БИМАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Участвуя в одном математическом форуме, узнала о бимагических квадратах. Решила рассказать немного об этих квадратах.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Бимагическим называется такой магический квадрат,
который остаётся магическим при замене всех его элементов
на их квадраты.
В Интернете в статьях на английском языке такие квадраты имеют название bimagic.
Рассматривают бимагические квадраты как традиционные, заполненные числами от 1 до n2, так и нетрадиционные, заполненные любыми различными натуральными числами.
Традиционных бимагических квадратов порядков 3, 4 и 5 не существует, что очень легко доказывается.
Как известно, магический квадрат третьего порядка всего один, с точностью до основных преобразований, он показан на рис. 1. Очевидно, что этот квадрат не является бимагическим.
2 |
7 |
6 |
9 |
5 |
1 |
4 |
3 |
8 |
Рис. 1
В магических квадратах четвёртого порядка всего две строки способны превратиться в бимагические, то есть сумма квадратов чисел в этих строках равна 374. Это была бы магическая константа квадрата, составленного из квадратов чисел, если бы бимагический квадрат четвёртого порядка существовал. Она подсчитывается очень просто: вычисляется сумма квадратов чисел от 1 до 16 и делится на 4. Вот эти две строки:
2 8 9 15
3 5 12 14
Понятно, что из этих двух строк нельзя составить магический квадрат четвёртого порядка, который был бы бимагическим.
Точно так же доказывается, что не существует бимагического (традиционного) квадрата пятого порядка. Я составила программку, по которой получила все строки магических квадратов пятого порядка, способные превратиться в бимагические. Если бы бимагический квадрат пятого порядка существовал, его магическая константа была бы равна 1105 (сумма квадратов всех чисел от 1 до 25, делённая на 5).
Массив этих строк оказался очень маленьким. Вот эти строки:
1 10 14 18 22
2 8 14 20 21
2 10 13 16 24
4 5 16 18 22
4 6 13 20 22
4 8 10 21 22
4 8 12 16 25
5 6 12 18 24
Легко убедиться, что из этого набора строк нельзя составить магический квадрат пятого порядка.
О существовании традиционных бимагических квадратов 6-ого и 7-ого порядка пока ничего не знаю (см. в конец страницы). Можно точно так же попробовать ответить на этот вопрос, как я это сделала для квадратов 4х4 и 5х5.
По ссылке
http://mathworld.wolfram.com/BimagicSquare.html
приведены бимагические традиционные квадраты 8-ого и 9-ого порядков, а также нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка.
Бимагические квадраты восьмого порядка не удаётся скопировать. Видимо, автор статьи включил запрет на копирование. Поэтому не буду показывать эти два квадрата. Кто заинтересуется, посмотрит их по ссылке. Скажу только, что магическая константа квадратов, полученных заменой всех элементов в исходных квадратах на их квадраты, равна 11180. Подсчитывается точно так же, как сказано выше: вычисляется сумма квадратов чисел от 1 до 64 и делится на 8.
Бимагический квадрат 9-ого порядка удалось скопировать. Вы видите его на рис. 2. Интересно отметить, что этот квадрат ещё и ассоциативный. Конечно, квадрат, получающийся после замены всех элементов их квадратами, ассоциативным уже не является.
22 |
3 |
81 |
42 |
34 |
47 |
17 |
59 |
64 |
37 |
54 |
15 |
71 |
76 |
57 |
32 |
20 |
7 |
33 |
38 |
8 |
55 |
72 |
77 |
52 |
13 |
21 |
68 |
73 |
43 |
12 |
26 |
4 |
63 |
51 |
29 |
2 |
16 |
58 |
46 |
41 |
36 |
24 |
66 |
80 |
53 |
31 |
19 |
78 |
56 |
70 |
39 |
9 |
14 |
61 |
69 |
30 |
5 |
10 |
27 |
74 |
44 |
49 |
75 |
62 |
50 |
25 |
6 |
11 |
67 |
28 |
45 |
18 |
23 |
65 |
35 |
48 |
40 |
1 |
79 |
60 |
Рис. 2
Чтобы лучше было понятно, какой же квадрат получится после замены всех элементов приведённого магического квадрата на их квадраты, покажу этот квадрат наглядно (рис. 3).
484 |
9 |
6561 |
1764 |
1156 |
2209 |
289 |
3481 |
4096 |
1369 |
2916 |
225 |
5041 |
5776 |
3249 |
1024 |
400 |
49 |
1089 |
1444 |
64 |
3025 |
5184 |
5929 |
2704 |
169 |
441 |
4624 |
5329 |
1849 |
144 |
676 |
16 |
3969 |
2601 |
841 |
4 |
256 |
3364 |
2116 |
1681 |
1296 |
576 |
4356 |
6400 |
2809 |
961 |
361 |
6084 |
3136 |
4900 |
1521 |
81 |
196 |
3721 |
4761 |
900 |
25 |
100 |
729 |
5476 |
1936 |
2401 |
5625 |
3844 |
2500 |
625 |
36 |
121 |
4489 |
784 |
2025 |
324 |
529 |
4225 |
1225 |
2304 |
1600 |
1 |
6241 |
3600 |
Рис. 3
Понятно, что этот квадрат нетрадиционный. Магическая константа его равна 20049 (сумма квадратов чисел от 1 до 81, делённая на 9).
На рис. 4 вы видите нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка (напоминаю: скопирован по ссылке, указанной выше).
17 |
36 |
55 |
124 |
62 |
114 |
58 |
40 |
129 |
50 |
111 |
20 |
108 |
135 |
34 |
44 |
38 |
49 |
87 |
98 |
92 |
102 |
1 |
28 |
116 |
25 |
86 |
7 |
96 |
78 |
22 |
74 |
12 |
81 |
100 |
119 |
Рис. 4
Магическая константа этого квадрата равна 408. Этот квадрат тоже ассоциативен в том смысле, что сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу – 136.
Читателям предлагается самостоятельно заменить в этом квадрате все элементы их квадратами и посмотреть на получившийся в результате нетрадиционный квадрат 6-ого порядка. Магическая константа этого квадрата будет равна 36826.
А теперь ВНИМАНИЕ! ЗАДАЧА ВЕКА!
До сих пор никому не удалось построить нетрадиционный бимагический квадрат пятого порядка или доказать, что такого квадрата не существует.
Подключайтесь к решению этой задачи. Она очень непростая!
Вот формулировка задачи: требуется построить нетрадиционный магический квадрат пятого порядка (разрешается заполнять матрицу произвольными различными натуральными числами) такой, что после замены всех его элементов на их квадраты получится снова нетрадиционный магический квадрат. Или доказать, что такого квадрата не существует.
Нетрадиционный бимагический квадрат 6-ого порядка вы видите на рис. 4.
***
Страница помещена на сайт 29 марта 2008 г.
31 марта 2008 г.
Интересно отметить следующее свойство бимагических квадратов: если квадрат А=(aij) бимагический, то и квадрат В=k*(aij), где k= 2, 3, 4… тоже бимагический. По-моему, это утверждение очевидно. При этом если квадрат А=(aij) традиционный бимагический, то, понятно, что квадрат В=k*(aij) будет нетрадиционный бимагический.
Посмотрим это свойство на примере показанного выше традиционного бимагического квадрата 9-ого порядка (см. рис. 2). Пусть этот квадрат будет исходным квадратом А=(aij). Построим нетрадиционный бимагический квадрат В=2*(aij), то есть каждый элемент исходного квадрата умножим на 2. И вот перед вами нетрадиционный бимагический квадрат 9-ого порядка (рис. 5).
44 |
6 |
162 |
84 |
68 |
94 |
34 |
118 |
128 |
74 |
108 |
30 |
142 |
152 |
114 |
64 |
40 |
14 |
66 |
76 |
16 |
110 |
144 |
154 |
104 |
26 |
42 |
136 |
146 |
86 |
24 |
52 |
8 |
126 |
102 |
58 |
4 |
32 |
116 |
92 |
82 |
72 |
48 |
132 |
160 |
106 |
62 |
38 |
156 |
112 |
140 |
78 |
18 |
28 |
122 |
138 |
60 |
10 |
20 |
54 |
148 |
88 |
98 |
150 |
124 |
100 |
50 |
12 |
22 |
134 |
56 |
90 |
36 |
46 |
130 |
70 |
96 |
80 |
2 |
158 |
120 |
Рис. 5
Понятно, что магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе исходного квадрата – 738. Этот квадрат тоже является ассоциативным: сумма любых двух элементов, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу – 164, а в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы. Очевидно, что, заменив в этом квадрате все его элементы их квадратами, мы получим магический квадрат. Его магическая константа будет равна 4*20049=80196.
Так же можно получать бимагические квадраты путём прибавления к каждому элементу квадрата (или вычитания из каждого элемента) одного и того же числа. Например, прибавим к каждому элементу бимагического квадрата, изображённого на рис. 4 число 1, получится новый нетрадиционный бимагический квадрат, который вы видите на рис. 6.
18 |
37 |
56 |
125 |
63 |
115 |
59 |
41 |
130 |
51 |
112 |
21 |
109 |
136 |
35 |
45 |
39 |
50 |
88 |
99 |
93 |
103 |
2 |
29 |
117 |
26 |
87 |
8 |
97 |
79 |
23 |
75 |
13 |
82 |
101 |
120 |
Рис. 6
Квадрат по-прежнему ассоциативен. Его магическая константа увеличилась на 6. Очевидно, что он остался бимагическим.
Ещё более интересен тот факт, что можно строить составные бимагические квадраты. Поистине универсален метод построения составных квадратов!
Поскольку самый минимальный бимагический квадрат у меня имеется 6-ого порядка (рис. 4), буду строить составной бимагический квадрат 36-ого порядка на базе этого квадрата, он же является и основным квадратом. На рис. 7 изображена матрица, с помощью которой строится этот составной квадрат.
+576 |
+1260 |
+1944 |
+4428 |
+2196 |
+4068 |
+2052 |
+1404 |
+4608 |
+1764 |
+3960 |
+684 |
+3852 |
+4824 |
+1188 |
+1548 |
+1332 |
+1728 |
+3096 |
+3492 |
+3276 |
+3636 |
|
+972 |
+4140 |
+864 |
+3060 |
+216 |
+3420 |
+2772 |
+756 |
+2628 |
+396 |
+2880 |
+3564 |
+4248 |
Рис. 7
Составной бимагический квадрат 36-ого порядка покажу в виде, выданном программой. Он представлен в виде двух частей по 18 столбцов каждая, как бы разрезан по вертикали.
Бимагический квадрат 36-ого порядка – часть 1
593 612 631 700 638 690 1277 1296 1315 1384 1322 1374 1961 1980 1999 2068 2006 2058
634 616 705 626 687 596 1318 1300 1389 1310 1371 1280 2002 1984 2073 1994 2055 1964
684 711 610 620 614 625 1368 1395 1294 1304 1298 1309 2052 2079 1978 1988 1982 1993
663 674 668 678 577 604 1347 1358 1352 1362 1261 1288 2031 2042 2036 2046 1945 1972
692 601 662 583 672 654 1376 1285 1346 1267 1356 1338 2060 1969 2030 1951 2040 2022
598 650 588 657 676 695 1282 1334 1272 1341 1360 1379 1966 2018 1956 2025 2044 2063
2069 2088 2107 2176 2114 2166 1421 1440 1459 1528 1466 1518 4625 4644 4663 4732 4670 4722
2110 2092 2181 2102 2163 2072 1462 1444 1533 1454 1515 1424 4666 4648 4737 4658 4719 4628
2160 2187 2086 2096 2090 2101 1512 1539 1438 1448 1442 1453 4716 4743 4642 4652 4646 4657
2139 2150 2144 2154 2053 2080 1491 1502 1496 1506 1405 1432 4695 4706 4700 4710 4609 4636
2168 2077 2138 2059 2148 2130 1520 1429 1490 1411 1500 1482 4724 4633 4694 4615 4704 4686
2074 2126 2064 2133 2152 2171 1426 1478 1416 1485 1504 1523 4630 4682 4620 4689 4708 4727
3869 3888 3907 3976 3914 3966 4841 4860 4879 4948 4886 4938 1205 1224 1243 1312 1250 1302
3910 3892 3981 3902 3963 3872 4882 4864 4953 4874 4935 4844 1246 1228 1317 1238 1299 1208
3960 3987 3886 3896 3890 3901 4932 4959 4858 4868 4862 4873 1296 1323 1222 1232 1226 1237
3939 3950 3944 3954 3853 3880 4911 4922 4916 4926 4825 4852 1275 1286 1280 1290 1189 1216
3968 3877 3938 3859 3948 3930 4940 4849 4910 4831 4920 4902 1304 1213 1274 1195 1284 1266
3874 3926 3864 3933 3952 3971 4846 4898 4836 4905 4924 4943 1210 1262 1200 1269 1288 1307
3113 3132 3151 3220 3158 3210 3509 3528 3547 3616 3554 3606 3293 3312 3331 3400 3338 3390
3154 3136 3225 3146 3207 3116 3550 3532 3621 3542 3603 3512 3334 3316 3405 3326 3387 3296
3204 3231 3130 3140 3134 3145 3600 3627 3526 3536 3530 3541 3384 3411 3310 3320 3314 3325
3183 3194 3188 3198 3097 3124 3579 3590 3584 3594 3493 3520 3363 3374 3368 3378 3277 3304
3212 3121 3182 3103 3192 3174 3608 3517 3578 3499 3588 3570 3392 3301 3362 3283 3372 3354
3118 3170 3108 3177 3196 3215 3514 3566 3504 3573 3592 3611 3298 3350 3288 3357 3376 3395
4157 4176 4195 4264 4202 4254 881 900 919 988 926 978 3077 3096 3115 3184 3122 3174
4198 4180 4269 4190 4251 4160 922 904 993 914 975 884 3118 3100 3189 3110 3171 3080
4248 4275 4174 4184 4178 4189 972 999 898 908 902 913 3168 3195 3094 3104 3098 3109
4227 4238 4232 4242 4141 4168 951 962 956 966 865 892 3147 3158 3152 3162 3061 3088
4256 4165 4226 4147 4236 4218 980 889 950 871 960 942 3176 3085 3146 3067 3156 3138
4162 4214 4152 4221 4240 4259 886 938 876 945 964 983 3082 3134 3072 3141 3160 3179
773 792 811 880 818 870 2645 2664 2683 2752 2690 2742 413 432 451 520 458 510
814 796 885 806 867 776 2686 2668 2757 2678 2739 2648 454 436 525 446 507 416
864 891 790 800 794 805 2736 2763 2662 2672 2666 2677 504 531 430 440 434 445
843 854 848 858 757 784 2715 2726 2720 2730 2629 2656 483 494 488 498 397 424
872 781 842 763 852 834 2744 2653 2714 2635 2724 2706 512 421 482 403 492 474
778 830 768 837 856 875 2650 2702 2640 2709 2728 2747 418 470 408 477 496 515
Бимагический квадрат 36-ого порядка – часть 2
4445 4464 4483 4552 4490 4542 2213 2232 2251 2320 2258 2310 4085 4104 4123 4192 4130 4182
4486 4468 4557 4478 4539 4448 2254 2236 2325 2246 2307 2216 4126 4108 4197 4118 4179 4088
4536 4563 4462 4472 4466 4477 2304 2331 2230 2240 2234 2245 4176 4203 4102 4112 4106 4117
4515 4526 4520 4530 4429 4456 2283 2294 2288 2298 2197 2224 4155 4166 4160 4170 4069 4096
4544 4453 4514 4435 4524 4506 2312 2221 2282 2203 2292 2274 4184 4093 4154 4075 4164 4146
4450 4502 4440 4509 4528 4547 2218 2270 2208 2277 2296 2315 4090 4142 4080 4149 4168 4187
1781 1800 1819 1888 1826 1878 3977 3996 4015 4084 4022 4074 701 720 739 808 746 798
1822 1804 1893 1814 1875 1784 4018 4000 4089 4010 4071 3980 742 724 813 734 795 704
1872 1899 1798 1808 1802 1813 4068 4095 3994 4004 3998 4009 792 819 718 728 722 733
1851 1862 1856 1866 1765 1792 4047 4058 4052 4062 3961 3988 771 782 776 786 685 712
1880 1789 1850 1771 1860 1842 4076 3985 4046 3967 4056 4038 800 709 770 691 780 762
1786 1838 1776 1845 1864 1883 3982 4034 3972 4041 4060 4079 706 758 696 765 784 803
1565 1584 1603 1672 1610 1662 1349 1368 1387 1456 1394 1446 1745 1764 1783 1852 1790 1842
1606 1588 1677 1598 1659 1568 1390 1372 1461 1382 1443 1352 1786 1768 1857 1778 1839 1748
1656 1683 1582 1592 1586 1597 1440 1467 1366 1376 1370 1381 1836 1863 1762 1772 1766 1777
1635 1646 1640 1650 1549 1576 1419 1430 1424 1434 1333 1360 1815 1826 1820 1830 1729 1756
1664 1573 1634 1555 1644 1626 1448 1357 1418 1339 1428 1410 1844 1753 1814 1735 1824 1806
1570 1622 1560 1629 1648 1667 1354 1406 1344 1413 1432 1451 1750 1802 1740 1809 1828 1847
3653 3672 3691 3760 3698 3750 17 36 55 124 62 114 989 1008 1027 1096 1034 1086
3694 3676 3765 3686 3747 3656 58 40 129 50 111 20 1030 1012 1101 1022 1083 992
3744 3771 3670 3680 3674 3685 108 135 34 44 38 49 1080 1107 1006 1016 1010 1021
3723 3734 3728 3738 3637 3664 87 98 92 102 1 28 1059 1070 1064 1074 973 1000
3752 3661 3722 3643 3732 3714 116 25 86 7 96 78 1088 997 1058 979 1068 1050
3658 3710 3648 3717 3736 3755 22 74 12 81 100 119 994 1046 984 1053 1072 1091
233 252 271 340 278 330 3437 3456 3475 3544 3482 3534 2789 2808 2827 2896 2834 2886
274 256 345 266 327 236 3478 3460 3549 3470 3531 3440 2830 2812 2901 2822 2883 2792
324 351 250 260 254 265 3528 3555 3454 3464 3458 3469 2880 2907 2806 2816 2810 2821
303 314 308 318 217 244 3507 3518 3512 3522 3421 3448 2859 2870 2864 2874 2773 2800
332 241 302 223 312 294 3536 3445 3506 3427 3516 3498 2888 2797 2858 2779 2868 2850
238 290 228 297 316 335 3442 3494 3432 3501 3520 3539 2794 2846 2784 2853 2872 2891
2897 2916 2935 3004 2942 2994 3581 3600 3619 3688 3626 3678 4265 4284 4303 4372 4310 4362
2938 2920 3009 2930 2991 2900 3622 3604 3693 3614 3675 3584 4306 4288 4377 4298 4359 4268
2988 3015 2914 2924 2918 2929 3672 3699 3598 3608 3602 3613 4356 4383 4282 4292 4286 4297
2967 2978 2972 2982 2881 2908 3651 3662 3656 3666 3565 3592 4335 4346 4340 4350 4249 4276
2996 2905 2966 2887 2976 2958 3680 3589 3650 3571 3660 3642 4364 4273 4334 4255 4344 4326
2902 2954 2892 2961 2980 2999 3586 3638 3576 3645 3664 3683 4270 4322 4260 4329 4348 4367
Магическая константа этого квадрата равна 89280. Квадрат по-прежнему ассоциативен. И самое главное – бимагический.
Точно так же можно построить традиционный бимагический квадрат 81-ого порядка на базе бимагического квадрата 9-ого порядка, изображённого на рис. 2 (он же будет основным квадратом). А ещё, например, нетрадиционный бимагический квадрат 54-ого порядка с использованием квадратов 9-ого и 6-ого порядка. Ну, а по указанной выше ссылке есть ещё и традиционные бимагические квадраты 8-ого порядка. Их тоже можно использовать в построении составных бимагических квадратов.
***
Добавление (7 июля 2008 г.)
В книге Ю. В. Чебракова нашла метод построения бимагических квадратов, который хочу показать здесь (данные о книге см. на странице: http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm )
Раньше я видела в Сети только готовые бимагические квадраты, но не встречала методов их построения. Поэтому думаю, что метод, изложенный в книге Чебракова, будет интересен читателям.
Начну с бимагического квадрата 9-ого порядка. Именно на примере такого квадрата автор демонстрирует свой метод.
Чебраков даёт такое утверждение:
Для того чтобы построить двойной квадрат 9-ого порядка, достаточно построить такую пару ортогональных диагональных латинских квадратов 9-ого порядка, в результате поклеточного умножения которых получится магическая по строкам, столбцам и главным диагоналям матрица, магическая константа которой равна 144.
Примечание: Чебраков называет бимагические квадраты двойными.
Далее это утверждение обобщается для любого бимагического квадрата порядка n. Смотрите об этом ниже.
Определение ортогональных латинских квадратов я уже воспроизводила в одной из предыдущих статей. Диагональными латинскими квадратами называются такие латинские квадраты, в главных диагоналях которых каждый из n элементов встречается один раз.
Чтобы построить латинские квадраты с указанным свойством, автор представляет любое число от 1 до 80 в таком виде:
N = 27*a +9*b + 3*c + d
где параметры a, b, c, d могут принимать значения 0, 1, 2.
Далее автор строит таблицу (рис. 8) из пар следующих сочетаний: 00, 11, 22, 01, 02, 12, 10, 20, 21. Понятно, что различных пар таких сочетаний будет как раз 81.
0000 |
1102 |
2201 |
0121 |
1220 |
2022 |
0212 |
1011 |
2110 |
1210 |
2012 |
0111 |
1001 |
2100 |
0202 |
1122 |
2221 |
0020 |
2120 |
0222 |
1021 |
2211 |
0010 |
1112 |
2002 |
0101 |
1200 |
1022 |
2121 |
0220 |
1110 |
2212 |
0011 |
1201 |
2000 |
0102 |
2202 |
0001 |
1100 |
2020 |
0122 |
1221 |
2111 |
0210 |
1012 |
0112 |
1211 |
2010 |
0200 |
1002 |
2101 |
0021 |
1120 |
2222 |
2011 |
0110 |
1212 |
2102 |
0201 |
1000 |
2220 |
0022 |
1121 |
0221 |
1020 |
2122 |
0012 |
1111 |
2210 |
0100 |
1202 |
2001 |
1101 |
2200 |
0002 |
1222 |
2021 |
0120 |
1010 |
2112 |
0211 |
Рис. 8
Интересно отметить, что эта матрица построена так, что элементы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой главной диагонали содержат в каждой позиции по три нуля, по три единицы и по три двойки.
Понятно, что по этой таблице уже можно строить бимагический квадрат, вычисляя каждый элемент по приведённой выше формуле. Однако автор раскладывает эту таблицу на два латинских диагональных ортогональных квадрата, чтобы показать, что эти латинские квадраты действительно удовлетворяют свойству, указанному в утверждении. Разложение на латинские квадраты выполняется очень просто: первая пара символов из каждого элемента таблицы идёт в первый латинский квадрат, вторая пара символов – во второй латинский квадрат. При этом на каждую пару символов надо смотреть как на троичное число (то есть число в троичной системе счисления) и в латинский квадрат записывать десятичный эквивалент этого троичного числа.
На рис. 9 и рис. 10 вы видите получившиеся в результате разложения латинские квадраты.
0 |
4 |
8 |
1 |
5 |
6 |
2 |
3 |
7 |
5 |
6 |
1 |
3 |
7 |
2 |
4 |
8 |
0 |
7 |
2 |
3 |
8 |
0 |
4 |
6 |
1 |
5 |
3 |
7 |
2 |
4 |
8 |
0 |
5 |
6 |
1 |
8 |
0 |
4 |
6 |
1 |
5 |
7 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
2 |
3 |
7 |
0 |
4 |
8 |
6 |
1 |
5 |
7 |
2 |
3 |
8 |
0 |
4 |
2 |
3 |
7 |
0 |
4 |
8 |
1 |
5 |
6 |
4 |
8 |
0 |
5 |
6 |
1 |
3 |
7 |
2 |
Рис. 9
0 |
2 |
1 |
7 |
6 |
8 |
5 |
4 |
3 |
3 |
5 |
4 |
1 |
0 |
2 |
8 |
7 |
6 |
6 |
8 |
7 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
4 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
6 |
8 |
7 |
4 |
3 |
5 |
5 |
4 |
3 |
0 |
2 |
1 |
7 |
6 |
8 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
6 |
8 |
7 |
7 |
6 |
8 |
5 |
4 |
3 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
4 |
Рис. 10
Очевидно, что эти латинские квадраты диагональные и ортогональные. Теперь перемножим соответствующие элементы этих латинских квадратов, получим такую матрицу (рис. 11):
0 |
8 |
8 |
7 |
30 |
48 |
10 |
12 |
21 |
15 |
30 |
4 |
3 |
0 |
4 |
32 |
56 |
0 |
42 |
16 |
21 |
32 |
0 |
20 |
12 |
1 |
0 |
24 |
49 |
12 |
12 |
40 |
0 |
5 |
0 |
2 |
16 |
0 |
0 |
36 |
8 |
35 |
28 |
6 |
15 |
5 |
20 |
18 |
0 |
6 |
7 |
0 |
24 |
64 |
24 |
3 |
25 |
14 |
2 |
0 |
48 |
0 |
28 |
14 |
18 |
56 |
0 |
16 |
24 |
0 |
10 |
6 |
4 |
0 |
0 |
40 |
42 |
6 |
9 |
35 |
8 |
Рис. 11
Сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях этой матрицы равна одному и тому же числу – 144.
Теперь строим бимагический квадрат, кому как больше нравится: или с помощью таблицы с рис. 8, или с помощью двух латинских квадратов (рис. 9 и рис. 10). При втором способе применяется формула:
cij = 9*aij + bij + 1,
в которой aij – элементы первого латинского квадрата, bij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, cij – соответствующие элементы бимагического квадрата. Если в этой формуле не прибавлять единицу, то получится бимагический квадрат, заполненный числами от 0 до 80. Такой квадрат и приведён в книге (стр. 103). Поскольку традиционное заполнение квадрата числами от 1 до 81 более привычно, я привожу квадрат к такому виду.
На рис. 12 вы видите готовый бимагический квадрат.
1 |
39 |
74 |
17 |
52 |
63 |
24 |
32 |
67 |
49 |
60 |
14 |
29 |
64 |
21 |
45 |
80 |
7 |
70 |
27 |
35 |
77 |
4 |
42 |
57 |
11 |
46 |
36 |
71 |
25 |
40 |
78 |
5 |
47 |
55 |
12 |
75 |
2 |
37 |
61 |
18 |
53 |
68 |
22 |
33 |
15 |
50 |
58 |
19 |
30 |
65 |
8 |
43 |
81 |
59 |
13 |
51 |
66 |
20 |
28 |
79 |
9 |
44 |
26 |
34 |
72 |
6 |
41 |
76 |
10 |
48 |
56 |
38 |
73 |
3 |
54 |
62 |
16 |
31 |
69 |
23 |
Рис. 12
Итак, мы имеем ещё один бимагический квадрат 9-ого порядка (первый смотрите на рис. 2).
Чебраков ничего не написал о том, сколько бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом. Понятно, что можно построить не единственный квадрат. И вот подтверждение: бимагический квадрат с рис. 2 тоже раскладывается на два ортогональных диагональных латинских квадрата, обладающих свойством, указанным в утверждении Чебракова. На рис. 13 и рис. 14 представлены эти латинские квадраты.
2 |
0 |
8 |
4 |
3 |
5 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
1 |
7 |
8 |
6 |
3 |
2 |
0 |
3 |
4 |
0 |
6 |
7 |
8 |
5 |
1 |
2 |
7 |
8 |
4 |
1 |
2 |
0 |
6 |
5 |
3 |
0 |
1 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
7 |
8 |
5 |
3 |
2 |
8 |
6 |
7 |
4 |
0 |
1 |
6 |
7 |
3 |
0 |
1 |
2 |
8 |
4 |
5 |
8 |
6 |
5 |
2 |
0 |
1 |
7 |
3 |
4 |
1 |
2 |
7 |
3 |
5 |
4 |
0 |
8 |
6 |
Рис. 13
3 |
2 |
8 |
5 |
6 |
1 |
7 |
4 |
0 |
0 |
8 |
5 |
7 |
3 |
2 |
4 |
1 |
6 |
5 |
1 |
7 |
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
2 |
4 |
0 |
6 |
2 |
7 |
3 |
8 |
5 |
1 |
1 |
6 |
3 |
0 |
4 |
8 |
5 |
2 |
7 |
7 |
3 |
0 |
5 |
1 |
6 |
2 |
8 |
4 |
6 |
5 |
2 |
4 |
0 |
8 |
1 |
7 |
3 |
2 |
7 |
4 |
6 |
5 |
1 |
3 |
0 |
8 |
8 |
4 |
1 |
7 |
2 |
3 |
0 |
6 |
5 |
Рис. 14
Перемножив соответствующие элементы этих латинских квадратов, получим такую матрицу (рис. 15):
6 |
0 |
64 |
20 |
18 |
5 |
7 |
24 |
0 |
0 |
40 |
5 |
49 |
24 |
12 |
12 |
2 |
0 |
15 |
4 |
0 |
0 |
56 |
32 |
30 |
3 |
4 |
28 |
0 |
24 |
2 |
14 |
0 |
48 |
25 |
3 |
0 |
6 |
18 |
0 |
16 |
24 |
10 |
14 |
56 |
35 |
9 |
0 |
40 |
6 |
42 |
8 |
0 |
4 |
36 |
35 |
6 |
0 |
0 |
16 |
8 |
28 |
15 |
16 |
42 |
20 |
12 |
0 |
1 |
21 |
0 |
32 |
8 |
8 |
7 |
21 |
10 |
12 |
0 |
48 |
30 |
Рис. 15
В этой матрице тоже сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях равна одному и тому же числу – 144.
А вот таблица, в которую свёртываются два латинских квадрата с рис. 13 и с рис. 14 (рис. 16):
0210 |
0002 |
2222 |
1112 |
1020 |
1201 |
0121 |
2011 |
2100 |
1100 |
1222 |
0112 |
2121 |
2210 |
2002 |
1011 |
0201 |
0020 |
1012 |
1101 |
0021 |
2000 |
2122 |
2211 |
1220 |
0110 |
0202 |
2111 |
2200 |
1120 |
0102 |
0221 |
0010 |
2022 |
1212 |
1001 |
0001 |
0120 |
2010 |
1200 |
1111 |
1022 |
0212 |
2102 |
2221 |
1221 |
1010 |
0200 |
2212 |
2001 |
2120 |
1102 |
0022 |
0111 |
2020 |
2112 |
1002 |
0011 |
0100 |
0222 |
2201 |
1121 |
1210 |
2202 |
2021 |
1211 |
0220 |
0012 |
0101 |
2110 |
1000 |
1122 |
0122 |
0211 |
2101 |
1021 |
1202 |
1110 |
0000 |
2220 |
2012 |
Рис. 16
Интересно отметить: и латинские квадраты (рис. 13 и рис. 14), и матрица на рис. 16 являются ассоциативными. И бимагический квадрат на рис. 2, построенный с помощью этих латинских квадратов или с помощью данной матрицы, тоже ассоциативный.
Ещё интересный факт: латинские квадраты, с помощью которых строятся бимагические квадраты в обоих примерах, являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 36. Это и понятно, потому что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой главной диагонали диагональных латинских квадратов находится один и тот же набор чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. А если посмотреть на матрицы с рис. 8 и с рис. 16, как на квадраты, заполненные десятичными числами, это тоже магические (нетрадиционные) квадраты с магической константой 9999.
Теперь задача читателям: постройте этим методом третий бимагический квадрат 9-ого порядка, отличный от двух приведённых.
Вторая задача: посчитать, сколько всего бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом.
***
Итак, интересный вопрос: сколько бимагических квадратов можно построить описанным методом? Понятно, что если подвергнуть бимагический квадрат с рис. 12 одному из семи основных преобразований, то снова получится бимагический квадрат. И каждый такой бимагический квадрат имеет своё разложение на два ортогональных диагональных латинских квадрата, с помощью которых он и может быть построен описанным здесь методом. Значит, к квадрату с рис. 12 имеем ещё 7 бимагических квадратов.
В книге Чебракова описываются ещё М-преобразования. Это преобразования, заключающиеся в перестановке строк и столбцов магического квадрата с соответствующими номерами (см. подробнее в книге, стр. 64-67). В книге приводится количество М-преобразований для магических квадратов порядков 3-13. Для магических квадратов 9-ого порядка таких преобразований 192. Покажу один из квадратов, полученный применением М-преобразования к квадрату с рис. 12 (рис. 17).
1 |
32 |
74 |
17 |
52 |
63 |
24 |
39 |
67 |
26 |
48 |
72 |
6 |
41 |
76 |
10 |
34 |
56 |
70 |
11 |
35 |
77 |
4 |
42 |
57 |
27 |
46 |
36 |
55 |
25 |
40 |
78 |
5 |
47 |
71 |
12 |
75 |
22 |
37 |
61 |
18 |
53 |
68 |
2 |
33 |
15 |
43 |
58 |
19 |
30 |
65 |
8 |
50 |
81 |
59 |
9 |
51 |
66 |
20 |
28 |
79 |
13 |
44 |
49 |
80 |
14 |
29 |
64 |
21 |
45 |
60 |
7 |
38 |
69 |
3 |
54 |
62 |
16 |
31 |
73 |
23 |
Рис. 17
Очевидно, что если М-преобразование применяется к бимагическому квадрату, в результате получается тоже бимагический квадрат, потому что в результате М-преобразований не изменяются наборы чисел ни в строках, ни в столбцах, ни в главных диагоналях.
Понятно, что этот бимагический квадрат тоже имеет свою пару латинских квадратов, из которых он может быть построен. И эти латинские квадраты обладают всеми свойствами, указанными в утверждении Чебракова. Чтобы построить этот бимагический квадрат, можно сначала применить точно такое же М-преобразование к обоим латинским квадратам (рис. 9 и рис. 10), а затем построить из получившихся латинских квадратов бимагический квадрат, который и будет квадратом с рис. 17.
Следовательно, имеем ещё 192 бимагических квадрата.
Но с учётом основных преобразований и М-преобразований мы имеем пока только 2 бимагических квадрата (рис. 2 и рис. 12). Отметим, что к квадрату с рис. 2 можно применить ещё такие перестановки строк и/или столбцов, которые возможны в ассоциативных магических квадратах (это перестановки симметричных строк и/или столбцов). Однако, как будет показано ниже, такие перестановки не сохраняют бимагичность квадрата.
Остаётся нерешённым вопрос: сколько разных бимагических квадратов 9-ого порядка можно построить изложенным здесь методом?
Теперь приведу утверждение Чебракова для квадратов любого порядка n:
Для построения двойного квадрата nxn достаточно построить из чисел 0, 1, 2, …n - 1 такую пару ортогональных диагональных латинских квадратов, в результате поклеточного умножения которых получится магическая по строкам, столбцам и главным диагоналям матрица, магическая константа которой равна n(n – 1)( n – 1)/4.
В случае для бимагических квадратов 9-ого порядка магическая константа матрицы, полученной поклеточным умножением латинских квадратов, равна:
S = n(n – 1)( n – 1)/4 = 9*8*8/4 = 144
Автор указал, что утверждение справедливо только для нечётных или чётно-чётных значений n, потому что для порядков n = 4k+2 значение магической константы S будет дробным числом.
Однако автором не указано, для каких именно нечётных и чётно-чётных порядков верно утверждение. Например, бимагических квадратов порядков 3, 4, 5 вообще не существует (это доказано в начале данной страницы). Бимагический квадрат 7-ого порядка мне с ходу не удалось построить. Да и существует ли он?
Пример построения бимагического квадрата 8-ого порядка нахожу в книге. Магическая константа матрицы, полученной перемножением латинских квадратов, используемых для построения бимагического квадрата 8-ого порядка, равна:
S = n(n – 1)( n – 1)/4 = 8*7*7/4 = 98
Чебраков приводит готовые ортогональные диагональные латинские квадраты и бимагический квадрат 8-ого порядка, построенный из этих латинских квадратов, без объяснения, как он построил латинские квадраты (см. стр. 123, рис. 2.17). Воспроизведу здесь этот пример. На рис. 18 и рис. 19 вы видите латинские квадраты для построения бимагического квадрата, а на рис. 21 бимагический квадрат 8-ого порядка, построенный из этих латинских квадратов. Напомню, что формула построения бимагического квадрата из латинских квадратов точно такая же, как приведённая выше формула для построения квадрата 9-ого порядка (только вместо множителя 9 будет множитель 8).
5 |
2 |
4 |
3 |
7 |
0 |
6 |
1 |
4 |
3 |
5 |
2 |
6 |
1 |
7 |
0 |
1 |
6 |
0 |
7 |
3 |
4 |
2 |
5 |
0 |
7 |
1 |
6 |
2 |
5 |
3 |
4 |
3 |
4 |
2 |
5 |
1 |
6 |
0 |
7 |
2 |
5 |
3 |
4 |
0 |
7 |
1 |
6 |
7 |
0 |
6 |
1 |
5 |
2 |
4 |
3 |
6 |
1 |
7 |
0 |
4 |
3 |
5 |
2 |
Рис. 18
4 |
6 |
3 |
1 |
2 |
0 |
5 |
7 |
7 |
5 |
0 |
2 |
1 |
3 |
6 |
4 |
1 |
3 |
6 |
4 |
7 |
5 |
0 |
2 |
2 |
0 |
5 |
7 |
4 |
6 |
3 |
1 |
6 |
4 |
1 |
3 |
0 |
2 |
7 |
5 |
5 |
7 |
2 |
0 |
3 |
1 |
4 |
6 |
3 |
1 |
4 |
6 |
5 |
7 |
2 |
0 |
0 |
2 |
7 |
5 |
6 |
4 |
1 |
3 |
Рис. 19
Отмечу, что оба латинских квадрата являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28. Очевидно, что квадраты диагональные и ортогональные. А ещё оба эти квадрата ассоциативные: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 7.
Если перемножить соответствующие элементы этих латинских квадратов, получится такая матрица (рис. 20):
20 |
12 |
12 |
3 |
14 |
0 |
30 |
7 |
28 |
15 |
0 |
4 |
6 |
3 |
42 |
0 |
1 |
18 |
0 |
28 |
21 |
20 |
0 |
10 |
0 |
0 |
5 |
42 |
8 |
30 |
9 |
4 |
18 |
16 |
2 |
15 |
0 |
12 |
0 |
35 |
10 |
35 |
6 |
0 |
0 |
7 |
4 |
36 |
21 |
0 |
24 |
6 |
25 |
14 |
8 |
0 |
0 |
2 |
49 |
0 |
24 |
12 |
5 |
6 |
Рис. 20
Сумма чисел в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях этой матрицы равна одному и тому же числу – 98.
Теперь построим бимагический квадрат (рис. 21):
45 |
23 |
36 |
26 |
59 |
1 |
54 |
16 |
40 |
30 |
41 |
19 |
50 |
12 |
63 |
5 |
10 |
52 |
7 |
61 |
32 |
38 |
17 |
43 |
3 |
57 |
14 |
56 |
21 |
47 |
28 |
34 |
31 |
37 |
18 |
44 |
9 |
51 |
8 |
62 |
22 |
48 |
27 |
33 |
4 |
58 |
13 |
55 |
60 |
2 |
53 |
15 |
46 |
24 |
35 |
25 |
49 |
11 |
64 |
6 |
39 |
29 |
42 |
20 |
Рис. 21
Бимагический квадрат тоже получился ассоциативный.
Магическая константа квадрата, который получится из квадрата с рис. 21 заменой всех его элементов на их квадраты, равна:
S = (12 + 22 + 32 + … + 642)/8 = 11180
Проверим первую строку:
452 + 232 + 362 + 262 + 592 + 12 + 542+ 162 = 11180
Магическая сумма получилась.
Понятно, что всё сказанное выше о бимагических квадратах 9-ого порядка, имеет место и для бимагических квадратов 8-ого порядка. По данным Чебракова для магических квадратов 8-ого порядка тоже существует 192 М-преобразования.
А вот как построить новый бимагический квадрат 8-ого порядка, не получающийся из построенного квадрата ни основными преобразованиями ни М-преобразованиями?
По аналогии с формулой Чебракова для квадрата 9-ого порядка я попыталась разложить все числа квадрата 8-ого порядка. У меня получилась только такая формула разложения:
[1] N = 32a + 8b + 4c + d = 8(4a + b) + 4c + d
где параметры a, b, c, d принимают значения 0, 1, 2, 3. Все сочетания из этих символов будут такие: 00, 11, 22, 33, 01, 02, 03, 10, 20, 30, 12, 13, 21, 31, 23, 32. В представлении всех чисел от 0 до 63 участвуют на все эти сочетания, поэтому и в матрице, которую я сочинила, тоже участвуют не все сочетания перечисленных пар элементов. Всего сочетаний указанных пар элементов будет 256, а в матрице использовано только 64 сочетания. Но ничего лучшего у меня не сочиняется. На рис. 22 вы видите матрицу для построения бимагического квадрата 8-ого порядка.
1110 |
0212 |
1003 |
0301 |
1302 |
0000 |
1211 |
0113 |
1013 |
0311 |
1100 |
0202 |
1201 |
0103 |
1312 |
0010 |
0101 |
1203 |
0012 |
1310 |
0313 |
1011 |
0200 |
1102 |
0002 |
1300 |
0111 |
1213 |
0210 |
1112 |
0303 |
1001 |
0312 |
1010 |
0201 |
1103 |
0100 |
1202 |
0013 |
1311 |
0211 |
1113 |
0302 |
1000 |
0003 |
1301 |
0110 |
1212 |
1303 |
0001 |
1210 |
0112 |
1111 |
0213 |
1002 |
0300 |
1200 |
0102 |
1313 |
0011 |
1012 |
0310 |
1101 |
0203 |
Рис. 22
Если посмотреть на эту матрицу как на нетрадиционный квадрат, заполненный десятичными числами, этот квадрат будет магический с магической константой 5252. Кроме того, квадрат ассоциативный: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 1313.
А строить бимагический квадрат по этой матрице надо по формуле [1]. Например, элемент в левой верхней ячейке матрицы вычисляется так:
1110 = 32*1 + 8*1 + 4*1 + 0 = 44
Для приведения квадрата к традиционному виду каждый элемент надо увеличить на единицу.
Понятно, что эту матрицу я составила, используя готовый бимагический квадрат и готовые латинские квадраты. А вот как сочинить такую матрицу, не имея готовых квадратов? Это задача для читателей. Если вы сочините новую матрицу, то построите новый бимагический квадрат 8-ого порядка. Подчеркну ещё раз: интересны только новые квадраты, не получающиеся из квадрата с рис. 21 ни основными преобразованиями, ни М-преобразованиями.
Кроме того, по указанной в начале статьи ссылке есть бимагические квадраты восьмого порядка. Я не стала их копировать, потому что они не копируются почему-то, а переписывать их вручную не хочется. Посмотрите на эти квадраты, сравните их с квадратом Чебракова. Вполне возможно, что это совсем другие квадраты. На досуге посмотрю на эти квадраты. Интересно!
Напомню ещё один открытый вопрос: существует ли традиционный бимагический квадрат 7-ого порядка? Если существует, как его построить?
Ничего не знаю так же о традиционном бимагическом квадрате 6-ого порядка. Нетрадиционный бимагический квадрат этого порядка приведён в начале статьи.
Ну, и задача века, о которой тоже уже сказано выше: никому ещё не удалось построить нетрадиционный бимагический квадрат 5-ого порядка или доказать, что такого квадрата не существует. А может быть, уже кому-то удалось? Напишите мне тогда об этом.
***
Досуг был уже вчера вечером. Интерес пересилил все другие дела, и я “пошла” по ссылке, указанной в начале статьи, смотреть на два бимагических квадрата 8-ого порядка.
Итак, на рис. 23 вы видите первый бимагический квадрат, взятый по указанной ссылке.
56 |
34 |
8 |
57 |
18 |
47 |
9 |
31 |
33 |
20 |
54 |
48 |
7 |
29 |
59 |
10 |
26 |
43 |
13 |
23 |
64 |
38 |
4 |
49 |
19 |
5 |
35 |
30 |
53 |
12 |
46 |
60 |
15 |
25 |
63 |
2 |
41 |
24 |
50 |
40 |
6 |
55 |
17 |
11 |
36 |
58 |
32 |
45 |
61 |
16 |
42 |
52 |
27 |
1 |
39 |
22 |
44 |
62 |
28 |
37 |
14 |
51 |
21 |
3 |
Рис. 23
Раскладываю этот квадрат на латинские квадраты (рис. 24 и рис. 25):
6 |
4 |
0 |
7 |
2 |
5 |
1 |
3 |
4 |
2 |
6 |
5 |
0 |
3 |
7 |
1 |
3 |
5 |
1 |
2 |
7 |
4 |
0 |
6 |
2 |
0 |
4 |
3 |
6 |
1 |
5 |
7 |
1 |
3 |
7 |
0 |
5 |
2 |
6 |
4 |
0 |
6 |
2 |
1 |
4 |
7 |
3 |
5 |
7 |
1 |
5 |
6 |
3 |
0 |
4 |
2 |
5 |
7 |
3 |
4 |
1 |
6 |
2 |
0 |
Рис. 24
7 |
1 |
7 |
0 |
1 |
6 |
0 |
6 |
0 |
3 |
5 |
7 |
6 |
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
4 |
6 |
7 |
5 |
3 |
0 |
2 |
4 |
2 |
5 |
4 |
3 |
5 |
3 |
6 |
0 |
6 |
1 |
0 |
7 |
1 |
7 |
5 |
6 |
0 |
2 |
3 |
1 |
7 |
4 |
4 |
7 |
1 |
3 |
2 |
0 |
6 |
5 |
3 |
5 |
3 |
4 |
5 |
2 |
4 |
2 |
Рис. 25
Эти латинские квадраты не удовлетворяют тем свойствам, которые указаны в утверждении Чебракова. Во-первых, второй квадрат является обобщённым латинским квадратом. Во-вторых, матрица, полученная поклеточноым умножением этих латинских квадратов, не является магической. Таким образом, делаем вывод: условия в утверждении Чебракова для латинских квадратов, с помощью которых может быть построен бимагический квадрат 8-ого порядка, являются достаточными, но не являются необходимыми. Кстати, в утверждении присутствует слово “достаточно”.
Следует отметить, что латинские квадраты по-прежнему являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28, как в предыдущем примере, несмотря на то, что второй квадрат является обобщённым латинским квадратом.
На рис. 25а показываю матрицу, аналогичную матрице с рис. 22, для данного бимагического квадрата:
1213 |
1001 |
0013 |
1300 |
0201 |
1112 |
0100 |
0312 |
1000 |
0203 |
1211 |
1113 |
0012 |
0310 |
1302 |
0101 |
0301 |
1102 |
0110 |
0212 |
1313 |
1011 |
0003 |
1200 |
0202 |
0010 |
1002 |
0311 |
1210 |
0103 |
1111 |
1303 |
0112 |
0300 |
1312 |
0001 |
1100 |
0213 |
1201 |
1013 |
0011 |
1212 |
0200 |
0102 |
1003 |
1301 |
0313 |
1110 |
1310 |
0113 |
1101 |
1203 |
0302 |
0000 |
1012 |
0211 |
1103 |
1311 |
0303 |
1010 |
0111 |
1202 |
0210 |
0002 |
Рис. 25а
Как и матрица на рис. 22, эта матрица является магической с магической константой 5252 (если смотреть на её элементы как на десятичные числа).
На рис. 26 представляю второй бимагический квадрат, взятый по указанной ссылке:
16 |
41 |
36 |
5 |
27 |
62 |
55 |
18 |
26 |
63 |
54 |
19 |
13 |
44 |
33 |
8 |
1 |
40 |
45 |
12 |
22 |
51 |
58 |
31 |
23 |
50 |
59 |
30 |
4 |
37 |
48 |
9 |
38 |
3 |
10 |
47 |
49 |
24 |
29 |
60 |
52 |
21 |
32 |
57 |
39 |
2 |
11 |
46 |
43 |
14 |
7 |
34 |
64 |
25 |
20 |
53 |
61 |
28 |
17 |
56 |
42 |
15 |
6 |
35 |
Рис. 26
Раскладываю этот квадрат на латинские квадраты (рис. 27 и рис. 28):
1 |
5 |
4 |
0 |
3 |
7 |
6 |
2 |
3 |
7 |
6 |
2 |
1 |
5 |
4 |
0 |
0 |
4 |
5 |
1 |
2 |
6 |
7 |
3 |
2 |
6 |
7 |
3 |
0 |
4 |
5 |
1 |
4 |
0 |
1 |
5 |
6 |
2 |
3 |
7 |
6 |
2 |
3 |
7 |
4 |
0 |
1 |
5 |
5 |
1 |
0 |
4 |
7 |
3 |
2 |
6 |
7 |
3 |
2 |
6 |
5 |
1 |
0 |
4 |
Рис. 27
7 |
0 |
3 |
4 |
2 |
5 |
6 |
1 |
1 |
6 |
5 |
2 |
4 |
3 |
0 |
7 |
0 |
7 |
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
6 |
6 |
1 |
2 |
5 |
3 |
4 |
7 |
0 |
5 |
2 |
1 |
6 |
0 |
7 |
4 |
3 |
3 |
4 |
7 |
0 |
6 |
1 |
2 |
5 |
2 |
5 |
6 |
1 |
7 |
0 |
3 |
4 |
4 |
3 |
0 |
7 |
1 |
6 |
5 |
2 |
Рис. 28
В этом примере всё, как в утверждении Чебракова. Латинские квадраты диагональные и ортогональные. Матрица, полученная поклеточным перемножением этих латинских квадратов, магическая с магической константой 98. Латинские квадраты по-прежнему являются магическими (нетрадиционными) квадратами с магической константой 28.
На рис. 29 показываю матрицу, аналогичную матрице с рис. 22, для данного квадрата:
0113 |
1100 |
1003 |
0010 |
0302 |
1311 |
1212 |
0201 |
0301 |
1312 |
1211 |
0202 |
0110 |
1103 |
1000 |
0013 |
0000 |
1013 |
1110 |
0103 |
0211 |
1202 |
1301 |
0312 |
0212 |
1201 |
1302 |
0311 |
0003 |
1010 |
1113 |
0100 |
1011 |
0002 |
0101 |
1112 |
1200 |
0213 |
0310 |
1303 |
1203 |
0210 |
0313 |
1300 |
1012 |
0001 |
0102 |
1111 |
1102 |
0111 |
0012 |
1001 |
1313 |
0300 |
0203 |
1210 |
1310 |
0303 |
0200 |
1213 |
1101 |
0112 |
0011 |
1002 |
Рис. 29
И снова получаем магическую матрицу (смотрим на элементы в этой матрице как на десятичные числа) с магической константой 5252.
А теперь такой эксперимент: беру матрицу с рис. 22 и выполняю для неё программу перестановки строк. Программа выдаёт мне 145 вариантов магических матриц! Как я уже говорила, здесь (как в ассоциативном квадрате) возможны перестановки симметричных строк. Но среди вариантов оказались и другие перестановки строк. Вот первые 5 вариантов, выданных программой:
1
1110 212 1003 301 1302 0 1211 113
1013 311 1100 202 1201 103 1312 10
101 1203 12 1310 313 1011 200 1102
2 1300 111 1213 210 1112 303 1001
312 1010 201 1103 100 1202 13 1311
211 1113 302 1000 3 1301 110 1212
1303 1 1210 112 1111 213 1002 300
1200 102 1313 11 1012 310 1101 203
2
1110 212 1003 301 1302 0 1211 113
1013 311 1100 202 1201 103 1312 10
101 1203 12 1310 313 1011 200 1102
2 1300 111 1213 210 1112 303 1001
211 1113 302 1000 3 1301 110 1212
312 1010 201 1103 100 1202 13 1311
1200 102 1313 11 1012 310 1101 203
1303 1 1210 112 1111 213 1002 300
3
1110 212 1003 301 1302 0 1211 113
1013 311 1100 202 1201 103 1312 10
101 1203 12 1310 313 1011 200 1102
312 1010 201 1103 100 1202 13 1311
2 1300 111 1213 210 1112 303 1001
211 1113 302 1000 3 1301 110 1212
1303 1 1210 112 1111 213 1002 300
1200 102 1313 11 1012 310 1101 203
4
1110 212 1003 301 1302 0 1211 113
1013 311 1100 202 1201 103 1312 10
101 1203 12 1310 313 1011 200 1102
211 1113 302 1000 3 1301 110 1212
1303 1 1210 112 1111 213 1002 300
312 1010 201 1103 100 1202 13 1311
2 1300 111 1213 210 1112 303 1001
1200 102 1313 11 1012 310 1101 203
5
1110 212 1003 301 1302 0 1211 113
1013 311 1100 202 1201 103 1312 10
2 1300 111 1213 210 1112 303 1001
101 1203 12 1310 313 1011 200 1102
211 1113 302 1000 3 1301 110 1212
312 1010 201 1103 100 1202 13 1311
1303 1 1210 112 1111 213 1002 300
1200 102 1313 11 1012 310 1101 203
Вариант под номером 1 – это сама матрица с рис. 22.
Посмотрим на матрицу варианта 2. Очевидно, что в ней переставлены не симметричные строки: четвёртая строка переставлена с пятой, седьмая – с восьмой. Интересно, получится ли бимагическим квадрат 8-ого порядка, построенный с помощью этой матрицы? Понятно, что если построить квадрат с помощью этой матрицы, построенный квадрат будет получаться из квадрата с рис. 21 точно такой же перестановкой строк. На рис. 30 вы видите этот квадрат.
45 |
23 |
36 |
26 |
59 |
1 |
54 |
16 |
40 |
30 |
41 |
19 |
50 |
12 |
63 |
5 |
10 |
52 |
7 |
61 |
32 |
38 |
17 |
43 |
3 |
57 |
14 |
56 |
21 |
47 |
28 |
34 |
22 |
48 |
27 |
33 |
4 |
58 |
13 |
55 |
31 |
37 |
18 |
44 |
9 |
51 |
8 |
62 |
49 |
11 |
64 |
6 |
39 |
29 |
42 |
20 |
60 |
2 |
53 |
15 |
46 |
24 |
35 |
25 |
Рис. 30
Квадрат получился магическим. Но является ли он бимагическим? Понятно, что надо проверить только диагональные наборы чисел, так как наборы в строках и столбцах при этом преобразовании не изменились. Проверяем первую диагональ:
452 + 302 + 72 + 562 + 42 + 512 + 422 + 252 = 11116
Увы! Квадрат бимагическим не получился. Нет нужной суммы и для квадратов чисел во второй главной диагонали.
Можно предположить, что верно следующее утверждение:
Если бимагический квадрат 8-ого порядка представить в виде матрицы по формуле [1], то полученная матрица будет магической с магической константой 5252 (если смотреть на элементы этой матрицы как на десятичные числа).
Примечание: бимагический квадрат в этом утверждении считается заполненным числами от 0 до 63.
Для трёх бимагических квадратов, которые здесь рассмотрены, это утверждение выполняется. Однако это не означает, что оно верно для всех бимагических квадратов 8-ого порядка, его ещё надо доказать. Таким образом, условие, сформулированное в утверждении, является необходимым, но не достаточным для того, чтобы по такой матрице получился бимагический квадрат. В этом мы убедились в приведённом выше примере.
Теперь посмотрим на вариант матрицы под номером 3. В этом варианте переставлены симметричные строки – четвёртая с пятой. Понятно, что если мы в квадрате с рис. 21 сделаем точно такую перестановку строк, получим квадрат, соответствующий матрице этого варианта. Смотрите этот квадрат на рис. 31.
45 |
23 |
36 |
26 |
59 |
1 |
54 |
16 |
40 |
30 |
41 |
19 |
50 |
12 |
63 |
5 |
10 |
52 |
7 |
61 |
32 |
38 |
17 |
43 |
31 |
37 |
18 |
44 |
9 |
51 |
8 |
62 |
3 |
57 |
14 |
56 |
21 |
47 |
28 |
34 |
22 |
48 |
27 |
33 |
4 |
58 |
13 |
55 |
60 |
2 |
53 |
15 |
46 |
24 |
35 |
25 |
49 |
11 |
64 |
6 |
39 |
29 |
42 |
20 |
Рис. 31
Проверив диагональные наборы чисел, убеждаемся, что квадрат не является бимагическим.
Наконец, приведу пример М-преобразования, применённого к квадрату с рис. 21. Получившийся в результате преобразования квадрат изображён на рис. 32.
45 |
23 |
36 |
59 |
26 |
1 |
54 |
16 |
40 |
30 |
41 |
50 |
19 |
12 |
63 |
5 |
10 |
52 |
7 |
32 |
61 |
38 |
17 |
43 |
31 |
37 |
18 |
9 |
44 |
51 |
8 |
62 |
3 |
57 |
14 |
21 |
56 |
47 |
28 |
34 |
22 |
48 |
27 |
4 |
33 |
58 |
13 |
55 |
60 |
2 |
53 |
46 |
15 |
24 |
35 |
25 |
49 |
11 |
64 |
39 |
6 |
29 |
42 |
20 |
Рис. 32
Этот квадрат остался бимагическим. Итак, из каждого рассмотренного здесь бимагического квадрата мы можем получить 192 бимагических квадрата с помощью М-преобразований.
Важное заключение:
Основные преобразования и М-преобразования сохраняют свойство бимагичности магического квадрата.
***
Вспомнила о матрице, которая составлена для построения пандиагональных квадратов в статье:
http://www.grogono.com/magic/9x9.php
и об аналогичной матрице, составленной мной для построения идеальных квадратов 9-ого порядка с помощью ортогональных латинских квадратов, и составила по аналогии с этими матрицами матрицу для построения бимагических квадратов 9-ого порядка. За образец взяла матрицу с рис. 8, составленную Чебраковым. На рис. 33 вы видите матрицу для построения бимагических квадратов 9-ого порядка.
AAAA |
BBAC |
CCAB |
ABCB |
BCCA |
CACC |
ACBC |
BABB |
CBBA |
BCBA |
CABC |
ABBB |
BAAB |
CBAA |
ACAC |
BBCC |
CCCB |
AACA |
CBCA |
ACCC |
BACB |
CCBB |
AABA |
BBBC |
CAAC |
ABAB |
BCAA |
BACC |
CBCB |
ACCA |
BBBA |
CCBC |
AABB |
BCAB |
CAAA |
ABAC |
CCAC |
AAAB |
BBAA |
CACA |
ABCC |
BCCB |
CBBB |
ACBA |
BABC |
ABBC |
BCBB |
CABA |
ACAA |
BAAC |
CBAB |
AACB |
BBCA |
CCCC |
CABB |
ABBA |
BCBC |
CBAC |
ACAB |
BAAA |
CCCA |
AACC |
BBCB |
ACCB |
BACA |
CBCC |
AABC |
BBBB |
CCBA |
ABAA |
BCAC |
CAAB |
BBAB |
CCAA |
AAAC |
BCCC |
CACB |
ABCA |
BABA |
CBBC |
ACBB |
Рис. 33
К этой матрице должна прилагаться табличка значений символов. Вот она (рис. 34):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
В |
27 |
9 |
3 |
1 |
С |
54 |
18 |
6 |
2 |
Рис. 34
Напомню, как вычислять элементы в этой матрице. Надо просто суммировать значения входящих в элемент символов, учитывая при этом позицию каждого символа и в соответствии с этой позицией выбирая его значение из таблички на рис. 34. Пример:
ВВАС = 27 + 9 + 0 + 2 = 38
Для приведения квадрата к традиционному виду надо увеличить каждый элемент на единицу.
Если вы построите квадрат по матрице с рис. 33, используя значения символов из таблички на рис. 34, у вас получится бимагический квадрат, построенный Чебраковым (см. рис. 12).
Ценность представленной матрицы в том, что она позволяет построить другие бимагические квадраты, изменяя значения символов. Возьмём, например, такие значения символов (рис. 35):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
27 |
9 |
3 |
1 |
В |
0 |
0 |
0 |
0 |
С |
54 |
18 |
6 |
2 |
Рис. 35
Построенный с этими значениями бимагический квадрат вы видите на рис. 36.
41 |
6 |
76 |
34 |
26 |
72 |
48 |
10 |
56 |
20 |
66 |
28 |
13 |
59 |
51 |
9 |
79 |
44 |
62 |
54 |
16 |
73 |
38 |
3 |
69 |
31 |
23 |
18 |
61 |
53 |
2 |
75 |
37 |
22 |
68 |
33 |
78 |
40 |
5 |
71 |
36 |
25 |
55 |
47 |
12 |
30 |
19 |
65 |
50 |
15 |
58 |
43 |
8 |
81 |
64 |
29 |
21 |
60 |
49 |
14 |
80 |
45 |
7 |
52 |
17 |
63 |
39 |
1 |
74 |
32 |
24 |
67 |
4 |
77 |
42 |
27 |
70 |
35 |
11 |
57 |
46 |
Рис. 36
Если вы сравните этот квадрат с квадратом, построенным Чебраковым (рис. 12), увидите, что в этих квадратах наборы чисел в строках и столбцах одинаковые, значит, один квадрат можно получить из другого перестановкой строк и столбцов. Однако это преобразование не является М-преобразованием (диагональные наборы чисел в квадратах различны) и тем более не относится к основным преобразованиям магических квадратов. Следовательно, мы получили новый бимагический квадрат, не эквивалентный квадрату с рис. 12.
Теперь построим бимагический квадрат с такими значениями символов (рис. 36):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
В |
1 |
3 |
9 |
27 |
С |
2 |
6 |
18 |
54 |
Рис. 36
Бимагический квадрат, построенный с этими значениями, изображён на рис. 37.
1 |
59 |
36 |
49 |
26 |
75 |
70 |
38 |
15 |
17 |
66 |
40 |
29 |
6 |
61 |
77 |
54 |
19 |
24 |
79 |
47 |
45 |
10 |
68 |
57 |
31 |
8 |
74 |
51 |
25 |
14 |
72 |
37 |
35 |
3 |
58 |
63 |
28 |
5 |
21 |
76 |
53 |
42 |
16 |
65 |
67 |
44 |
12 |
7 |
56 |
33 |
46 |
23 |
81 |
39 |
13 |
71 |
60 |
34 |
2 |
27 |
73 |
50 |
52 |
20 |
78 |
64 |
41 |
18 |
4 |
62 |
30 |
32 |
9 |
55 |
80 |
48 |
22 |
11 |
69 |
43 |
Рис. 37
Снова получился бимагический квадрат, имеющий одинаковые наборы чисел в строках и столбцах с квадратом Чебракова. И тем не менее это не эквивалентные квадраты.
И последний пример с такими значениями символов (рис. 38):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
3 |
9 |
27 |
1 |
В |
6 |
18 |
54 |
2 |
С |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис. 38
В этом случае получается бимагический квадрат совсем отличающийся от квадрата с рис. 12, то есть наборы чисел в строках и столбцах не одинаковые. Вы видите этот бимагический квадрат на рис. 39.
41 |
52 |
30 |
24 |
8 |
10 |
58 |
72 |
74 |
62 |
64 |
78 |
45 |
47 |
31 |
25 |
3 |
14 |
20 |
4 |
18 |
57 |
68 |
79 |
37 |
51 |
35 |
16 |
21 |
5 |
80 |
55 |
69 |
36 |
38 |
49 |
28 |
42 |
53 |
11 |
22 |
9 |
75 |
59 |
70 |
76 |
63 |
65 |
32 |
43 |
48 |
15 |
26 |
1 |
66 |
77 |
61 |
46 |
33 |
44 |
2 |
13 |
27 |
6 |
17 |
19 |
67 |
81 |
56 |
50 |
34 |
39 |
54 |
29 |
40 |
7 |
12 |
23 |
71 |
73 |
60 |
Рис. 39
Итак, варьируя значения символов в матрице с рис. 33, можно построить несколько новых бимагических квадратов 9-ого порядка. Значения символов можно варьировать так: во-первых, менять местами значения для символов А, В, С, то есть переставлять строки в табличке значений символов; во-вторых, циклически переставлять значения символов А, В, С одновременно.
А теперь возьмём за образец матрицу с рис. 16. Эта матрица соответствует бимагическому квадрату, изображённому на рис. 2. Построим точно так же символьную матрицу (рис. 40):
ACBA |
AAAC |
CCCC |
BBBC |
BACA |
BCAB |
ABCB |
CABB |
CBAA |
BBAA |
BCCC |
ABBC |
CBCB |
CCBA |
CAAC |
BABB |
ACAB |
AACA |
BABC |
BBAB |
AACB |
CAAA |
CBCC |
CCBB |
BCCA |
ABBA |
ACAC |
CBBB |
CCAA |
BBCA |
ABAC |
ACCB |
AABA |
CACC |
BCBC |
BAAB |
AAAB |
ABCA |
CABA |
BCAA |
BBBB |
BACC |
ACBC |
CBAC |
CCCB |
BCCB |
BABA |
АСАА |
CCBC |
CAAB |
CBCA |
BBAC |
AACC |
ABBB |
CACA |
CBBC |
BAAC |
AABB |
ABAA |
ACCC |
CCAB |
BBCB |
BCBA |
CCAC |
CACB |
BCBB |
ACCA |
AABC |
ABAB |
CBBA |
BAAA |
BBCC |
ABCC |
ACBB |
CBAB |
BACB |
BCAC |
BBBA |
AAAA |
CCCA |
CABC |
Рис. 40
Если построить с помощью этой матрицы бимагический квадрат, используя значения символов из таблички с рис. 34, то получится квадрат, изображённый на рис. 2.
Теперь приведу пример построения бимагического квадрат с другими значениями символов (см. табличку на рис. 41).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
6 |
18 |
54 |
2 |
В |
3 |
9 |
27 |
1 |
С |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис. 41
Полученный бимагический квадрат вы видите на рис. 42.
36 |
79 |
1 |
40 |
24 |
59 |
17 |
47 |
66 |
69 |
4 |
43 |
11 |
30 |
73 |
50 |
62 |
27 |
49 |
68 |
26 |
75 |
10 |
29 |
6 |
45 |
61 |
38 |
57 |
15 |
70 |
8 |
54 |
19 |
31 |
77 |
80 |
18 |
48 |
60 |
41 |
22 |
34 |
64 |
2 |
5 |
51 |
63 |
28 |
74 |
12 |
67 |
25 |
44 |
21 |
37 |
76 |
53 |
72 |
7 |
56 |
14 |
33 |
55 |
20 |
32 |
9 |
52 |
71 |
39 |
78 |
13 |
16 |
35 |
65 |
23 |
58 |
42 |
81 |
3 |
46 |
Рис. 42
Получился новый бимагический квадрат, не эквивалентный квадрату с рис. 2. Обратите внимание: этот квадрат тоже ассоциативный, как и квадрат на рис. 2.
Читатели могут построить другие варианты бимагических квадратов, изменив значения символов в матрице с рис. 40.
Теперь по аналогии составляю символьную матрицу для построения бимагических квадратов восьмого порядка. За образец беру матрицу с рис. 22. Эта матрица соответствует бимагическому квадрату, приведённому в книге Чебракова. В отличие от квадратов 9-ого порядка в матрице для квадратов 8-ого порядка будет 4 символа: A, B, C, D. Готовую матрицу показываю на рис. 43.
BBBA |
ACBC |
BAAD |
ADAB |
BDAC |
AAAA |
BCBB |
ABBD |
BABD |
ADBB |
BBAA |
ACAC |
BCAB |
ABAD |
BDBC |
AABA |
ABAB |
BCAD |
AABC |
BDBA |
ADBD |
BABB |
ACAA |
BBAC |
AAAC |
BDAA |
ABBB |
BCBD |
ACBA |
BBBC |
ADAD |
BAAB |
ADBC |
BABA |
ACAB |
BBAD |
ABAA |
BCAC |
AABD |
BDBB |
ACBB |
BBBD |
ADAC |
BAAA |
AAAD |
BDAB |
ABBA |
BCBC |
BDAD |
AAAB |
BCBA |
ABBC |
BBBB |
ACBD |
BAAC |
ADAA |
BCAA |
ABAC |
BDBD |
AABB |
BABC |
ADBA |
BBAB |
ACAD |
Рис. 43
К этой матрице, как уже знают читатели, надо приложить таблицу значений символов. Вот она (рис. 44):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
В |
32 |
8 |
4 |
1 |
C |
|
16 |
8 |
2 |