КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

Часть V

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 7 марта 2008 г.

 

В предыдущих частях настоящей статьи я построила дьявольски полумагические квадраты четвёртого, восьмого и 16-ого порядков, запрограммировав схему Франклина, которую получила из его дьявольски полумагических квадратов восьмого порядка. Более того, мне удалось построить пандиагональные квадраты восьмого порядка по этой схеме. А вот пандиагональные квадраты четвёртого порядка не построились. Не удалось построить и пандиагональный квадрат 16-ого порядка, хотя эту программу я не прогнала до конца (очень долго работает). Есть пандиагональный квадрат 16-ого порядка Франклина (о нём рассказано в этой статье), но он построен по другой схеме.

Теперь построю по такому же алгоритму дьявольски полумагические квадраты 12-ого порядка. Они ведь тоже должны существовать. На рис. 1 представляю образующую таблицу с начальными условиями. Эту таблицу я запрограммировала и получила дьявольски полумагические квадраты.

 

 

 

                                                     Рис. 1

 

Подчеркну: у меня нет ни одного дьявольски полумагического квадрата 12-ого порядка, подобного дьявольски полумагическим квадратам Франклина. Применяю аналог метода качелей, который получила из дьявольски полумагического квадрата Франклина восьмого порядка. Точно таким же способом я построила дьявольски полумагические квадраты четвёртого порядка (см. предыдущую часть настоящей статьи). Отмечу, что здесь, как и для квадратов 16-ого порядка, я не варьирую циклы качания качелей.

Программа написана быстро, на основе такой же программы для квадратов 16-ого порядка. Сначала выполнила программу без блока проверки пандиагональности построенных квадратов. Этот вариант мгновенно начал выдавать квадраты, их было так много, что я не стала выполнять программу до конца и прервала её. Показываю первые 7 дьявольски полумагических квадратов, выданных программой:

 

№ 1

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 2

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 3

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 4

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 5

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 6

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

 № 7

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 136  129  112  105  88  81  64  57  40  33  16  9

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 137  128  113  104  89  80  65  56  41  32  17  8

 2  23  26  47  50  71  74  95  98  119  122  143

 139  126  115  102  91  78  67  54  43  30  19  6

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 10  15  34  39  58  63  82  87  106  111  130  135

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 11  14  35  38  59  62  83  86  107  110  131  134

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 

Рисую самый первый квадрат и исследую его (рис. 2).

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Квадрат имеет такие суммы по диагоналям: 798=870-72 и 942=870+72. Причём такие суммы не только в главных диагоналях, но и в разломанных, с чередованием точно через одну диагональ. Это обеспечивает дьявольскую полумагичность квадрата.

Квадрат обладает многими изящными свойствами, подобно всем дьвольски полумагическим квадратам Франклина. Вот некоторые свойства.

Сумма чисел в вершинах квадрата равна 1/3 магической константы квадрата, то есть 290. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, тоже равна 290. Такую же сумму дают числа в вершинах любого квадрата 6х6, находящегося внутри квадрата. Сумма чисел по периметру вписанного квадрата 6х6 равна удвоенной магической константе квадрата, то есть 1740. Иллюстрирую это свойство на рис. 3. Причём эта фигура может “переезжать” через любые края квадрата. На рис. 3 зелёная фигура “переехала” через нижний (или верхний) край квадрата, а белая фигура – через левый (или правый) край.

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Фигуру можно “разрезать” как по вертикальной, так и по горизонтальной оси симметрии. Тогда сумма чисел в таких половинках будет равна магической константе квадрата. И, конечно, эти фигуры тоже могут перемещаться по квадрату и “переезжать” через края, но только через верхний и нижний для горизонтальных половинок и  через левый и правый – для вертикальных половинок. На рис. 4 иллюстрирую это свойство для горизонтальных половинок.

 

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Фигуры группы В (по классификации для квадратов восьмого порядка; см. первую часть настоящей статьи) тоже имеют постоянную сумму, она равна 2/3 магической константы квадрата, то есть 580. Показываю эти фигуры в квадрате на рис. 5.

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Эти фигуры тоже могут “переезжать” через верхний и нижний края квадрата.

Вертикально эти фигуры располагать нельзя, то есть суммы в них уже не будут равны 2/3 магической константы квадрата. Однако если расположить “правую” и “левую” вертикальные фигуры вместе, то сумма чисел в них будет равна 4/3 магической константы квадрата. Смотрите на рис. 6. Фигура может “переезжать” через любой край квадрата.  Бирюзовая фигура на рис. 6 “переехала” через левый (или правый) край квадрата. На рис. 7 показана фигура, “переехавшая” через нижний (или верхний) край.

 

 

 

                                                                     Рис. 6

 

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Вот такие изящные свойства я обнаружила в этом дьявольски полумагическом квадрате.

Предлагаю читателям посмотреть на связи между квадратами данной группы, используя приведённые 7 квадратов. Поскольку циклы здесь не варьировались, то все квадраты отличаются друг от друга только переставленными строками, что равносильно перестановке чисел в начальной цепочке.

 

                                                        ***

 

Затем вставляю в программу блок проверки пандиагональности построенных квадратов. И… программа не выдаёт ни одного квадрата! Странно. Сейчас я выполнила программу до конца (в отличие от программы для квадратов 16-ого порядка). Почему же нет пандиагональных квадратов? Можно попробовать изменить начальные условия в образующей таблице, а именно: поставить числа 1 и 12 на другое место. Но даст ли это что-нибудь? Надо проверить. Для этого придётся сделать новый вариант программы.

А, может быть, надо попробовать варьировать циклы качания качелей (что равносильно перестановке столбцов в квадрате)? Одним словом, надо искать ответ на этот интересный вопрос.

 

                                                        ***

 

Приходите на физико-математический форум, чтобы участвовать в обсуждении темы магических квадратов. Вот адрес:

 

  http://fizmat.info/forum/showthread.php?t=1629&page=5

 

Кстати, на днях там мне предложили превратить в магический один очень интересный полумагический квадрат 12-ого порядка. Вот он (рис. 8):

 

 

                                                           Рис. 8

 

Интереснейший квадрат! Автор сообщения Н. Орделли пишет, что нашёл этот квадрат в копии старинной рукописи – трактата Агриппа “Астрологические предсказания” (Лион, 1526 г.).

Посмотрите, как оригинально расположены первые 12 чисел. И снова я вижу аналог качелей. Но каких интересных качелей! Начнём с нижней строки, в ней стоит число 6 начальной цепочки, в следующей строке (двигаемся вверх) стоит число 7, и шаг здесь через 0 (ноль) ячеек влево, далее, к числу 4 в следующей строке шаг – через 1 ячейку вправо, к следующему числу 9 – через 2 ячейки влево, к числу 8 – через 3 ячейки вправо, и так далее. Вот это да! Я таких качелей ещё не встречала. Смотрите далее: в каждой строке два рядом стоящих числа (начиная от числа начальной цепочки) отличаются друг от друга на одну и ту же величину, в одних строках эта величина равна 11, а в других – 13. Думаю, что можно сделать соответствующую образующую таблицу для этих интереснейших качелей и построить множество подобных полумагических квадратов.

Квадрат имеет одинаковые суммы по главным диагоналям – 1014, что отличается от магической константы на 144, то есть на 12². Если обозначить порядок квадрата через n, то формула для сумм по главным диагоналям этого полумагического квадрата будет такой:

 

       S=n*(n+1)²/2

 

Можно предположить, что есть подобные полумагические квадраты других чётно-чётных порядков. Например, для квадрата 16-ого порядка по этой формуле получаем, что суммы по главным диагоналям в нём должны быть равны 2312, что отличается от магической константы квадрата 16-ого порядка на 256, то есть на 16².

Квадрат элементарно превращается в магический простой перестановкой строк, причём решений очень много. Вот один из магических квадратов, который выдала мне программа (рис. 9):

 

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Может быть, позже исследую этот квадрат более подробно. А читателям предлагаю начать исследование прямо сейчас. Это очень интересный квадрат!

 

Так что приходите на физико-математический форум, и вы узнаете много интересного о магических квадратах. И не только о них!

 

                                                        ***

 

   8 марта 2008 г.

 

Уф! Ну и покрутила же я свой дьявольски полумагический квадрат 12-ого порядка (см. рис. 7). И так, и сяк, и по-всякому. Но пандиагональный квадрат так и не получила. Зато получила очень интересный магический квадрат. Ну, очень красивый! Сначала напомню, что все дьявольски полумагические квадраты Франклина, а равно и мои, очень просто превращаются в магические простой перестановкой строк или столбцов. Вот и прокрутила свой дьявольски полумагический квадрат в программе перестановки строк, а затем в программе перестановки столбцов. Магические квадраты выдались мгновенно. Покажу их. На рис. 10 вы видите магический квадрат, полученный в программе перестановки строк, а на рис. 11 – магический квадрат, полученный в программе перестановки столбцов.

 

 

 

                                                                     Рис. 10

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Программу перестановки столбцов я выполнила полностью, однако пандиагональный квадрат так и не получился, то есть моё предположение о том, что варьирование циклов качания качелей может дать пандиагональный квадрат, оказалось неверным. Значит, решение задачи построения пандиагонального квадрата по этому алгоритму надо искать в другом месте, если вообще такой квадрат существует.

Необходимо отметить, что в обеих программах строится не единственный магический квадрат, решений очень много. Я не выполняла программы до конца (при построении магических квадратов), приведённые квадраты выдались программами самыми первыми.

 

А сейчас остановлюсь подробнее на магическом квадрате с рис. 10. Посмотрите, как стройно в нём переставлены строки! Интересно отметить, что суммы по разломанным диагоналям в этом квадрате имеют очень строгое чередование. По одному направлению эти суммы такие: 726, 870, 726, 870, 726, 870, 1014, 870, 1014, 870, 1014. По другому направлению имеем такие суммы: 1014, 870, 1014, 870, 1014, 870, 726, 870, 726, 870, 726. Красивое чередование!

Далее следует заметить, что магический квадрат с рис. 10 сохранил некоторые свойства дьявольски полумагического квадрата с рис. 7, из которого он получен. То есть это не простой магический квадрат, а квадрат, обладающий некоторыми изящными свойствами!

И вот мне пришла в голову мысль: а не имеем ли мы алгоритм построения магических квадратов, подобных полумагическим квадратам Франклина?

Беру второй дьявольски полумагический квадрат 12-ого порядка, который построен мной по программе (см. выше 7 таких квадратов) и тоже превращаю его в магический по программе перестановки строк. На рис. 12 вы видите полученный магический квадрат. Он тоже выдался программой первым.

 

 

 

                                                                       Рис. 12

 

Ну, во-первых, надо отметить, что дьявольски полумагические квадраты № 1 и № 2 отличаются друг от друга всего двумя переставленными строками. Поэтому и полученные из них магические квадраты тоже отличаются теми же переставленными строками.

Посмотрите на магический квадрат, полученный из квадрата № 2. Строки в нём переставлены так же стройно, как и в квадрате, полученном из квадрата № 1! Суммы по разломанным диагоналям имеют точно такие же значения.

Рисую образующую таблицу магического квадрата с рис. 12 (рис. 13):

 

 

 

                                                                       Рис. 13

 

Всё получается! Да и не могло не получиться, потому что эта таблица просто отражает перестановку строк в дьявольски полумагическом квадрате, построенном по такой же таблице.

 

Итак, имеем

 

 

и не только 12-ого порядка. Ведь точно такой же метод можно применить и для квадратов других чётно-чётных порядков. Дьявольски полумагические квадраты – хорошо, а магические всё-таки лучше!

 

Описываю метод подробно. Берём образующую таблицу с рис. 13 в общем виде с начальными условиями, эту таблицу вы видите на рис. 14.

 

 

 

                                                                       Рис. 14

 

Надо показать, как будут располагаться числа начальной цепочки в самом квадрате, порождаемом этой образующей таблицей (рис. 15), потому что это будет несколько другое расположение, нежели в дьявольски полумагическом квадрате.

 

 

 

                                                  Рис. 15

 

Всё остальное точно так же, как было в алгоритме для дьявольски полумагических квадратов. Делаю новый вариант программы (для образующей таблицы с рис. 14), теперь уже для построения магических квадратов по схеме Франклина. Пандиагональные квадраты не получились, так хоть магические построить!

 

Да! Гипотеза оказалась абсолютно верной. Программа выдаёт магические квадраты, причём в очень большом количестве. Не стала выполнять программу до конца. Ну, это вполне понятно: всё множество дьявольски полумагических квадратов (а их, как помнят читатели, программа выдаёт огромное количество) данным алгоритмом отображается на множество магических квадратов. И их будет точно столько же! Ведь каждый дьявольски полумагический квадрат может быть превращён в магический именно такой стройной перестановкой строк, которая и заложена в данный алгоритм. Восторг!

Я задала в программе значение переменной I=3, в отличие от дьявольски полумагических квадратов, которые получила при I=2. И вот они – первые три магических квадрата, выданные программой.

 

№ 1

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

 № 2

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

 № 3

 1  24  25  48  49  72  73  96  97  120  121  144

 134  131  110  107  86  83  62  59  38  35  14  11

 12  13  36  37  60  61  84  85  108  109  132  133

 135  130  111  106  87  82  63  58  39  34  15  10

 3  22  27  46  51  70  75  94  99  118  123  142

 143  122  119  98  95  74  71  50  47  26  23  2

 141  124  117  100  93  76  69  52  45  28  21  4

 6  19  30  43  54  67  78  91  102  115  126  139

 140  125  116  101  92  77  68  53  44  29  20  5

 8  17  32  41  56  65  80  89  104  113  128  137

 138  127  114  103  90  79  66  55  42  31  18  7

 9  16  33  40  57  64  81  88  105  112  129  136

 

Покажу теперь матрицу с рис. 15, заполнив её квадратом № 1 (рис. 16).

 

 

                                                                      Рис. 16

 

Выделила белым цветом первый цикл качания качелей. Обратите внимание: как бы ни была расположена начальная цепочка, числа в цикле в точности повторяют это расположение, они словно “прилипают” к числам начальной цепочки. Числа следующего цикла стоят рядом с числами первого цикла, и так далее.

В этом квадрате точно такие же значения сумм по разломанным диагоналям: 726, 870 и 1014 и с таким же строгим чередованием.

Предлагаю читателям исследовать свойства магических квадратов данной группы. Мне не хочется всё снова повторять, так как я показывала эти свойства много раз для дьявольски полумагических квадратов. Покажу только одно свойство – для фигуры группы С (рис. 17):

 

 

 

                                                    Рис. 17

 

Хотя квадрат не является ни дьявольски полумагическим, ни дьявольским, тем не менее, фигура может “переезжать” через края квадрата с сохранением в ней суммы чисел. Удивительное свойство!

 

Как я уже отметила, из дьявольски полумагического квадрата перестановкой строк получается не один магический квадрат. И любую такую схему перестановки можно взять за основу для построения магического квадрата! Вот покажу ещё один магический квадрат, который программа выдала под № 37 (рис. 18) [исходный – дьявольски полумагический квадрат № 2]. В нём совсем другая схема перестановки строк, но не менее стройная и красивая. Оцените сами!

 

 

 

                                                   Рис. 18

 

Если вам больше понравилась эта схема, нарисуйте образующую таблицу для этой схемы и запрограммируйте её. Вы получите программу для построения группы магических квадратов 12-ого порядка, все квадраты данной группы будут по структуре похожи на квадрат с рис. 18. Вот какое интересное я сделала открытие. Не правда ли?

 

                                               ***

 

А теперь вернёмся к квадратам восьмого порядка. Как помнят читатели, для порядка 8 построены даже пандиагональные квадраты по схеме Франклина. Поэтому там я почти не обратила внимания на связь между дьявольски полумагическими и магическими квадратами. Имеет ли место для этих квадратов только что описанный алгоритм?

На рис. 19 вы видите один их дьявольски полумагических квадратов восьмого порядка, построенных мной по схеме Франклина.

 

 

 

                                                                      Рис. 19

 

Ввожу этот квадрат в свою программу перестановки строк для квадратов восьмого порядка. Здесь можно выполнить программу до конца, так как количество перестановок не очень велико. Если первую строку оставлять на месте и начинать перестановки со второй строки, то программа выдаёт 88 магических квадратов, если же переставлять все строки, то магических квадратов получено 672. Показываю самый первый вариант магического квадрата, выданный программой (рис. 20).

 

 

 

                                                                     Рис. 20

 

Снова получаем очень стройную схему перестановки строк, похожую на схему перестановки строк в квадрате 12-ого порядка. Таким образом, метод качелей, который я изобрела на основе схемы Франклина, даёт возможность строить:

дьявольски полумагические,

магические,

пандиагональные квадраты восьмого порядка.

 

В этом квадрате тоже суммы по разломанным диагоналям одного и другого направления довольно гармонично связаны. По одному направлению это такие суммы: 212, 244, 212, 260, 308, 276, 308, по другому направлению – 308, 276, 308, 260, 212, 244, 212.

Покажу образующую таблицу этого квадрата для тех, кто ещё плохо усвоил связь между образующей таблицей и порождаемым ею квадратом (см. рис. 21).