ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНЫХ ПОРЯДКОВ

 

                                                                       Часть I

 

 

Ещё раз остановлюсь на методах построения пандиагональных квадратов порядка двойной чётности, то есть порядка n=4k, k=1,2,3,…

 

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка я строила очень просто, даже не задумываясь о методах. В программу построения всех квадратов четвёртого порядка вставила блок проверки пандиагональности, и таким образом одновременно со всеми квадратами четвёртого порядка (которых 880) получила и 48 пандиагональных квадратов. Так что с этими квадратами всё очень просто.

Далее у нас идут квадраты восьмого порядка. На странице “Магические квадраты восьмого порядка” я рассказала о матричном методе построения пандиагональных квадратов восьмого порядка, который нашла в Интернете (ссылку см. на указанной странице).

Ещё один метод придумал Г. Александров (см. http://renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm).

 

Здесь я хочу рассказать о третьем методе построения пандиагональных квадратов восьмого порядка. Этот метод, как мне кажется, годен для квадрата любого порядка n=4k, k=1,2,3,…

Но сначала конкретно для квадратов восьмого порядка. Метод очень прост. Я составила программу перестановки строк и столбцов. В эту программу в качестве исходного вводим: а) ассоциативный квадрат, построенный методом квадратных рамок; б) ассоциативный квадрат, построенный методом Рауз-Болла; в) полумагический квадрат, построенный методом четырёх квадратов. Все перечисленные квадраты строятся очень просто (см. страницу “Методы построения магических квадратов”).

Начнём с ассоциативного квадрата, построенного методом квадратных рамок. Этот квадрат вы видите на рис. 1.

 

 

1

58

22

45

44

19

63

8

16

23

59

36

37

62

18

9

24

15

35

60

61

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

4

5

30

50

41

56

47

3

28

29

6

42

49

57

2

46

21

20

43

7

64

 

                                                   Рис. 1

 

Введя этот квадрат в программу перестановки строк и столбцов, я получила очень много пандиагональных квадратов. В первом из полученных квадратов (на рис. 2 слева) переставлены только столбцы, а далее среди квадратов были и такие, которые получены перестановкой и строк, и столбцов; один из таких квадратов показан на рис. 2 справа.

 

 

1

58

45

22

8

63

44

19

 

8

63

44

22

1

58

45

19

16

23

36

59

9

18

37

62

 

9

18

37

59

16

23

36

62

24

15

60

35

17

10

61

38

 

17

10

61

35

24

15

60

38

25

34

53

14

32

39

52

11

 

32

39

52

14

25

34

53

11

33

26

13

54

40

31

12

51

 

64

7

20

46

57

2

21

43

48

55

4

27

41

50

5

30

 

49

42

29

3

56

47

28

6

56

47

28

3

49

42

29

6

 

41

50

5

27

48

55

4

30

57

2

21

46

64

7

20

43

 

40

31

12

54

33

26

13

51

 

                                                                      Рис. 2

 

Не привожу здесь все полученные по программе пандиагональные квадраты, так как любой, кто захочет посмотреть эти квадраты, сможет построить их самостоятельно. Программа перестановки строк и столбцов в квадрате очень проста, её может составить любой ученик, занимающийся информатикой.

 

Далее я ввела в программу ассоциативный квадрат, построенный методом Рауз-Болла (рис. 3).

 

 

64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1

 

                                                                      Рис. 3

 

В результате выполнения программы построилось много пандиагональных квадратов, но в отличие от предыдущего случая здесь уже первый из построенных квадратов (на рис. 4 слева) получен перестановкой и строк, и столбцов. Показываю тоже два  пандиагональных квадрата из всех построенных (рис. 4). Второй квадрат (на рис. 4 справа), как легко заметить, получен из первого перестановкой только столбцов.

Следует отметить, что квадраты восьмого порядка, как и вообще любого чётно-чётного порядка, не могут быть одновременно пандиагональными и ассоциативными, то есть идеальными. В статье “Ассоциативные квадраты” это доказано для квадратов четвёртого порядка.

 

 

64

6

2

60

57

3

7

61

 

7

3

64

60

6

2

61

57

9

51

55

13

16

54

50

12

 

50

54

9

13

51

55

12

16

17

43

47

21

24

46

42

20

 

42

46

17

21

43

47

20

24

40

30

26

36

33

27

31

37

 

31

27

40

36

30

26

37

33

8

62

58

4

1

59

63

5

 

63

59

8

4

62

58

5

1

49

11

15

53

56

14

10

52

 

10

14

49

53

11

15

52

56

41

19

23

45

48

22

18

44

 

18

22

41

45

19

23

44

48

32

38

34

28

25

35

39

29

 

39

35

32

28

38

34

29

25

 

                                                                     Рис. 4

 

И, наконец, я взяла ещё один квадрат восьмого порядка в качестве исходного. Этот квадрат не является ассоциативным, он даже полумагический, то есть в нём нет магической суммы по главным диагоналям. Построила я его методом четырёх квадратов, взяв за основу ассоциативный квадрат четвёртого порядка (о методе четырёх квадратов см. в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Этот квадрат вы видите на рис 5.

 

 

49

14

15

52

17

46

47

20

8

59

10

53

24

43

26

37

12

55

6

57

28

39

22

41

61

2

3

64

29

34

35

32

1

62

63

4

33

30

31

36

56

11

58

5

40

27

42

21

60

7

54

9

44

23

38

25

13

50

51

16

45

18

19

48

 

                                                                       Рис. 5

 

Мне было очень интересно, построятся ли пандиагональные квадраты с помощью перестановки строк и столбцов из такого полумагического квадрата. Построились! И даже много. Показываю первый из построенных квадратов на рис. 6. Как видите, он получен перестановкой только столбцов. Вот такой перестановки столбцов оказалось достаточно не только чтобы получить просто магический квадрат, но даже пандиагональный.

 

 

49

52

15

14

47

46

17

20

8

53

10

59

26

43

24

37

12

57

6

55

22

39

28

41

61

64

3

2

35

34

29

32

1

4

63

62

31

30

33

36

56

5

58

11

42

27

40

21

60

9

54

7

38

23

44

25

13

16

51

50

19

18

45

48

 

                                                                      Рис. 6

 

Наверное, можно взять за основу для построения полумагического квадрата восьмого порядка любой квадрат четвёртого порядка, а не обязательно ассоциативный. И из такого полумагического квадрата, вероятно, получатся пандиагональные квадраты. Это надо проверить.

Тогда представьте, сколько можно построить пандиагональных квадратов из полумагических. Ведь из каждого квадрата четвёртого порядка (а их 880!) получится новый полумагический квадрат восьмого порядка, а из него по программе перестановки строк и столбцов получим множество пандиагональных квадратов. Но даже если полумагический квадрат восьмого порядка надо строить только на основе ассоциативного квадрата четвёртого полрядка, всё равно достаточно много пандиагональных квадратов можно построить. Как известно, ассоциативных квадратов четвёртого порядка 48.

 

Ну, а далее у нас на очереди квадрат 12-ого порядка. Такой квадрат мы тоже можем построить методом квадратных рамок и методом Рауз-Болла. А затем надо сделать соответствующую программу перестановки строк и столбцов и посмотреть, что получится в результате выполнения этой программы. Ещё интересно рассмотреть и случай для квадрата, построенного методом четырёх квадратов. Займусь этим на досуге. А читатели могут заняться прямо сейчас!

 

                                               ***

 

    28 октября 2007 г.

 

Как я и предполагала, полумагический квадрат восьмого порядка можно построить на основе магического квадрата 4х4, не являющегося ассоциативным. Покажу такой квадрат, заодно более подробно расскажу путь построения. За основу возьму магический квадрат 4х4, который вы видите на рис. 7. Это обычный магический квадрат, не являющийся ни ассоциативным, ни пандиагональным.

 

 

1

2

15

16

12

14

3

5

13

7

10

4

8

11

6

9

 

                                                                      Рис. 7

 

Матрицу 8х8 разбиваем на 4 квадрата 4х4. Первый квадрат (левый верхний) заполняем в точности как квадрат с рис. 7. Второй и все следующие квадраты заполняем нетрадиционными магическими квадратами 4х4, которые получаются из основного квадрата прибавлением в каждой ячейке одного и того же числа; для правого верхнего квадрата это число равно 32, для левого нижнего – 48, для правого нижнего – 16. Метод четырёх квадратов подробно рассматривался в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”. Заполненный таким образом квадрат вы видите на рис. 8.

 

1

2

15

16

33

34

47

48

12

14

3

5

44

46

35

37

13

7

10

4

45

39

42

36

8

11

6

9

40

43

38

41

49

50

63

64

17

18

31

32

60

62

51

53

28

30

19

21

61

55

58

52

29

23

26

20

56

59

54

57

24

27

22

25

 

                                                                      Рис. 8

 

В этом квадрате уже есть магическая сумма по столбцам. Чтобы сделать магические суммы по строкам, надо поменять закрашенные ломаные фигуры и закрашенные столбцы местами. Полученный в результате таких перестановок квадрат изображён на рис. 9. Это и есть полумагический квадрат, то есть в нём суммы чисел по главным диагоналям не равны магической константе.

 

 

49

2

15

64

17

34

47

32

12

62

3

53

28

46

19

37

13

55

10

52

29

39

26

36

56

11

6

57

24

43

38

25

1

50

63

16

33

18

31

48

60

14

51

5

44

30

35

21

61

7

58

4

45

23

42

20

8

59

54

9

40

27

22

41

 

                                                    Рис. 9

 

Можно строго доказать, что такие перестановки выравнивают суммы по строкам квадрата, как это было сделано в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”.

 

Итак, ввожу полученный полумагический квадрат с рис. 9 в программу перестановки строк и столбцов. Программа выдаёт много пандиагональных квадратов. Приведу первые три из всех квадратов, записанных программой в файл.

 

 49  64  15  2  32  17  34  47

 12  53  3  62  37  28  46  19

 13  52  10  55  36  29  39  26

 56  57  6  11  25  24  43  38

 1  16  63  50  48  33  18  31

 60  5  51  14  21  44  30  35

 61  4  58  7  20  45  23  42

 8  9  54  59  41  40  27  22

 

 49  34  17  2  32  15  64  47

 12  46  28  62  37  3  53  19

 13  39  29  55  36  10  52  26

 56  43  24  11  25  6  57  38

 1  18  33  50  48  63  16  31

 60  30  44  14  21  51  5  35

 61  23  45  7  20  58  4  42

 8  27  40  59  41  54  9  22

 

 49  47  64  15  32  2  17  34

 12  19  53  3  37  62  28  46

 13  26  52  10  36  55  29  39

 56  38  57  6  25  11  24  43

 1  31  16  63  48  50  33  18

 60  35  5  51  21  14  44  30

 61  42  4  58  20  7  45  23

 8  22  9  54  41  59  40  27

 

Как видите, перестановки только столбцов оказалось достаточно, чтобы превратить полумагический квадрат не просто в магический, а в пандиагональный.

 

Перехожу к квадратам 12-ого порядка. Сначала покажу все исходные квадраты, из которых хочу получить по программе пандиагональные квадраты. На рис. 10 показан ассоциативный квадрат, построенный методом квадратных рамок, на рис. 11 – ассоциативный квадрат, построенный упрощённым методом Рауз-Болла, на рис. 12 – полумагический квадрат, построенный методом четырёх квадратов, на рис. 13 – ассоциативный квадрат, построенный из 16 квадратов 3х3 на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка.

 

 

1

134

34

117

53

90

91

56

112

27

143

12

24

35

135

52

116

79

78

113

57

142

26

13

36

23

51

136

80

115

114

77

141

58

14

25

37

50

22

81

137

102

103

140

76

15

59

48

49

38

82

21

101

138

139

104

16

75

47

60

72

83

39

100

20

127

126

17

105

46

74

61

84

71

99

40

128

19

18

125

45

106

62

73

85

98

70

129

41

6

7

44

124

63

107

96

97

86

130

69

5

42

43

8

64

123

95

108

120

131

87

4

68

31

30

65

9

94

122

109

132

119

3

88

32

67

66

29

93

10

110

121

133

2

118

33

89

54

55

92

28

111

11

144

 

                                                                      Рис. 10

 

 

1

143

142

4

5

139

138

8

9

135

134

12

132

14

15

129

128

18

19

125

124

22

23

121

120

26

27

117

116

30

31

113

112

34

35

109

37

107

106

40

41

103

102

44

45

99

98

48

49

95

94

52

53

91

90

56

57

87

86

60

84

62

63

81

80

66

67

77

76

70

71

73

72

74

75

69

68

78

79

65

64

82

83

61

85

59

58

88

89

55

54

92

93

51

50

96

97

47

46

100

101

43

42

104

105

39

38

108

36

110

111

33

32

114

115

29

28

118

119

25

24

122

123

21

20

126

127

17

16

130

131

13

133

11

10

136

137

7

6

140

141

3

2

144

 

                                                                  Рис. 11

 

 

137

7

6

20

133

132

65

43

78

92

97

60

9

140

1

27

131

127

45

68

73

99

59

91

31

111

8

22

129

134

67

39

80

94

57

98

2

142

33

11

124

123

38

70

105

83

52

87

36

113

28

18

122

118

72

41

100

90

50

82

112

30

35

13

120

125

40

66

107

85

84

53

29

115

114

128

25

24

101

79

42

56

61

96

117

32

109

135

23

19

81

104

37

63

95

55

139

3

116

130

21

26

103

75

44

58

93

62

110

34

141

119

16

15

74

106

69

47

88

51

144

5

136

126

14

10

108

77

64

54

86

46

4

138

143

121

12

17

76

102

71

49

48

89

 

                                                                      Рис. 12.

 

Этот полумагический квадрат построен методом четырёх квадратов, аналогично тому, как построен выше полумагический квадрат восьмого порядка. За основу здесь взят магический квадрат 6х6, построенный мной тоже методом четырёх квадратов (см. статью “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Я выделила одинаковым цветом фигуры и столбцы, которые поменялись местами.

 

Об ассоциативном квадрате, который вы видите на рис. 13, расскажу подробнее. В статье “Магические квадраты пятнадцатого порядка” я показывала, как построить ассоциативный квадрат 15х15 из 25 магических квадратов 3х3. Здесь всё совершенно аналогично. За основу берётся магический квадрат 3х3, который вы видите на рис. 14 (слева), а базой для построения является ассоциативный квадрат четвёртого порядка, он на рис. 14 справа. Матрица 12х12 разбивается на 16 квадратов 3х3. Каждый такой квадрат заполняется, как магический квадрат 3х3 (в одном только квадрате это традиционный квадрат, во всех других – нетрадиционные магические квадраты). А вот создание каждого магического квадрата 3х3 определяется базовым квадратом четвёртого порядка. К каждому числу квадрата 3х3 надо прибавить одно и то же число, которое равно (b-1)*9, где b – число, которое стоит в соответствующей ячейке магического квадрата четвёртого порядка. Так, в первом квадрате 3х3 мы ничего не будем прибавлять, так как в соответствующей ячейке квадрата четвёртого порядка стоит число 1. В следующем квадрате 3х3 надо к каждому числу основного квадрата 3х3 прибавить (14-1)*9=117 и т. д. В этом смысле говорится, что квадрат строится на базе квадрата четвёртого порядка. Для того чтобы построенный квадрат получился ассоциативным, базовый квадрат тоже должен быть ассоциативным.

 

 

2

7

6

119

124

123

128

133

132

29

34

33

9

5

1

126

122

118

135

131

127

36

32

28

4

3

8

121

120

125

130

129

134

31

30

35

65

70

69

92

97

96

83

88

87

38

43

42

72

68

64

99

95

91

90

86

82

45

41

37

67

66

71

94

93

98

85

84

89

40

39

44

101

106

105

56

61

60

47

52

51

74

79

78

108

104

100

63

59

55

54

50

46

81

77

73

103

102

107

58

57

62

49

48

53

76

75

80

110

115

114

11

16

15

20

25

24

137

142

141

117

113

109

18

14

10

27

23

19

144

140

136

112

111

116

13

12

17

22

21

26

139

138

143

 

                                                                      Рис. 13

 

 

 

 

 

 

1

14

15

4

2

7

6

 

8

11

10

5

9

5

1

 

12

7

6

9

4

3

8

 

13

2

3

16

 

                                                                  Рис. 14

 

Вот какой интересный ассоциативный квадрат! Как известно, ассоциативных квадратов четвёртого порядка 48. На базе каждого из них можно построить таким методом ассоциативный квадрат 12-ого порядка. Основной квадрат 3х3 тоже можно варьировать. Как известно, есть 8 вариантов магического квадрата третьего порядка.

 

Интересно посмотреть доказательство того, что сумма в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях квадрата на рис. 13 равна магической константе 870. Обозначим числа в строке (или в столбце, или в главной диагонали) основного квадрата 3х3 – a, b, c, а числа в строке (или в столбце, или в главной диагонали) базового квадрата четвёртого порядка – A, B, C, D. Тогда сумма чисел в строке (или в столбце, или в главной диагонали) построенного квадрата будет вычисляться так:

 

S=[a+(A-1)*9+b+(A-1)*9+c+(A-1)*9]+[a+(B-1)*9+b+(B-1)*9+c+(B-1)*9]+[a+(C-1)*9+b+(C-1)*9+c+(C-1)*9)]+[a+(D-1)*9+b+(D-1)*9+c+(D-1)*9]= 4(a+b+c)+3(A-1)*9+3(B-1)*9+3(C-1)*9+3(D-1)*9=4*15+3*9(A-1+B-1+C-1+D-1)=60+27*(A+B+C+D-4)=60+27*30=60+810=870

 

Совершенно очевидно, что таким методом можно построить ассоциативный квадрат любого порядка n=3k, где k>2 и не равно 4m+2, m=1,2,3,…

 

Напомню читателям, что я показала исходные квадраты 12-ого порядка, которые собираюсь превратить в пандиагональные путём перестановки строк и/или столбцов. Но ещё не сделала соответствующую программу из программы для квадратов восьмого порядка. Так что, продолжение следует!

 

                                                   ***

 

7-8 ноября 2007 г.

 

Наконец-то сделала программу перестановки строк и столбцов для квадратов 12-ого порядка. Однако при выполнении этой программы возникли сложности. Понятно, что количество всех перестановок строк и столбцов для квадрата 12-ого порядка становится значительно больше по сравнению с квадратом 8-ого порядка. Поэтому когда я начала выполнять программу, как говорится, “в лоб”, у меня ничего не получилось. То есть, конечно, программа выполнилась бы, в конце концов, но надо было бы очень долго ждать. Тогда я пошла другим путём. Взяла известный мне пандиагональный квадрат 12-ого порядка (см. рис. 15) и вручную превратила его в ассоциативный (см. рис. 16), переставляя строки и столбцы. Это оказалось совсем нетрудно. А затем полученный ассоциативный квадрат ввела в качестве исходного в свою программу перестановки строк и столбцов. Но! В программе задала уже не все перестановки, а первые 6 строк и первые 6 столбцов оставила на месте, потому что, сравнив пандиагональный и ассоциативный квадраты, увидела, что первые 6 строк и 6 столбцов не переставлены. Понятно, что такая программа выполнилась очень быстро, и пандиагональный квадрат был получен. Это была отладка программы (на известном примере!) и, кроме того, её оптимизация. А затем я попробовала выполнить программу в таком варианте для других ассоциативных квадратов, и всё получилось!

 

 

1

72

109

108

13

60

121

96

25

48

133

84

138

79

30

43

126

91

18

55

114

103

6

67

10

63

118

99

22

51

130

87

34

39

142

75

141

76

33

40

129

88

21

52

117

100

9

64

2

71

110

107

14

59

122

95

26

47

134

83

137

80

29

44

125

92

17

56

113

104

5

68

11

62

119

98

23

50

131

86

35

38

143

74

140

77

32

41

128

89

20

53

116

101

8

65

3

70

111

106

15

58

123

94

27

46

135

82

136

81

28

45

124

93

16

57

112

105

4

69

12

61

120

97

24

49

132

85

36

37

144

73

139

78

31

42

127

90

19

54

115

102

7

66

 

                                                                      Рис. 15

 

 

1

72

109

108

13

60

96

121

48

25

84

133

138

79

30

43

126

91

55

18

103

114

67

6

10

63

118

99

22

51

87

130

39

34

75

142

141

76

33

40

129

88

52

21

100

117

64

9

2

71

110

107

14

59

95

122

47

26

83

134

137

80

29

44

125

92

56

17

104

113

68

5

140

77

32

41

128

89

53

20

101

116

65

8

11

62

119

98

23

50

86

131

38

35

74

143

136

81

28

45

124

93

57

16

105

112

69

4

3

70

111

106

15

58

94

123

46

27

82

135

139

78

31

42

127

90

54

19

102

115

66

7

12

61

120

97

24

49

85

132

37

36

73

144

 

                                                                  Рис. 16

 

Итак, теперь я беру ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 10, и ввожу его в программу перестановки строк и столбцов. Ещё надо отметить, что для квадратов 12-ого порядка я составила программу так, что она прекращает работу при построении одного квадрата. В результате выполнения программы получился пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 17.

 

 

1

134

34

117

53

90

12

143

27

112

56

91

24

35

135

52

116

79

13

26

142

57

113

78

36

23

51

136

80

115

25

14

58

141

77

114

37

50

22

81

137

102

48

59

15

76

140

103

49

38

82

21

101

138

60

47

75

16

104

139

72

83

39

100

20

127

61

74

46

105

17

126

133

2

118

33

89

54

144

11

111

28

92

55

132

119

3

88

32

67

121

110

10

93

29

66

120

131

87

4

68

31

109

122

94

9

65

30

97

86

130

69

5

42

108

95

123

64

8

43

85

98

70

129

41

6

96

107

63

124

44

7

84

71

99

40

128

19

73

62

106

45

125

18

 

                                                                      Рис. 17

 

Посмотрите, как интересно произведены перестановки в квадрате (сравнивайте с исходным квадратом с рис. 10). Левый верхний квадрат 6х6 остался без изменения. Правый верхний квадрат 6х6 отражён относительно вертикальной оси симметрии; левый нижний квадрат 6х6 отражён относительно горизонтальной оси симметрии; правый нижний квадрат повёрнут на 180 градусов.

 

Точно так же превращаю в пандиагональный квадрат (см. рис. 18) ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 11.

 

 

1

143

142

4

5

139

138

8

12

135

134

9

132

14

15

129

128

18

19

125

121

22

23

124

120

26

27

117

116

30

31

113

109

34

35

112

37

107

106

40

41

103

102

44

48

99

98

45

49

95

94

52

53

91

90

56

60

87

86

57

84

62

63

81

80

66

67

77

73

70

71

76

72

74

75

69

68

78

79

65

61

82

83

64

85

59

58

88

89

55

54

92

96

51

50

93

133

11

10

136

137

7

6

140

144

3

2

141

36

110

111

33

32

114

115

29

25

118

119

28

24

122

123

21

20

126

127

17

13

130

131

16

97

47

46

100

101

43

42

104

108

39

38

105

 

                                                   Рис. 18

 

И, наконец, по этой же программе превращаю в пандиагональный квадрат ассоциативный квадрат с рис. 13. Этот квадрат вы видите на рис. 19.

 

2

7

6

119

124

123

33

34

29

132

133

128

9

5

1

126

122

118

28

32

36

127

131

135

4

3

8

121

120

125

35

30

31

134

129

130

65

70

69

92

97

96

42

43

38

87

88

83

72

68

64

99

95

91

37

41

45

82

86

90

67

66

71

94

93

98

44

39

40

89

84

85

112

111

116

13

12

17

143

138

139

26

21

22

117

113

109

18

14

10

136

140

144

19

23

27

110

115

114

11

16

15

141

142

137

24

25

20

103

102

107

58

57

62

80

75

76

53

48

49

108

104

100

63

59

55

73

77

81

46

50

54

101

106

105

56

61

60

78

79

74

51

52

47

 

                                                                      Рис. 19

 

 Здесь перестановки происходят аналогично перестановкам в ассоциативном квадрате с рис. 10.

 

Мне не удалось по этой программе получить пандиагональный квадрат из полумагического квадрата, изображённого на рис. 12. Значит, в этом квадрате строки и столбцы переставляются по другой схеме, нежели во всех рассмотренных ассоциативных квадратах. Повторю, что я не выполнила программу полностью, то есть не сделала всех перестановок строк и столбцов. Вполне возможно, что решение есть и для полумагического квадрата. Предлагаю читателям решить эту задачу. Главную часть задачи – получение пандиагонального квадрата 12-ого порядка из ассоциативного – я выполнила.

 

Ну, а теперь на очереди квадрат 16-ого порядка. Но прежде чем рассматривать квадрат 16-ого порядка, вернёмся немного назад – к квадратам восьмого порядка. Для этих квадратов выше было показано превращение ассоциативного квадрата в пандиагональный по программе перестановки строк и столбцов. Но мне очень понравились перестановки, произведённые программой в ассоциативном квадрате 12-ого порядка, построенном методом квадратных рамок (см. рис. 10 и рис. 17). Я решила посмотреть точно такую же перестановку для ассоциативного квадрата восьмого порядка, тоже построенного методом квадратных рамок (см. рис. 1). Оказалось, что, произведя аналогичные перестановки, я получила пандиагональный квадрат! Смотрите на рис. 20.

 

 

1

58

22

45

8

63

19

44

16

23

59

36

9

18

62

37

24

15

35

60

17

10

38

61

25

34

14

53

32

39

11

52

57

2

46

21

64

7

43

20

56

47

3

28

49

42

6

29

48

55

27

4

41

50

30

5

33

26

54

13

40

31

51

12

 

                                                                      Рис. 20

 

Напомню, что по программе перестановки строк и столбцов я получила из ассоциативного квадрата с рис. 1 много пандиагональных квадратов. Квадрат на рис. 20 – один из них. Он получается очень оригинальным способом (который тоже является не чем иным как перестановкой строк и столбцов): левый верхний квадрат 4х4 остаётся без изменения; правый верхний квадрат 4х4 отражается относительно вертикальной оси симметрии; левый нижний квадрат 4х4 отражается относительно горизонтальной оси симметрии; правый нижний квадрат 4х4 повёрнут на 180 градусов. Построенный таким способом пандиагональный квадрат восьмого порядка обладает интересным свойством: сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся внутри этого квадрата, равна одному и тому же числу – 520=2*260, где 260 – магическая константа квадрата. На рис. 20 выделен один из таких квадратов.

Таким же свойством обладает и пандиагональный квадрат 12-ого порядка, построенный этим способом (см. рис. 17). В этом квадрате сумма чисел в любом квадрате 6х6, находящемся внутри квадрата 12х12, равна одному и тому же числу – 2610=3*870, где 870 – магическая константа квадрата.

 

Теперь, как догадывается читатель, я применю тот же самый метод к квадрату 16-ого порядка. И не надо даже составлять программу для перестановки строк и столбцов.

Построить ассоциативный квадрат 16-ого порядка методом квадратных рамок – нет ничего проще. Об этом методе рассказано в статье “Методы построения магических квадратов”. Этот ассоциативный квадрат вы видите на рис. 21.

 

 

1

242

46

221

69

182

106

153

152

103

187

76

212

35

255

16

32

47

243

68

220

107

183

136

137

186

102

213

77

254

34

17

48

31

67

244

108

219

135

184

185

138

214

101

253

78

18

33

49

66

30

109

245

134

218

169

168

215

139

252

100

19

79

64

65

50

110

29

133

246

170

217

216

167

251

140

20

99

63

80

96

111

51

132

28

171

247

200

201

250

166

21

141

62

98

81

112

95

131

52

172

27

199

248

249

202

22

165

61

142

82

97

113

130

94

173

53

198

26

233

232

23

203

60

164

83

143

128

129

114

174

93

197

54

234

25

24

231

59

204

84

163

127

144

160

175

115

196

92

235

55

8

9

58

230

85

205

126

162

145

176

159

195

116

236

91

7

56

57

10

86

229

125

206

146

161

177

194

158

237

117

6

90

41

40

87

11

124

228

147

207

192

193

178

238

157

5

118

42

89

88

39

123

12

148

227

191

208

224

239

179

4

156

43

119

72

73

122

38

149

13

190

226

209

240

223

3

180

44

155

71

120

121

74

150

37

189

14

210

225

241

2

222

45

181

70

154

105

104

151

75

188

36

211

15

256

 

                                                                      Рис. 21

 

Ну, а теперь произведём перестановки описанным выше способом. В результате получается пандиагональный квадрат 16-ого порядка! Это первый пандиагональный квадрат 16-ого порядка, который я построила. Не вникала в метод Г. Александрова для построения пандиагональных квадратов порядка двойной чётности. Возможно, он тоже прост. Но представленный здесь метод совсем простой. Чего проще: отразить два квадрата и повернуть один квадрат в ассоциативном квадрате, построенном методом квадратных рамок! На рис. 22 вы видите готовый пандиагональный квадрат 16-ого порядка.

 

 

1

242

46

221

69

182

106

153

16

255

35

212

76

187

103

152

32

47

243

68

220

107

183

136

17

34

254

77

213

102

186

137

48

31

67

244

108

219

135

184

33

18

78

253

101

214

138

185

49

66

30

109

245

134

218

169

64

79

19

100

252

139

215

168

65

50

110

29

133

246

170

217

80

63

99

20

140

251

167

216

96

111

51

132

28

171

247

200

81

98

62

141

21

166

250

201

112

95

131

52

172

27

199

248

97

82

142

61

165

22

202

249

113

130

94

173

53

198

26

233

128

143

83

164

60

203

23

232

241

2

222

45

181

70

154

105

256

15

211

36

188

75

151

104

240

223

3

180

44

155

71

120

225

210

14

189

37

150

74

121

224

239

179

4

156

43

119

72

209

226

190

13

149

38

122

73

193

178

238

157

5

118

42

89

208

191

227

148

12

123

39

88

177

194

158

237

117

6

90

41

192

207

147

228

124

11

87

40

176

159

195

116

236

91

7

56

161

146

206

125

229

86

10

57

160

175

115

196

92

235

55

8

145

162

126

205

85

230

58

9

129

114

174

93

197

54

234

25

144

127

163

84

204

59

231

24

 

                                                                      Рис. 22

 

Этот квадрат обладает таким же свойством, как построенные выше пандиагональные квадраты восьмого и 12-ого порядка: сумма чисел в любом квадрате 8х8, находящемся внутри данного квадрата, равна одному и тому же числу – 8224=4*2056, где 2056 – магическая константа квадрата. На рис. 22 выделен один из таких квадратов. Аналогичным свойством обладает квадрат Франклина (см. статью “Полумагические квадраты”).

 

Вспомним, что точно такими же перестановками мы превратили ассоциативный квадрат 12-ого порядка, построенный на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка, в пандиагональный (см. рис. 13 и рис. 19). Это же сделаем для квадрата 16-ого порядка. Сначала построим ассоциативный квадрат 16-ого порядка, взяв за основной и за базовый квадраты один и тот же ассоциативный квадрат четвёртого порядка (на рис. 14 справа). Как строить такой квадрат, подробно рассказано в статье “Ассоциативные квадраты”. Ассоциативный квадрат 16-ого порядка, построенный таким методом, вы видите на рис. 23.

 

 

1

14

15

4

209

222

223

212

225

238

239

228

49

62

63

52

8

11

10

5

216

219

218

213

232

235

234

229

56

59

58

53

12

7

6

9

220

215

214

217

236

231

230

233

60

55

54

57

13

2

3

16

221

210

211

224

237

226

227

240

61

50

51

64

113

126

127

116

161

174

175

164

145

158

159

148

65

78

79

68

120

123

122

117

168

171

170

165

152

155

154

149

72

75

74

69

124

119

118

121

172

167

166

169

156

151

150

153

76

71

70

73

125

114

115

128

173

162

163

176

157

146

147

160

77

66

67

80

177

190

191

180

97

110

111

100

81

94

95

84

129

142

143

132

184

187

186

181

104

107

106

101

88

91

90

85

136

139

138

133

188

183

182

185

108

103

102

105

92

87

86

89

140

135

134

137

189

178

179

192

109

98

99

112

93

82

83

96

141

130

131

144

193

206

207

196

17

30

31

20

33

46

47

36

241

254

255

244

200