КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

           Часть VI

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Работая над задачей построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка, я неожиданно нашла пополнение для семейства квадратов Франклина. Это пополнение в двух направлениях.

Первое: из псевдоидеальных квадратов 12-ого и 16-ого порядка получила дьявольски полумагические квадраты.

Второе: из полумагических квадратов Франклина получила пандиагональные квадраты. Как помнят читатели, которые читали все предыдущие 5 частей статьи “Квадраты Франклина”, мне удалось построить по алгоритму Франклина (для его полумагических квадратов) пандиагональные квадраты только восьмого порядка. Для высших порядков мне не удалось тогда построить пандиагональные квадраты. И вот неожиданная удача! О новых дьявольски полумагических квадратах, полученных из псевдоидеальных, расскажу позже. А сейчас о пандиагональных квадратах.

 

                                               ***

 

Итак, напоминаю читателям первый полумагический квадрат Франклина – восьмого порядка. Правда, я немного преобразовала квадрат, чтобы он стал удобнее для применения метода качелей (обо всём этом подробно рассказано в предыдущих частях статьи). На рис. 1 вы видите преобразованный полумагический квадрат Франклина.

 

 

 

                                                                       Рис. 1

 

Рассказываю подробно процесс превращения этого полумагического квадрата в пандиагональный. Делим квадрат с рис. 1 на 4 квадрата 4х4. Далее всё очень просто. Левую половину квадрата (левый верхний и левый нижний квадраты 4х4) не изменяем. Правый верхний и правый нижний квадраты 4х4 надо отразить относительно вертикальной оси симметрии и поменять местами. Вот и вся процедура. На рис. 2 показываю готовый пандиагональный квадрат.

 

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Интересно отметить, что если правые квадраты 4х4 только отразить относительно вертикальной оси симметрии и оставить их на месте, то получится магический квадрат (см. рис. 3). Оказывается, Франклин был буквально в двух шагах от магических и пандиагональных квадратов!

 

 

 

                                                                       Рис. 3

 

К квадрату на рис. 2 можно снова применить метод качелей, и это будет новый алгоритм построения пандиагональных квадратов. Я просто покажу образующую таблицу для этого квадрата (рис. 4), не развивая процесс дальше. Любознательные читатели сделают это самостоятельно. Впрочем, можно использовать для построения пандиагональных квадратов все полумагические квадраты, которые были получены мной по программе в предыдущих частях статьи. Для этого просто надо применить к этим квадратам описанное только что преобразование двух квадратов.

 

 

                                                                       Рис. 4

 

На рис. 2 жёлтым цветом выделен первый цикл качания качелей, соответствующий первому столбцу образующей таблицы (k=1).

 

Теперь перехожу к квадрату следующего чётно-чётного порядка – 12-ого. Полумагический квадрат Франклина 12-ого порядка мне неизвестен. Я составила программу для построения таких квадратов (см. в предыдущих частях статьи). По этой программе получила очень много полумагических квадратов. Но не получила ни одного пандиагонального. Беру один из полумагических квадратов, построенных по программе. Вы видите его на рис. 5.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Применяю к этому квадрату преобразование двух квадратов. Разбиваю квадрат на 4 квадрата 6х6. Левые квадраты оставляю без изменения, а правые отражаю относительно вертикальной оси симметрии. Покажу сначала магический квадрат (промежуточный этап, когда правые квадраты остаются на месте), смотрите рис. 6.

 

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Замечу, что в 5-ой части статьи есть интересная схема построения магических квадратов из полумагических квадратов Франклина. По этой схеме строятся магические квадраты любого порядка n=4k, k=2, 4, 6, … (в статье показаны примеры для квадратов 8-ого, 16-ого, 24-ого и 32-ого порядков). То есть магические квадраты 12-ого порядка из этой схемы выпадают. Таким образом, представленный сейчас способ восполняет этот пробел для всех квадратов порядка n=4k, k=3, 5, 7, … Ниже сказано, что он не работает только для k=1.

 

А теперь выполним второй этап – поменяем местами правые квадраты 6х6. И получаем пандиагональный квадрат, он изображён на рис. 7.

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Итак, я представила очень простой и изящный алгоритм превращения полумагических квадратов из группы Франклина в магические и пандиагональные квадраты.

 

Конечно, покажу и превращение квадрата 16-ого порядка в пандиагональный, пропущу этап превращения в магический квадрат.

В качестве исходного возьму несколько преобразованный полумагический квадрат Франклина (рис. 8).

 

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Разбиваю этот квадрат на 4 квадрата 8х8 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 9 вы видите полученный пандиагональный квадрат.

 

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Ну, и у меня остался ещё один полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка. Посмотрим и его превращение в пандиагональный квадрат. Копирую этот полумагический квадрат (в преобразованном виде) (рис. 10-11); квадрат представлен в виде двух частей по 16 столбцов.

 

Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 10

 

                   Преобразованный полумагический квадрат Франклина – часть 2

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Разбиваю квадрат на 4 квадрата 16х16 и применяю преобразование двух квадратов. На рис. 12-13 показан полученный пандиагональный квадрат 32-ого порядка. Замечу, что часть 1, состоящая из первых 16 столбцов, остаётся без изменения. Преобразование коснётся только части 2, в которой как раз и находятся правые квадраты 16х16.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                       Рис. 12

 

                            Пандиагональный квадрат 32-ого порядка – часть 2