КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА, ФРЕНИКЛЯ И АГРИППА
Если кто-то попал на эту страницу случайно, прочтите сначала предыдущую часть статьи (“Квадраты Франклина, часть V”), ибо здесь продолжение.
Продублирую преобразованный дьявольски полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка (рис. 1-2). Квадрат представлен в виде двух половинок, как бы “разрезан” по вертикали.
Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
1023 |
962 |
959 |
898 |
895 |
834 |
831 |
770 |
767 |
706 |
703 |
642 |
639 |
578 |
575 |
514 |
|
3 |
62 |
67 |
126 |
131 |
190 |
195 |
254 |
259 |
318 |
323 |
382 |
387 |
446 |
451 |
510 |
|
1021 |
964 |
957 |
900 |
893 |
836 |
829 |
772 |
765 |
708 |
701 |
644 |
637 |
580 |
573 |
516 |
|
5 |
60 |
69 |
124 |
133 |
188 |
197 |
252 |
261 |
316 |
325 |
380 |
389 |
444 |
453 |
508 |
|
1019 |
966 |
955 |
902 |
891 |
838 |
827 |
774 |
763 |
710 |
699 |
646 |
635 |
582 |
571 |
518 |
|
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
1017 |
968 |
953 |
904 |
889 |
840 |
825 |
776 |
761 |
712 |
697 |
648 |
633 |
584 |
569 |
520 |
|
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
994 |
991 |
930 |
927 |
866 |
863 |
802 |
799 |
738 |
735 |
674 |
671 |
610 |
607 |
546 |
543 |
|
30 |
35 |
94 |
99 |
158 |
163 |
222 |
227 |
286 |
291 |
350 |
355 |
414 |
419 |
478 |
483 |
|
996 |
989 |
932 |
925 |
868 |
861 |
804 |
797 |
740 |
733 |
676 |
669 |
612 |
605 |
548 |
541 |
|
28 |
37 |
92 |
101 |
156 |
165 |
220 |
229 |
284 |
293 |
348 |
357 |
412 |
421 |
476 |
485 |
|
998 |
987 |
934 |
923 |
870 |
859 |
806 |
795 |
742 |
731 |
678 |
667 |
614 |
603 |
550 |
539 |
|
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
1000 |
985 |
936 |
921 |
872 |
857 |
808 |
793 |
744 |
729 |
680 |
665 |
616 |
601 |
552 |
537 |
|
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
1002 |
983 |
938 |
919 |
874 |
855 |
810 |
791 |
746 |
727 |
682 |
663 |
618 |
599 |
554 |
535 |
|
22 |
43 |
86 |
107 |
150 |
171 |
214 |
235 |
278 |
299 |
342 |
363 |
406 |
427 |
470 |
491 |
|
1004 |
981 |
940 |
917 |
876 |
853 |
812 |
789 |
748 |
725 |
684 |
661 |
620 |
597 |
556 |
533 |
|
20 |
45 |
84 |
109 |
148 |
173 |
212 |
237 |
276 |
301 |
340 |
365 |
404 |
429 |
468 |
493 |
|
1006 |
979 |
942 |
915 |
878 |
851 |
814 |
787 |
750 |
723 |
686 |
659 |
622 |
595 |
558 |
531 |
|
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
1008 |
977 |
944 |
913 |
880 |
849 |
816 |
785 |
752 |
721 |
688 |
657 |
624 |
593 |
560 |
529 |
|
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
1015 |
970 |
951 |
906 |
887 |
842 |
823 |
778 |
759 |
714 |
695 |
650 |
631 |
586 |
567 |
522 |
|
11 |
54 |
75 |
118 |
139 |
182 |
203 |
246 |
267 |
310 |
331 |
374 |
395 |
438 |
459 |
502 |
|
1013 |
972 |
949 |
908 |
885 |
844 |
821 |
780 |
757 |
716 |
693 |
652 |
629 |
588 |
565 |
524 |
|
13 |
52 |
77 |
116 |
141 |
180 |
205 |
244 |
269 |
308 |
333 |
372 |
397 |
436 |
461 |
500 |
|
1011 |
974 |
947 |
910 |
883 |
846 |
819 |
782 |
755 |
718 |
691 |
654 |
627 |
590 |
563 |
526 |
|
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
1009 |
976 |
945 |
912 |
881 |
848 |
817 |
784 |
753 |
720 |
689 |
656 |
625 |
592 |
561 |
528 |
Рис. 1
Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
511 |
450 |
447 |
386 |
383 |
322 |
319 |
258 |
255 |
194 |
191 |
130 |
127 |
66 |
63 |
2 |
|
515 |
574 |
579 |
638 |
643 |
702 |
707 |
766 |
771 |
830 |
835 |
894 |
899 |
958 |
963 |
1022 |
|
509 |
452 |
445 |
388 |
381 |
324 |
317 |
260 |
253 |
196 |
189 |
132 |
125 |
68 |
61 |
4 |
|
517 |
572 |
581 |
636 |
645 |
700 |
709 |
764 |
773 |
828 |
837 |
892 |
901 |
956 |
965 |
1020 |
|
507 |
454 |
443 |
390 |
379 |
326 |
315 |
262 |
251 |
198 |
187 |
134 |
123 |
70 |
59 |
6 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
505 |
456 |
441 |
392 |
377 |
328 |
313 |
264 |
249 |
200 |
185 |
136 |
121 |
72 |
57 |
8 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
482 |
479 |
418 |
415 |
354 |
351 |
290 |
287 |
226 |
223 |
162 |
159 |
98 |
95 |
34 |
31 |
|
542 |
547 |
606 |
611 |
670 |
675 |
734 |
739 |
798 |
803 |
862 |
867 |
926 |
931 |
990 |
995 |
|
484 |
477 |
420 |
413 |
356 |
349 |
292 |
285 |
228 |
221 |
164 |
157 |
100 |
93 |
36 |
29 |
|
540 |
549 |
604 |
613 |
668 |
677 |
732 |
741 |
796 |
805 |
860 |
869 |
924 |
933 |
988 |
997 |
|
486 |
475 |
422 |
411 |
358 |
347 |
294 |
283 |
230 |
219 |
166 |
155 |
102 |
91 |
38 |
27 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
488 |
473 |
424 |
409 |
360 |
345 |
296 |
281 |
232 |
217 |
168 |
153 |
104 |
89 |
40 |
25 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
490 |
471 |
426 |
407 |
362 |
343 |
298 |
279 |
234 |
215 |
170 |
151 |
106 |
87 |
42 |
23 |
|
534 |
555 |
598 |
619 |
662 |
683 |
726 |
747 |
790 |
811 |
854 |
875 |
918 |
939 |
982 |
1003 |
|
492 |
469 |
428 |
405 |
364 |
341 |
300 |
277 |
236 |
213 |
172 |
149 |
108 |
85 |
44 |
21 |
|
532 |
557 |
596 |
621 |
660 |
685 |
724 |
749 |
788 |
813 |
852 |
877 |
916 |
941 |
980 |
1005 |
|
494 |
467 |
430 |
403 |
366 |
339 |
302 |
275 |
238 |
211 |
174 |
147 |
110 |
83 |
46 |
19 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
496 |
465 |
432 |
401 |
368 |
337 |
304 |
273 |
240 |
209 |
176 |
145 |
112 |
81 |
48 |
17 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
503 |
458 |
439 |
394 |
375 |
330 |
311 |
266 |
247 |
202 |
183 |
138 |
119 |
74 |
55 |
10 |
|
523 |
566 |
587 |
630 |
651 |
694 |
715 |
758 |
779 |
822 |
843 |
886 |
907 |
950 |
971 |
1014 |
|
501 |
460 |
437 |
396 |
373 |
332 |
309 |
268 |
245 |
204 |
181 |
140 |
117 |
76 |
53 |
12 |
|
525 |
564 |
589 |
628 |
653 |
692 |
717 |
756 |
781 |
820 |
845 |
884 |
909 |
948 |
973 |
1012 |
|
499 |
462 |
435 |
398 |
371 |
334 |
307 |
270 |
243 |
206 |
179 |
142 |
115 |
78 |
51 |
14 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
497 |
464 |
433 |
400 |
369 |
336 |
305 |
272 |
241 |
208 |
177 |
144 |
113 |
80 |
49 |
16 |
Рис. 2
Я собираюсь построить магический квадрат 32-ого порядка по очень стройной схеме, которую увидела среди множества разных схем перестановки строк при превращении полумагических квадратов в магические (по программе перестановки строк). В предыдущей части статьи были построены этим методом магические квадраты 8-ого, 16-ого и 24-ого порядков. Сначала надо расположить в матрице числа начальной цепочки первых 32 чисел по этой схеме. А затем к каждому числу начальной цепочки приписать числа из соответствующей строки полумагического квадрата, который показан на рис. 1-2. И магический квадрат готов! Очень просто и красиво. Даже образующую таблицу сочинять здесь не надо. На рис. 3-4 вы видите этот квадрат (он тоже состоит из двух равных половинок).
Магический квадрат 32-ого порядка – часть 1
|
1 |
64 |
65 |
128 |
129 |
192 |
193 |
256 |
257 |
320 |
321 |
384 |
385 |
448 |
449 |
512 |
|
1022 |
963 |
958 |
899 |
894 |
835 |
830 |
771 |
766 |
707 |
702 |
643 |
638 |
579 |
574 |
515 |
|
1021 |
964 |
957 |
900 |
893 |
836 |
829 |
772 |
765 |
708 |
701 |
644 |
637 |
580 |
573 |
516 |
|
7 |
58 |
71 |
122 |
135 |
186 |
199 |
250 |
263 |
314 |
327 |
378 |
391 |
442 |
455 |
506 |
|
8 |
57 |
72 |
121 |
136 |
185 |
200 |
249 |
264 |
313 |
328 |
377 |
392 |
441 |
456 |
505 |
|
1014 |
971 |
950 |
907 |
886 |
843 |
822 |
779 |
758 |
715 |
694 |
651 |
630 |
587 |
566 |
523 |
|
1013 |
972 |
949 |
908 |
885 |
844 |
821 |
780 |
757 |
716 |
693 |
652 |
629 |
588 |
565 |
524 |
|
15 |
50 |
79 |
114 |
143 |
178 |
207 |
242 |
271 |
306 |
335 |
370 |
399 |
434 |
463 |
498 |
|
16 |
49 |
80 |
113 |
144 |
177 |
208 |
241 |
272 |
305 |
336 |
369 |
400 |
433 |
464 |
497 |
|
1006 |
979 |
942 |
915 |
878 |
851 |
814 |
787 |
750 |
723 |
686 |
659 |
622 |
595 |
558 |
531 |
|
1005 |
980 |
941 |
916 |
877 |
852 |
813 |
788 |
749 |
724 |
685 |
660 |
621 |
596 |
557 |
532 |
|
23 |
42 |
87 |
106 |
151 |
170 |
215 |
234 |
279 |
298 |
343 |
362 |
407 |
426 |
471 |
490 |
|
24 |
41 |
88 |
105 |
152 |
169 |
216 |
233 |
280 |
297 |
344 |
361 |
408 |
425 |
472 |
489 |
|
998 |
987 |
934 |
923 |
870 |
859 |
806 |
795 |
742 |
731 |
678 |
667 |
614 |
603 |
550 |
539 |
|
997 |
988 |
933 |
924 |
869 |
860 |
805 |
796 |
741 |
732 |
677 |
668 |
613 |
604 |
549 |
540 |
|
31 |
34 |
95 |
98 |
159 |
162 |
223 |
226 |
287 |
290 |
351 |
354 |
415 |
418 |
479 |
482 |
|
32 |
33 |
96 |
97 |
160 |
161 |
224 |
225 |
288 |
289 |
352 |
353 |
416 |
417 |
480 |
481 |
|
995 |
990 |
931 |
926 |
867 |
862 |
803 |
798 |
739 |
734 |
675 |
670 |
611 |
606 |
547 |
542 |
|
996 |
989 |
932 |
925 |
868 |
861 |
804 |
797 |
740 |
733 |
676 |
669 |
612 |
605 |
548 |
541 |
|
26 |
39 |
90 |
103 |
154 |
167 |
218 |
231 |
282 |
295 |
346 |
359 |
410 |
423 |
474 |
487 |
|
25 |
40 |
89 |
104 |
153 |
168 |
217 |
232 |
281 |
296 |
345 |
360 |
409 |
424 |
473 |
488 |
|
1003 |
982 |
939 |
918 |
875 |
854 |
811 |
790 |
747 |
726 |
683 |
662 |
619 |
598 |
555 |
534 |
|
1004 |
981 |
940 |
917 |
876 |
853 |
812 |
789 |
748 |
725 |
684 |
661 |
620 |
597 |
556 |
533 |
|
18 |
47 |
82 |
111 |
146 |
175 |
210 |
239 |
274 |
303 |
338 |
367 |
402 |
431 |
466 |
495 |
|
17 |
48 |
81 |
112 |
145 |
176 |
209 |
240 |
273 |
304 |
337 |
368 |
401 |
432 |
465 |
496 |
|
1011 |
974 |
947 |
910 |
883 |
846 |
819 |
782 |
755 |
718 |
691 |
654 |
627 |
590 |
563 |
526 |
|
1012 |
973 |
948 |
909 |
884 |
845 |
820 |
781 |
756 |
717 |
692 |
653 |
628 |
589 |
564 |
525 |
|
10 |
55 |
74 |
119 |
138 |
183 |
202 |
247 |
266 |
311 |
330 |
375 |
394 |
439 |
458 |
503 |
|
9 |
56 |
73 |
120 |
137 |
184 |
201 |
248 |
265 |
312 |
329 |
376 |
393 |
440 |
457 |
504 |
|
1019 |
966 |
955 |
902 |
891 |
838 |
827 |
774 |
763 |
710 |
699 |
646 |
635 |
582 |
571 |
518 |
|
1020 |
965 |
956 |
901 |
892 |
837 |
828 |
773 |
764 |
709 |
700 |
645 |
636 |
581 |
572 |
517 |
|
2 |
63 |
66 |
127 |
130 |
191 |
194 |
255 |
258 |
319 |
322 |
383 |
386 |
447 |
450 |
511 |
Рис. 3
Магический квадрат 32-ого порядка – часть 2
|
513 |
576 |
577 |
640 |
641 |
704 |
705 |
768 |
769 |
832 |
833 |
896 |
897 |
960 |
961 |
1024 |
|
510 |
451 |
446 |
387 |
382 |
323 |
318 |
259 |
254 |
195 |
190 |
131 |
126 |
67 |
62 |
3 |
|
509 |
452 |
445 |
388 |
381 |
324 |
317 |
260 |
253 |
196 |
189 |
132 |
125 |
68 |
61 |
4 |
|
519 |
570 |
583 |
634 |
647 |
698 |
711 |
762 |
775 |
826 |
839 |
890 |
903 |
954 |
967 |
1018 |
|
520 |
569 |
584 |
633 |
648 |
697 |
712 |
761 |
776 |
825 |
840 |
889 |
904 |
953 |
968 |
1017 |
|
502 |
459 |
438 |
395 |
374 |
331 |
310 |
267 |
246 |
203 |
182 |
139 |
118 |
75 |
54 |
11 |
|
501 |
460 |
437 |
396 |
373 |
332 |
309 |
268 |
245 |
204 |
181 |
140 |
117 |
76 |
53 |
12 |
|
527 |
562 |
591 |
626 |
655 |
690 |
719 |
754 |
783 |
818 |
847 |
882 |
911 |
946 |
975 |
1010 |
|
528 |
561 |
592 |
625 |
656 |
689 |
720 |
753 |
784 |
817 |
848 |
881 |
912 |
945 |
976 |
1009 |
|
494 |
467 |
430 |
403 |
366 |
339 |
302 |
275 |
238 |
211 |
174 |
147 |
110 |
83 |
46 |
19 |
|
493 |
468 |
429 |
404 |
365 |
340 |
301 |
276 |
237 |
212 |
173 |
148 |
109 |
84 |
45 |
20 |
|
535 |
554 |
599 |
618 |
663 |
682 |
727 |
746 |
791 |
810 |
855 |
874 |
919 |
938 |
983 |
1002 |
|
536 |
553 |
600 |
617 |
664 |
681 |
728 |
745 |
792 |
809 |
856 |
873 |
920 |
937 |
984 |
1001 |
|
486 |
475 |
422 |
411 |
358 |
347 |
294 |
283 |
230 |
219 |
166 |
155 |
102 |
91 |
38 |
27 |
|
485 |
476 |
421 |
412 |
357 |
348 |
293 |
284 |
229 |
220 |
165 |
156 |
101 |
92 |
37 |
28 |
|
543 |
546 |
607 |
610 |
671 |
674 |
735 |
738 |
799 |
802 |
863 |
866 |
927 |
930 |
991 |
994 |
|
544 |
545 |
608 |
609 |
672 |
673 |
736 |
737 |
800 |
801 |
864 |
865 |
928 |
929 |
992 |
993 |
|
483 |
478 |
419 |
414 |
355 |
350 |
291 |
286 |
227 |
222 |
163 |
158 |
99 |
94 |
35 |
30 |
|
484 |
477 |
420 |
413 |
356 |
349 |
292 |
285 |
228 |
221 |
164 |
157 |
100 |
93 |
36 |
29 |
|
538 |
551 |
602 |
615 |
666 |
679 |
730 |
743 |
794 |
807 |
858 |
871 |
922 |
935 |
986 |
999 |
|
537 |
552 |
601 |
616 |
665 |
680 |
729 |
744 |
793 |
808 |
857 |
872 |
921 |
936 |
985 |
1000 |
|
491 |
470 |
427 |
406 |
363 |
342 |
299 |
278 |
235 |
214 |
171 |
150 |
107 |
86 |
43 |
22 |
|
492 |
469 |
428 |
405 |
364 |
341 |
300 |
277 |
236 |
213 |
172 |
149 |
108 |
85 |
44 |
21 |
|
530 |
559 |
594 |
623 |
658 |
687 |
722 |
751 |
786 |
815 |
850 |
879 |
914 |
943 |
978 |
1007 |
|
529 |
560 |
593 |
624 |
657 |
688 |
721 |
752 |
785 |
816 |
849 |
880 |
913 |
944 |
977 |
1008 |
|
499 |
462 |
435 |
398 |
371 |
334 |
307 |
270 |
243 |
206 |
179 |
142 |
115 |
78 |
51 |
14 |
|
500 |
461 |
436 |
397 |
372 |
333 |
308 |
269 |
244 |
205 |
180 |
141 |
116 |
77 |
52 |
13 |
|
522 |
567 |
586 |
631 |
650 |
695 |
714 |
759 |
778 |
823 |
842 |
887 |
906 |
951 |
970 |
1015 |
|
521 |
568 |
585 |
632 |
649 |
696 |
713 |
760 |
777 |
824 |
841 |
888 |
905 |
952 |
969 |
1016 |
|
507 |
454 |
443 |
390 |
379 |
326 |
315 |
262 |
251 |
198 |
187 |
134 |
123 |
70 |
59 |
6 |
|
508 |
453 |
444 |
389 |
380 |
325 |
316 |
261 |
252 |
197 |
188 |
133 |
124 |
69 |
60 |
5 |
|
514 |
575 |
578 |
639 |
642 |
703 |
706 |
767 |
770 |
831 |
834 |
895 |
898 |
959 |
962 |
1023 |
Рис. 4
Вот какой красивый магический квадрат! Он действительно магический (я не ошибаюсь, называя его магическим, в отличие от автора статьи, из которой я взяла полумагический квадрат Франклина).
В этом квадрате суммы по разломанным диагоналям подчинены закономерностям, которые были установлены для предыдущих частных решений данной группы. Они имеют такие значения: 15376, 16400 и 17424 со строгим чередованием. Средняя сумма – это магическая константа квадрата, а две крайние отличаются от неё на 1024=322, одна в минус, а другая в плюс.
Следующий магический квадрат, который можно построить по этому алгоритму – квадрат 40-ого порядка. Такого полумагического квадрата у меня нет, и наборов чисел в строках, следовательно, не имеется. Я покажу здесь часть образующей таблицы для этого квадрата (рис. 5), а читателям предлагается заполнить таблицу до конца и затем написать по этой таблице магический квадрат. Напишите мне, получился ли у вас магический квадрат.
|
|
1 |
80 |
81 |
160 |
161 |
240 |
241 |
… |
1360 |
1361 |
1440 |
1441 |
1520 |
1521 |
1600 |
|
-2 |
3 |
78 |
83 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1598 |
|
-1 |
4 |
77 |
84 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1597 |
|
-3 |
7 |
74 |
87 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1594 |
|
-1 |
8 |
73 |
88 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1593 |
|
-3 |
11 |
70 |
91 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1590 |
|
-1 |
12 |
69 |
92 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1589 |
|
-3 |
15 |
66 |
95 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1586 |
|
-1 |
16 |
65 |
96 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1585 |
|
-3 |
19 |
62 |
99 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1582 |
|
-1 |
20 |
61 |
100 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1581 |
|
-3 |
23 |
58 |
103 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1578 |
|
-1 |
24 |
57 |
104 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1577 |
|
-3 |
27 |
54 |
107 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1574 |
|
-1 |
28 |
53 |
108 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1573 |
|
-3 |
31 |
50 |
111 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1570 |
|
-1 |
32 |
49 |
112 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1569 |
|
-3 |
35 |
46 |
115 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1566 |
|
-1 |
36 |
45 |
116 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1565 |
|
-3 |
39 |
42 |
119 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1562 |
|
-1 |
40 |
41 |
120 |
121 |
200 |
201 |
280 |
… |
1321 |
1400 |
1401 |
1480 |
1481 |
1560 |
1561 |
|
2 |
38 |
43 |
118 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1563 |
|
1 |
37 |
44 |
117 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1564 |
|
3 |
34 |
47 |
114 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1567 |
|
1 |
33 |
48 |
113 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1568 |
|
3 |
30 |
51 |
110 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1571 |
|
1 |
29 |
52 |
109 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1572 |
|
3 |
26 |
55 |
106 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1575 |
|
1 |
25 |
56 |
105 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1576 |
|
3 |
22 |
59 |
102 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1579 |
|
1 |
21 |
60 |
101 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1580 |
|
3 |
18 |
63 |
98 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1583 |
|
1 |
17 |
64 |
97 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
1584 |
|
3 |
14 |
67 |
94 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1587 |
|
1 |
13 |
68 |
93 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1588 |
|
3 |
10 |
71 |
90 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1591 |
|
1 |
9 |
72 |
89 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1592 |
|
3 |
6 |
75 |
86 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1595 |
|
1 |
5 |
76 |
85 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1596 |
|
3 |
2 |
79 |
82 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
1599 |
|
|
|
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
… |
k=33 |
k=34 |
k=35 |
k=36 |
k=37 |
k=38 |
k=39 |
Рис. 5
По заполненной части образующей таблицы легко проверить суммы в двух строках квадрата – начинающихся с числа 1 и с числа 40. Например, сумма в строке, начинающейся с числа 40, вычисляется так:
S=40*(1 + 2 + 3 + … + 38 + 39) + 20 = 32020
Можно посчитать и суммы в первом и последнем столбце таблицы. Проверьте! Эти суммы тоже равны магической константе квадрата. Не вижу быстрого способа посчитать суммы по главным диагоналям. Может быть, вы придумаете такой способ.
А всё-таки красивый метод построения магических квадратов! Скажите, вы где-нибудь встречали такой метод? Или это изобретение принадлежит мне?
Итак, с магическими квадратами всё понятно. А как же быть с пандиагональными? Пандиагональные квадраты восьмого порядка мне удалось построить. А вот для следующих чётно-чётных порядков пока ничего не получилось.
Пытаюсь найти частное решение для пандиагонального квадрата 16-ого порядка, используя частное решение для магического квадрата (см. предыдущую часть настоящей статьи). Смотрите, на рис. 6 показан магический квадрат восьмого порядка, построенный изобретённым мной методом.
|
1 |
16 |
25 |
24 |
41 |
40 |
49 |
64 |
|
62 |
51 |
38 |
43 |
22 |
27 |
14 |
3 |
|
61 |
52 |
37 |
44 |
21 |
28 |
13 |
4 |
|
7 |
10 |
31 |
18 |
47 |
34 |
55 |
58 |
|
8 |
9 |
32 |
17 |
48 |
33 |
56 |
57 |
|
59 |
54 |
35 |
46 |
19 |
30 |
11 |
6 |
|
60 |
53 |
36 |
45 |
20 |
29 |
12 |
5 |
|
2 |
15 |
26 |
23 |
42 |
39 |
50 |
63 |
Рис. 6
Можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный перестановкой строк? Ну, эту задачу решаю в два счёта. Ввожу квадрат в программу перестановки строк, в которой есть блок проверки пандиагональности получаемых квадратов, и программа в одну минуту выдаёт мне 144 пандиагональных квадрата, это при условии, что первая строка остаётся на месте, то есть перестановка начинается со второй строки. Если переставлять все строки, понятно, что пандиагональных квадратов будет ещё больше, потому что выполнятся все параллельные переносы на торе (это ведь тоже перестановки строк). Среди этих пандиагональных квадратов ищу стройную схему перестановки, чтобы затем применить аналогичную перестановку к магическому квадрату 16-ого порядка, построенному точно так же, как квадрат на рис. 6. Вижу, например, такую схему перестановки строк (рис. 7):
|
1 |
16 |
25 |
24 |
41 |
40 |
49 |
64 |
|
60 |
53 |
36 |
45 |
20 |
29 |
12 |
5 |
|
2 |
15 |
26 |
23 |
42 |
39 |
50 |
63 |
|
59 |
54 |
35 |
46 |
19 |
30 |
11 |
6 |
|
7 |
10 |
31 |
18 |
47 |
34 |
55 |
58 |
|
62 |
51 |
38 |
43 |
22 |
27 |
14 |
3 |
|
8 |
9 |
32 |
17 |
48 |
33 |
56 |
57 |
|
61 |
52 |
37 |
44 |
21 |
28 |
13 |
4 |
Рис. 7
Стройная перестановка строк! Теперь попытаюсь сделать похожую перестановку в магическом квадрате 16-ого порядка. Дублирую этот квадрат из предыдущей части статьи (рис. 8).
|
1 |
32 |
33 |
64 |
65 |
96 |
97 |
128 |
129 |
160 |
161 |
192 |
193 |
224 |
225 |
256 |
|
254 |
227 |
222 |
195 |
190 |
163 |
158 |
131 |
126 |
99 |
94 |
67 |
62 |
35 |
30 |
3 |
|
253 |
228 |
221 |
196 |
189 |
164 |
157 |
132 |
125 |
100 |
93 |
68 |
61 |
36 |
29 |
4 |
|
7 |
26 |
39 |
58 |
71 |
90 |
103 |
122 |
135 |
154 |
167 |
186 |
199 |
218 |
231 |
250 |
|
8 |
25 |
40 |
57 |
72 |
89 |
104 |
121 |
136 |
153 |
168 |
185 |
200 |
217 |
232 |
249 |
|
246 |
235 |
214 |
203 |
182 |
171 |
150 |
139 |
118 |
107 |
86 |
75 |
54 |
43 |
22 |
11 |
|
245 |
236 |
213 |
204 |
181 |
172 |
149 |
140 |
117 |
108 |
85 |
76 |
53 |
44 |
21 |
12 |
|
15 |
18 |
47 |
50 |
79 |
82 |
111 |
114 |
143 |
146 |
175 |
178 |
207 |
210 |
239 |
242 |
|
16 |
17 |
48 |
49 |
80 |
81 |
112 |
113 |
144 |
145 |
176 |
177 |
208 |
209 |
240 |
241 |
|
243 |
238 |
211 |
206 |
179 |
174 |
147 |
142 |
115 |
110 |
83 |
78 |
51 |
46 |
19 |
14 |
|
244 |
237 |
212 |
205 |
180 |
173 |
148 |
141 |
116 |
109 |
84 |
77 |
52 |
45 |
20 |
13 |
|
10 |
23 |
42 |
55 |
74 |
87 |
106 |
119 |
138 |
151 |
170 |
183 |
202 |
215 |
234 |
247 |
|
9 |
24 |
41 |
56 |
73 |
88 |
105 |
120 |
137 |
152 |
169 |
184 |
201 |
216 |
233 |
248 |
|
251 |
230 |
219 |
198 |
187 |
166 |
155 |
134 |
123 |
102 |
91 |
70 |
59 |
38 |
27 |
6 |
|
252 |
229 |
220 |
197 |
188 |
165 |
156 |
133 |
124 |
101 |
92 |
69 |
60 |
37 |
28 |
5 |
|
2 |
31 |
34 |
63 |
66 |
95 |
98 |
127 |
130 |
159 |
162 |
191 |
194 |
223 |
226 |
255 |
Рис. 8
Но как же здесь сделать аналогичную перестановку? Пока не вижу чёткого пути. Конечно, можно решать задачу и по программе перестановки строк. Но всё дело в том, что программа эта, в отличие от квадратов восьмого порядка, выполняется очень долго, и дождаться от неё результата у меня не хватает терпения. Есть ли ещё какой-либо путь решения задачи? Попробуйте-ка решить задачу. Формулирую задачу ещё раз:
З А Д А Ч А
|
Превратить магический квадрат с рис. 8 в пандиагональный перестановкой строк, или перестановкой столбцов, или одновременной перестановкой строк и столбцов. Разрешается также переворачивать строки. Либо доказать, что превращение этого квадрата в пандиагональный невозможно. |
***
Интересно здесь рассказать об аналогичной задаче о квадрате Френикля, которую мне предложили на физико-математическом форуме. Очень похожая задача! Вот сейчас поняла всю глубину этой задачи. Френикль построил магический квадрат восьмого порядка по очень красивой схеме (тоже очень похожей на качели!) и задался вопросом: можно ли превратить этот квадрат в пандиагональный. В формулировке задачи, приведённой на форуме, сказано, что разрешается переставлять строки, а также переворачивать их. Видите, как похоже! Ну, покажу этот квадрат Френикля (рис. 9).
|
1 |
16 |
23 |
30 |
37 |
44 |
51 |
58 |
|
63 |
54 |
45 |
36 |
27 |
18 |
9 |
8 |
|
10 |
3 |
60 |
53 |
46 |
39 |
32 |
17 |
|
24 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
6 |
15 |
|
49 |
64 |
7 |
14 |
21 |
28 |
35 |
42 |
|
47 |
38 |
29 |
20 |
11 |
2 |
57 |
56 |
|
26 |
19 |
12 |
5 |
62 |
55 |
48 |
33 |
|
40 |
41 |
50 |
59 |
4 |
13 |
22 |
31 |
Рис. 9
Аналогия с качелями просто потрясающая! Начинаем с числа 4 и двигаемся вверх, к числу 5 через 0 (ноль) ячеек влево, к числу 2 через 1 ячейку вправо, к числу 7 через 2 ячейки влево и так далее. Вот так оригинально расположена начальная цепочка первых 8 чисел! Далее жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей. Набор чисел в цикле, как и положено, от 9 до 16. Все числа цикла “прилипли” к числам начальной цепочки. А следом идут числа второго цикла (ячейки песочного цвета), и набор их тоже в точном соответствии с методом качелей – от 17 до 24. Вот только в формирование наборов чисел в циклах качания качелей не могу проникнуть.