КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

Часть IV

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 29 февраля 2008 г.

 

Ур-р-р-а! Есть программа!

 

Как помнят читатели, в предыдущей части статьи я дала схему построения дьявольски полумагических квадратов Франклина восьмого, 16-ого и 32-ого порядка. Эта схема оказалась очень похожей на мой метод качелей, и потому я назвала её аналогом качелей. Мне хотелось глубже проникнуть в эту схему, чтобы можно было запрограммировать этот алгоритм. И получилось! Пока только для квадратов восьмого порядка.

Я показала в предыдущей части статьи схему для обоих квадратов Франклина. Сначала рассмотрю схему для первого квадрата. На рис. 1 показываю образующую таблицу в том виде, в каком я её запрограммировала. Зафиксированы два числа в начальной цепочке первых 8 чисел – 1 и 8 (опять же по аналогии с методом качелей). Остальные шесть чисел варьируются, переменные в циклах принимают значения от 2 до 7. Циклы качания качелей тоже варьируются, они принимают значения от 1 до 7. Нетрудно посчитать, сколько вариантов рассматривает программа. Очень много!

 

 

                                                                          Рис. 1

 

Ну, а теперь дело техники. Программа не очень велика и совсем не сложная. Написала её быстро. И начала выполнять. Восторг! Только при I=2 программа построила 1152 дьявольски полумагических квадратов! Дальше не стала гнать программу. Не терпелось поскорее посмотреть на выданные программой квадраты. Приведу здесь первые пять квадратов из файла, в который их записала программа.

 

№ 1                                                   № 2   

 1  16  17  32  33  48  49  64          1  16  17  40  25  48  49  64

 59  54  43  38  27  22  11  6          59  54  43  30  35  22  11  6

 8  9  24  25  40  41  56  57            8  9  24  33  32  41  56  57  

 60  53  44  37  28  21  12  5          60  53  44  29  36  21  12  5

 2  15  18  31  34  47  50  63          2  15  18  39  26  47  50  63  

 61  52  45  36  29  20  13  4          61  52  45  28  37  20  13  4  

 7  10  23  26  39  42  55  58          7  10  23  34  31  42  55  58

 62  51  46  35  30  19  14  3          62  51  46  27  38  19  14  3  

 

 № 3                                                  № 4

 1  16  25  24  41  40  49  64          1  16  25  48  17  40  49  64

 59  54  35  46  19  30  11  6          59  54  35  22  43  30  11  6

 8  9  32  17  48  33  56  57            8  9  32  41  24  33  56  57  

 60  53  36  45  20  29  12  5          60  53  36  21  44  29  12  5  

 2  15  26  23  42  39  50  63          2  15  26  47  18  39  50  63

 61  52  37  44  21  28  13  4          61  52  37  20  45  28  13  4

 7  10  31  18  47  34  55  58          7  10  31  42  23  34  55  58

 62  51  38  43  22  27  14  3          62  51  38  19  46  27  14  3  

 

 № 5

 1  16  33  24  41  32  49  64

 59  54  27  46  19  38  11  6

 8  9  40  17  48  25  56  57

 60  53  28  45  20  37  12  5

 2  15  34  23  42  31  50  63

 61  52  29  44  21  36  13  4

 7  10  39  18  47  26  55  58

 62  51  30  43  22  35  14  3

 

Покажу квадрат № 2 в привычном виде (рис. 2).

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Этот квадрат дьявольски полумагический с такими суммами по диагоналям: 212=260-48 и 308=260+48. Убедитесь в том, что он дьявольски полумагический, применив к нему преобразование параллельного переноса на торе.

 

А теперь напомню первый квадрат Франклина, конечно, в преобразованном виде (рис. 3).

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Сравнив эти квадраты (с рис. 2 и с рис. 3), я увидела, что они связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. В одной из предыдущих частей настоящей статьи я уже приводила одно подобное преобразование. Заметьте: это преобразование переводит дьявольски полумагический квадрат в дьявольски полумагический. То есть оно не изменяет сумм в строках и столбцах квадрата, а суммы по диагоналям изменяет на одну и ту же величину, по одной диагонали в плюс, а по другой в минус. Итак, на рис. 4 показываю матрицу преобразования, связывающего квадраты с рис. 2 и с рис. 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Применяю это преобразование к квадрату с рис. 3 и получаю квадрат, изображённый на рис. 2. Преобразование увеличивает сумму по одной диагонали на 16 (она становится равна: 292+16=308) и уменьшает сумму по другой диагонали тоже на 16 (она становится равна: 228-16=212).

 

У меня такое ощущение, что все 1152 квадратов, которые я получила по программе (и это ведь ещё далеко не все!) связаны между собой подобными преобразованиями. Таким образом, это целая группа квадратов, описанных образующей таблицей, показанной на рис. 1, и в ней есть один базовый квадрат, ну, например тот, который выдала мне программа под № 1.

 

А далее я смотрю на схему для второго дьявольски полумагического квадрата Франклина. Она отличается от только что рассмотренной тем, что в ней числа 1 и 8 по-другому расположены в начальной цепочке (а положение этих чисел мы фиксируем в образующей таблице). И. следовательно, это будет другая группа квадратов (по аналогии с качелями – другой вид качелей). Надо написать новую программу и получить квадраты этой группы. На рис. 5 напоминаю второй преобразованный квадрат Франклина.

 

 

 

                                                    Рис. 5

 

И образующая таблица для данной группы квадратов (квадрат на рис. 5 можно считать базовым в этой группе) будет иметь такой вид (рис. 6):

 

 

                                                                          Рис. 6

 

 

Сегодня уже не получится написать новую программу – рабочий день закончен. Завтра продолжу. Приходите!

 

                                                                  ***

 

Продолжаю ещё сегодня. Вторая схема пока откладывается. Сейчас взяла распечатку с первыми пятью квадратами, полученными по программе (они приведены выше), и решила посмотреть, какие суммы по диагоналям у других дьявольски полумагических квадратов. И вот сенсация! Квадрат № 3 оказался дьвольски магическим, то есть пандиагональным! Я вообще-то это предполагала, хотя и не была абсолютно уверена. Итак, мы имеем новый метод построения пандиагональных квадратов пока только восьмого порядка. Этот метод получен мной как аналог качелей применительно к полумагическим квадратам Франклина. Вот это результат!! Нет, научная интуиция меня всё-таки не подводит. Я же говорила, что глубокая разработка схемы Франклина даст неплохой результат. Ну, надо, конечно, показать этот чудесный квадрат более наглядно. На рис. 7 вы видите этот квадрат. Он абсолютно дьявольский, без всяких “полу…”.

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Теперь надо вставить в программу блок проверки пандиагональности построенных квадратов, я это ведь не сделала, потому что думала, что все квадраты будут только дьявольски полумагическими. И вот такой сюрприз! Наверное, среди 1152 квадратов есть ещё пандиагональные. Просто не могу выразить свой восторг! Ну, завтра я вставлю такой блок в программу и посмотрю, будут ли ещё пандиагональные квадраты.

Покажу и образующую таблицу этого квадрата (рис. 8), и ещё раскрашу циклы качания качелей (рис. 9).

 

 

 

                                                        Рис. 8

 

Отмечу, что этот квадрат получен для таких значений переменных (чисел в начальной цепочке первых 8 чисел): I=2, J=7, K=3, L=4, M=5, N=6. Значения для номеров циклов качания вы видите в нижней строке образующей таблицы.

 

 

 

                                                   Рис. 9

 

Ну, разве не красота?! Здесь ещё раз скажу о том, о чём уже говорила в предыдущей части статьи: числа из образующей таблицы в матрицу для квадрата можно переписывать как по столбцам (в каждом столбце набор чисел для одного цикла качания качелей; каждый цикл выделен своим цветом), так и построчно. Если вы знаете мой метод качелей, то помните, что там было точно так же. Правда, там было смещение чисел в строках, а здесь ещё проще: одни строки переписываются без изменения, а другие просто переворачиваются. Например, строка, начинающаяся с числа 1, переписывается без изменения, а строка, начинающаяся с числа 6, переворачивается. Очевидно, что это зависит оттого, где (в самом квадрате) стоит число начальной цепочки первых 8 чисел – в начале или в конце строки. Аналогия с методом качелей почти полная!

 

А сейчас отмечу, что квадрат, который мной получен, не только пандиагональный, в нём ещё выполняются  многие свойства, которые имеют место для полумагических квадратов Франклина. Не могу проверить все свойства (нет времени сейчас), но некоторые видны сразу. Например, в любом квадрате 2х2, находящемся внутри этого квадрата, сумма чисел равна половине магической константы – 130. Суммы чисел в вершинах самого квадрата, в вершинах любого квадрата 4х4 (а также любого квадрата 6х6), находящегося внутри квадрата, равны 130. Выполняется также свойство для фигур группы В и группы С (рис. 10).

 

 

 

                                                                       Рис. 10

 

О свойствах полумагических квадратов Франклина смотрите в первой части настоящей статьи.

 

Непонятно, почему Франклин, изобретя такую изящную схему построения дьявольски полумагических квадратов, не построил дьявольский квадрат восьмого порядка. Да и пандиагональный квадрат 16-ого порядка он построил по другой схеме (я её тоже представила в одной из предыдущих частей настоящей статьи). Но ведь, наверное, и пандиагональные квадраты 16-ого и 32-ого (и далее) порядка можно построить по предложенному здесь алгоритму. Надо только составить соответствующие программы, как я сделала это для квадратов восьмого порядка.

 

Сейчас решила посмотреть, как связаны первый дьявольски полумагический квадрат Франклина и пандиагональный квадрат, построенный мной. Для этого сначала приведу квадрат Франклина в первозданном виде (рис. 11), а затем преобразую свой пандиагональный квадрат к этому виду (поверну его на 180 градусов и перенесу на торе). Преобразованный пандиагональный квадрат с рис. 7 вы видите на рис. 12.

 

 

 

                                                   Рис. 11

 

 

                                                    Рис. 12

 

А теперь посмотрите внимательно на эти два квадрата! Что надо было сделать Франклину, чтобы превратить свой дьявольски полумагический квадрат (рис. 11) в дьявольский (рис. 12)? Ему надо было применить к своему квадрату комбинированное преобразование “плюс-минус …”, которое, не изменяя сумм в строках и столбцах квадрата, выравнивает суммы по всем (!) диагоналям, прибавляя 32 по одним диагоналям (где сумма была равна 228) 32 и вычитая 32 по другим диагоналям (где сумма была равна 292). Но Франклин, наверное, не знал о существовании такого преобразования! Показываю матрицу этого преобразования на рис. 13.

 

 

                                                                       Рис. 13

 

Как я уже отметила, построенный мной пандиагональный квадрат (рис. 12), обладает многими свойствами полумагического квадрата Франклина. В виде, который квадрат имеет на рис. 7, были показаны некоторые свойства. В преобразованном виде (рис. 12), квадрат утратил некоторые свойства, но зато приобрёл новые! Например, в нём суммы в полустроках уже равны 130. Интересно, что утратив свойства для фигур групп В и С в той форме, как это имеет место в полумагическом квадрате Франклина, мой квадрат имеет другое свойство с этими фигурами. Суммы в двух таких фигурах равны 520, то есть удвоенной магической константе квадрата. На рис. 14 показываю это свойство для фигур группы С.

 

 

 

                                                                      Рис. 14

 

Это свойство можно сформулировать так: сумма чисел по периметру вписанного квадрата 4х4 равна удвоенной магической константе квадрата. На рис. 15 показываю свойство с фигурами группы В, расположенными вертикально.

 

 

 

                                                                     Рис. 15

 

И, конечно, эти фигуры могут “переезжать” через края квадрата, так как квадрат является дьявольским. На рис. 16 вы видите “переехавшую” через край фигуру с рис. 14, а на рис. 17 – с рис. 15.

 

 

 

                                                                      Рис. 16

 

 

                                                                     Рис. 17

 

Интересно отметить, что в первом полумагическом квадрате Франклина фигуры группы В могут располагаться только горизонтально (а во втором – только вертикально). Однако для двух фигур свойство выполняется и в квадрате Франклина (см.  рис. 18).

 

 

 

                                                                      Рис. 18

 

Вот такие изящные свойства! Они почти полностью перешли в мой пандиагональный квадрат из полумагического квадрата Франклина. Но ведь всё-таки дьявольский квадрат лучше  дьявольски полумагического. Не правда ли?

 

                                                       ***

 

Ну, однако, пора спать.

Завтра продолжу.

 

                                      ________

 

 

Не забудьте посетить физико-математический форум, где происходит обсуждение темы магических квадратов:

 

http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=5

 

     1 марта 2008 г.

 

       Поздравляю вас с весной, дорогие мои посетители!

 

Итак, вчера я остановилась на том, что надо вставить в программу блок проверки пандиагональности построенных дьявольски полумагических квадратов, потому что среди этих квадратов оказались и дьявольски магические. Сегодня сделала это. Опять выполнила программу только для I=2 (программа выполняется довольно долго). Среди 1152 квадратов, которые программа выдала мне вчера, оказалось 144 дьявольских (пандиагональных) квадратов. Немудрено, что Франклин не построил ни одного пандиагонального квадрата восьмого порядка. Перебрать столько вариантов вручную просто невозможно. Это ведь только для одного значения переменной I столько квадратов. А теперь представьте: число перестановок чисел в начальной цепочке первых 8 чисел равно 720 (варьируются 6 чисел, два зафиксированы), число перестановок циклов качания качелей равно 5040 (варьируются 7 циклов), следовательно, программа должна перебрать 3628800 вариантов! Если бы Франклин это сделал, он точно сошёл бы с ума.

Теперь показываю первые 7 пандиагональных квадратов из файла, в который они записаны программой.

 

№ 1                              № 2

 1  16  25  24  41  40  49  64   1  16  41  40  25  24  49  64

 59  54  35  46  19  30  11  6   59  54  19  30  35  46  11  6

 8  9  32  17  48  33  56  57    8  9  48  33  32  17  56  57

 60  53  36  45  20  29  12  5   60  53  20  29  36  45  12  5

 2  15  26  23  42  39  50  63   2  15  42  39  26  23  50  63

 61  52  37  44  21  28  13  4   61  52  21  28  37  44  13  4

 7  10  31  18  47  34  55  58   7  10  47  34  31  18  55  58

 62  51  38  43  22  27  14  3   62  51  22  27  38  43  14  3

 

 № 3                            № 4

 1  24  25  16  49  40  41  64   1  24  49  40  25  16  41  64

 59  46  35  54  11  30  19  6   59  46  11  30  35  54  19  6

 8  17  32  9  56  33  48  57    8  17  56  33  32  9  48  57

 60  45  36  53  12  29  20  5   60  45  12  29  36  53  20  5

 2  23  26  15  50  39  42  63   2  23  50  39  26  15  42  63

 61  44  37  52  13  28  21  4   61  44  13  28  37  52  21  4

 7  18  31  10  55  34  47  58   7  18  55  34  31  10  47  58 

 62  43  38  51  14  27  22  3    62  43  14  27  38  51  22  3

 

№ 5                              № 6

 1  40  41  16  49  24  25  64   1  40  49  24  41  16  25  64 

 59  30  19  54  11  46  35  6   59  30  11  46  19  54  35  6

 8  33  48  9  56  17  32  57    8  33  56  17  48  9  32  57 

 60  29  20  53  12  45  36  5   60  29  12  45  20  53  36  5 

 2  39  42  15  50  23  26  63   2  39  50  23  42  15  26  63 

 61  28  21  52  13  44  37  4   61  28  13  44  21  52  37  4 

 7  34  47  10  55  18  31  58   7  34  55  18  47  10  31  58

 62  27  22  51  14  43  38  3   62  27  14  43  22  51  38  3 

 

№ 7

 1  16  25  24  41  40  49  64

 60  53  36  45  20  29  12  5

 8  9  32  17  48  33  56  57

 59  54  35  46  19  30  11  6

 2  15  26  23  42  39  50  63

 61  52  37  44  21  28  13  4

 7  10  31  18  47  34  55  58

 62  51  38  43  22  27  14  3

 

А теперь посмотрите внимательно на эти квадраты. Сразу видно, что они связаны между собой преобразованиями “плюс-минус …”, которые здесь равносильны перестановке столбцов (или/и строк). Поясню на примере первых двух квадратов. Квадрат № 1 уже наглядно представлен на рис. 7 и рис. 9. Покажу квадрат № 2 (рис. 19).

 

 

 

                                                                      Рис. 19

 

Совершенно очевидно, что этот квадрат получен из квадрата № 1 простой перестановкой двух пар столбцов. А теперь покажу матрицу равносильного этой перестановке столбцов преобразования “плюс-минус 16” (рис. 20). Понятно, что это преобразование сохраняет пандиагональность квадрата.

 

 

 

                                                                     Рис. 20

 

Вот такое нехитрое, но очень красивое преобразование превращает квадрат с рис. 7 в квадрат с рис. 19. Для тех, кто впервые встречается здесь с преобразованием типа “плюс-минус …”, поясню, как применять это преобразование. Наложите матрицу преобразования, изображённую на рис. 20, на квадрат с рис. 7. К числам, попавшим в голубые ячейки, прибавьте 16, а от чисел, попавших в белые ячейки, вычтите 16. Остальные числа перепишите без изменения. Вот и всё! Новый пандиагональный квадрат готов!

 

Ну, а с точки зрения качелей это есть не что иное, как перестановка двух пар циклов качания качелей. Обратите внимание на то, что начальные цепочки первых 8 чисел в этих квадратах одинаковы.

 

Покажу пример преобразования “плюс-минус …”, равносильного перестановке строк. Возьмём квадраты № 1 и № 7. На рис. 21 представляю наглядно квадрат № 7.

 

 

                                                                     Рис. 21

 

Сравните этот квадрат с квадратом № 1 (рис. 7), и вы увидите, что они отличаются всего двумя переставленными строками. С точки зрения качелей это означает изменение последовательности чисел в начальной цепочке. Все циклы качания качелей при этом не изменились. А на рис. 22 вы видите матрицу преобразования “плюс-минус 1”, равносильного такой перестановке строк. И это преобразование переводит пандиагональный квадрат с рис. 7 в пандиагональный квадрат с рис. 21!

 

 

 

                                                                      Рис. 22

 

Наконец, как вы, наверное, уже догадались, есть квадраты, которые отличаются и начальной цепочкой первых 8 чисел, и номерами циклов качания качелей. Такие квадраты могут быть получены одновременной перестановкой строк и столбцов. И преобразование “плюс-минус …” тоже возможно, но оно будет более сложным, комбинированным, то есть в нём будут участвовать несколько разных чисел. В качестве примера можете рассмотреть квадраты № 5 и № 7.

 

Ну, а я пойду смотреть, будут ли пандиагональные квадраты (и сколько) при других значениях переменной I.

А потом у меня ведь есть ещё одна схема Франклина (см. рис. 6), которую тоже надо запрограммировать. Это будет другая группа дьявольски полумагических и пандиагональных квадратов. При этом в группе дьявольски полумагических квадратов базовым квадратом можно избрать преобразованный дявольски полумагический второй квадрат Франклина. А в группе пандиагональных квадратов базовым можно назначить квадрат № 1, который мне выдаст программа.

Ещё вполне возможно, что число 8 в начальной цепочке может занимать и другие позиции. И тогда появятся другие схемы: третья, четвёртая и т. д.

 

Далее в планах построение по этой схеме Франклина пандиагональных квадратов 16-ого порядка. А в дальней перспективе – построение пандиагональных квадратов 32-ого порядка.

Вот какая большая у меня программа! Может быть, вы мне поможете? Ну, например, составьте-ка программу для построения пандиагональных квадратов 32-ого порядка в точной аналогии с тем, как это сделано для квадратов восьмого порядка. Как получите первый пандиагональный квадрат 32-ого порядка, напишите мне. Буду очень рада, что у меня есть помощники.

Как мы назовём этот метод построения пандиагональных квадратов? Предлагаю назвать его так: метод Франклина-Макаровой. Годится?

 

                                               ***

 

Первый пункт своего плана выполнила. Прогнала программу для I=3. Получила ещё 144 пандиагональных квадрата. Дьвольски полумагические уже не стала выводить (в программе присутствует блок проверки пандиагональности и выводятся только пандиагональные квадраты). Думаю, что дьвольски полумагических снова было бы 1152. Вот показываю три первых пандиагональных квадрата, выданных программой при I=3 (нумерация продолжена с первой порции квадратов, полученных при I=2).

 

 № 145                                              № 146

 1  16  25  24  41  40  49  64              1  16  41  40  25  24  49  64

 58  55  34  47  18  31  10  7              58  55  18  31  34  47  10  7

 8  9  32  17  48  33  56  57                8  9  48  33  32  17  56  57

 60  53  36  45  20  29  12  5              60  53  20  29  36  45  12  5

 3  14  27  22  43  38  51  62              3  14  43  38  27  22  51  62 

 61  52  37  44  21  28  13  4              61  52  21  28  37  44  13  4

 6  11  30  19  46  35  54  59             6  11  46  35  30  19  54  59

 63  50  39  42  23  26  15  2              63  50  23  26  39  42  15  2 

 

 № 147

 1  24  25  16  49  40  41  64

 58  47  34  55  10  31  18  7

 8  17  32  9  56  33  48  57

 60  45  36  53  12  29  20  5

 3  22  27  14  51  38  43  62

 61  44  37  52  13  28  21  4

 6  19  30  11  54  35  46  59

 63  42  39  50  15  26  23  2

 

Предлагаю читателям составить программу для построения пандиагональных квадратов восьмого порядка по приведённому здесь алгоритму и полностью прогнать её. Тогда вы получите все пандиагональные квадраты данной группы. Можно предположить, что их будет 864, если и при I=4, 5, 6, 7 построятся тоже по 144 квадрата. Надо проверить, но мне не хочется гнать программу до конца. Долго!

 

Перехожу ко второму пункту – пишу программу для другой схемы (см. рис. 6). И тоже не буду выводить дьявольски полумагические квадраты, а только дьявольские. При желании вы можете получить такие квадраты самостоятельно, для этого надо убрать из программы блок проверки пандиагональности построенных квадратов.

 

                                               ***

 

Опять выполнила программу только для I=2, программа выдала снова 144 пандиагональных квадрата. Показываю первые 5 квадратов.

 

№ 1                                                   № 2

 6  11  30  19  46  35  54  59              6  11  46  35  30  19  54  59

 64  49  40  41  24  25  16  1              64  49  24  25  40  41  16  1 

 5  12  29  20  45  36  53  60              5  12  45  36  29  20  53  60

 63  50  39  42  23  26  15  2              63  50  23  26  39  42  15  2

 4  13  28  21  44  37  52  61              4  13  44  37  28  21  52  61 

 58  55  34  47  18  31  10  7              58  55  18  31  34  47  10  7 

 3  14  27  22  43  38  51  62              3  14  43  38  27  22  51  62

 57  56  33  48  17  32  9  8                57  56  17  32  33  48  9  8 

 

 № 3                                                  № 4                                                  

 6  19  30  11  54  35  46  59              6  19  54  35  30  11  46  59 

 64  41  40  49  16  25  24  1              64  41  16  25  40  49  24  1 

 5  20  29  12  53  36  45  60              5  20  53  36  29  12  45  60 

 63  42  39  50  15  26  23  2              63  42  15  26  39  50  23  2 

 4  21  28  13  52  37  44  61              4  21  52  37  28  13  44  61 

 58  47  34  55  10  31  18  7              58  47  10  31  34  55  18  7 

 3  22  27  14  51  38  43  62              3  22  51  38  27  14  43  62 

 57  48  33  56  9  32  17  8                57  48  9  32  33  56  17  8 

 

 № 5

 6  35  46  11  54  19  30  59

 64  25  24  49  16  41  40  1

 5  36  45  12  53  20  29  60

 63  26  23  50  15  42  39  2

 4  37  44  13  52  21  28  61

 58  31  18  55  10  47  34  7

 3  38  43  14  51  22  27  62

 57  32  17  56  9  48  33  8

 

Покажу в виде привычной матрицы квадрат № 1 (рис. 23).

 

 

 

                                                                     Рис. 23

 

Интересно отметить, что квадраты этой группы начинаются не с числа 1. Хотя их очень легко сделать начинающимися с числа 1 параллельным переносом на торе.

 

Да, я, кажется, ещё нигде не сказала о шагах качания качелей в этих схемах Франклина.  Это интересно! Смотрите: качели здесь качаются через 6 ячеек влево и через 6 ячеек вправо. А в моём методе качелей, который, кстати сказать, работает и для построения пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка, сумма шагов качания качелей (влево и вправо) для квадратов восьмого порядка равна 6.

 

А теперь попытаюсь сочинить третью схему. Третьего дьявольски полумагического квадрата Франклина у меня нет (его просто не существует, по крайней мере, мне нигде не встречался). Просто попробую в первой схеме переставить число 8 в другую позицию, например, вот так (рис. 24):

 

 

 

                                                                           Рис. 24

 

Теперь надо сделать новый вариант программы и посмотреть, получатся ли пандиагональные квадраты (или хотя бы дьвольски полумагические) по такой схеме. Займусь этим завтра. А вы можете заняться прямо сейчас! Если у вас ничего не получится, приходите завтра посмотреть на то, что получилось у меня.

 

                                                        ***

 

                                                           2 марта 2008 г.

 

Быстро сделала из предыдущей программы новый вариант для образующей таблицы, изображённой на рис. 24. Прогнала программу для I=2 и опять получила 144 пандиагональных квадрата. Фантастика! Привожу первые 7 квадратов, выданных этой программой.

 

№ 1                                                   № 2

 1  16  25  24  41  40  49  64              1  16  41  40  25  24  49  64

 59  54  35  46  19  30  11  6              59  54  19  30  35  46  11  6

 2  15  26  23  42  39  50  63              2  15  42  39  26  23  50  63  

 60  53  36  45  20  29  12  5              60  53  20  29  36  45  12  5

 8  9  32  17  48  33  56  57                8  9  48  33  32  17  56  57

 61  52  37  44  21  28  13  4              61  52  21  28  37  44  13  4 

 7  10  31  18  47  34  55  58              7  10  47  34  31  18  55  58 

 62  51  38  43  22  27  14  3              62  51  22  27  38  43  14  3 

 

№ 3                                                   № 4

 1  24  25  16  49  40  41  64              1  24  49  40  25  16  41  64 

 59  46  35  54  11  30  19  6              59  46  11  30  35  54  19  6

 2  23  26  15  50  39  42  63              2  23  50  39  26  15  42  63 

 60  45  36  53  12  29  20  5              60  45  12  29  36  53  20  5

 8  17  32  9  56  33  48  57                8  17  56  33  32  9  48  57 

 61  44  37  52  13  28  21  4              61  44  13  28  37  52  21  4 

 7  18  31  10  55  34  47  58              7  18  55  34  31  10  47  58 

 62  43  38  51  14  27  22  3              62  43  14  27  38  51  22  3

 

 № 5                                                  № 6

 1  40  41  16  49  24  25  64              1  40  49  24  41  16  25  64 

 59  30  19  54  11  46  35  6              59  30  11  46  19  54  35  6 

 2  39  42  15  50  23  26  63              2  39  50  23  42  15  26  63 

 60  29  20  53  12  45  36  5              60  29  12  45  20  53  36  5

 8  33  48  9  56  17  32  57                8  33  56  17  48  9  32  57

 61  28  21  52  13  44  37  4              61  28  13  44  21  52  37  4 

 7  34  47  10  55  18  31  58              7  34  55  18  47  10  31  58 

 62  27  22  51  14  43  38  3              62  27  14  43  22  51  38  3

 

№ 7

 1  16  25  24  41  40  49  64

 60  53  36  45  20  29  12  5

 2  15  26  23  42  39  50  63

 59  54  35  46  19  30  11  6

 8  9  32  17  48  33  56  57

 61  52  37  44  21  28  13  4

 7  10  31  18  47  34  55  58

 62  51  38  43  22  27  14  3

 

                        Ну, и один квадрат покажу наглядно (рис. 25).

 

 

 

                                                                                      Рис. 25

 

Если вы сравните этот квадрат с квадратом № 1, полученным по первой схеме (рис. 7), то увидите, что они отличаются всего двумя переставленными строками. Всё закономерно!

 

Сочиняю четвёртую схему, то есть снова меняю положение числа 8 в начальной цепочке первых 8 чисел, вот так (рис. 26):

 

 

 

                                                                         Рис. 26

 

Делаю новый вариант программы (корректирую программу уже за 3 минуты!) и начинаю её выполнение. И вот первое отличие этой схемы от предыдущих: программа не выдала ни одного пандиагонального квадрата ни при I=2, ни при I=3. Я уж было подумала, что по этой схеме не построится вообще ни одного пандиагонального квадрата. Но решила всё же прогнать программу ещё для I=4. И здесь удача! Программа выдала 72 пандиагональных квадрата. Показываю первые 7 квадратов.

 

№ 1                                                   № 2

 1  16  25  24  41  40  49  64              1  16  41  40  25  24  49  64  

 57  56  33  48  17  32  9  8                57  56  17  32  33  48  9  8  

 4  13  28  21  44  37  52  61              4  13  44  37  28  21  52  61

 60  53  36  45  20  29  12  5              60  53  20  29  36  45  12  5  

 6  11  30  19  46  35  54  59              6  11  46  35  30  19  54  59

 62  51  38  43  22  27  14  3              62  51  22  27  38  43  14  3  

 7  10  31  18  47  34  55  58              7  10  47  34  31  18  55  58  

 63  50  39  42  23  26  15  2              63  50  23  26  39  42  15  2

 

№ 3                                                   № 4

 1  24  25  16  49  40  41  64              1  24  49  40  25  16  41  64

 57  48  33  56  9  32  17  8                57  48  9  32  33  56  17  8  

 4  21  28  13  52  37  44  61              4  21  52  37  28  13  44  61  

 60  45  36  53  12  29  20  5              60  45  12  29  36  53  20  5  

 6  19  30  11  54  35  46  59              6  19  54  35  30  11  46  59  

 62  43  38  51  14  27  22  3              62  43  14  27  38  51  22  3

 7  18  31  10  55  34  47  58              7  18  55  34  31  10  47  58  

 63  42  39  50  15  26  23  2              63  42  15  26  39  50  23  2  

 

№ 5                                                   № 6  

 1  40  41  16  49  24  25  64              1  40  49  24  41  16  25  64  

 57  32  17  56  9  48  33  8                57  32  9  48  17  56  33  8  

 4  37  44  13  52  21  28  61              4  37  52  21  44  13  28  61  

 60  29  20  53  12  45  36  5              60  29  12  45  20  53  36  5  

 6  35  46  11  54  19  30  59              6  35  54  19  46  11  30  59  

 62  27  22  51  14  43  38  3              62  27  14  43  22  51  38  3  

 7  34  47  10  55  18  31  58              7  34  55  18  47  10  31  58  

 63  26  23  50  15  42  39  2              63  26  15  42  23  50  39  2

 

№ 7

 1  16  25  24  41  40  49  64

 57  56  33  48  17  32  9  8

 4  13  28  21  44  37  52  61

 62  51  38  43  22  27  14  3

 6  11  30  19  46  35  54  59

 60  53  36  45  20  29  12  5

 7  10  31  18  47  34  55  58

 63  50  39  42  23  26  15  2

 

Думаю, что с квадратами восьмого порядка всё уже совершенно понятно и пора переходить к квадратам 16-ого порядка. Как я уже показывала в предыдущей части статьи, дьявольски полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка построен точно по такой же схеме. Поэтому без длинных объяснений сразу рисую образующую таблицу в общем виде (рис. 27). Эту образующую таблицу я собираюсь запрограммировать, чтобы получить пандиагональные квадраты 16-ого порядка. Дьявольски полумагические квадраты я выводить не буду, они тоже, разумеется, должны построиться по этой программе. Но я сразу вставлю в программу блок проверки пандиагональности и буду выводить только пандиагональные квадраты. Тем более что количество дьявольски полумагических квадратов здесь будет огромно, да и пандиагональных квадратов будет немало.

 

 

 

                                                                         Рис. 27

 

Вот такие будут начальные условия для программы. Замечу, что не буду варьировать циклы качания качелей. Мы уже видели на примере квадратов восьмого порядка, что перестановка циклов качания качелей ведёт к простой перестановке столбцов в построенных квадратах.

Теперь надо составить программу и выполнить её. Разумеется, выполнить программу полностью не удастся – слишком много вариантов должна перебрать программа. Имеем 14 переменных, которые принимают значения от 2 до 15. Числа 1 и 16 в начальной цепочке первых 16 чисел как всегда зафиксированы. Причём положение их я взяла точно таким, какое оно в полумагическом квадрате Франклина. Как, наверное, заметили читатели, положение первого и последнего числа в начальной цепочке определяет положение максимальных чисел в столбцах образующей таблицы. Вот почему необходимо фиксировать положение этих чисел. В квадратах восьмого порядка я изменяла положение числа 8, получая таким образом новые схемы построения пандиагональных квадратов.

 

                                                                      ***

 

4 марта 2008 г.

 

Итак, программа составлена и выполнена. Но! Как я и предполагала, возникли сложности. Дьявольски полумагические квадраты программа выдаёт сразу в неограниченном количестве. А вот пандиагональные… Не хочет выдавать! Задумывается надолго-надолго. А мне ждать ведь долго не хочется. И вот не знаю, что же мне теперь делать. Как получить пандиагональные квадраты по этой программе? Не может быть, чтобы их не было. Похожая проблема, если читатели помнят, у меня была и при построении по программе идеальных квадратов больших порядков. И для идеального квадрата 33-ого порядка я уже не стала составлять программу, а нашла частное решение, как и для квадратов порядков 39 и 51. Наверное, надо и здесь найти похожие частные решения. Но для такого поиска мало материала. Вот если бы удалось получить пандиагональные квадраты 16-ого порядка, тогда можно было бы поискать похожие решения среди квадратов восьмого и 16-ого порядка. Так точно я нашла похожие решения среди идеальных квадратов 15-ого и 21-ого порядка.

Ну, а пока покажу первые два дьявольски полумагических квадрата, выданные программой.

 

№ 1

 1  32  33  64  65  96  97  128  129  160  161  192  193  224  225  256

 245  236  213  204  181  172  149  140  117  108  85  76  53  44  21  12

 2  31  34  63  66  95  98  127  130  159  162  191  194  223  226  255

 246  235  214  203  182  171  150  139  118  107  86  75  54  43  22  11

 16  17  48  49  80  81  112  113  144  145  176  177  208  209  240  241

 247  234  215  202  183  170  151  138  119  106  87  74  55  42  23  10

 3  30  35  62  67  94  99  126  131  158  163  190  195  222  227  254

 248  233  216  201  184  169  152  137  120  105  88  73  56  41  24  9

 4  29  36  61  68  93  100  125  132  157  164  189  196  221  228  253

 249  232  217  200  185  168  153  136  121  104  89  72  57  40  25  8

 13  20  45  52  77  84  109  116  141  148  173  180  205  212  237  244

 250  231  218  199  186  167  154  135  122  103  90  71  58  39  26  7

 14  19  46  51  78  83  110  115  142  147  174  179  206  211  238  243

 251  230  219  198  187  166  155  134  123  102  91  70  59  38  27  6

 15  18  47  50  79  82  111  114  143  146  175  178  207  210  239  242

 252  229  220  197  188  165  156  133  124  101  92  69  60  37  28  5

 

 № 2

 1  32  33  64  65  96  97  128  129  160  161  192  193  224  225  256

 246  235  214  203  182  171  150  139  118  107  86  75  54  43  22  11

 2  31  34  63  66  95  98  127  130  159  162  191  194  223  226  255

 245  236  213  204  181  172  149  140  117  108  85  76  53  44  21  12

 16  17  48  49  80  81  112  113  144  145  176  177  208  209  240  241

 247  234  215  202  183  170  151  138  119  106  87  74  55  42  23  10

 3  30  35  62  67  94  99  126  131  158  163  190  195  222  227  254

 248  233  216  201  184  169  152  137  120  105  88  73  56  41  24  9

 4  29  36  61  68  93  100  125  132  157  164  189  196  221  228  253

 249  232  217  200  185  168  153  136  121  104  89  72  57  40  25  8

 13  20  45  52  77  84  109  116  141  148  173  180  205  212  237  244

 250  231  218  199  186  167  154  135  122  103  90  71  58  39  26  7

 14  19  46  51  78  83  110  115  142  147  174  179  206  211  238  243

 251  230  219  198  187  166  155  134  123  102  91  70  59  38  27  6

 15  18  47  50  79  82  111  114  143  146  175  178  207  210  239  242

 252  229  220  197  188  165  156  133  124  101  92  69  60  37  28  5

 

Если вы сравните эти два квадрата, то сразу увидите, что они отличаются всего двумя переставленными строками. Это здесь тоже равносильно преобразованию “плюс-минус …”, в данном случае - “плюс-минус 1”. Матрица такого преобразования для квадратов восьмого порядка была представлена на рис. 22. Интересно, что это преобразование не изменяет сумм ни в строках, ни в столбцах, ни в диагоналях. И в примере с квадратами восьмого порядка оно превращало пандиагональный квадрата в пандиагональный. А здесь превращает дьявольски полумагический в дьявольски полумагический.

На рис. 28 показываю квадрат № 1 в привычном виде.

 

 

 

                                                                  Рис. 28

 

Этот квадрат получен при таких значениях переменных (см. рис. 27): I=2, J=3, K=4, L=13, M=14, N=15, O=5, P=6, Q=7, R=8, S=9, T=10, U=11, V=12.

Он полумагический с такими же суммами по диагоналям, как и квадрат Франклина: 1928 и 2184. А догадались ли вы, чем обеспечивается дьявольская полумагичность квадрата? Тем, что суммы по разломанным диагоналям точно такие же, как и по главным, причём они чередуются точно через одну: по одной диагонали 1928, по другой – 2184, затем снова 1928 и 2184 и так далее. Вот почему при параллельном переносе на торе квадрат остаётся таким же полумагическим, то есть с такими же суммами по главным диагоналям.

 

Ну, с полумагическими квадратами всё понятно. А как же получить пандиагональные квадраты? Надо что-то придумать. Пока вопрос остаётся открытым. Подключайтесь к поиску ответа.

 

А к квадратам 32-ого порядка тем более даже и приступать пока не буду. Ведь там количество переменных в два раза больше! Так что расскажу лучше о дьявольски полумагических квадратах четвёртого порядка. Почему-то о них совсем забыли! А они ведь тоже существуют и строятся точно по такой же схеме. На рис. 29 представляю образующую таблицу для таких квадратов в общем виде.

 

 

 

                                                                       Рис. 29

 

Напишу программку для этих таких крохотных квадратиков и покажу вам дьявольски полумагические квадраты, которые построятся по этой программе. Очевидно, что здесь будет всего 12 вариантов. Все ли эти 12 квадратов будут дьявольски полумагическими? Расскажу об этом завтра.

 

                                               ***

 

                                                   5 марта 2008 г.

 

Из 12 вариантов дьявольски полумагическими оказались 4 квадрата. Вот они:

 

№ 1                            № 2 

 1  8  9  16                  1  12  5  16

 14  11  6  3                14  7  10  3 

 4  5  12  13                4  9  8  13 

 15  10  7  2                15  6  11  2 

 

№ 3                            № 4

 1  8  9  16                  1  12  5  16

 15  10  7  2                15  6  11  2 

 4  5  12  13                4  9  8  13 

 14  11  6  3                14  7  10  3

 

Красивые квадратики! Интересно, почему Франклин их не построил? Вероятнее всего, он их построил, но они просто затерялись в его бумагах и не дошли до нас.

А вот пандиагональных квадратов программа, увы, не построила. Это уже интересно. Тут возникает предположение, что по этой схеме могут не построиться и квадраты 16-ого порядка, например. Тут есть над чем подумать!

Нарисую квадрат №1 в привычном виде и исследую его свойства (рис. 30).

 

 

                                                                                      Рис. 30

 

Какой маленький, а вместил в себя всю схему Франклина. Восхищаюсь!

Квадрат дьявольски полумагический с такими суммами по диагоналям: 26=34-8 и 42=34+8. В этом квадрате тоже выполняются изящные свойства, подобные свойствам полумагических квадратов Франклина. Например, первое свойство: в любом квадрате 2х2, находящемся внутри этого квадрата, сумма чисел равна магической константе квадрата. Второе свойство: сумма чисел в вершинах квадрата равна магической константе. Третье свойство: сумма чисел по периметру вписанного квадрата 4х4 равна удвоенной магической константе. Иллюстрирую это свойство на рис. 31.

 

 

 

                                                                      Рис. 31

 

И, конечно, эта фигура может “переезжать” через края квадрата. Уполовинить эту фигуру можно только, разрезав её по горизонтальной оси симметрии, смотрите рис. 32. Тогда сумма чисел в такой половинке будет равна магической константе квадрата. Точно так же можно взять и нижнюю половинку.

 

 

 

                                                                      Рис. 32

 

Зелёная фигура “переехала” через край квадрата.

Вот такие свойства я увидела сразу. Может быть, есть ещё какие-либо свойства, которые не заметила.

Надо ли говорить о том, что все 4 квадрата связаны между собой преобразованиями “плюс-минус …”. Для квадратов № 1 и № 3 это преобразование равносильно простой перестановке строк. А, например, квадраты № 1 и № 4 связаны таким комбинированным преобразованием (рис. 33):

 

 

                                                                      Рис. 33

 

Применив это преобразование к дьявольски полумагическому квадрату №1, вы получите дьявольски полумагический квадрат № 2, у которого другие суммы по диагоналям: 18 и 50 (одна сумма на 16 меньше магической константы, другая сумма на 16 больше этой константы). Заметьте: это преобразование не изменяет сумм в строках и столбцах квадрата, а суммы по всем (!) диагоналям изменяет на 8, по одним диагоналям прибавляет 8 (где сумма была 42), а по другим вычитает 8 (где сумма была 26). Я уже показывала такие преобразования в предыдущих частях настоящей статьи. Они созданы специально для дьявольски полумагических квадратов!

 

А теперь давайте посмотрим на составной дьявольски полумагический квадрат 16-ого порядка, построенный на базе дьявольски полумагического квадрата четвёртого порядка (возьмём квадрат № 1). В качестве основного возьмём этот же квадрат. Я показывала уже один составной дьявольски полумагический квадрат – 64-ого порядка. Но этот квадрат очень большой и его трудно рассмотреть во всех деталях. А вот квадрат 16-ого порядка очень хорош. Сейчас я его построю. На рис. 34 показана матрица, с помощью которой надо строить этот составной квадрат.

 

 

                                                                      Рис. 34

 

Не буду писать программу, заполню матрицу вручную. На рис. 35 вы видите готовый дьявольски полумагический квадрат 16-ого порядка.

 

 

 

                                                                     Рис. 35

 

И вот теперь рассмотрела этот квадрат детальнее и увидела, что он не является таким же дьявольски полумагическим! То есть при параллельном переносе на торе он, конечно, остаётся полумагическим, но не всегда с такими же суммами по диагоналям. Этого я не увидела в квадрате 64-ого порядка, потому что не перенесла сам квадрат на торе, а перенесла только порождающую его матрицу. Здесь тоже порождающая матрица (рис. 34) является дьявольски полумагической, если смотреть на неё, как на нетрадиционный полуманический квадрат.

 

Однако этот квадрат всё равно интересен. Во-первых, он тоже обладает несколькими изящными свойствами. Перечислю некоторые свойства.

Сумма чисел в вершинах любого квадрата 8х8, находящегося внутри квадрата, равна учетверённой магической константе квадрата – 8224, а сумма чисел в вершинах любого такого квадрата рана четверти магической константы – 514.

Сумма чисел по периметру вписанного квадрата 8х8 равна удвоенной магической константе - 4112. Это опять же фигуры группы С для полумагических квадратов Франклина. Покажу это свойство (рис. 36).