ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА

 

С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

 

 

Рассматривая в статье http://www.klassikpoez.nfrod.ru/latch.htm метод построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью латинских квадратов, построила этим методом 6 идеальных квадратов 8-ого порядка. Продублирую здесь эти 6 вариантов (рис. 1 – рис. 6).

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 1

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 2

 

Квадрат № 3

 

 

Рис. 3

 

Квадрат № 4

 

 

Рис. 4

 

Квадрат № 5

 

 

Рис. 5

 

Квадрат № 6

 

 

Рис. 6

 

Интересно заметить, что программа, составленная для построения идеальных квадратов 8-ого порядка методом качелей, дала точно такой же результат – 6 идеальных квадратов, в точности совпадающих с приведёнными квадратами. Замечу, что в этой программе я зафиксировала в образующей таблице (следовательно, и в самом квадрате) положение двух чисел начальной цепочки – 1 и 8.

 

Теперь обратите внимание на то, что все идеальные квадраты данной группы начинаются с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). Но ведь идеальные квадраты могут начинаться с других чисел. В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm , разрабатывая метод построения идеальных квадратов из обратимых квадратов, я получила группу частных решений, в которую вошли идеальные квадраты чётно-чётных порядков n=8k, k=1, 2, 3…, начинающиеся с числа 2. На рис. 7 показываю идеальный квадрат 8-ого порядка из этой группы.

 

 

Рис. 7

 

В указанной статье было установлено, что этот квадрат связан с квадратом № 5 преобразованием “плюс-минус 1”. Покажу матрицу этого преобразования (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Накладываете эту матрицу на квадрат с рис. 5, выполняете все действия сложения и вычитания и получаете квадрат с рис. 7. Вот такое интересное преобразование, сохраняющее идеальность квадрата.

 

Теперь возникает вопрос: можно ли построить идеальные квадраты, начинающиеся с числа 2, методом качелей? Конечно, можно. Только в данном случае надо зафиксировать положение других двух чисел в начальной цепочке – 2 и 7. Вот перед вами образующая таблица квадрата с рис. 7 (на рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

В этой образующей таблице есть две особенности по сравнению с обычными качелями: сместился столбец разностей, и формирование наборов чисел в столбцах происходит несколько иначе: прибавление разностей начинается не с самого последнего числа в столбце разностей. В остальном всё точно так же, как в обычных качелях.

Посмотрите на первый латинский квадрат, соответствующий этому идеальному квадрату (рис. 10):

 

 

 

Рис. 10

 

В первой строке записаны номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей. И дальше латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей. Связь точно такая же, как для идеальных квадратов, начинающихся с числа 1. В идеальном квадрате (рис. 7) и в латинском квадрате (рис. 10) раскрашены первые три цикла качания качелей, считая нулевой.

 

Вспоминаю, что в указанной выше статье по программе было получено 48 латинских обобщённых квадратов с числом 0 в левой верхней ячейке, пригодных для построения идеальных квадратов 8-ого порядка. Понятно, что второй латинский квадрат для идеальных квадратов, начинающихся с числа 2, будет содержать в левой верхней ячейке число 1, для идеальных квадратов, начинающихся с числа 3, второй латинский квадрат будет начинаться с числа 2 и т. д. На второй латинский квадрат, соответствующий идеальному квадрату с рис. 7, вы можете посмотреть в указанной выше статье.

 

Примечание: как уже отмечалось, идеальные квадраты 8-ого порядка при параллельном переносе не всегда сохраняют идеальность. Например, применив к квадрату с рис. 7 преобразование параллельного переноса на торе так, чтобы он начинался с числа 1, мы получим такой пандиагональный, но уже не идеальный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

  Однако существует несколько вариантов параллельного переноса на торе рассматриваемой группы идеальных квадратов, которые сохраняют идеальность. Покажу два варианта на примере того же квадрата с рис. 7 (рис. 12 – 13).

 

 

Рис. 12

 

 

 

Рис. 13

 

Поверните квадрат с рис. 13 на 180 градусов, и вы получите идеальный квадрат, начинающийся с числа 9. Разложите полученный идеальный квадрат на два латинских квадрата, и вы увидите, что первый латинский квадрат начинается с числа 1.

 

Вот этот идеальный квадрат (рис. 14) я построила тоже методом качелей, но без программы, потому что он аналогичен по структуре идеальному квадрату с рис. 7.

 

 

Рис. 14

 

На рис. 15 показана образующая таблица этого квадрата.

 

 

Рис. 15

 

Среди квадратов первой группы (начинающихся с числа 1) есть квадрат, с которым связан только что построенный квадрат тем же самым преобразованием “плюс-минус 1”. Это квадрат № 3 (рис. 3).

 

Теперь в программе, которая была составлена для построения идеальных квадратов, начинающихся с числа 1 (с помощью латинских квадратов), корректирую схему построения второго латинского квадрата (эту схему беру из конкретного примера для квадрата с рис. 7), а первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0. Выполняю программу, и она выдаёт мне опять 6 идеальных квадратов, среди которых есть два уже показанных (рис. 7 и рис. 14). Покажу остальные четыре квадрата (рис. 15 – рис. 18).

 

 

Рис. 15

 

 

 

Рис. 16

 

 

 

Рис. 17

 

 

 

Рис. 18

 

Сравните идеальный квадрат с рис. 16 с идеальным квадратом № 4 (рис. 4). Вы увидите, что эти квадраты связаны преобразованием “плюс-минус 4”.

 

Итак, мы получили уже 12 идеальных квадратов. У меня остались 36 первых латинских квадратов (начинающихся с числа 0), к которым я пока не знаю, как построить ортогональные латинские квадраты, чтобы получить из каждой пары латинских квадратов новый идеальный квадрат 8-ого порядка. Надо найти методы построения ортогональных латинских квадратов. Макс прислал мне ссылку, где пишут об этом, но там очень большая веб-страница, пока не стала её смотреть. Даю ссылку любознательным читателям:

 

      М.Холл "Комбинаторика":

      http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Holl1970ru.djvu

 В ней глава 13 (стр. 261) так и называется "Ортогональные латинские квадраты".

 

 

***

 

Третью схему построения второго латинского квадрата придумала. Поясню, как именно составляется второй латинский квадрат по этой схеме. Обозначим элементы первого латинского квадрата A_ij (понятно, что здесь индексация идёт в естественном порядке). Второй латинский квадрат по рассматриваемой схеме составляется следующим образом (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0.

На рис. 20 – 25 показываю 6 идеальных квадратов, получившихся по этой схеме. Все идеальные квадраты в этой группе начинаются с числа 8. Буду нумеровать квадраты с учётом 12 квадратов, представленных выше.

 

Квадрат № 13

 

 

Рис. 20

 

Квадрат № 14

 

 

Рис. 21

 

Квадрат № 15

 

 

Рис. 22

 

Квадрат № 16

 

 

Рис. 23

 

Квадрат № 17

 

 

Рис. 24

 

Квадрат № 18

 

 

Рис. 25

 

Итак, уже использовано 18 первых латинских квадратов, осталось 30. К этим 30 квадратам тоже надо построить второй ортогональный латинский квадрат и с помощью каждой пары латинских квадратов построить идеальный квадрат. Таким образом, в этой группе (с первым латинским квадратом, начинающимся с числа 0) мы построим 48 идеальных квадратов. Затем надо будет составить латинские обобщённые квадраты, начинающиеся с числа 1 (по той же самой программе, введя в неё небольшую корректировку). Таких квадратов тоже будет 48. Составив к каждому из этих латинских квадратов второй ортогональный латинский квадрат, мы построим из каждой пары латинских квадратов идеальный квадрат, всего снова 48 квадратов. Понятно, что будет 8 групп латинских квадратов по 48 пар в каждой. Следовательно, всего идеальных квадратов 8-ого порядка по этому алгоритму должно построиться 8*48=384. Вот только интересно, сколько будет различных идеальных квадратов, не получающихся друг из друга параллельным переносом на торе.

 

23 июля 2008 г.

 

Сочинила ещё одну схему составления второго латинского квадрата. Эта схема представлена на рис. 26.

 

 

Рис. 26

 

Первый латинский квадрат по-прежнему начинается с числа 0. По этому варианту программы получила ещё 6 идеальных квадратов, которые показываю на рис. 27–32.

 

Квадрат № 19

 

 

Рис. 27

 

Квадрат № 20

 

 

Рис. 28

 

Квадрат № 21

 

 

Рис. 29

 

Квадрат № 22

 

 

Рис. 30

 

Квадрат № 23

 

 

Рис. 31

 

Квадрат № 24

 

 

Рис. 32

 

Сравните квадраты этой группы с квадратами, начинающимися с числа 1. Очевидно, что каждый квадрат из только что построенных 6 квадратов получается из соответствующего квадрата первой группы преобразованием параллельного переноса на торе. Таким образом, мы получили группу квадратов, эквивалентных квадратам первой группы с точностью до параллельного переноса на торе.

 

Следующую схему составления второго латинского квадрата вы видите на рис. 33. Первый латинский квадрат всё так же начинается с числа 0.

 

 

Рис. 33

 

Эта схема такова, что второй латинский квадрат тоже начинается с 0. И мы получаем новую группу из 6 идеальных квадратов, которые тоже начинаются с числа 1. Однако эти квадраты не совпадают с квадратами первой группы, начинающимися с числа 1 (см. рис. 1 – рис. 6). Представляю новые идеальные квадраты на рис. 34-39.

 

Квадрат № 25

 

 

Рис. 34

 

Квадрат № 26

 

 

Рис. 35

 

 Квадрат № 27

 

 

Рис. 36

 

Квадрат № 28

 

 

Рис. 37

 

Квадрат № 29

 

 

Рис. 38

 

Квадрат № 30

 

 

Рис. 39

 

Интересно отметить, что все квадраты этой группы связаны с квадратами первой группы (рис. 1 – рис. 6) преобразованиями “плюс-минус …”, либо простыми, либо комбинированными. Покажу пример для квадрата № 25 (рис. 34). Этот квадрат связан с квадратом № 2 (рис. 2) простым преобразованием “плюс-минус 3”. На рис. 40 вы видите матрицу этого преобразования.

 

 

Рис. 40

 

Вот пример ещё одного преобразования, сохраняющего идеальность квадрата. Предлагаю читателям написать матрицы преобразований, выражающих связь других квадратов этих двух групп.

 

Примечание: возникает вопрос – почему эти 6 квадратов не построились методом качелей? Ведь они тоже начинаются с числа 1, то есть в начальной цепочке числа 1 и 8 занимают фиксированное положение. Видимо, что-то в этих квадратах не так, как в обычных качелях. Надо посмотреть на досуге. Достаточно составить образующую таблицу одного из квадратов группы, чтобы увидеть, как работают качели.

 

Итак, получено 30 идеальных квадратов. Осталось получить 18 идеальных квадратов из первой группы латинских квадратов (начинающихся с числа 0), то есть всего три группы по 6 квадратов.

 

***

 

24 июля 2008 г.

 

Как я уже отмечала в Предисловии к своей виртуальной книги “Волшебный мир магических квадратов”, читатели видят на страницах живой процесс исследований. Очень хорошо это видно на данной странице. Здесь идёт поиск методов построения двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, из которых можно построить идеальный квадрат 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”. Я уже построила 30 таких идеальных квадратов, можно и остановиться, убедившись в том, что метод работает. Но мне интересно идти дальше. Вот сейчас обнаружила, что в каждой схеме построения второго латинского квадрата, ортогонального к первому (уже представлено 5 таких схем) используются отнюдь не разные первые латинские квадраты, как я думала сначала. Поясню на примере. Вот пара латинских обобщённых ортогональных квадратов, из которых построен квадрат № 2 (с рис. 2):

 

0  7  3  1  5  2  6  4                           0  3  5  6  0  3  5  6

            6  4  0  7  3  1  5  2                           2  4  7  1  2  4  7  1 

            5  2  6  4  0  7  3  1                           3  5  6  0  3  5  6  0 

            3  1  5  2  6  4  0  7                           4  7  1  2  4  7  1  2

                        0  7  3  1  5  2  6  4                           5  6  0  3  5  6  0  3              

                        6  4  0  7  3  1  5  2                           7  1  2  4  7  1  2  4 

                        5  2  6  4  0  7  3  1                           6  0  3  5  6  0  3  5

                        3  1  5  2  6  4  0  7                           1  2  4  7  1  2  4  7

 

А вот пара латинских обобщённых ортогональных квадратов, из которых построен квадрат № 25 (с рис. 34):

 

0  7  3  1  5  2  6  4                           0  6  5  3  0  6  5  3

            6  4  0  7  3  1  5  2                           2  1  7  4  2  1  7  4 

            5  2  6  4  0  7  3  1                           6  5  3  0  6  5  3  0 

            3  1  5  2  6  4  0  7                           1  7  4  2  1  7  4  2

                        0  7  3  1  5  2  6  4                           5  3  0  6  5  3  0  6              

                        6  4  0  7  3  1  5  2                           7  4  2  1  7  4  2  1 

                        5  2  6  4  0  7  3  1                           3  0  6  5  3  0  6  5

                        3  1  5  2  6  4  0  7                           4  2  1  7  4  2  1  7

 

Как видите, первые латинские квадраты в этих парах совершенно одинаковые, а вторые латинские квадраты различны; для квадрата № 2 второй латинский квадрат составлялся по первой схеме, а для квадрата № 25 – по пятой схеме. Оказывается, к одному латинскому обобщённому квадрату можно построить не единственный ортогональный латинский квадрат. Перед вами наглядный пример, подтверждающий это. Интересный факт. Мне не хочется, конечно, смотреть на все пары латинских ортогональных квадратов, которые составляются программой. В каждом варианте программы я изменяю только схему составления второго латинского квадрата, оставляя 48 первых латинских квадратов без изменения (все они начинаются с числа 0). Программа сама находит те первые латинские квадраты, к которым по данной схеме можно построить ортогональные латинские квадраты. Интересно то, что каждый раз программа находит ровно 6 пар ортогональных квадратов и строит из этих пар 6 идеальных квадратов. Может быть, во всех схемах используются одни и те же 6 первых латинских квадратов? Интересный вопрос!

 

Перехожу к шестой схеме составления второго латинского квадрата, вы видите эту схему на рис. 41.

 

 

Рис. 41

 

На рис. 42-47 показываю 6 идеальных квадратов, выданных программой в этом варианте.

 

Квадрат № 31

 

 

Рис. 42

 

Квадрат № 32

 

 

Рис. 43

 

Квадрат № 33

 

 

Рис. 44

 

Квадрат № 34

 

 

Рис. 45

 

Квадрат № 35

 

 

Рис. 46

 

Квадрат № 36

 

 

Рис. 47

 

Все квадраты этой группы можно сделать начинающимися с числа 8, применив к ним преобразование параллельного переноса на торе. У нас уже была группа квадратов, начинающихся с числа 8, это третья группа: квадраты № 13 - № 18 (рис. 20-25). Предлагаю читателям сравнить квадраты третьей группы с квадратами последней группы, перенесёнными на торе так, чтобы они начинались с числа 8.

 

А я перехожу к седьмой схеме составления второго латинского квадрата (рис. 48):