КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

      Часть I

 

Решив отдохнуть от идеальных квадратов и метода качелей, принимаюсь за рассказ о квадратах Франклина, которые занимают меня очень давно.

Подумать только: Бенджамин Франклин (1706-1790) строил магические квадраты в XVIII веке, когда не было ни калькуляторов, ни компьютеров. И эти квадраты до сих пор восхищают всех, кто исследует магические квадраты, своей красотой и изящными свойствами.

 

1.  Полумагические квадраты Франклина восьмого порядка

 

Начну с полумагических квадратов Франклина восьмого порядка. Сразу скажу, что я работала в основном со статьёй по следующей ссылке:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/franklin.htm

 

Статья на английском языке, а я не знаю английского. Помочь с переводом некому. Обратилась к одному виртуальному знакомому с этой просьбой, но получила отказ. Сделала перевод в Google, но это такая тарабарщина получилась, что ничуть не лучше текста на английском. Поэтому данный рассказ не является переводом статьи, он является вольным пересказом, то есть я излагаю здесь, что поняла по картинкам.

 

Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 1.

 

 

                                                     Рис. 1

 

Как известно читателям, полумагическим называется такой традиционно заполненный квадрат (то есть числами от 1 до n²), в котором по строкам и столбцам суммы чисел равны магической константе квадрата, а по диагоналям – не равны. В приведённом квадрате Франклина сумма по одной диагонали равна 228=260-32, а по другой диагонали равна 292=260+32. Как видите, суммы по диагоналям отличаются от магической константы квадрата на одну и ту же величину, по одной диагонали в минус, а по другой – в плюс.

Этот квадрат обладает множеством изящных свойств, которые в вышеназванной статье проиллюстрированы очень оригинальным рисунком. Покажу этот рисунок здесь (ссылка с оригиналом рисунка указана выше), смотрите рис. 2.

 

 

                  

 

                                                                  Рис. 2

 

На рисунке очень красиво изображены все свойства квадрата Франклина. Как понимать эту иллюстрацию? Очень просто. Показаны все фигуры из 4-х и из 8-ми ячеек, суммы чисел в которых равны 130 или 260. Подпись, как я поняла, означает: во всех фигурах из 4-х ячеек суммы чисел равны 130, а во всех фигурах из 8-ми ячеек суммы чисел равны 260. Какие красивые свойства!

Например, фигура, представляющая собой квадрат из 4-х ячеек, то есть попросту квадрат 2х2. Так вот: в любом квадрате 2х2, находящемся в квадрате Франклина, сумма чисел равна 130. А вот очень необычные фигуры из 8-ми ячеек (фигуры В). Покажу эти фигуры в самом квадрате Франклина (рис. 3).

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Посчитайте суммы чисел в этих фигурах, которые выделены розовым и сиреневым цветом. Эти суммы равны 260. Ещё более интересно то, что эти фигуры могут двигаться в квадрате вверх-вниз, например, вот так может расположиться розовая фигура (рис. 4):

 

 

 

                                                                       Рис. 4

 

И опять сумма чисел в этой фигуре равна 260. Ну, скажите, разве не изящное свойство?! На рис. 5 показываю, как может расположиться в квадрате одна из фигур С.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

И снова в каждой такой фигуре сумма чисел равна 260. Но и это ещё не всё! Фигура может “переезжать” через край квадрата, смотрите на рис. 6.

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Необыкновенно! Вот вам и полумагический квадрат, а сколько в нём магии! Побольше, чем в некотором магическом квадрате.

Мне стало интересно: а фигура В может “переезжать” через край квадрата? Рисую на рис. 7 розовую фигуру В, “переехавшую” через нижний край квадрата:

 

 

 

                                                                  Рис. 7

 

Считаю сумму чисел в этой фигуре. Да! Она равна 260. На рис. 8 показана та же самая фигура, “переехавшая” через верхний край квадрата.

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Следует отметить, что фигуры в иллюстрации, изображённой на рис. 2, разделены на три группы – А, В и С. Как я поняла из тарабарщины, выданной мне Google, фигуры группы А могут быть “запущены” с любой ячейки квадрата, а фигуры групп В и С – не с любой. Те, кто знает английский язык, сами посмотрят статью и поймут, что это значит. Ну, вот, например, фигуры, состоящие из 4-х ячеек, сложенных в строку или в столбец. Эти фигуры относятся к группе С. И потому не в любой такой фигуре, находящейся в квадрате Франклина, сумма чисел равна 130. Это свойство выполняется только в полустроках и в полустолбцах квадрата, как показано на рис. 9.

 

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Понятно, что на рисунке показано несколько полустрок и полустолбцов. Всего же в квадрате, очевидно, 16 полустрок и 16 полустолбцов. Если же расположить данные фигуры так, как показано на рис. 10, то сумма чисел в них не будет равна 130.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

Можно ли превратить полумагический квадрат Франклина в магический перестановкой строк и/или столбцов? Да, очень просто. На рис. 11 вы видите магический квадрат восьмого порядка, полученный из квадрата Франклина перестановкой всего двух пар строк.

 

 

 

                                                                       Рис. 11

 

Но в этом магическом квадрате уже имеют место не все свойства полумагического квадрата Франклина, показанные на рис. 2. Предлагаю читателям посмотреть, какие свойства сохранились, а какие исчезли.

 

Теперь перехожу ко второму полумагическому квадрату Франклина восьмого порядка.

 

16 февраля 2008 г.

 

Прежде чем начать представление второго полумагического квадрат Франклина восьмого порядка, отмечу ещё одно свойство первого квадрата, которое обнаружила вчера после того, как уже отправила страницу на сайт. Размышляя о том, что фигуры с рис. 2 могут “переезжать” через края квадрата, я подумала, что и сам квадрат тогда можно подвергать преобразованию параллельного переноса на торе. И в самом деле! Он прекрасно переносится как по оси Х, так и по оси Y, и при этом остаётся полумагическим, что совершенно понятно: ведь при параллельном переносе на торе суммы в строках и столбцах квадрата не изменяются. На рис. 12 показываю один квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 параллельным переносом на торе.

 

 

 

                                                   Рис. 12

 

Суммы чисел по диагоналям в этом квадрате тоже равны 292 и 228. Однако в этом квадрате имеют место не все свойства, изображённые на рис. 2. Так, например, суммы в полустолбцах не равны 130. Вот здесь и становится более понятно, почему фигуры на рис. 2 разделены на три группы. Свойства для фигур групп В и С будут выполняться не во всех квадратах, полученных параллельным переносом на торе, а свойства для фигур А – во всех.

 А теперь перенесу квадрат с рис. 1 так, чтобы в левой верхней ячейке стояло число 1 (я очень люблю квадраты, начинающиеся с числа 1). Смотрите этот квадрат на рис. 13.

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

И снова суммы по диагоналям равны 292 и 228. Прямо дьявольски полумагический квадрат!

Посмотрите, в этом квадрате нарушилось свойство для фигуры В (розовая) и для фигуры С (бирюзовая), суммы чисел в этих фигурах уже не равны 260. Суммы в полустроках и полустолбцах так же не равны 130. А вот свойства для всех фигур группы А по-прежнему имеют место.

 

Представляю второй полумагический квадрат Франклина восьмого порядка (рис. 14).

 

 

                                                   Рис. 14

 

В этом квадрате суммы по диагоналям имеют такие значения: 252 и 268, то есть отличаются от магической константы на 8, одна сумма в минус, а другая в плюс. Интересно отметить, что второй квадрат Франклина получается из первого так: сначала квадрат повёрнут и отражён, а затем в последних 6 столбцах переставлены числа и сами столбцы тоже переставлены, а первые два столбца оставлены без изменения. Смотрите сами, на рис. 15 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 поворотом на 90 градусов по часовой стрелке и отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Сравните этот квадрат со вторым квадратом Франклина.

 

 

 

                                                                      Рис. 15

 

Во втором квадрате Франклина тоже выполняются свойства для фигур групп А и С, а вот свойство для фигур группы В не выполняется (см. рис. 14). Этот квадрат тоже можно переносить на торе, то есть он тоже дьявольски полумагический. При переносе на торе сохраняются суммы в строках и столбцах (это вполне понятно), но не изменяются и суммы по главным диагоналям, то есть квадрат остаётся таким же полумагическим, как и исходный квадрат. На рис. 16 показываю квадрат, который я получила из квадрата с рис. 14 параллельным переносом на торе, он начинается с числа 1.

 

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Предлагаю читателям посмотреть, какие свойства в этом квадрате сохранились, а какие нарушились. А я покажу сейчас, как интересно заполняется матрица квадрата с рис. 16. Но сначала поверну этот квадрат на 90 градусов по часовой стрелке и отражу относительно вертикальной оси симметрии. Полученный в результате таких преобразований квадрат вы видите на рис. 17.

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Я выделила в квадрате на рис. 17 первые 8 чисел. Вам ничего это не напоминает? Правильно, это очень похоже на качели. Только качели эти неправильные, шаги качания влево и вправо не постоянны. И в циклах кое-где происходит нарушение нормального хода качелей. Но всё-таки как похоже! На рис. 18 показан первый цикл качания качелей, а на рис. 19 – второй и третий. Далее заполните матрицу сами (полностью заполненная матрица на рис. 17).

 

 

 

                                                                      Рис. 18

 

 

 

                                                                      Рис. 19

 

Вот как интересно! У Франклина, видимо, был какой-то свой метод качелей, который нам не известен. Этим методом Франклин и построил свои дьявольски полумагические квадраты.

Квадрат с рис. 17 тоже очень просто превратить в магический, переставив всего две пары строк. На рис. 20 вы видите этот магический квадрат.

 

 

                                                                      Рис. 20

 

В этом магическом квадрате тоже выполняются некоторые свойства, изображённые на рис. 2. В квадрате выделены несколько фигур (из групп А, В и С), для которых свойства выполняются.

 

 

17 февраля 2008 г.

 

2.   Полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка

 

Рассказ об удивительном квадрате Франклина 16-ого порядка я начну с цитаты из статьи, найденной по ссылке

 

http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic SQ.doc

 

“Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 (см. рис.4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во  всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези,  куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.

 

 

                                               

                                                                                           Рис.4

 

Этот квадрат  является самым магически-магическим из всех МК, составленных когда-либо каким-либо магом”.

 

Вот такая любопытная цитата! Автор действительно приводит на своём рисунке полумагический квадрат Франклина, но называет этот квадрат магическим (!). Он даже не удосужился посчитать все суммы в строках, столбцах и диагоналях, и не увидел, что суммы по диагоналям не равны магической константе квадрата 2056. Далее автор отмечает одно замечательное свойство этого квадрата, которое я сформулировала бы так: в любом квадрате 4х4, находящемся внутри квадрата Франклина, сумма чисел равна магической константе квадрата. Но это далеко не единственное свойство полумагического квадрата Франклина, о котором рассказал нам автор статьи. Например, на рисунке, приведённом автором, выделены штриховыми линиями фигуры, аналогичные фигурам группы С в рассмотренных выше полумагических квадратах Франклина восьмого порядка. Сумма чисел в ячейках выделенных фигур тоже равна магической константе квадрата. Получается, что автор не сказал ни слова о свойстве, которое показано на рисунке. На стене висит ружьё, но оно не стреляет!

 

Теперь я попытаюсь рассказать вам об этом удивительном квадрате более подробно. Напомню, что я основываю свой рассказ на статье, написанной по-английски. Ссылка на статью приведена в начале настоящей статьи.

 

Итак, на рис. 21 вы видите полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка.

 

 

 

Рис. 16

 

Магическая константа квадрата 16-ого порядка равна 2056. Суммы по диагоналям в полумагическом квадрате Франклина, изображённом на рис. 16, имеют такие значения: 1928=2056-128 и 2184=2056+128.

Этот квадрат Франклина обладает множеством изящных свойств, аналогично квадрату восьмого порядка. Два свойства я уже отметила выше: сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся внутри квадрата Франклина, равна магической константе и сумма чисел в ячейках фигуры, выделенной на рис. 16, тоже равна магической константе. Так же, как и в квадратах восьмого порядка, эта фигура может перемещаться по квадрату вверх-вниз (см. рис. 16), и даже “переезжать” через края квадрата. На рис. 17 показана эта фигура, “переехавшая” через нижний край квадрата при движении вниз (или через верхний край квадрата – при движении вверх).

 

 

 

                                                                  Рис. 17

 

Далее, эта фигура может быть повёрнута на 90, 180 и 270 градусов. На рис. 18 вы видите эту фигуру повёрнутой на 90 градусов.

 

 

 

                                                                    Рис. 18

 

Эта фигура может перемещаться по квадрату вправо-влево и “переезжать” через левый и правый края квадрата. На рис. 19 показана такая фигура, “переехавшая” через левый край квадрата при движении влево (или через правый край квадрата – при движении вправо).

 

 

 

                                                                      Рис. 19

 

Все эти чудесные свойства возможны благодаря тому, что и сам квадрат можно переносить на торе как по оси Х, так и по оси Y, то есть он, как и квадраты восьмого порядка, является дьявольски полумагическим (это название принадлежит мне). Используя это свойство квадрата, сразу построю квадрат, начинающийся с числа 1. Этот квадрат вы видите на рис. 20.

 

 

                                                                     Рис. 20

 

Вот такой замечательный полумагический квадрат получен из квадрата Франклина переносом на торе. При этом он имеет точно такие же суммы по диагоналям, как и сам квадрат Франклина: 1928 и 2184. А посмотрите-ка, как оригинально расположены в этом квадрате первые 16 чисел! И дальнейшее заполнение этой матрицы непостижимым образом связано с расположением начальной цепочки первых 16 чисел.

Как и в случае с квадратами восьмого порядка, при переносе на торе полумагический квадрат 16-ого порядка теряет ряд своих свойств.

 

Отмечу одну удивительную закономерность, которая бросилась мне в глаза (по-моему, эта закономерность не приведена в статье, с которой я работала). В каждой строке квадрата Франклина два рядом стоящих числа отличаются на одну и ту же величину. Покажу это свойство в виде таблицы (рис. 21):

 

 

                                               Рис. 21

 

Интересная закономерность, не правда ли? Может быть, она что-нибудь даст тому, кто будет исследовать этот квадрат Франклина после меня. Вдруг, используя эту закономерность, удастся построить аналогичный полумагический квадрат, скажем, 20-ого или 24-ого порядка.

Посмотрела сейчас на полумагический квадрат Франклина восьмого порядка (см. рис. 1), и в нём та же самая закономерность! Показываю её тоже в виде таблицы (рис. 22):

 

 

                                                                        Рис. 22

 

Другие свойства полумагического квадрата Франклина 16-ого порядка предлагаю читателям посмотреть в указанной статье. Как я поняла, в статье написано, что для квадрата Франклина 16-ого порядка выполняются все свойства с моделями фигур, изображённых на рис. 2 для квадрата восьмого порядка, и ещё некоторые другие.

 

Полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка также очень просто превращается в магический перестановкой столбцов. На рис. 23 вы видите такой магический квадрат.

 

 

 

                                                                      Рис. 23

 

Этот квадрат я получила по программе перестановки столбцов. Но в магическом квадрате теряются некоторые свойства, которыми обладает полумагический квадрат. Например, в магическом квадрате на рис. 23 уже не во всех квадратах 4х4 сумма чисел равна магической константе квадрата.

В статье, с которой я работала, указан другой путь превращения полумагического квадрата Франклина в магический, который работает для квадратов и восьмого, и 16-ого порядка. Надо повернуть левый верхний квадрат 8х8 (в квадрате восьмого порядка – 4х4) и левый нижний квадрат 8х8 по часовой стрелке на 90 градусов. Правую половину квадрата не изменять. На рис. 24 вы видите магический квадрат 16-ого порядка, полученный таким способом из полумагического квадрата Франклина.