

63

45

27

-1

10

129

147

165

183

208

222

236

250

113

99

85

71

64

46

28

-1

11

137

146

164

182

200

223

237

251

121

98

84

70

56

47

29

-1

12

138

145

163

181

199

224

238

252

122

97

83

69

55

48

30

-1

13

139

153

162

180

198

216

239

253

123

105

82

68

54

40

31

-1

14

140

154

161

179

197

215

240

254

124

106

81

67

53

39

32

-1

15

141

155

169

178

196

214

232

255

125

107

89

66

52

38

24

 

 

k=8

k=9

k=10

k=11

k=12

k=13

k=14

k=15

k=7

k=6

k=5

k=4

k=3

k=2

k=1

 

                                                                      Рис. 17

 

Напомню читателям, как формируются наборы чисел в столбцах образующей таблицы (для тех, кто не читал статью о качелях для идеальных квадратов). Процесс начинается с максимального числа в столбце, которое обязательно кратно порядку квадрата (в таблице эти числа находятся в выделенных голубым цветом ячейках). От этого числа надо двигаться вверх по столбцу, прибавляя разности из самого левого столбца таблицы, начиная с самой нижней. Дойдя до верхнего края, начинать писать числа с самого нижнего края таблицы, опять снизу вверх. Сформирую, например, набор чисел в первом столбце таблицы, следующем за столбцом с начальной цепочкой чисел.

 

144+(-1)=143, 143+(-1)=142, 142+(-1)=141, 141+(-1)=140, 140+(-1)=139

139+(-1)=138, 138+(-1)=137, 137+(-8)=129, 129+1=130, 130+1=131

131+1=132, 132+1=133, 133+1=134, 134+1=135, 135+1=136

 

Всё о закономерностях образующей таблицы я рассказывала очень подробно в статье “Идеальные квадраты”.

Как видите, процесс формирования образующей таблицы в этом частном случае очень прост, потому что все разности равны 1 или -1, кроме одной, равной -8.

А теперь нет ничего проще переписать эту образующую таблицу в готовый пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Это делается построчно, как я уже не раз говорила. И на рис. 17 вы видите готовый пандиагональный квадрат, порождаемый этой образующей таблицей.

 

 

1

131

149

167

192

206

220

234

241

115

101

87

80

62

44

26

43

25

2

132

150

168

191

205

219

233

242

116

102

88

79

61

78

60

42

17

3

133

151

176

190

204

218

225

243

117

103

96

104

95

77

59

41

18

4

134

152

175

189

203

217

226

244

118

245

119

112

94

76

58

33

19

5

135

160

174

188

202

209

227

210

228

246

120

111

93

75

57

34

20

6

136

159

173

187

201

186

193

211

229

247

128

110

92

74

49

35

21

7

144

158

172

157

171

185

194

212

230

248

127

109

91

73

50

36

22

8

143

16

142

156

170

177

195

213

231

256

126

108

90

65

51

37

23

38

24

15

141

155

169

178

196

214

232

255

125

107

89

66

52

67

53

39

32

14

140

154

161

179

197

215

240

254

124

106

81

105

82

68

54

40

31

13

139

153

162

180

198

216

239

253

123

252

122

97

83

69

55

48

30

12

138

145

163

181

199

224

238

223

237

251

121

98

84

70

56

47

29

11

137

146

164

182

200

183

208

222

236

250

113

99

85

71

64

46

28

10

129

147

165

148

166

184

207

221

235

249

114

100

86

72

63

45

27

9

130

 

                                                                      Рис. 17

 

Вы ещё не убедились, что с помощью таких качелей можно построить пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка? Покажу тогда ещё пандиагональный квадрат 20-ого порядка, построенный этим методом. Но только пропускаю образующую таблицу, сразу даю сам квадрат (рис. 18).

 

 

1

203

225

247

269

300

318

336

354

372

381

183

165

147

129

120

98

76

54

32

53

31

2

204

226

248

270

299

317

335

353

371

382

184

166

148

130

119

97

75

96

74

52

21

3

205

227

249

280

298

316

334

352

361

383

185

167

149

140

118

139

117

95

73

51

22

4

206

228

250

279

297

315

333

351

362

384

186

168

150

169

160

138

116

94

72

41

23

5

207

229

260

278

296

314

332

341

363

385

187

386

188

170

159

137

115

93

71

42

24

6

208

230

259

277

295

313

331

342

364

343

365

387

189

180

158

136

114

92

61

43

25

7

209

240

258

276

294

312

321

311

322

344

366

388

190

179

157

135

113

91

62

44

26

8

210

239

257

275

293

274

292

301

323

345

367

389

200

178

156

134

112

81

63

45

27

9

220

238

256

237

255

273

291

302

324

346

368

390

199

177

155

133

111

82

64

46

28

10

219

20

218

236

254

272

281

303

325

347

369

400

198

176

154

132

101

83

65

47

29

48

30

19

217

235

253

271

282

304

326

348

370

399

197

175

153

131

102

84

66

85

67

49

40

18

216

234

252

261

283

305

327

349

380

398

196

174

152

121

103

122

104

86

68

50

39

17

215

233

251

262

284

306

328

350

379

397

195

173

151

172

141

123

105

87

69

60

38

16

214

232

241

263

285

307

329

360

378

396

194

395

193

171

142

124

106

88

70

59

37

15

213

231

242

264

286

308

330

359

377

358

376

394

192

161

143

125

107

89

80

58

36

14

212

221

243

265

287

309

340

310

339

357

375

393

191

162

144

126

108

90

79

57

35

13

211

222

244

266

288

267

289

320

338

356

374

392

181

163

145

127

109

100

78

56

34

12

201

223

245

224

246

268

290

319

337

355

373

391

182

164

146

128

110

99

77

55

33

11

202

 

                                                                  Рис. 18

 

В квадрате выделен 19-ый, последний, цикл качания качелей жёлтым цветом. Напомню: каждый цикл качания качелей – это соответствующий столбец в образующей таблице. Качели здесь качаются так: через 1 ячейку влево, через 17 ячеек вправо, сумма шагов качания как всегда на 2 меньше порядка квадрата.

 

Интересно отметить, что в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка” описан ещё один очень простой и оригинальный метод построения пандиагональных квадратов двойной чётности – это определённые преобразования трёх квадратов внутри ассоциативного квадрата, построенного, например, методом квадратных рамок. Этот метод я обнаружила, работая с программой перестановки строк и столбцов в ассоциативном квадрате с целью получения пандиагонального квадрата. Кстати, применяемые мной преобразования трёх квадратов есть не что иное, как перестановка строк и столбцов определённым образом. Покажу здесь для сравнения с только что построенным пандиагональным квадратом квадрат из указанной статьи (рис. 19).

 

 

1

382

58

357

85

306

134

273

169

230

20

399

43

344

96

315

127

268

172

231

40

59

383

84

356

135

307

168

272

211

21

42

398

97

345

126

314

173

269

210

60

39

83

384

136

355

167

308

212

271

41

22

98

397

125

346

174

313

209

270

61

82

38

137

385

166

354

213

309

250

80

99

23

124

396

175

347

208

312

251

81

62

138

37

165

386

214

353

249

310

100

79

123

24

176

395

207

348

252

311

120

139

63

164

36

215

387

248

352

291

101

122

78

177

25

206

394

253

349

290

140

119

163

64

216

35

247

388

292

351

121

102

178

77

205

26

254

393

289

350

141

162

118

217

65

246

34

293

389

330

160

179

103

204

76

255

27

288

392

331

161

142

218

117

245

66

294

33

329

390

180

159

203

104

256

75

287

28

332

391

200

219

143

244

116

295

67

328

32

371

181

202

158

257

105

286

74

333

29

370

381

2

358

57

305

86

274

133

229

170

400

19

343

44

316

95

267

128

232

171

380

359

3

304

56

275

87

228

132

191

361

342

18

317

45

266

94

233

129

190

360

379

303

4

276

55

227

88

192

131

341

362

318

17

265

46

234

93

189

130

321

302

378

277

5

226

54

193

89

150

340

319

363

264

16

235

47

188

92

151

301

322

278

377

225

6

194

53

149

90

320

339

263

364

236

15

187

48

152

91

300

279

323

224

376

195

7

148

52

111

281

262

338

237

365

186

14

153

49

110

280

299

223

324

196