КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

 

                                                  Часть VII

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

В предыдущей части статьи я показала превращение полумагических квадратов Франклина в магические и пандиагональные с помощью преобразования двух квадратов. А затем пандиагональные квадраты превратила в ассоциативные преобразованием, обратным преобразованию трёх квадратов.

 

Теперь хочу показать ещё одну группу квадратов, которые являются дьявольски полумагическими подобно квадратам Франклина. Напомню читателям, что дьявольски полумагические квадраты обладают интересным свойством: они остаются полумагическими с такими же суммами по главным диагоналям при параллельном переносе на торе. За это свойство я и назвала их дьявольски полумагическими.

 

Эти квадраты я получила совершенно случайно, работая над задачей построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка. У меня получились псевдоидеальные квадраты 12-ого и 16-ого порядка, которые я и превратила в дьявольски полумагические.

 

Напомню, что псевдоидеальными я назвала квадраты, в которых суммы по всем диагоналям (как главным, так и разломанным) равны магической константе квадрата, а суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы. Кроме того, эти квадраты ассоциативны. Такие квадраты я построила по аналогии с известным идеальным квадратом восьмого порядка. На рис. 1 вы видите псевдоидеальный квадрат 12-ого порядка.

 

 

                                                   Рис. 1

 

Вот этот псевдоидеальный квадрат я крутила так и сяк в надежде получить из него идеальный квадрат. Но вместо идеального квадрата получила дьявольски полумагический. Преобразование здесь довольно громоздкое, поэтому покажу его в два этапа. Да, прежде всего разобьём исходный квадрат с рис. 1 на 4 квадрата 6х6.

 

Первый этап: два верхних квадрата 6х6 оставляем без изменения, а два нижних отразим относительно вертикальной ост симметрии и поменяем местами. Полученный на этом этапе квадрат вы видите на рис. 2.

 

 

                                                   Рис. 2

 

Второй этап: левую половину квадрата (два левых квадрата 6х6) не изменяем, а два правых квадрата 6х6 повернём на 180 градусов и поменяем местами. Готовый дьявольски полумагический квадрат изображён на рис. 3. Таким образом, здесь преобразованиям подвергаются три квадрата 6х6, и только левый верхний квадрат остаётся без изменения.

 

 

 

                                                   Рис. 3

 

Понятно, что этот квадрат строится по другой схеме, нежели полумагические квадраты Франклина. Он имеет такие суммы по главным (и по разломанным тоже, что и обеспечивает его дьявольскую полумагичность) – 834 и 906. Одна сумма на 36 меньше магической константы квадрата, а другая на 36 больше.

Предлагаю читателям исследовать свойства этого дьявольски полумагического квадрата. Наверняка он обладает многими свойствами подобно полумагическим квадратам Франклина.

 

А я пойду дальше. Точно таким же образом превращу в дьявольски полумагический псевдоидеальный квадрат 16-ого порядка, который изображён на рис. 4.

 

 

 

                                                   Рис. 4

 

Разделим этот квадрат на 4 квадрата 8х8 и применим описанное выше преобразование. Не буду показывать промежуточный результат (после первого этапа), а сразу покажу готовый дьявольски полумагический квадрат (рис. 5).

 

 

 

                                                   Рис. 5

 

В этом квадрате такие суммы по главным (и разломанным) диагоналям: 1992 и 2120, первая сумма на 64 меньше магической константы, а вторая – на 64 больше.

 

Ну, а далее можно построить точно по такой же схеме псевдоидеальные квадраты следующих чётно-чётных порядков и превратить их в дьявольски полумагические.

 

А чтобы построить много дьявольски полумагических квадратов, скажем, 12-ого порядка, подобных квадрату с рис. 3, надо применить к этому квадрату метод качелей, то есть составить образующую таблицу в общем виде и запрограммировать её. Покажу в качестве образца образующую таблицу квадрата с рис. 3. (см. рис. 6).

 

 

 

                                                                         Рис. 6

 

Метод качелей работает безукоризненно! Покажу в самом квадрате несколько циклов качания качелей, выделив их разными цветами (см. рис. 7).

 

 

 

 

                                                   Рис. 7

 

Напишите теперь образующую таблицу в общем виде, обязательно зафиксировав положение чисел 1 и 12, и составьте программу. По этой программе вы получите целую группу подобных дьявольски полумагических квадратов.

 

Теперь точно так же получу дьявольски полумагический квадрат восьмого порядка, но только не из псевдоидеального, а из идеального. Исходный идеальный квадрат вы видите на рис. 8, а полученный из него дьявольски полумагический квадрат – на рис. 9.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Этот квадрат имеет такие значения сумм по всем диагоналям: 244 и 276. Они отличаются от магической константы квадрата на 16, одно значение в минус, а другое в плюс.

 

Осталось посмотреть на псевдоидеальный квадрат четвёртого порядка. Как известно, идеальных квадратов четвёртого порядка не существует, а вот псевдоидеальный имеется. Вы видите его на рис. 10.

 

 

 

                                                   Рис. 10

 

Применю к этому квадрату описанное выше преобразование трёх квадратов (здесь это будут квадраты 2х2) и на рис. 11 вы видите готовый дьявольски полумагический квадрат.

 

 

 

                                                   Рис. 11

 

В этом квадрате суммы по диагоналям равны 30 и 38, что отличается от магической константы квадрата на -4 и на +4.

 

Вот такие дьявольски полумагические квадраты мне удалось получить из идеального и псевдоидеальных квадратов чётно-чётного порядка.

 

А построить идеальные квадраты чётно-чётного порядка пока не удалось, кроме идеальных квадратов восьмого порядка (они построены по аналогии с известным квадратом, найденным в Интернете) и тех, которые строятся на базе этих квадратов методом построения составных квадратов. Смотрите об этом статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

                                               ***

 

10 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу