ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

Итак, совсем недавно Г. Александрову удалось построить идеальный квадрат 15-ого порядка. Вот ссылка на его статью:

http://renuar911.narod.ru/IMSb.html

Но признаюсь, что я не стала вникать в его метод. Там такое наворочено! Побоялась мозги сломать. Не совсем уверена, что этим методом Георгий может построить, например, идеальные квадраты 27-ого или 81-ого порядка (мной такие квадраты построены, причём очень простыми методами, без наворотов; см. статью “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Потому что он там строит какую-то начальную цепочку ходов (очень непросто!), а после отыскания такой цепочки ещё ведь надо достроить квадрат какими-то перескакиваниями шахматного коня. Как перескакивать? Схема нужна определённая? Где она? Для квадрата 27-ого порядка, например, она какая будет? А для квадрата 81-ого порядка?

Александров сначала показал построение идеального квадрата 15-ого порядка, а затем – для лучшего понимания метода – предложил построение идеального квадрата 9-ого порядка. Нет бы показать построение идеального квадрата 21-ого или 33-ого порядка! Вот тогда бы действительно лучше стал понятен метод.

Но критика критикой, а тем не менее идеальный квадрат 15-ого квадрата построен! В статье Александров приводит два квадрата, один из них вы видите на рис. 1.

148	82	32	131	207	75	53	1	109	215	179	159	18	96	190
92	191	147	90	38	121	199	65	59	9	108	216	175	163	22
162	30	98	181	139	80	44	129	198	66	55	13	112	212	176
218	166	154	20	104	189	138	81	40	133	202	62	56	12	120
4	110	224	174	153	21	100	193	142	77	41	132	210	68	46
74	54	3	111	220	178	157	17	101	192	150	83	31	124	200
123	201	70	58	7	107	221	177	165	23	91	184	140	89	39
85	43	127	197	71	57	15	113	211	169	155	29	99	183	141
187	137	86	42	135	203	61	49	5	119	219	168	156	25	103
26	102	195	143	76	34	125	209	69	48	6	115	223	172	152
180	158	16	94	185	149	84	33	126	205	73	52	2	116	222
106	214	170	164	24	93	186	145	88	37	122	206	72	60	8
50	14	114	213	171	160	28	97	182	146	87	45	128	196	64
204	63	51	10	118	217	167	161	27	105	188	136	79	35	134
36	130	208	67	47	11	117	225	173	151	19	95	194	144	78

Рис. 1

Квадрат действительно идеальный, то есть он магический, пандиагональный и ассоциативный! Очень хотела увидеть такой квадрат, ибо самой построить его не удалось.

“Поиграю” немного с этим квадратом – дьявольски красив!

Ну, прежде всего, как для любого пандиагонального квадрата нечётного порядка, к этому квадрату применимо преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов, которое я называю преобразованием “диагонали-диагонали”. На рис. 2 изображён пандиагональный квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 стандартной перестановкой столбцов, а на рис. 3 – стандартной перестановкой строк и столбцов. Эти квадраты утратили свою ассоциативность и потому уже не идеальные, а только пандиагональные.

148	190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82
92	22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191
162	176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30
218	120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166
4	46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110
74	200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54
123	39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201
85	141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43
187	103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137
26	152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102
180	222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158
106	8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214
50	64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14
204	134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63
36	78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130

Рис. 2

148	190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82
36	78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130
204	134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63
50	64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14
106	8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214
180	222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158
26	152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102
187	103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137
85	141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43
123	39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201
74	200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54
4	46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110
218	120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166
162	176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30
92	22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191

Рис. 3

На рис. 2 выделены две разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата. У квадрата 15-ого порядка всего 30 диагоналей: две главные и 2(n-1)=28 разломанных. Вот все 30 диагоналей исходного квадрата с рис. 1 переходят при этих преобразованиях в 30 диагоналей нового квадрата, поэтому я называю это преобразование “диагонали-диагонали”.

Очень просто превратить квадраты с рис. 2 и с рис. 3 в идеальные параллельным переносом на торе. На рис. 4 и рис. 5 показаны эти идеальные квадраты. Очевидно, что квадрат на рис. 4 является отражённым квадратом с рис. 1, а квадрат на рис. 5 – повёрнутым на 180 градусов квадратом с рис. 1 (это преобразования из группы основных преобразований). То есть новых идеальных квадратов мы не получили.

190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82	148
22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191	92
176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30	162
120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166	218
46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110	4
200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54	74
39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201	123
141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	42	85
103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137	187
152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102	26
222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158	180
8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214	106
64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14	50
134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63	204
78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130	36

Рис. 4

78	144	194	95	19	151	173	225	117	11	47	67	208	130	36
134	35	79	136	188	105	27	161	167	217	118	10	51	63	204
64	196	128	45	87	146	182	97	28	160	171	213	114	14	50
8	60	72	206	122	37	88	145	186	93	24	164	170	214	106
222	116	2	52	73	205	126	33	84	149	185	94	16	158	180
152	172	223	115	6	48	69	209	125	34	76	143	195	102	26
103	25	156	168	219	119	5	49	61	203	135	42	86	137	187
141	183	99	29	155	169	211	113	15	57	71	197	127	43	85
39	89	140	184	91	23	165	177	221	107	7	58	70	201	123
200	124	31	83	150	192	101	17	157	178	220	111	3	54	74
46	68	210	132	41	77	142	193	100	21	153	174	224	110	4
120	12	56	62	202	133	40	81	138	189	104	20	154	166	218
176	212	112	13	55	66	198	129	44	80	139	181	98	30	162
22	163	175	216	108	9	59	65	199	121	38	90	147	191	92
190	96	18	159	179	215	109	1	53	75	207	131	32	82	148

Рис. 5

Замечу, что во всех показанных здесь идеальных квадратах, а также и во втором квадрате, приведённым Александровым в своей статье, наборы чисел в центральных строке и столбце одинаковы. Кстати, точно такие же наборы чисел имеет в центральных строке и столбце ассоциативный квадрат, построенный методом террас, с той только разницей, что строка и столбец поменялись местами (см. рис. 6).

8	121	24	137	40	153	56	169	72	185	88	201	104	217	120
135	23	136	39	152	55	168	71	184	87	200	103	216	119	7
22	150	38	151	54	167	70	183	86	199	102	215	118	6	134
149	37	165	53	166	69	182	85	198	101	214	117	5	133	21
36	164	52	180	68	181	84	197	100	213	116	4	132	20	148
163	51	179	67	195	83	196	99	212	115	3	131	19	147	35
50	178	66	194	82	210	98	211	114	2	130	18	146	34	162
177	65	193	81	209	97	225	113	1	129	17	145	33	161	49
64	192	80	208	96	224	112	15	128	16	144	32	160	48	176
191	79	207	95	223	111	14	127	30	143	31	159	47	175	63
78	206	94	222	110	13	126	29	142	45	158	46	174	62	190
205	93	221	109	12	125	28	141	44	157	60	173	61	189	77
92	220	108	11	124	27	140	43	156	59	172	75	188	76	204
219	107	10	123	26	139	42	155	58	171	74	187	90	203	91
106	9	122	25	138	41	154	57	170	73	186	89	202	105	218

Рис. 6

Можно ли построить идеальный квадрат с другими наборами в центральных строке и столбце? Конечно, можно. И для построения такого квадрата я применю преобразование “строки-диагонали”. Но прежде перенесу квадрат с рис. 1 на торе, а затем поверну его на 90 градусов (см. рис. 7).

1	65	129	81	193	17	177	113	49	209	33	145	97	161	225
53	199	44	138	100	157	221	15	61	125	84	186	28	167	117
75	121	80	189	21	178	107	57	203	34	149	93	160	217	11
207	38	139	104	153	220	7	71	135	76	185	24	171	118	47
131	90	181	20	174	111	58	197	42	173	94	164	213	10	67
32	147	98	154	224	3	70	127	86	195	16	170	114	51	208
82	191	30	166	110	54	201	43	137	102	158	214	14	63	130
148	92	162	218	4	74	123	85	187	26	180	106	50	204	36
190	22	176	120	46	200	39	141	103	152	222	8	64	134	78
96	163	212	12	68	124	89	183	25	172	116	60	196	35	144
18	175	112	56	210	31	140	99	156	223	2	72	128	79	194
159	216	13	62	132	83	184	29	168	115	52	206	45	136	95
179	108	55	202	41	150	91	155	219	6	73	122	87	188	19
215	9	66	133	77	192	23	169	119	48	205	37	146	105	151
109	59	198	40	142	101	165	211	5	69	126	88	182	27	173

Рис. 7

Квадрат на рис. 7 пандиагональный, но не ассоциативный. А вот теперь применим к этому квадрату преобразование “строки-диагонали”, которое превратит квадрат в ассоциативный, а значит, в идеальный.

Но сначала покажу матрицу этого преобразования. Пусть исходный квадрат имеет матрицу А(a_i_,_j), тогда матрица преобразованного квадрата имеет следующий вид (рис. 8):

а_1,1

а_8,9

а_15,2

а_7,10

а_14,3

а_6,11

а_13,4

а_5,12

а_12,5

а_4,13

а_11,6

а_3,14

а_10,7

а_2,15

а_9,8

а_9,9

а_1,2

а_8,10

а_15,3

а_7,11

а_14,4

а_6,12

а_13,5

а_5,13

а_12,6

а_4,14

а_11,7

а_3,15

а_10,8

а_2,1

а_2,2

а_9,10

а_1,3

а_8,11

а_15,4

а_7,12

а_14,5

а_6,13

а_13,6

а_5,14

а_12,7

а_4,15

а_11,8

а_3,1

а_10,9

а_10,10

а_2,3

а_9,11

а_1,4

а_8,12

а_15,5

а_7,13

а_14,6

а_6,14

а_13,7

а_5,15

а_12,8

а_4,1

а_11,9

а_3,2

а_3,3

а_10,11

а_2,4

а_9,12

а_1,5

а_8,13

а_15,6

а_7,14

а_14,7

а_6,15

а_13,8

а_5,1

а_12,9

а_4,2

а_11,10

а_11,11

а_3,4

а_10,12

а_2,5

а_9,13

а_1,6

а_8,14

а_15,7

а_7,15

а_14,8

а_6,1

а_13,9

а_5,2

а_12,10

а_4,3

а_4,4

а_11,12

а_3,5

а_10,13

а_2,6

а_9,14

а_1,7

а_8,15

а_15,8

а_7,1

а_14,9

а_6,2

а_13,10

а_5,3

а_12,11

а_12,12

а_4,5

а_11,13

а_3,6

а_10,14

а_2,7

а_9,15

а_1,8

а_8,1

а_15,9

а_7,2

а_14,10

а_6,3

а_13,11

а_5,4

а_5,5

а_12,13

а_4,6

а_11,14

а_3,7

а_10,15

а_2,8

а_9,1

а_1,9

а_8,2

а_15,10

а_7,3

а_14,11

а_6,4

а_13,12

а_13,13

а_5,6

а_12,14

а_4,7

а_11,15

а_3,8

а_10,1

а_2,9

а_9,2

а_1,10

а_8,3

а_15,11

а_7,4

а_14,12

а_6,5

а_6,6

а_13,14

а_5,7

а_12,15

а_4,8

а_11,1

а_3,9

а_10,2

а_2,10

а_9,3

а_1,11

а_8,4

а_15,12

а_7,5

а_14,13

а_14,14

а_6,7

а_13,15

а_5,8

а_12,1

а_4,9

а_11,2

а_3,10

а_10,3

а_2,11

а_9,4

а_1,12

а_8,5

а_15,13

а_7,6

а_7,7

а_14,15

а_6,8

а_13,1

а_5,9

а_12,2

а_4,10

а_11,3

а_3,11

а_10,4

а_2,12

а_9,5

а_1,13

а_8,6

а_15,14

а_15,15

а_7,8

а_14,1

а_6,9

а_13,2

а_5,10

а_12,3

а_4,11

а_11,4

а_3,12

а_10,5

а_2,13

а_9,6

а_1,14

а_8,7

а_8,8

а_15,1

а_7,9

а_14,2

а_6,10

а_13,3

а_5,11

а_12,4

а_4,12

а_11,5

а_3,13

а_10,6

а_2,14

а_9,7

а_1,15

Рис. 8

Применим это преобразование к квадрату с рис. 7. В результате получится идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9.

1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52
206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225

Рис. 9

Напомню читателям, что преобразование “строки-диагонали” переводит строки (а также и столбцы) исходного квадрата в диагонали нового квадрата. На рис. 9 выделены три диагонали – главная и две разломанных – в которые перешли первые три строки исходного квадрата (на рис. 7 эти строки выделены соответствующими цветами). Преобразование было обнаружено мной при исследовании пандиагональных квадратов пятого порядка (см. статью “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Оно сохраняет пандиагональность квадрата и применимо к любому пандиагональному квадрату нечётного порядка (рассказывала о нём для квадратов седьмого и девятого порядка; см. соответствующие статьи).

В идеальном квадрате, изображённом на рис. 9, совсем другие наборы чисел в центральных строке и столбце. Кроме того, квадрат интересен тем, что в левой верхней ячейке его стоит число 1. Я испытываю пристрастие к таким квадратам – с числом 1 в левой верхней ячейке, по-моему, они самые красивые. Понятно, что любой пандиагональный квадрат очень легко превратить в такой, в котором в левой верхней ячейке стоит число 1, просто перенести его на торе. Но с идеальным квадратом это не проходит! Если квадрат Георгия (рис. 1) перенести на торе так, чтобы в левой верхней ячейке стояло число 1, то он перестанет быть ассоциативным, а значит, идеальным. Так что, на рис. 9 вы видите прекрасный образец идеального квадрата 15-ого порядка, начинающийся с 1.

На рис. 9а показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата. Оригинальный рисунок; симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52
206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225

Рис. 9а

А теперь применим ещё раз преобразование “строки-диагонали”. Исходным будет квадрат, полученный из идеального квадрата с рис. 9 переносом на торе (см. рис. 10).

206	153	128	178	35	221	78	113	148	5	191	48	98	73	20
174	45	220	79	107	144	15	190	49	92	69	30	205	154	122
87	111	136	7	194	57	96	61	22	209	162	126	166	37	224
3	188	58	95	71	18	203	163	125	176	33	218	88	110	146
105	70	19	197	159	135	175	34	212	84	120	145	4	182	54
201	151	127	179	42	216	76	112	149	12	186	46	97	74	27
173	43	215	86	108	143	13	185	56	93	68	28	200	161	123
85	109	137	9	195	55	94	62	24	210	160	124	167	39	225
1	187	59	102	66	16	202	164	132	171	31	217	89	117	141
103	65	26	198	158	133	170	41	213	83	118	140	11	183	53
199	152	129	180	40	214	77	114	150	10	184	47	99	75	25
172	44	222	81	106	142	14	192	51	91	67	29	207	156	121
80	116	138	8	193	50	101	63	23	208	155	131	168	38	223
2	189	60	100	64	17	204	165	130	169	32	219	90	115	139
104	72	21	196	157	134	177	36	211	82	119	147	6	181	52

Рис. 10

На рис. 11 вы видите идеальный квадрат, получившийся применением к квадрату с рис. 10 преобразования “строки-диагонали”.

206	24	72	93	60	186	8	145	106	88	214	37	170	122	164
132	153	210	21	68	100	46	193	4	142	110	77	224	41	174
45	171	128	160	196	28	64	97	50	182	14	146	114	87	213
83	220	31	178	124	157	200	17	74	101	54	192	3	150	111
136	118	79	217	35	167	134	161	204	27	63	105	51	188	10
184	7	140	107	89	221	39	177	123	165	201	23	70	91	58
95	47	194	11	144	117	78	225	36	173	130	151	208	19	67
29	71	99	57	183	15	141	113	85	211	43	169	127	155	197
159	207	18	75	96	53	190	1	148	109	82	215	32	179	131
168	135	156	203	25	61	103	49	187	5	137	119	86	219	42
216	38	175	121	163	199	22	65	92	59	191	9	147	108	90
115	76	223	34	172	125	152	209	26	69	102	48	195	6	143
13	139	112	80	212	44	176	129	162	198	30	66	98	55	181
52	185	2	149	116	84	222	33	180	126	158	205	16	73	94
62	104	56	189	12	138	120	81	218	40	166	133	154	202	20

Рис. 11

Снова очень оригинальный чётно-нечётный рисунок, симметрия в этом рисунке относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрии и центральная. Чем ещё замечателен этот квадрат? Сравните его с идеальным квадратом с рис. 1. И вы увидите, что он получается из этого квадрата перестановкой строк и столбцов по определённой схеме! Если вы читали мои статьи о пандиагональных квадратах пятого, седьмого, девятого порядка, то помните, что там было рассказано о такой нестандартной перестановке одновременно строк и столбцов, которая сохраняет пандиагональность квадрата. Было показано, что такое преобразование эквивалентно двукратному применению преобразования “строки-диагонали”. Нечто подобное мы имеем здесь, то есть некоторое преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов, которое позволяет нам получать из одного идеального квадрата другой идеальный квадрат. Интересное преобразование! Я не знаю пока, единственное ли оно в том смысле, что строки и столбцы могут быть переставлены только по такой схеме. Возможно, есть и другие схемы перестановки, дающие тот же эффект. Но пока рассмотрю это преобразование. Я приведу матрицу этого преобразования, а затем применю его ко второму идеальному квадрату, данному в статье Александрова, чтобы закрепить ещё одним наглядным примером. Итак, пусть, как всегда, матрица исходного идеального квадрата имеет стандартный вид (а_i_,_j). Тогда матрица указанного преобразования будет иметь следующий вид (рис. 12):