ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

                                                             Часть I

 

Несколько дней назад зарегистрировалась на математическом форуме и узнала, что существует идеальный квадрат восьмого порядка.

Дали ссылку, где приводится такой квадрат, вот эта ссылка:

 

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Утверждение о том, что идеальные квадраты существуют только для нечётных порядков n>3, было записано в Википедии. В своей статье “Ассоциативные квадраты” я доказала, что не существует идеальных квадратов четвёртого порядка. А для высших чётно-чётных порядков приняла на веру. И до сих пор считала, что идеальные квадраты существуют только нечётных порядков, начиная с пятого. Это оказалось совершенно неверно. Поэтому не верьте всему, что написано в Википедии. Любое утверждение надо проверять и доказывать.

Статья “Магический квадрат” в Википедии поправлена.

 

На этой странице хочу показать идеальные квадраты восьмого порядка. А об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков пока сама ничего не знаю.

 

На рис. 1 вы видите идеальный квадрат восьмого порядка, взятый по приведённой выше ссылке.

 

 

                                                    Рис. 1

 

Замечательный идеальный квадрат! И я уже вижу в этом квадрате качели. Покажу образующую таблицу этого квадрата (на рис. 1 выделена начальная цепочка первых 8 чисел). Кстати, схема построения этого квадрата очень похожа на схему Франклина в его дьявольски полумагических квадратах (см. статью “Квадраты Франклина”).

 Смотрите образующую таблицу приведённого идеального квадрата на рис. 2.

 

 

 

                                                                         Рис. 2

 

Все законы формирования образующей таблицы такие же, как в методе качелей. При переносе чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата есть одна особенность. Поэтому покажу этот процесс подробно. На рис. 3 вы видите перенесёнными три столбца образующей таблицы, три цикла качания качелей (при k=5, k=6 и k=3). Здесь всё, как обычно.

 

 

 

                                                                                       Рис. 3

 

А вот со следующего цикла (при k=7) появляется особенность: числа пишутся теперь, начиная с нижней левой ячейки вверх. На рис. 4 вы видите завершение заполнения матрицы числами из образующей таблицы.

 

 

 

                                                                                       Рис. 4

 

Такова схема построения данного идеального квадрата с применением метода качелей.

 

А теперь я хочу построить по этой схеме другие идеальные квадраты восьмого порядка. Но буду строить не в точности такие же квадраты, а квадраты, начинающиеся с числа 1. Как вы помните, это мои самые любимые квадраты. Квадрат с рис. 4 тоже можно сделать начинающимся с числа 1, применив к нему преобразование параллельного переноса на торе. Но при этом он утратит ассоциативность и уже не будет идеальным (рис. 5).

 

 

                                                    Рис. 5

 

Кстати, этот пример пандиагонального квадрата показывает, что по данной схеме можно строить и пандиагональные квадраты восьмого порядка, не являющиеся идеальными.

 

 Для построения идеальных квадратов, начинающихся с числа 1, я запрограммирую образующую таблицу, которую вы видите на рис. 6.

 

 

 

                                                                         Рис. 6

 

Программа выдала 36 идеальных квадратов. Все они, понятно, начинаются с числа 1. Показываю первые 7 квадратов, как они записаны программой в файл:

 

№ 1                                                   № 2

 1  32  41  56  49  48  25  8                1  32  49  48  41  56  25  8

 63  34  23  10  15  18  39  58            63  34  15  18  23  10  39  58 

 4  29  44  53  52  45  28  5                4  29  52  45  44  53  28  5 

 62  35  22  11  14  19  38  59            62  35  14  19  22  11  38  59

 6  27  46  51  54  43  30  3                6  27  54  43  46  51  30  3 

 60  37  20  13  12  21  36  61            60  37  12  21  20  13  36  61 

 7  26  47  50  55  42  31  2                7  26  55  42  47  50  31  2 

 57  40  17  16  9  24  33  64              57  40  9  24  17  16  33  64 

 

 № 3                                                  № 4

 1  48  25  56  49  32  41  8                1  48  49  32  25  56  41  8

 63  18  39  10  15  34  23  58            63  18  15  34  39  10  23  58 

 4  45  28  53  52  29  44  5                4  45  52  29  28  53  44  5 

 62  19  38  11  14  35  22  59            62  19  14  35  38  11  22  59 

 6  43  30  51  54  27  46  3                6  43  54  27  30  51  46  3 

 60  21  36  13  12  37  20  61            60  21  12  37  36  13  20  61 

 7  42  31  50  55  26  47  2                7  42  55  26  31  50  47  2

 57  24  33  16  9  40  17  64             57  24  9  40  33  16  17  64 

 

 № 5                                                  № 6

 1  56  25  48  41  32  49  8                1  56  41  32  25  48  49  8

 63  10  39  18  23  34  15  58            63  10  23  34  39  18  15  58 

 4  53  28  45  44  29  52  5                4  53  44  29  28  45  52  5

 62  11  38  19  22  35  14  59            62  11  22  35  38  19  14  59 

 6  51  30  43  46  27  54  3                6  51  46  27  30  43  54  3 

 60  13  36  21  20  37  12  61            60  13  20  37  36  21  12  61 

 7  50  31  42  47  26  55  2                7  50  47  26  31  42  55  2 

 57  16  33  24  17  40  9  64              57  16  17  40  33  24  9  64 

 

№ 7

 1  32  41  56  49  48  25  8

 62  35  22  11  14  19  38  59

 4  29  44  53  52  45  28  5

 63  34  23  10  15  18  39  58

 7  26  47  50  55  42  31  2

 60  37  20  13  12  21  36  61

 6  27  46  51  54  43  30  3

 57  40  17  16  9  24  33  64

 

Все квадраты вы можете посмотреть здесь:

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

На рис. 7 и рис. 8 показываю первые два квадрата наглядно.

 

                                                                  Квадрат № 1

 

 

                                                    Рис. 7

 

                                                                  Квадрат № 2

 

 

                                                    Рис. 8

 

Посмотрите на эти два квадрата, у них совершенно одинаковые начальные цепочки первых 8 чисел. Значит, они отличаются только переставленными циклами качания качелей. И, конечно же, связаны преобразованием типа “плюс-минус …”, а именно – “плюс-минус 8” , матрицу которого вы видите на рис. 9.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Наложите эту матрицу на квадрат № 1, выполните все действия с числами, попавшими в жёлтые и зелёные ячейки, остальные числа перепишите без изменения, и вы получите квадрат № 2. Красивейшее преобразование! Оно сохраняет идеальность квадрата. Если рассмотреть все 36 идеальных квадратов, можно увидеть несколько подобных преобразований, связывающих эти квадраты.

 

Ну, а теперь, у меня, конечно, возникает вопрос: можно ли по этой схеме построить идеальные квадраты 12-ого и высших чётно-чётных порядков? Прежде всего, делаю попытку построить частные решения, аналогичные имеющимся решениям для квадратов восьмого порядка. Первое частное решение строю по аналогии с квадратом с рис. 1. Сначала составляю образующую таблицу (рис. 10):

 

 

 

                                                                         Рис. 10

 

Теперь составляю квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 11):

 

 

                                                    Рис. 11

 

И вот какой интересный получился квадрат! Когда я строила идеальные квадраты нечётных порядков, мне встречались подобные квадраты и были названы мной псевдоидеальными.

 

Примечание:  нашла в статье “Идеальные квадраты” такой квадрат 21-ого порядка. Он назван не псевдоидеальным, а квазиидеальным. Но смысл тот же самый.

 

В этом квадрате суммы по главным и разломанным диагоналям равны магической константе квадрата. Он ассоциативен. Что же в нём не так? Нет нужных сумм в строках и в столбцах! Суммы чисел в строках принимают два значения: 894 и 846 в строгом чередовании; суммы чисел в столбцах имеют значения: 872 и 868 и тоже чередуются. Вот такой малости не хватает этому квадрату до идеальности, он просто-напросто не магический. А если не обратить внимания на суммы в строках и в столбцах, то вполне можно принять его за идеальный. Вот поэтому я и назвала такие квадраты псевдоидеальными.

 

Совершенно такой же псевдоидеальный квадрат построился по аналогии с квадратом с рис. 7. Покажу этот квадрат (рис. 12), пропуская его образующую таблицу.

 

 

 

                                                    Рис. 12

 

Итак, с частными решениями ничего не получилось. Значит, надо составлять программу и искать все решения. Может быть, среди всех решений и найдутся идеальные квадраты. Этим сейчас и займусь. Если будут результаты, расскажу.

 

                                                                  ***

 

Посетите математический форум, вот ссылка на страницу с темой “Магические квадраты”:

 

http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=108142#108142

 

Благодаря участию в этом форуме я узнала о существовании идеального квадрата восьмого порядка. Об идеальных квадратах высших чётно-чётных порядков я спросила на форуме, но мне пока не ответили.

 

25-27 марта 2008 г.

                   г. Саратов

 

29-30  марта 2008 г.

 

Программу для построения идеальных квадратов 12-ого порядка по данной схеме составила, но выполнила не до конца. Пока не получила ни одного идеального квадрата. Что-то у меня возникает подозрение, что и не получу.

Ради интереса построила на досуге вручную аналогичное частное решение для квадрата 16-ого порядка. И снова получился псевдоидеальный квадрат! Вот чудеса!

На рис. 13 показываю этот псевдоидеальный квадрат 16-ого порядка. Посмотрите: суммы чисел во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, равны магической константе квадрата 2056. И ассоциативность имеется. А вот суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы.

 

 

 

                                                    Рис. 13

 

Неужели по данному алгоритму строится только идеальный квадрат восьмого порядка? Или всё-таки неверное частное решение ещё ни о чём не говорит? Надо всё-таки прогнать программу для квадратов 12-ого порядка до конца.

 

А пока порадую читателей сообщением, что идеальный квадрат чётно-чётного порядка всё-таки не единственный – квадрат 8-ого порядка. А метод построения составных квадратов у нас для чего? Понятно, что минимальный порядок идеального составного квадрата чётно-чётного порядка равен 40=8*5. Поскольку идеальный квадрат 40-ого порядка – это всё же редкостный экземпляр, покажу оба варианта составного квадрата.

 

Вариант первый

в качестве базового берём идеальный квадрат пятого порядка, который изображён на рис. 14, а в качестве основного – идеальный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 7.

 

 

 

                                                   Рис. 14

 

На рис. 15 вы видите матрицу, с помощью которой строится составной квадрат.

 

 

                                                   Рис. 15

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка представлен в виде двух равных частей, он как бы разрезан по вертикали (рис. 16-17). Для получения целого квадрата соедините две половинки.

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                                                                            Рис. 16

 

Идеальный квадрат 40-ого порядка – часть 2