ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ НЕЧЁТНЫХ ПОРЯДКОВ КРАТНЫХ ДЕВЯТИ

 

Перед чтением данной страницы обязательно прочтите следующие страницы:

 

·        Магические квадраты девятого порядка;

·        Магические квадраты одиннадцатого порядка;

·        Магические квадраты пятнадцатого порядка;

·        Ассоциативные квадраты.

 

Напомню читателям, что много усилий было приложено к решению задачи построения идеальных квадратов нечётных порядков, кратных 3, то есть порядков: 9, 15, 21, 27… (идеальный квадрат – это одновременно пандиагональный и ассоциативный).

В перечисленных выше статьях вы найдёте подробный рассказ об этом.

Я пыталась самыми разными способами построить пандиагональный квадрат девятого порядка из ассоциативного квадрата, построенного методом террас или методом нечётного ядра, но у меня ничего не получилось. То же самое и для квадрата 15-ого порядка. К высшим порядкам даже не приступала.

И вот сейчас решила попробовать построить такой квадрат из ассоциативного квадрата девятого порядка, построенного на базе магического квадрата третьего порядка (см. статью “Ассоциативные квадраты”). И сразу же по программе перестановки только столбцов получила результат! Пандиагональных квадратов по этой программе построилось очень много, приведу два первых, см. на рис. 2 и рис. 3. На рис. 1 воспроизведён ассоциативный квадрат, построенный на базе магического квадрата третьего порядка.

 

 

 

                                                        Рис. 1

 

 

 

                                                                     Рис. 2

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Квадрат, изображённый на рис. 2 является идеальным, а на рис. 3 только пандиагональным.

 

Посмотрите, как интересно переставлены столбцы в квадрате на рис. 2 (сравнивайте с квадратом на рис. 1) – они переставлены с шагом в два столбца! И ассоциативность квадрата при такой перестановке сохранилась.

 

Применив к этому же ассоциативному квадрату (с рис. 1) программу перестановки строк, я получила такой же результат – много пандиагональных квадратов и самый первый из них опять идеальный. Показываю его на рис. 4.

 

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Совершенно идеальный квадрат! Посмотрите на его чётно-нечётный рисунок. Симметрия полная: относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрии, относительно обеих главных диагоналей. И даже сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри этого квадрата, равна магической константе квадрата! Далеко не каждый идеальный квадрат обладает таким замечательным свойством. Кстати, идеальный квадрат, полученный перестановкой столбцов (рис. 2), тоже обладает этим свойством.

 

Вот так, самым неожиданным образом, я построила идеальный квадрат девятого порядка из ассоциативного простой перестановкой столбцов (или строк). Для этого мне надо было построить ассоциативный квадрат девятого порядка на базе магического квадрата третьего порядка. А до этого во всех своих попытках построить идеальный квадрат из ассоциативного я использовала ассоциативный квадрат, построенный методом террас.

 

Далее я попробовала аналогично переставить столбцы в ассоциативном квадрате 15-ого порядка, построенном тем же методом (на базе магического квадрата третьего порядка, в качестве основного взят ассоциативный квадрат пятого порядка; см. этот квадрат в статье “ассоциативные квадраты”). Но, увы! Пандиагональный квадрат не получился.

 

И тут я вспомнила наш спор с моим партнёром Г. Александровым. Я склонялась к тому, что все нечётные порядки, кратные 3, надо разделить на две группы: 1) порядки, кратные 3 один раз, то есть n=3k, где k – нечётное число (больше 1) не кратное 3; 2) порядки, дважды кратные 3, иначе говоря – кратные 9, то есть n=9k, где k – любое нечётное число. Мне казалось, что квадраты порядков этих двух групп будут строиться разными методами. Георгий был со мной не согласен. Он считал, что для всех нечётных порядков, кратных 3, метод должен быть одинаковым.

 

Итак, рассматриваю квадраты нечётных порядков кратных 9. Для первого такого порядка (девятого, при k=1) мне удалось простой перестановкой столбцов (или строк) превратить ассоциативный квадрат в пандиагональный (и даже в идеальный). Следующий квадрат в этой группе порядков – это квадрат 27-ого порядка (k=3).

В статье “Ассоциативные квадраты” был построен ассоциативный квадрат 27-ого порядка на базе магического квадрата третьего порядка (за основной взят ассоциативный квадрат девятого порядка, изображённый на рис. 1). В этом квадрате я и сделала аналогичные перестановки столбцов. И получила идеальный квадрат! Показываю этот квадрат на рис. 5. Но прежде воспроизведу ассоциативный квадрат 27-ого порядка, который взят в качестве исходного для этого построения.

 

92  97  96  137  142  141  128  133  132  497  502  501  542  547  546  533  538  537  416  421  420  461  466  465  452  457  456

 99  95  91  144  140  136  135  131  127  504  500  496  549  545  541  540  536  532  423  419  415  468  464  460  459  455  451

 94  93  98  139  138  143  130  129  134  499  498  503  544  543  548  535  534  539  418  417  422  463  462  467  454  453  458

 155  160  159  119  124  123  83  88  87  560  565  564  524  529  528  488  493  492  479  484  483  443  448  447  407  412  411

 162  158  154  126  122  118  90  86  82  567  563  559  531  527  523  495  491  487  486  482  478  450  446  442  414  410  406

 157  156  161  121  120  125  85  84  89  562  561  566  526  525  530  490  489  494  481  480  485  445  444  449  409  408  413

 110  115  114  101  106  105  146  151  150  515  520  519  506  511  510  551  556  555  434  439  438  425  430  429  470  475  474

 117  113  109  108  104  100  153  149  145  522  518  514  513  509  505  558  554  550  441  437  433  432  428  424  477  473  469

 112  111  116  103  102  107  148  147  152  517  516  521  508  507  512  553  552  557  436  435  440  427  426  431  472  471  476

 659  664  663  704  709  708  695  700  699  335  340  339  380  385  384  371  376  375  11  16  15  56  61  60  47  52  51

 666  662  658  711  707  703  702  698  694  342  338  334  387  383  379  378  374  370  18  14  10  63  59  55  54  50  46

 661  660  665  706  705  710  697  696  701  337  336  341  382  381  386  373  372  377  13  12  17  58  57  62  49  48  53

 722  727  726  686  691  690  650  655  654  398  403  402  362  367  366  326  331  330  74  79  78  38  43  42  2  7  6

 729  725  721  693  689  685  657  653  649  405  401  397  369  365  361  333  329  325  81  77  73  45  41  37  9  5  1

 724  723  728  688  687  692  652  651  656  400  399  404  364  363  368  328  327  332  76  75  80  40  39  44  4  3  8

 677  682  681  668  673  672  713  718  717  353  358  357  344  349  348  389  394  393  29  34  33  20  25  24  65  70  69

 684  680  676  675  671  667  720  716  712  360  356  352  351  347  343  396  392  388  36  32  28  27  23  19  72  68  64

 679  678  683  670  669  674  715  714  719  355  354  359  346  345  350  391  390  395  31  30  35  22  21  26  67  66  71

 254  259  258  299  304  303  290  295  294  173  178  177  218  223  222  209  214  213  578  583  582  623  628  627  614  619  618

 261  257  253  306  302  298  297  293  289  180  176  172  225  221  217  216  212  208  585  581  577  630  626  622  621  617  613

 256  255  260  301  300  305  292  291  296  175  174  179  220  219  224  211  210  215  580  579  584  625  624  629  616  615  620

 317  322  321  281  286  285  245  250  249  236  241  240  200  205  204  164  169  168  641  646  645  605  610  609  569  574  573

 324  320  316  288  284  280  252  248  244  243  239  235  207  203  199  171  167  163  648  644  640  612  608  604  576  572  568

 319  318  323  283  282  287  247  246  251  238  237  242  202  201  206  166  165  170  643  642  647  607  606  611  571  570  575

 272  277  276  263  268  267  308  313  312  191  196  195  182  187  186  227  232  231  596  601  600  587  592  591  632  637  636

 279  275  271  270  266  262  315  311  307  198  194  190  189  185  181  234  230  226  603  599  595  594  590  586  639  635  631

 274  273  278  265  264  269  310  309  314  193  192  197  184  183  188  229  228  233  598  597  602  589  588  593  634  633  638

 

 

 

                                                                           Рис. 5

 

Как все идеальные квадраты, квадрат на рис. 5 имеет симметричный чётно-нечётный рисунок, причём симметрия имеет место относительно и вертикальной и горизонтальной осей симметрии.

Это пока самый большой идеальный квадрат, который я построила.

Я не попробовала по такой же схеме переставить строки в ассоциативном квадрате 27-ого порядка, так как программу не писала, а столбцы переставила вручную. Но уверена, что в результате такой перестановки строк тоже получится идеальный квадрат. Предлагаю читателям проверить!

 

Ну, а теперь надо попробовать этим же способом построить идеальный квадрат 45-ого порядка – это следующий порядок в рассматриваемой группе порядков (n=9k, при k=5).

В качестве исходного квадрата я возьму ассоциативный квадрат, построенный на базе магического квадрата третьего порядка, за основной квадрат берётся ассоциативный квадрат 15 порядка (который построен на базе идеального квадрата пятого порядка, за основной взят магический квадрат третьего порядка).

 

                                               ***

 

Сегодня написала программу для построения ассоциативного квадрата 45-ого порядка и перестановки в нём столбцов по описанной выше схеме. И вот разочарование! Квадрат не получился пандиагональным. Приведу здесь этот квадрат, так как он интересен сам по себе, после перестановки столбцов ассоциативность квадрата сохранилась. Квадрат представлен в виде трёх частей, как бы разрезан по вертикали дважды. Чтобы получить квадрат полностью, надо склеить эти три части.

 

Ассоциативный квадрат 45-ого порядка:

 

 

Часть 1

 

 227  425  308  344  371  1352  1550  1433  1469  1496  1127  1325  1208  1244  1271

 234  432  315  351  378  1359  1557  1440  1476  1503  1134  1332  1215  1251  1278

 229  427  310  346  373  1354  1552  1435  1471  1498  1129  1327  1210  1246  1273

 353  389  236  407  290  1478  1514  1361  1532  1415  1253  1289  1136  1307  1190

 360  396  243  414  297  1485  1521  1368  1539  1422  1260  1296  1143  1314  1197

 355  391  238  409  292  1480  1516  1363  1534  1417  1255  1291  1138  1309  1192

 416  272  335  398  254  1541  1397  1460  1523  1379  1316  1172  1235  1298  1154

 423  279  342  405  261  1548  1404  1467  1530  1386  1323  1179  1242  1305  1161

 418  274  337  400  256  1543  1399  1462  1525  1381  1318  1174  1237  1300  1156

 380  263  434  281  317  1505  1388  1559  1406  1442  1280  1163  1334  1181  1217

 387  270  441  288  324  1512  1395  1566  1413  1449  1287  1170  1341  1188  1224

 382  265  436  283  319  1507  1390  1561  1408  1444  1282  1165  1336  1183  1219

 299  326  362  245  443  1424  1451  1487  1370  1568  1199  1226  1262  1145  1343

 306  333  369  252  450  1431  1458  1494  1377  1575  1206  1233  1269  1152  1350

 301  328  364  247  445  1426  1453  1489  1372  1570  1201  1228  1264  1147  1345

 1802  2000  1883  1919  1946  902  1100  983  1019  1046  2  200  83  119  146

 1809  2007  1890  1926  1953  909  1107  990  1026  1053  9  207  90  126  153

 1804  2002  1885  1921  1948  904  1102  985  1021  1048  4  202  85  121  148

 1928  1964  1811  1982  1865  1028  1064  911  1082  965  128  164  11  182  65

 1935  1971  1818  1989  1872  1035  1071  918  1089  972  135  171  18  189  72

 1930  1966  1813  1984  1867  1030  1066  913  1084  967  130  166  13  184  67

 1991  1847  1910  1973  1829  1091  947  1010  1073  929  191  47  110  173  29

 1998  1854  1917  1980  1836  1098  954  1017  1080  936  198  54  117  180  36

 1993  1849  1912  1975  1831  1093  949  1012  1075  931  193  49  112  175  31

 1955  1838  2009  1856  1892  1055  938  1109  956  992  155  38  209  56  92

 1962  1845  2016  1863  1899  1062  945  1116  963  999  162  45  216  63  99

 1957  1840  2011  1858  1894  1057  940  1111  958  994  157  40  211  58  94

 1874  1901  1937  1820  2018  974  1001  1037  920  1118  74  101  137  20  218

 1881  1908  1944  1827  2025  981  1008  1044  927  1125  81  108  144  27  225

 1876  1903  1939  1822  2020  976  1003  1039  922  1120  76  103  139  22  220

 677  875  758  794  821  452  650  533  569  596  1577  1775  1658  1694  1721

 684  882  765  801  828  459  657  540  576  603  1584  1782  1665  1701  1728

 679  877  760  796  823  454  652  535  571  598  1579  1777  1660  1696  1723

 803  839  686  857  740  578  614  461  632  515  1703  1739  1586  1757  1640

 810  846  693  864  747  585  621  468  639  522  1710  1746  1593  1764  1647

 805  841  688  859  742  580  616  463  634  517  1705  1741  1588  1759  1642

 866  722  785  848  704  641  497  560  623  479  1766  1622  1685  1748  1604

 873  729  792  855  711  648  504  567  630  486  1773  1629  1692  1755  1611

 868  724  787  850  706  643  499  562  625  481  1768  1624  1687  1750  1606

 830  713  884  731  767  605  488  659  506  542  1730  1613  1784  1631  1667

 837  720  891  738  774  612  495  666  513  549  1737  1620  1791  1638  1674

 832  715  886  733  769  607  490  661  508  544  1732  1615  1786  1633  1669

 749  776  812  695  893  524  551  587  470  668  1649  1676  1712  1595  1793

 756  783  819  702  900  531  558  594  477  675  1656  1683  1719  1602  1800

 751  778  814  697  895  526  553  589  472  670  1651  1678  1714  1597  1795

 

Часть 2

 

 232  430  313  349  376  1357  1555  1438  1474  1501  1132  1330  1213  1249  1276

 230  428  311  347  374  1355  1553  1436  1472  1499  1130  1328  1211  1247  1274

 228  426  309  345  372  1353  1551  1434  1470  1497  1128  1326  1209  1245  1272

 358  394  241  412  295  1483  1519  1366  1537  1420  1258  1294  1141  1312  1195

 356  392  239  410  293  1481  1517  1364  1535  1418  1256  1292  1139  1310  1193

 354  390  237  408  291  1479  1515  1362  1533  1416  1254  1290  1137  1308  1191

 421  277  340  403  259  1546  1402  1465  1528  1384  1321  1177  1240  1303  1159

 419  275  338  401  257  1544  1400  1463  1526  1382  1319  1175  1238  1301  1157

 417  273  336  399  255  1542  1398  1461  1524  1380  1317  1173  1236  1299  1155

 385  268  439  286  322  1510  1393  1564  1411  1447  1285  1168  1339  1186  1222

 383  266  437  284  320  1508  1391  1562  1409  1445  1283  1166  1337  1184  1220

 381  264  435  282  318  1506  1389  1560  1407  1443  1281  1164  1335  1182  1218

 304  331  367  250  448  1429  1456  1492  1375  1573  1204  1231  1267  1150  1348

 302  329  365  248  446  1427  1454  1490  1373  1571  1202  1229  1265  1148  1346

 300  327  363  246  444  1425  1452  1488  1371  1569  1200  1227  1263  1146  1344

 1807  2005  1888  1924  1951  907  1105  988  1024  1051  7  205  88  124  151

 1805  2003  1886  1922  1949  905  1103  986  1022  1049  5  203  86  122  149

 1803  2001  1884  1920  1947  903  1101  984  1020  1047  3  201  84  120  147

 1933  1969  1816  1987  1870  1033  1069  916  1087  970  133  169  16  187  70

 1931  1967  1814  1985  1868  1031  1067  914  1085  968  131  167  14  185  68

 1929  1965  1812  1983  1866  1029  1065  912  1083  966  129  165  12  183  66

 1996  1852  1915  1978  1834  1096  952  1015  1078  934  196  52  115  178  34

 1994  1850  1913  1976  1832  1094  950  1013  1076  932  194  50  113  176  32

 1992  1848  1911  1974  1830  1092  948  1011  1074  930  192  48  111  174  30

 1960  1843  2014  1861  1897  1060  943  1114  961  997  160  43  214  61  97

 1958  1841  2012  1859  1895  1058  941  1112  959  995  158  41  212  59  95

 1956  1839  2010  1857  1893  1056  939  1110  957  993  156  39  210  57  93

 1879  1906  1942  1825  2023  979  1006  1042  925  1123  79  106  142  25  223

 1877  1904  1940  1823  2021  977  1004  1040  923  1121  77  104  140  23  221

 1875  1902  1938  1821  2019  975  1002  1038  921  1119  75  102  138  21  219

 682  880  763  799  826  457  655  538  574  601  1582  1780  1663  1699  1726

 680  878  761  797  824  455  653  536  572  599  1580  1778  1661  1697  1724

 678  876  759  795  822  453  651  534  570  597  1578  1776  1659  1695  1722

 808  844  691  862  745  583  619  466  637  520  1708  1744  1591  1762  1645

 806  842  689  860  743  581  617  464  635  518  1706  1742  1589  1760  1643

 804  840  687  858  741  579  615  462  633  516  1704  1740  1587  1758  1641

 871  727  790  853  709  646  502  565  628  484  1771  1627  1690  1753  1609

 869  725  788  851  707  644  500  563  626  482  1769  1625  1688  1751  1607

 867  723  786  849  705  642  498  561  624  480  1767  1623  1686  1749  1605

 835  718  889  736  772  610  493  664  511  547  1735  1618  1789  1636  1672

 833  716  887  734  770  608  491  662  509  545  1733  1616  1787  1634  1670

 831  714  885  732  768  606  489  660  507  543  1731  1614  1785  1632  1668

 754  781  817  700  898  529  556  592  475  673  1654  1681  1717  1600  1798

 752  779  815  698  896  527  554  590  473  671  1652  1679  1715  1598  1796

 750  777  813  696  894  525  552  588  471  669  1650  1677  1713  1596  1794

 

Часть 3

 

 231  429  312  348  375  1356  1554  1437  1473  1500  1131  1329  1212  1248  1275

 226  424  307  343  370  1351  1549  1432  1468  1495  1126  1324  1207  1243  1270

 233  431  314  350  377  1358  1556  1439  1475  1502  1133  1331  1214  1250  1277

 357  393  240  411  294  1482  1518  1365  1536  1419  1257  1293  1140  1311  1194

 352  388  235  406  289  1477  1513  1360  1531  1414  1252  1288  1135  1306  1189

 359  395  242  413  296  1484  1520  1367  1538  1421  1259  1295  1142  1313  1196

 420  276  339  402  258  1545  1401  1464  1527  1383  1320  1176  1239  1302  1158

 415  271  334  397  253  1540  1396  1459  1522  1378  1315  1171  1234  1297  1153

 422  278  341  404  260  1547  1403  1466  1529  1385  1322  1178  1241  1304  1160

 384  267  438  285  321  1509  1392  1563  1410  1446  1284  1167  1338  1185  1221

 379  262  433  280  316  1504  1387  1558  1405  1441  1279  1162  1333  1180  1216

 386  269  440  287  323  1511  1394  1565  1412  1448  1286  1169  1340  1187  1223

 303  330  366  249  447  1428  1455  1491  1374  1572  1203  1230  1266  1149  1347

 298  325  361  244  442  1423  1450  1486  1369  1567  1198  1225  1261  1144  1342

 305  332  368  251  449  1430  1457  1493  1376  1574  1205  1232  1268  1151  1349

 1806  2004  1887  1923  1950  906  1104  987  1023  1050  6  204  87  123  150

 1801  1999  1882  1918  1945  901  1099  982  1018  1045  1  199  82  118  145

 1808  2006  1889  1925  1952  908  1106  989  1025  1052  8  206  89  125  152

 1932  1968  1815  1986  1869  1032  1068  915  1086  969  132  168  15  186  69

 1927  1963  1810  1981  1864  1027  1063  910  1081  964  127  163  10  181  64

 1934  1970  1817  1988  1871  1034  1070  917  1088  971  134  170  17  188  71

 1995  1851  1914  1977  1833  1095  951  1014  1077  933  195  51  114  177  33

 1990  1846  1909  1972  1828  1090  946  1009  1072  928  190  46  109  172  28

 1997  1853  1916  1979  1835  1097  953  1016  1079  935  197  53  116  179  35

 1959  1842  2013  1860  1896  1059  942  1113  960  996  159  42  213  60  96

 1954  1837  2008  1855  1891  1054  937  1108  955  991  154  37  208  55  91

 1961  1844  2015  1862  1898  1061  944  1115  962  998  161  44  215  62  98

 1878  1905  1941  1824  2022  978  1005  1041  924  1122  78  105  141  24  222

 1873  1900  1936  1819  2017  973  1000  1036  919  1117  73  100  136  19  217

 1880  1907  1943  1826  2024  980  1007  1043  926  1124  80  107  143  26  224

 681  879  762  798  825  456  654  537  573  600  1581  1779  1662  1698  1725

 676  874  757  793  820  451  649  532  568  595  1576  1774  1657  1693  1720

 683  881  764  800  827  458  656  539  575  602  1583  1781  1664  1700  1727

 807  843  690  861  744  582  618  465  636  519  1707  1743  1590  1761  1644

 802  838  685  856  739  577  613  460  631  514  1702  1738  1585  1756  1639

 809  845  692  863  746  584  620  467  638  521  1709  1745  1592  1763  1646

 870  726  789  852  708  645  501  564  627  483  1770  1626  1689  1752  1608

 865  721  784  847  703  640  496  559  622  478  1765  1621  1684  1747  1603

 872  728  791  854  710  647  503  566  629  485  1772  1628  1691  1754  1610

 834  717  888  735  771  609  492  663  510  546  1734  1617  1788  1635  1671

 829  712  883  730  766  604  487  658  505  541  1729  1612  1783  1630  1666

 836  719  890  737  773  611  494  665  512  548  1736  1619  1790  1637  1673

 753  780  816  699  897  528  555  591  474  672  1653  1680  1716  1599  1797

 748  775  811  694  892  523  550  586  469  667  1648  1675  1711  1594  1792

 755  782  818  701  899  530  557  593  476  674  1655  1682  1718  1601  1799

 

Вот такой ассоциативный квадратик, но, к сожалению, не пандиагональный.

 

И теперь у меня возникает гипотеза, что следующий пандиагональный квадрат, который мне удастся построить этим методом, будет квадрат 81-ого порядка. Улавливаете, квадраты каких порядков строятся? Нет, конечно, я не утверждаю, что пандиагональные квадраты 15-ого, 45-ого порядков нельзя построить вообще! Просто они не строятся рассматриваемым здесь методом перестановки столбцов (или строк). Но что же мне теперь делать? Жутко интересно, будет ли квадрат 81-ого порядка, построенный таким методом, пандиагональным (а заодно и идеальным). Так значит, надо строить квадрат 81-ого порядка. Ух! Но если я буду его строить, то, конечно, надо написать программу. Ассоциативный квадрат я буду строить на базе магического квадрата третьего порядка, а в качестве основного возьму ассоциативный квадрат 27-ого порядка, который воспроизведён чуть выше (81=3*27). А затем в построенном ассоциативном квадрате 81-ого порядка переставлю столбцы по такой же схеме, как я это делала в квадратах 9-ого и 27-ого порядков. Можно построить ассоциативный квадрат 81-ого порядка на базе ассоциативного квадрата 9-ого порядка и этот же квадрат взять в качестве основного (81=9*9). Но первый способ легче запрограммировать (программа получится короче).

 

Попробую реализовать эту идею на досуге. Приглашаю читателей тоже построить идеальный квадрат 81-ого порядка изложенным здесь методом. Уверена на 99%, что квадрат получится! Оставляю 1% на ошибочность гипотезы.

 

                                                                  ***

 

18 ноября 2007 г.

 

Откладывать задачу в дальний ящик не стала. Уж очень интересно было построить идеальный квадрат 81-ого порядка. Написала быстренько программу для построения такого квадрата. Метод, заложенный в программу, описан выше. Заложила в программу проверку сумм по обеим главным диагоналям и по трём разломанным диагоналям каждого направления. Всё получилось!

 

Итак, перед вами идеальный квадрат 81-ого порядка, полученный из ассоциативного квадрата простой перестановкой столбцов. Ассоциативный квадрат 81-ого порядка построен на базе магического квадрата третьего порядка (за основной взят ассоциативный квадрат 27-ого порядка, который тоже построен на базе магического квадрата третьего порядка, за основной при этом взят ассоциативный квадрат 9-ого порядка; а последний также построен на базе магического квадрата третьего порядка). Таким образом, для всех построений надо знать всего один магический квадратик – третьего порядка!

 

Магическая константа квадрата 81-ого порядка равна 265761. В идеальном квадрате сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна 81² + 1 = 6562; в центральной ячейке стоит число, равное половине этой суммы.

 

Идеальный квадрат 81-ого порядка

 

Часть 1

 

 821  866  857  1226  1271  1262  1145  1190  1181  4466  4511  4502  4871  4916  4907  4790  4835  4826  3737  3782  3773  4142  4187  4178  4061  4106  4097

 828  873  864  1233  1278  1269  1152  1197  1188  4473  4518  4509  4878  4923  4914  4797  4842  4833  3744  3789  3780  4149  4194  4185  4068  4113  4104

 823  868  859  1228  1273  1264  1147  1192  1183  4468  4513  4504  4873  4918  4909  4792  4837  4828  3739  3784  3775  4144  4189  4180  4063  4108  4099

 884  848  812  1289  1253  1217  1208  1172  1136  4529  4493  4457  4934  4898  4862  4853  4817  4781  3800  3764  3728  4205  4169  4133  4124  4088  4052

 891  855  819  1296  1260  1224  1215  1179  1143  4536  4500  4464  4941  4905  4869  4860  4824  4788  3807  3771  3735  4212  4176  4140  4131  4095  4059

 886  850  814  1291  1255  1219  1210  1174  1138  4531  4495  4459  4936  4900  4864  4855  4819  4783  3802  3766  3730  4207  4171  4135  4126  4090  4054

 839  830  875  1244  1235  1280  1163  1154  1199  4484  4475  4520  4889  4880  4925  4808  4799  4844  3755  3746  3791  4160  4151  4196  4079  4070  4115

 846  837  882  1251  1242  1287  1170  1161  1206  4491  4482  4527  4896  4887  4932  4815  4806  4851  3762  3753  3798  4167  4158  4203  4086  4077  4122

 841  832  877  1246  1237  1282  1165  1156  1201  4486  4477  4522  4891  4882  4927  4810  4801  4846  3757  3748  3793  4162  4153  4198  4081  4072  4117

 1388  1433  1424  1064  1109  1100  740  785  776  5033  5078  5069  4709  4754  4745  4385  4430  4421  4304  4349  4340  3980  4025  4016  3656  3701  3692

 1395  1440  1431  1071  1116  1107  747  792  783  5040  5085  5076  4716  4761  4752  4392  4437  4428  4311  4356  4347  3987  4032  4023  3663  3708  3699

 1390  1435  1426  1066  1111  1102  742  787  778  5035  5080  5071  4711  4756  4747  4387  4432  4423  4306  4351  4342  3982  4027  4018  3658  3703  3694

 1451  1415  1379  1127  1091  1055  803  767  731  5096  5060  5024  4772  4736  4700  4448  4412  4376  4367  4331  4295  4043  4007  3971  3719  3683  3647

 1458  1422  1386  1134  1098  1062  810  774  738  5103  5067  5031  4779  4743  4707  4455  4419  4383  4374  4338  4302  4050  4014  3978  3726  3690  3654

 1453  1417  1381  1129  1093  1057  805  769  733  5098  5062  5026  4774  4738  4702  4450  4414  4378  4369  4333  4297  4045  4009  3973  3721  3685  3649

 1406  1397  1442  1082  1073  1118  758  749  794  5051  5042  5087  4727  4718  4763  4403  4394  4439  4322  4313  4358  3998  3989  4034  3674  3665  3710

 1413  1404  1449  1089  1080  1125  765  756  801  5058  5049  5094  4734  4725  4770  4410  4401  4446  4329  4320  4365  4005  3996  4041  3681  3672  3717

 1408  1399  1444  1084  1075  1120  760  751  796  5053  5044  5089  4729  4720  4765  4405  4396  4441  4324  4315  4360  4000  3991  4036  3676  3667  3712

 983  1028  1019  902  947  938  1307  1352  1343  4628  4673  4664  4547  4592  4583  4952  4997  4988  3899  3944  3935  3818  3863  3854  4223  4268  4259

 990  1035  1026  909  954  945  1314  1359  1350  4635  4680  4671  4554  4599  4590  4959  5004  4995  3906  3951  3942  3825  3870  3861  4230  4275  4266

 985  1030  1021  904  949  940  1309  1354  1345  4630  4675  4666  4549  4594  4585  4954  4999  4990  3901  3946  3937  3820  3865  3856  4225  4270  4261

 1046  1010  974  965  929  893  1370  1334  1298  4691  4655  4619  4610  4574  4538  5015  4979  4943  3962  3926  3890  3881  3845  3809  4286  4250  4214

 1053  1017  981  972  936  900  1377  1341  1305  4698  4662  4626  4617  4581  4545  5022  4986  4950  3969  3933  3897  3888  3852  3816  4293  4257  4221

 1048  1012  976  967  931  895  1372  1336  1300  4693  4657  4621  4612  4576  4540  5017  4981  4945  3964  3928  3892  3883  3847  3811  4288  4252  4216

 1001  992  1037  920  911  956  1325  1316  1361  4646  4637  4682  4565  4556  4601  4970  4961  5006  3917  3908  3953  3836  3827  3872  4241  4232  4277

 1008  999  1044  927  918  963  1332  1323  1368  4653  4644  4689  4572  4563  4608  4977  4968  5013  3924  3915  3960  3843  3834  3879  4248  4239  4284

 1003  994  1039  922  913  958  1327  1318  1363  4648  4639  4684  4567  4558  4603  4972  4963  5008  3919  3910  3955  3838  3829  3874  4243  4234  4279

 5924  5969  5960  6329  6374  6365  6248  6293  6284  3008  3053  3044  3413  3458  3449  3332  3377  3368  92  137  128  497  542  533  416  461  452

 5931  5976  5967  6336  6381  6372  6255  6300  6291  3015  3060  3051  3420  3465  3456  3339  3384  3375  99  144  135  504  549  540  423  468  459

 5926  5971  5962  6331  6376  6367  6250  6295  6286  3010  3055  3046  3415  3460  3451  3334  3379  3370  94  139  130  499  544  535  418  463  454

 5987  5951  5915  6392  6356  6320  6311  6275  6239  3071  3035  2999  3476  3440  3404  3395  3359  3323  155  119  83  560  524  488  479  443  407

 5994  5958  5922  6399  6363  6327  6318  6282  6246  3078  3042  3006  3483  3447  3411  3402  3366  3330  162  126  90  567  531  495  486  450  414

 5989  5953  5917  6394  6358  6322  6313  6277  6241  3073  3037  3001  3478  3442  3406  3397  3361  3325  157  121  85  562  526  490  481  445  409

 5942  5933  5978  6347  6338  6383  6266  6257  6302  3026  3017  3062  3431  3422  3467  3350  3341  3386  110  101  146  515  506  551  434  425  470

 5949  5940  5985  6354  6345  6390  6273  6264  6309  3033  3024  3069  3438  3429  3474  3357  3348  3393  117  108  153  522  513  558  441  432  477

 5944  5935  5980  6349  6340  6385  6268  6259  6304  3028  3019  3064  3433  3424  3469  3352  3343  3388  112  103  148  517  508  553  436  427  472

 6491  6536  6527  6167  6212  6203  5843  5888  5879  3575  3620  3611  3251  3296  3287  2927  2972  2963  659  704  695  335  380  371  11  56  47

 6498  6543  6534  6174  6219  6210  5850  5895  5886  3582  3627  3618  3258  3303  3294  2934  2979  2970  666  711  702  342  387  378  18  63  54

 6493  6538  6529  6169  6214  6205  5845  5890  5881  3577  3622  3613  3253  3298  3289  2929  2974  2965  661  706  697  337  382  373  13  58  49

 6554  6518  6482  6230  6194  6158  5906  5870  5834  3638  3602  3566  3314  3278  3242  2990  2954  2918  722  686  650  398  362  326  74  38  2

 6561  6525  6489  6237  6201  6165  5913  5877  5841  3645  3609  3573  3321  3285  3249  2997  2961  2925  729  693  657  405  369  333  81  45  9

 6556  6520  6484  6232  6196  6160  5908  5872  5836  3640  3604  3568  3316  3280  3244  2992  2956  2920  724  688  652  400  364  328  76  40  4

 6509  6500  6545  6185  6176  6221  5861  5852  5897  3593  3584  3629  3269  3260  3305  2945  2936  2981  677  668  713  353  344  389  29  20  65

 6516  6507  6552  6192  6183  6228  5868  5859  5904  3600  3591  3636  3276  3267  3312  2952  2943  2988  684  675  720  360  351  396  36  27  72

 6511  6502  6547  6187  6178  6223  5863  5854  5899  3595  3586  3631  3271  3262  3307  2947  2938  2983  679  670  715  355  346  391  31  22  67

 6086  6131  6122  6005  6050  6041  6410  6455  6446  3170  3215  3206  3089  3134  3125  3494  3539  3530  254  299  290  173  218  209  578  623  614

 6093  6138  6129  6012  6057  6048  6417  6462  6453  3177  3222  3213  3096  3141  3132  3501  3546  3537  261  306  297  180  225  216  585  630  621

 6088  6133  6124  6007  6052  6043  6412  6457  6448  3172  3217  3208  3091  3136  3127  3496  3541  3532  256  301  292  175  220  211  580  625  616

 6149  6113  6077  6068  6032  5996  6473  6437  6401  3233  3197  3161  3152  3116  3080  3557  3521  3485  317  281  245  236  200  164  641  605  569

 6156  6120  6084  6075  6039  6003  6480  6444  6408  3240  3204  3168  3159  3123  3087  3564  3528  3492  324  288  252  243  207  171  648  612  576

 6151  6115  6079  6070  6034  5998  6475  6439  6403  3235  3199  3163  3154  3118  3082  3559  3523  3487  319  283  247  238  202  166  643  607  571

 6104  6095  6140  6023  6014  6059  6428  6419  6464  3188  3179  3224  3107  3098  3143  3512  3503  3548  272  263  308  191  182  227  596  587  632

 6111  6102  6147  6030  6021  6066  6435  6426  6471  3195  3186  3231  3114  3105  3150  3519  3510  3555  279  270  315  198  189  234  603  594  639

 6106  6097  6142  6025  6016  6061  6430  6421  6466  3190  3181  3226  3109  3100  3145  3514  3505  3550  274  265  310  193  184  229  598  589  634

 2279  2324  2315  2684  2729  2720  2603  2648  2639  1550  1595  1586  1955  2000  1991  1874  1919  1910  5195  5240  5231  5600  5645  5636  5519  5564  5555

 2286  2331  2322  2691  2736  2727  2610  2655  2646  1557  1602  1593  1962  2007  1998  1881  1926  1917  5202  5247  5238  5607  5652  5643  5526  5571  5562

 2281  2326  2317  2686  2731  2722  2605  2650  2641  1552  1597  1588  1957  2002  1993  1876  1921  1912  5197  5242  5233  5602  5647  5638  5521  5566  5557

 2342  2306  2270  2747  2711  2675  2666  2630  2594  1613  1577  1541  2018  1982  1946  1937  1901  1865  5258  5222  5186  5663  5627  5591  5582  5546  5510

 2349  2313  2277  2754  2718  2682  2673  2637  2601  1620  1584  1548  2025  1989  1953  1944  1908  1872  5265  5229  5193  5670  5634  5598  5589  5553  5517

 2344  2308  2272  2749  2713  2677  2668  2632  2596  1615  1579  1543  2020  1984  1948  1939  1903  1867  5260  5224  5188  5665  5629  5593  5584  5548  5512

 2297  2288  2333  2702  2693  2738  2621  2612  2657  1568  1559  1604  1973  1964  2009  1892  1883  1928  5213  5204  5249  5618  5609  5654  5537  5528  5573

 2304  2295  2340  2709  2700  2745  2628  2619  2664  1575  1566  1611  1980  1971  2016  1899  1890  1935  5220  5211  5256  5625  5616  5661  5544  5535  5580

 2299  2290  2335  2704  2695  2740  2623  2614  2659  1570  1561  1606  1975  1966  2011  1894  1885  1930  5215  5206  5251  5620  5611  5656  5539  5530  5575

 2846  2891  2882  2522  2567  2558  2198  2243  2234  2117  2162  2153  1793  1838  1829  1469  1514  1505  5762  5807  5798  5438  5483  5474  5114  5159  5150

 2853  2898  2889  2529  2574  2565  2205  2250  2241  2124  2169  2160  1800  1845  1836  1476  1521  1512  5769  5814  5805  5445  5490  5481  5121  5166  5157

 2848  2893  2884  2524  2569  2560  2200  2245  2236  2119  2164  2155  1795  1840  1831  1471  1516  1507  5764  5809  5800  5440  5485  5476  5116  5161  5152

 2909  2873  2837  2585  2549  2513  2261  2225  2189  2180  2144  2108  1856  1820  1784  1532  1496  1460  5825  5789  5753  5501  5465  5429  5177  5141  5105

 2916  2880  2844  2592  2556  2520  2268  2232  2196  2187  2151  2115  1863  1827  1791  1539  1503  1467  5832  5796  5760  5508  5472  5436  5184  5148  5112

 2911  2875  2839  2587  2551  2515  2263  2227  2191  2182  2146  2110  1858  1822  1786  1534  1498  1462  5827  5791  5755  5503  5467  5431  5179  5143  5107

 2864  2855  2900  2540  2531  2576  2216  2207  2252  2135  2126  2171  1811  1802  1847  1487  1478  1523  5780  5771  5816  5456  5447  5492  5132  5123  5168

 2871  2862  2907  2547  2538  2583  2223  2214  2259  2142  2133  2178  1818  1809  1854  1494  1485  1530  5787  5778  5823  5463  5454  5499  5139  5130  5175

 2866  2857  2902  2542  2533  2578  2218  2209  2254  2137  2128  2173  1813  1804  1849  1489  1480  1525  5782  5773  5818  5458  5449  5494  5134  5125  5170

 2441  2486  2477  2360  2405  2396  2765  2810  2801  1712  1757  1748  1631  1676  1667  2036  2081  2072  5357  5402  5393  5276  5321  5312  5681  5726  5717

 2448  2493  2484  2367  2412  2403  2772  2817  2808  1719  1764  1755  1638  1683  1674  2043  2088  2079  5364  5409  5400  5283  5328  5319  5688  5733  5724

 2443  2488  2479  2362  2407  2398  2767  2812  2803  1714  1759  1750  1633  1678  1669  2038  2083  2074  5359  5404  5395  5278  5323  5314  5683  5728  5719

 2504  2468  2432  2423  2387  2351  2828  2792  2756  1775  1739  1703  1694  1658  1622  2099  2063  2027  5420  5384  5348  5339  5303  5267  5744  5708  5672

 2511  2475  2439  2430  2394  2358  2835  2799  2763  1782  1746  1710  1701  1665  1629  2106  2070  2034  5427  5391  5355  5346  5310  5274  5751  5715  5679

 2506  2470  2434  2425  2389  2353  2830  2794  2758  1777  1741  1705  1696  1660  1624  2101  2065  2029  5422  5386  5350  5341  5305  5269  5746  5710  5674

 2459  2450  2495  2378  2369  2414  2783  2774  2819  1730  1721  1766  1649  1640  1685  2054  2045  2090  5375  5366  5411  5294  5285  5330  5699  5690  5735

 2466  2457  2502  2385  2376  2421  2790  2781  2826  1737  1728  1773  1656  1647  1692  2061  2052  2097  5382  5373  5418  5301  5292  5337  5706  5697  5742

 2461  2452  2497  2380  2371  2416  2785  2776  2821  1732  1723  1768  1651  1642  1687  2056  2047  2092  5377  5368  5413  5296  5287  5332  5701  5692  5737

 

Часть 2

 

 826  871  862  1231  1276  1267  1150  1195  1186  4471  4516  4507  4876  4921  4912  4795  4840  4831  3742  3787  3778  4147  4192  4183  4066  4111  4102

 824  869  860  1229  1274  1265  1148  1193  1184  4469  4514  4505  4874  4919  4910  4793  4838  4829  3740  3785  3776  4145  4190  4181  4064  4109  4100

 822  867  858  1227  1272  1263  1146  1191  1182  4467  4512  4503  4872  4917  4908  4791  4836  4827  3738  3783  3774  4143  4188  4179  4062  4107  4098

 889  853  817  1294  1258  1222  1213  1177  1141  4534  4498  4462  4939  4903  4867  4858  4822  4786  3805  3769  3733  4210  4174  4138  4129  4093  4057

 887  851  815  1292  1256  1220  1211  1175  1139  4532  4496  4460  4937  4901  4865  4856  4820  4784  3803  3767  3731  4208  4172  4136  4127  4091  4055

 885  849  813  1290  1254  1218  1209  1173  1137  4530  4494  4458  4935  4899  4863  4854  4818  4782  3801  3765  3729  4206  4170  4134  4125  4089  4053

 844  835  880  1249  1240  1285  1168  1159  1204  4489  4480  4525  4894  4885  4930  4813  4804  4849  3760  3751  3796  4165  4156  4201  4084  4075  4120

 842  833  878  1247  1238  1283  1166  1157  1202  4487  4478  4523  4892  4883  4928  4811  4802  4847  3758  3749  3794  4163  4154  4199  4082  4073  4118

 840  831  876  1245  1236  1281  1164  1155  1200  4485  4476  4521  4890  4881  4926  4809  4800  4845  3756  3747  3792  4161  4152  4197  4080  4071  4116

 1393  1438  1429  1069  1114  1105  745  790  781  5038  5083  5074  4714  4759  4750  4390  4435  4426  4309  4354  4345  3985  4030  4021  3661  3706  3697

 1391  1436  1427  1067  1112  1103  743  788  779  5036  5081  5072  4712  4757  4748  4388  4433  4424  4307  4352  4343  3983  4028  4019  3659  3704  3695

 1389  1434  1425  1065  1110  1101  741  786  777  5034  5079  5070  4710  4755  4746  4386  4431  4422  4305  4350  4341  3981  4026  4017  3657  3702  3693

 1456  1420  1384  1132  1096  1060  808  772  736  5101  5065  5029  4777  4741  4705  4453  4417  4381  4372  4336  4300  4048  4012  3976  3724  3688  3652

 1454  1418  1382  1130  1094  1058  806  770  734  5099  5063  5027  4775  4739  4703  4451  4415  4379  4370  4334  4298  4046  4010  3974  3722  3686  3650

 1452  1416  1380  1128  1092  1056  804  768  732  5097  5061  5025  4773  4737  4701  4449  4413  4377  4368  4332  4296  4044  4008  3972  3720  3684  3648

 1411  1402  1447  1087  1078  1123  763  754  799  5056  5047  5092  4732  4723  4768  4408  4399  4444  4327  4318  4363  4003  3994  4039  3679  3670  3715

 1409  1400  1445  1085  1076  1121  761  752  797  5054  5045  5090  4730  4721  4766  4406  4397  4442  4325  4316  4361  4001  3992  4037  3677  3668  3713

 1407  1398  1443  1083  1074  1119  759  750  795  5052  5043  5088  4728  4719  4764  4404  4395  4440  4323  4314  4359  3999  3990  4035  3675  3666  3711

 988  1033  1024  907  952  943  1312  1357  1348  4633  4678  4669  4552  4597  4588  4957  5002  4993  3904  3949  3940  3823  3868  3859  4228  4273  4264

 986  1031  1022  905  950  941  1310  1355  1346  4631  4676  4667  4550  4595  4586  4955  5000  4991  3902  3947  3938  3821  3866  3857  4226  4271  4262

 984  1029  1020  903  948  939  1308  1353  1344  4629  4674  4665  4548  4593  4584  4953  4998  4989  3900  3945  3936  3819  3864  3855  4224  4269  4260

 1051  1015  979  970  934  898  1375  1339  1303  4696  4660  4624  4615  4579  4543  5020  4984  4948  3967  3931  3895  3886  3850  3814  4291  4255  4219

 1049  1013  977  968  932  896  1373  1337  1301  4694  4658  4622  4613  4577  4541  5018  4982  4946  3965  3929  3893  3884  3848  3812  4289  4253  4217

 1047  1011  975  966  930  894  1371  1335  1299  4692  4656  4620  4611  4575  4539  5016  4980  4944  3963  3927  3891  3882  3846  3810  4287  4251  4215

 1006  997  1042  925  916  961  1330  1321  1366  4651  4642  4687  4570  4561  4606  4975  4966  5011  3922  3913  3958  3841  3832  3877  4246  4237  4282

 1004  995  1040  923  914  959  1328  1319  1364  4649  4640  4685  4568  4559  4604  4973  4964  5009  3920  3911  3956  3839  3830  3875  4244  4235  4280

 1002  993  1038  921  912  957  1326  1317  1362  4647  4638  4683  4566  4557  4602  4971  4962  5007  3918  3909  3954  3837  3828  3873  4242  4233  4278

 5929  5974  5965  6334  6379  6370  6253  6298  6289  3013  3058  3049  3418  3463  3454  3337  3382  3373  97  142  133  502  547  538  421  466  457

 5927  5972  5963  6332  6377  6368  6251  6296  6287  3011  3056  3047  3416  3461  3452  3335  3380  3371  95  140  131  500  545  536  419  464  455

 5925  5970  5961  6330  6375  6366  6249  6294  6285  3009  3054  3045  3414  3459  3450  3333  3378  3369  93  138  129  498  543  534  417  462  453

 5992  5956  5920  6397  6361  6325  6316  6280  6244  3076  3040  3004  3481  3445  3409  3400  3364  3328  160  124  88  565  529  493  484  448  412

 5990  5954  5918  6395  6359  6323  6314  6278  6242  3074  3038  3002  3479  3443  3407  3398  3362  3326  158  122  86  563  527  491  482  446  410

 5988  5952  5916  6393  6357  6321  6312  6276  6240  3072  3036  3000  3477  3441  3405  3396  3360  3324  156  120  84  561  525  489  480  444  408

 5947  5938  5983  6352  6343  6388  6271  6262  6307  3031  3022  3067  3436  3427  3472  3355  3346  3391  115  106  151  520  511  556  439  430  475

 5945  5936  5981  6350  6341  6386  6269  6260  6305  3029  3020  3065  3434  3425  3470  3353  3344  3389  113  104  149  518  509  554  437  428  473

 5943  5934  5979  6348  6339  6384  6267  6258  6303  3027  3018  3063  3432  3423  3468  3351  3342  3387  111  102  147  516  507  552  435  426  471

 6496  6541  6532  6172  6217  6208  5848  5893  5884  3580  3625  3616  3256  3301  3292  2932  2977  2968  664  709  700  340  385  376  16  61  52

 6494  6539  6530  6170  6215  6206  5846  5891  5882  3578  3623  3614  3254  3299  3290  2930  2975  2966  662  707  698  338  383  374  14  59  50

 6492  6537  6528  6168  6213  6204  5844  5889  5880  3576  3621  3612  3252  3297  3288  2928  2973  2964  660  705  696  336  381  372  12  57  48

 6559  6523  6487  6235  6199  6163  5911  5875  5839  3643  3607  3571  3319  3283  3247  2995  2959  2923  727  691  655  403  367  331  79  43  7

 6557  6521  6485  6233  6197  6161  5909  5873  5837  3641  3605  3569  3317  3281  3245  2993  2957  2921  725  689  653  401  365  329  77  41  5

 6555  6519  6483  6231  6195  6159  5907  5871  5835  3639  3603  3567  3315  3279  3243  2991  2955  2919  723  687  651  399  363  327  75  39  3

 6514  6505  6550  6190  6181  6226  5866  5857  5902  3598  3589  3634  3274  3265  3310  2950  2941  2986  682  673  718  358  349  394  34  25  70

 6512  6503  6548  6188  6179  6224  5864  5855  5900  3596  3587  3632  3272  3263  3308  2948  2939  2984  680  671  716  356  347  392  32  23  68

 6510  6501  6546  6186  6177  6222  5862  5853  5898  3594  3585  3630  3270  3261  3306  2946  2937  2982  678  669  714  354  345  390  30  21  66

 6091  6136  6127  6010  6055  6046  6415  6460  6451  3175  3220  3211  3094  3139  3130  3499  3544  3535  259  304  295  178  223  214  583  628  619

 6089  6134  6125  6008  6053  6044  6413  6458  6449  3173  3218  3209  3092  3137  3128  3497  3542  3533  257  302  293  176  221  212  581  626  617

 6087  6132  6123  6006  6051  6042  6411  6456  6447  3171  3216  3207  3090  3135  3126  3495  3540  3531  255  300  291  174  219  210  579  624  615

 6154  6118  6082  6073  6037  6001  6478  6442  6406  3238  3202  3166  3157  3121  3085  3562  3526  3490  322  286  250  241  205  169  646  610  574

 6152  6116  6080  6071  6035  5999  6476  6440  6404  3236  3200  3164  3155  3119  3083  3560  3524  3488  320  284  248  239  203  167  644  608  572

 6150  6114  6078  6069  6033  5997  6474  6438  6402  3234  3198  3162  3153  3117  3081  3558  3522  3486  318  282  246  237  201  165  642  606  570

 6109  6100  6145  6028  6019  6064  6433  6424  6469  3193  3184  3229  3112  3103  3148  3517  3508  3553  277  268  313  196  187  232  601  592  637

 6107  6098  6143  6026  6017  6062  6431  6422  6467  3191  3182  3227  3110  3101  3146  3515  3506  3551  275  266  311  194  185  230  599  590  635

 6105  6096  6141  6024  6015  6060  6429  6420  6465  3189  3180  3225  3108  3099  3144  3513  3504  3549  273  264  309  192  183  228  597  588  633

 2284  2329  2320  2689  2734  2725  2608  2653  2644  1555  1600  1591  1960  2005  1996  1879  1924  1915  5200  5245  5236  5605  5650  5641  5524  5569  5560

 2282  2327  2318  2687  2732  2723  2606  2651  2642  1553  1598  1589  1958  2003  1994  1877  1922  1913  5198  5243  5234  5603  5648  5639  5522  5567  5558

 2280  2325  2316  2685  2730  2721  2604  2649  2640  1551  1596  1587  1956  2001  1992  1875  1920  1911  5196  5241  5232  5601  5646  5637  5520  5565  5556

 2347  2311  2275  2752  2716  2680  2671  2635  2599  1618  1582  1546  2023  1987  1951  1942  1906  1870  5263  5227  5191  5668  5632  5596  5587  5551  5515

 2345  2309  2273  2750  2714  2678  2669  2633  2597  1616  1580  1544  2021  1985  1949  1940  1904  1868  5261  5225  5189  5666  5630  5594  5585  5549  5513

 2343  2307  2271  2748  2712  2676  2667  2631  2595  1614  1578  1542  2019  1983  1947  1938  1902  1866  5259  5223  5187  5664  5628  5592  5583  5547  5511

 2302  2293  2338  2707  2698  2743  2626  2617  2662  1573  1564  1609  1978  1969  2014  1897  1888  1933  5218  5209  5254  5623  5614  5659  5542  5533  5578

 2300  2291  2336  2705  2696  2741  2624  2615  2660  1571  1562  1607  1976  1967  2012  1895  1886  1931  5216  5207  5252  5621  5612  5657  5540  5531  5576

 2298  2289  2334  2703  2694  2739  2622  2613  2658  1569  1560  1605  1974  1965  2010  1893  1884  1929  5214  5205  5250  5619  5610  5655  5538  5529  5574

 2851  2896  2887  2527  2572  2563  2203  2248  2239  2122  2167  2158  1798  1843  1834  1474  1519  1510  5767  5812  5803  5443  5488  5479  5119  5164  5155

 2849  2894  2885  2525  2570  2561  2201  2246  2237  2120  2165  2156  1796  1841  1832  1472  1517  1508  5765  5810  5801  5441  5486  5477  5117  5162  5153

 2847  2892  2883  2523  2568  2559  2199  2244  2235  2118  2163  2154  1794  1839  1830  1470  1515  1506  5763  5808  5799  5439  5484  5475  5115  5160  5151

 2914  2878  2842  2590  2554  2518  2266  2230  2194  2185  2149  2113  1861  1825  1789  1537  1501  1465  5830  5794  5758  5506  5470  5434  5182  5146  5110

 2912  2876  2840  2588  2552  2516  2264  2228  2192  2183  2147  2111  1859  1823  1787  1535  1499  1463  5828  5792  5756  5504  5468  5432  5180  5144  5108

 2910  2874  2838  2586  2550  2514  2262  2226  2190  2181  2145  2109  1857  1821  1785  1533  1497  1461  5826  5790  5754  5502  5466  5430  5178  5142  5106

 2869  2860  2905  2545  2536  2581  2221  2212  2257  2140  2131  2176  1816  1807  1852  1492  1483  1528  5785  5776  5821  5461  5452  5497  5137  5128  5173

 2867  2858  2903  2543  2534  2579  2219  2210  2255  2138  2129  2174  1814  1805  1850  1490  1481  1526  5783  5774  5819  5459  5450  5495  5135  5126  5171

 2865  2856  2901  2541  2532  2577  2217  2208  2253  2136  2127  2172  1812  1803  1848  1488  1479  1524  5781  5772  5817  5457  5448  5493  5133  5124  5169

 2446  2491  2482  2365  2410  2401  2770  2815  2806  1717  1762  1753  1636  1681  1672  2041  2086  2077  5362  5407  5398  5281  5326  5317  5686  5731  5722

 2444  2489  2480  2363  2408  2399  2768  2813  2804  1715  1760  1751  1634  1679  1670  2039  2084  2075  5360  5405  5396  5279  5324  5315  5684  5729  5720

 2442  2487  2478  2361  2406  2397  2766  2811  2802  1713  1758  1749  1632  1677  1668  2037  2082  2073  5358  5403  5394  5277  5322  5313  5682  5727  5718

 2509  2473  2437  2428  2392  2356  2833  2797  2761  1780  1744  1708  1699  1663  1627  2104  2068  2032  5425  5389  5353  5344  5308  5272  5749  5713  5677

 2507  2471  2435  2426  2390  2354  2831  2795  2759  1778  1742  1706  1697  1661  1625  2102  2066  2030  5423  5387  5351  5342  5306  5270  5747  5711  5675

 2505  2469  2433  2424  2388  2352  2829  2793  2757  1776  1740  1704  1695  1659  1623  2100  2064  2028  5421  5385  5349  5340  5304  5268  5745  5709  5673

 2464  2455  2500  2383  2374  2419  2788  2779  2824  1735  1726  1771  1654  1645  1690  2059  2050  2095  5380  5371  5416  5299  5290  5335  5704  5695  5740

 2462  2453  2498  2381  2372  2417  2786  2777  2822  1733  1724  1769  1652  1643  1688  2057  2048  2093  5378  5369  5414  5297  5288  5333  5702  5693  5738

 2460  2451  2496  2379  2370  2415  2784  2775  2820  1731  1722  1767  1650  1641  1686  2055  2046  2091  5376  5367  5412  5295  5286  5331  5700  5691  5736

 

Часть 3

 

 825  870  861  1230  1275  1266  1149  1194  1185  4470  4515  4506  4875  4920  4911  4794  4839  4830  3741  3786  3777  4146  4191  4182  4065  4110  4101

 820  865  856  1225  1270  1261  1144  1189  1180  4465  4510  4501  4870  4915  4906  4789  4834  4825  3736  3781  3772  4141  4186  4177  4060  4105  4096

 827  872  863  1232  1277  1268  1151  1196  1187  4472  4517  4508  4877  4922  4913  4796  4841  4832  3743  3788  3779  4148  4193  4184  4067  4112  4103

 888  852  816  1293  1257  1221  1212  1176  1140  4533  4497  4461  4938  4902  4866  4857  4821  4785  3804  3768  3732  4209  4173  4137  4128  4092  4056

 883  847  811  1288  1252  1216  1207  1171  1135  4528  4492  4456  4933  4897  4861  4852  4816  4780  3799  3763  3727  4204  4168  4132  4123  4087  4051

 890  854  818  1295  1259  1223  1214  1178  1142  4535  4499  4463  4940  4904  4868  4859  4823  4787  3806  3770  3734  4211  4175  4139  4130  4094  4058

 843  834  879  1248  1239  1284  1167  1158  1203  4488  4479  4524  4893  4884  4929  4812  4803  4848  3759  3750  3795  4164  4155  4200  4083  4074  4119

 838  829  874  1243  1234  1279  1162  1153  1198  4483  4474  4519  4888  4879  4924  4807  4798  4843  3754  3745  3790  4159  4150  4195  4078  4069  4114

 845  836  881  1250  1241  1286  1169  1160  1205  4490  4481  4526  4895  4886  4931  4814  4805  4850  3761  3752  3797  4166  4157  4202  4085  4076  4121

 1392  1437  1428  1068  1113  1104  744  789  780  5037  5082  5073  4713  4758  4749  4389  4434  4425  4308  4353  4344  3984  4029  4020  3660  3705  3696

 1387  1432  1423  1063  1108  1099  739  784  775  5032  5077  5068  4708  4753  4744  4384  4429  4420  4303  4348  4339  3979  4024  4015  3655  3700  3691

 1394  1439  1430  1070  1115  1106  746  791  782  5039  5084  5075  4715  4760  4751  4391  4436  4427  4310  4355  4346  3986  4031  4022  3662  3707  3698

 1455  1419  1383  1131  1095  1059  807  771  735  5100  5064  5028  4776  4740  4704  4452  4416  4380  4371  4335  4299  4047  4011  3975  3723  3687  3651

 1450  1414  1378  1126  1090  1054  802  766  730  5095  5059  5023  4771  4735  4699  4447  4411  4375  4366  4330  4294  4042  4006  3970  3718  3682  3646

 1457  1421  1385  1133  1097  1061  809  773  737  5102  5066  5030  4778  4742  4706  4454  4418  4382  4373  4337  4301  4049  4013  3977  3725  3689  3653

 1410  1401  1446  1086  1077  1122  762  753  798  5055  5046  5091  4731  4722  4767  4407  4398  4443  4326  4317  4362  4002  3993  4038  3678  3669  3714

 1405  1396  1441  1081  1072  1117  757  748  793  5050  5041  5086  4726  4717  4762  4402  4393  4438  4321  4312  4357  3997  3988  4033  3673  3664  3709

 1412  1403  1448  1088  1079  1124  764  755  800  5057  5048  5093  4733  4724  4769  4409  4400  4445  4328  4319  4364  4004  3995  4040  3680  3671  3716

 987  1032  1023  906  951  942  1311  1356  1347  4632  4677  4668  4551  4596  4587  4956  5001  4992  3903  3948  3939  3822  3867  3858  4227  4272  4263

 982  1027  1018  901  946  937  1306  1351  1342  4627  4672  4663  4546  4591  4582  4951  4996  4987  3898  3943  3934  3817  3862  3853  4222  4267  4258

 989  1034  1025  908  953  944  1313  1358  1349  4634  4679  4670  4553  4598  4589  4958  5003  4994  3905  3950  3941  3824  3869  3860  4229  4274  4265

 1050  1014  978  969  933  897  1374  1338  1302  4695  4659  4623  4614  4578  4542  5019  4983  4947  3966  3930  3894  3885  3849  3813  4290  4254  4218

 1045  1009  973  964  928  892  1369  1333  1297  4690  4654  4618  4609  4573  4537  5014  4978  4942  3961  3925  3889  3880  3844  3808  4285  4249  4213

 1052  1016  980  971  935  899  1376  1340  1304  4697  4661  4625  4616  4580  4544  5021  4985  4949  3968  3932  3896  3887  3851  3815  4292  4256  4220

 1005  996  1041  924  915  960  1329  1320  1365  4650  4641  4686  4569  4560  4605  4974  4965  5010  3921  3912  3957  3840  3831  3876  4245  4236  4281

 1000  991  1036  919  910  955  1324  1315  1360  4645  4636  4681  4564  4555  4600  4969  4960  5005  3916  3907  3952  3835  3826  3871  4240  4231  4276

 1007  998  1043  926  917  962  1331  1322  1367  4652  4643  4688  4571  4562  4607  4976  4967  5012  3923  3914  3959  3842  3833  3878  4247  4238  4283

 5928  5973  5964  6333  6378  6369  6252  6297  6288  3012  3057  3048  3417  3462  3453  3336  3381  3372  96  141  132  501  546  537  420  465  456

 5923  5968  5959  6328  6373  6364  6247  6292  6283  3007  3052  3043  3412  3457  3448  3331  3376  3367  91  136  127  496  541  532  415  460  451

 5930  5975  5966  6335  6380  6371  6254  6299  6290  3014  3059  3050  3419  3464  3455  3338  3383  3374  98  143  134  503  548  539  422  467  458

 5991  5955  5919  6396  6360  6324  6315  6279  6243  3075  3039  3003  3480  3444  3408  3399  3363  3327  159  123  87  564  528  492  483  447  411

 5986  5950  5914  6391  6355  6319  6310  6274  6238  3070  3034  2998  3475  3439  3403  3394  3358  3322  154  118  82  559  523  487  478  442  406

 5993  5957  5921  6398  6362  6326  6317  6281  6245  3077  3041  3005  3482  3446  3410  3401  3365  3329  161  125  89  566  530  494  485  449  413

 5946  5937  5982  6351  6342  6387  6270  6261  6306  3030  3021  3066  3435  3426  3471  3354  3345  3390  114  105  150  519  510  555  438  429  474

 5941  5932  5977  6346  6337  6382  6265  6256  6301  3025  3016  3061  3430  3421  3466  3349  3340  3385  109  100  145  514  505  550  433  424  469

 5948  5939  5984  6353  6344  6389  6272  6263  6308  3032  3023  3068  3437  3428  3473  3356  3347  3392  116  107  152  521  512  557  440  431  476

 6495  6540  6531  6171  6216  6207  5847  5892  5883  3579  3624  3615  3255  3300  3291  2931  2976  2967  663  708  699  339  384  375  15  60  51

 6490  6535  6526  6166  6211  6202  5842  5887  5878  3574  3619  3610  3250  3295  3286  2926  2971  2962  658  703  694  334  379  370  10  55  46

 6497  6542  6533  6173  6218  6209  5849  5894  5885  3581  3626  3617  3257  3302  3293  2933  2978  2969  665  710  701  341  386  377  17  62  53

 6558  6522  6486  6234  6198  6162  5910  5874  5838  3642  3606  3570  3318  3282  3246  2994  2958  2922  726  690  654  402  366  330  78  42  6

 6553  6517  6481  6229  6193  6157  5905  5869  5833  3637  3601  3565  3313  3277  3241  2989  2953  2917  721  685  649  397  361  325  73  37  1

 6560  6524  6488  6236  6200  6164  5912  5876  5840  3644  3608  3572  3320  3284  3248  2996  2960  2924  728  692  656  404  368  332  80  44  8

 6513  6504  6549  6189  6180  6225  5865  5856  5901  3597  3588  3633  3273  3264  3309  2949  2940  2985  681  672  717  357  348  393  33  24  69

 6508  6499  6544  6184  6175  6220  5860  5851  5896  3592  3583  3628  3268  3259  3304  2944  2935  2980  676  667  712  352  343  388  28  19  64

 6515  6506  6551  6191  6182  6227  5867  5858  5903  3599  3590  3635  3275  3266  3311  2951  2942  2987  683  674  719  359  350  395  35  26  71

 6090  6135  6126  6009  6054  6045  6414  6459  6450  3174  3219  3210  3093  3138  3129  3498  3543  3534  258  303  294  177  222  213  582  627  618

 6085  6130  6121  6004  6049  6040  6409  6454  6445  3169  3214  3205  3088  3133  3124  3493  3538  3529  253  298  289  172  217  208  577  622  613

 6092  6137  6128  6011  6056  6047  6416  6461  6452  3176  3221  3212  3095  3140  3131  3500  3545  3536  260  305  296  179  224  215  584  629  620

 6153  6117  6081  6072  6036  6000  6477  6441  6405  3237  3201  3165  3156  3120  3084  3561  3525  3489  321  285  249  240  204  168  645  609  573

 6148  6112  6076  6067  6031  5995  6472  6436  6400  3232  3196  3160  3151  3115  3079  3556  3520  3484  316  280  244  235  199  163  640  604  568

 6155  6119  6083  6074  6038  6002  6479  6443  6407  3239  3203  3167  3158  3122  3086  3563  3527  3491  323  287  251  242  206  170  647  611  575

 6108  6099  6144  6027  6018  6063  6432  6423  6468  3192  3183  3228  3111  3102  3147  3516  3507  3552  276  267  312  195  186  231  600  591  636

 6103  6094  6139  6022  6013  6058  6427  6418  6463  3187  3178  3223  3106  3097  3142  3511  3502  3547  271  262  307  190  181  226  595  586  631

 6110  6101  6146  6029  6020  6065  6434  6425  6470  3194  3185  3230  3113  3104  3149  3518  3509  3554  278  269  314  197  188  233  602  593  638

 2283  2328  2319  2688  2733  2724  2607  2652  2643  1554  1599  1590  1959  2004  1995  1878  1923  1914  5199  5244  5235  5604  5649  5640  5523  5568  5559

 2278  2323  2314  2683  2728  2719  2602  2647  2638  1549  1594  1585  1954  1999  1990  1873  1918  1909  5194  5239  5230  5599  5644  5635  5518  5563  5554

 2285  2330  2321  2690  2735  2726  2609  2654  2645  1556  1601  1592  1961  2006  1997  1880  1925  1916  5201  5246  5237  5606  5651  5642  5525  5570  5561

 2346  2310  2274  2751  2715  2679  2670  2634  2598  1617  1581  1545  2022  1986  1950  1941  1905  1869  5262  5226  5190  5667  5631  5595  5586  5550  5514

 2341  2305  2269  2746  2710  2674  2665  2629  2593  1612  1576  1540  2017  1981  1945  1936  1900  1864  5257  5221  5185  5662  5626  5590  5581  5545  5509

 2348  2312  2276  2753  2717  2681  2672  2636  2600  1619  1583  1547  2024  1988  1952  1943  1907  1871  5264  5228  5192  5669  5633  5597  5588  5552  5516

 2301  2292  2337  2706  2697  2742  2625  2616  2661  1572  1563  1608  1977  1968  2013  1896  1887  1932  5217  5208  5253  5622  5613  5658  5541  5532  5577

 2296  2287  2332  2701  2692  2737  2620  2611  2656  1567  1558  1603  1972  1963  2008  1891  1882  1927  5212  5203  5248  5617  5608  5653  5536  5527  5572

 2303  2294  2339  2708  2699  2744  2627  2618  2663  1574  1565  1610  1979  1970  2015  1898  1889  1934  5219  5210  5255  5624  5615  5660  5543  5534  5579

 2850  2895  2886  2526  2571  2562  2202  2247  2238  2121  2166  2157  1797  1842  1833  1473  1518  1509  5766  5811  5802  5442  5487  5478  5118  5163  5154

 2845  2890  2881  2521  2566  2557  2197  2242  2233  2116  2161  2152  1792  1837  1828  1468  1513  1504  5761  5806  5797  5437  5482  5473  5113  5158  5149

 2852  2897  2888  2528  2573  2564  2204  2249  2240  2123  2168  2159  1799  1844  1835  1475  1520  1511  5768  5813  5804  5444  5489  5480  5120  5165  5156

 2913  2877  2841  2589  2553  2517  2265  2229  2193  2184  2148  2112  1860  1824  1788  1536  1500  1464  5829  5793  5757  5505  5469  5433  5181  5145  5109

 2908  2872  2836  2584  2548  2512  2260  2224  2188  2179  2143  2107  1855  1819  1783  1531  1495  1459  5824  5788  5752  5500  5464  5428  5176  5140  5104

 2915  2879  2843  2591  2555  2519  2267  2231  2195  2186  2150  2114  1862  1826  1790  1538  1502  1466  5831  5795  5759  5507  5471  5435  5183  5147  5111

 2868  2859  2904  2544  2535  2580  2220  2211  2256  2139  2130  2175  1815  1806  1851  1491  1482  1527  5784  5775  5820  5460  5451  5496  5136  5127  5172

 2863  2854  2899  2539  2530  2575  2215  2206  2251  2134  2125  2170  1810  1801  1846  1486  1477  1522  5779  5770  5815  5455  5446  5491  5131  5122  5167

 2870  2861  2906  2546  2537  2582  2222  2213  2258  2141  2132  2177  1817  1808  1853  1493  1484  1529  5786  5777  5822  5462  5453  5498  5138  5129  5174

 2445  2490  2481  2364  2409  2400  2769  2814  2805  1716  1761  1752  1635  1680  1671  2040  2085  2076  5361  5406  5397  5280  5325  5316  5685  5730  5721

 2440  2485  2476  2359  2404  2395  2764  2809  2800  1711  1756  1747  1630  1675  1666  2035  2080  2071  5356  5401  5392  5275  5320  5311  5680  5725  5716

 2447  2492  2483  2366  2411  2402  2771  2816  2807  1718  1763  1754  1637  1682  1673  2042  2087  2078  5363  5408  5399  5282  5327  5318  5687  5732  5723

 2508  2472  2436  2427  2391  2355  2832  2796  2760  1779  1743  1707  1698  1662  1626  2103  2067  2031  5424  5388  5352  5343  5307  5271  5748  5712  5676

 2503  2467  2431  2422  2386  2350  2827  2791  2755  1774  1738  1702  1693  1657  1621  2098  2062  2026  5419  5383  5347  5338  5302  5266  5743  5707  5671

 2510  2474  2438  2429  2393  2357  2834  2798  2762  1781  1745  1709  1700  1664  1628  2105  2069  2033  5426  5390  5354  5345  5309  5273  5750  5714  5678

 2463  2454  2499  2382  2373  2418  2787  2778  2823  1734  1725  1770  1653  1644  1689  2058  2049  2094  5379  5370  5415  5298  5289  5334  5703  5694  5739

 2458  2449  2494  2377  2368  2413  2782  2773  2818  1729  1720  1765  1648  1639  1684  2053  2044  2089  5374  5365  5410  5293  5284  5329  5698  5689  5734

 2465  2456  2501  2384  2375  2420  2789  2780  2825  1736  1727  1772  1655  1646  1691  2060  2051  2096  5381  5372  5417  5300  5291  5336  5705  5696  5741

 

 

Квадрат представлен аналогично квадрату 45-ого порядка – из трёх частей, то есть квадрат как бы разрезан по вертикали дважды. Чтобы получить весь квадрат, надо склеить три части. Как понимает читатель, “разрезать” квадрат пришлось потому, что полностью он не помещается на экране.

 

Итак, подведём итоги. Получилось, что описанный здесь метод работает для построения идеальных квадратов, порядок которых: n=3^k, k=2,3,4… Я показала построение идеальных квадратов 9-ого, 27-ого и 81-ого порядков. Следующий квадрат, который входит в эту группу порядков – квадрат 243-ого порядка. Понятно, что строить его надо из ассоциативного квадрата 243-ого порядка (перестановкой столбцов или строк), который надо построить на базе магического квадрата третьего порядка; за основной, конечно же, надо взять ассоциативный квадрат 81-ого порядка, построенный тем же методом.

 

Остаются не построенными пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 3 и таких, которые не являются степенью числа 3, то есть следующих порядков: 15, 21, 33, 39, 45…

Если вы знаете, как строятся такие пандиагональные квадраты, напишите мне, пожалуйста.

 

А ещё интересно было бы узнать, известен ли метод построения пандиагональных квадратов порядка n=3^k (k=2,3,4…), предложенный мной. Если кто-то встречал в Сети (или в литературе) такой метод, пришлите ссылку, пожалуйста. Очень хочется узнать, кем и когда был открыт этот метод. Кому и в каком веке в голову пришли точно такие же мысли, какие пришли мне? Чертовски интересно!

 

                                                                  ***

 

Продолжаю сегодня же. Сейчас мне пришла в голову идея: а что если построить квадрат 45-ого порядка на базе идеального квадрата пятого порядка, и за основной тоже взять идеальный квадрат 9-ого порядка. Может быть, получится идеальный квадрат? В качестве базового квадрата возьму идеальный квадрат пятого порядка (который является квадратом № 1 в моём банке базовых пандиагональных квадратов пятого порядка), его вы видите на рис. 6.

 

 

                                     

                                                                       Рис. 6

 

 А в качестве основного возьму идеальный квадрат 9-ого порядка, изображённый на рис. 4. Он мне очень понравился!

Итак, пишу программу для построения квадрата 45-ого порядка и надеюсь, что он будет идеальным.

 

Всё получилось! И вот он –

 

 идеальный квадрат 45-ого порядка:

 

 

Часть 1

 

11  16  15  56  61  60  47  52  51  1793  1798  1797  1838  1843  1842

 74  79  78  38  43  42  2  7  6  1856  1861  1860  1820  1825  1824

 29  34  33  20  25  24  65  70  69  1811  1816  1815  1802  1807  1806

 18  14  10  63  59  55  54  50  46  1800  1796  1792  1845  1841  1837

 81  77  73  45  41  37  9  5  1  1863  1859  1855  1827  1823  1819

 36  32  28  27  23  19  72  68  64  1818  1814  1810  1809  1805  1801

 13  12  17  58  57  62  49  48  53  1795  1794  1799  1840  1839  1844

 76  75  80  40  39  44  4  3  8  1858  1857  1862  1822  1821  1826

 31  30  35  22  21  26  67  66  71  1813  1812  1817  1804  1803  1808

 1145  1150  1149  1190  1195  1194  1181  1186  1185  1469  1474  1473  1514  1519  1518

 1208  1213  1212  1172  1177  1176  1136  1141  1140  1532  1537  1536  1496  1501  1500

 1163  1168  1167  1154  1159  1158  1199  1204  1203  1487  1492  1491  1478  1483  1482

 1152  1148  1144  1197  1193  1189  1188  1184  1180  1476  1472  1468  1521  1517  1513

 1215  1211  1207  1179  1175  1171  1143  1139  1135  1539  1535  1531  1503  1499  1495

 1170  1166  1162  1161  1157  1153  1206  1202  1198  1494  1490  1486  1485  1481  1477

 1147  1146  1151  1192  1191  1196  1183  1182  1187  1471  1470  1475  1516  1515  1520

 1210  1209  1214  1174  1173  1178  1138  1137  1142  1534  1533  1538  1498  1497  1502

 1165  1164  1169  1156  1155  1160  1201  1200  1205  1489  1488  1493  1480  1479  1484

 1712  1717  1716  1757  1762  1761  1748  1753  1752  416  421  420  461  466  465

 1775  1780  1779  1739  1744  1743  1703  1708  1707  479  484  483  443  448  447

 1730  1735  1734  1721  1726  1725  1766  1771  1770  434  439  438  425  430  429

 1719  1715  1711  1764  1760  1756  1755  1751  1747  423  419  415  468  464  460

 1782  1778  1774  1746  1742  1738  1710  1706  1702  486  482  478  450  446  442

 1737  1733  1729  1728  1724  1720  1773  1769  1765  441  437  433  432  428  424

 1714  1713  1718  1759  1758  1763  1750  1749  1754  418  417  422  463  462  467

 1777  1776  1781  1741  1740  1745  1705  1704  1709  481  480  485  445  444  449

 1732  1731  1736  1723  1722  1727  1768  1767  1772  436  435  440  427  426  431

 1388  1393  1392  1433  1438  1437  1424  1429  1428  335  340  339  380  385  384

 1451  1456  1455  1415  1420  1419  1379  1384  1383  398  403  402  362  367  366

 1406  1411  1410  1397  1402  1401  1442  1447  1446  353  358  357  344  349  348

 1395  1391  1387  1440  1436  1432  1431  1427  1423  342  338  334  387  383  379

 1458  1454  1450  1422  1418  1414  1386  1382  1378  405  401  397  369  365  361

 1413  1409  1405  1404  1400  1396  1449  1445  1441  360  356  352  351  347  343

 1390  1389  1394  1435  1434  1439  1426  1425  1430  337  336  341  382  381  386

 1453  1452  1457  1417  1416  1421  1381  1380  1385  400  399  404  364  363  368

 1408  1407  1412  1399  1398  1403  1444  1443  1448  355  354  359  346  345  350

 659  664  663  704  709  708  695  700  699  902  907  906  947  952  951

 722  727  726  686  691  690  650  655  654  965  970  969  929  934  933

 677  682  681  668  673  672  713  718  717  920  925  924  911  916  915

 666  662  658  711  707  703  702  698  694  909  905  901  954  950  946

 729  725  721  693  689  685  657  653  649  972  968  964  936  932  928

 684  680  676  675  671  667  720  716  712  927  923  919  918  914  910

 661  660  665  706  705  710  697  696  701  904  903  908  949  948  953

 724  723  728  688  687  692  652  651  656  967  966  971  931  930  935

 679  678  683  670  669  674  715  714  719  922  921  926  913  912  917

 

Часть 2

 

 1829  1834  1833  740  745  744  785  790  789  776  781  780  1064  1069  1068

 1784  1789  1788  803  808  807  767  772  771  731  736  735  1127  1132  1131

 1847  1852  1851  758  763  762  749  754  753  794  799  798  1082  1087  1086

 1836  1832  1828  747  743  739  792  788  784  783  779  775  1071  1067  1063

 1791  1787  1783  810  806  802  774  770  766  738  734  730  1134  1130  1126

 1854  1850  1846  765  761  757  756  752  748  801  797  793  1089  1085  1081

 1831  1830  1835  742  741  746  787  786  791  778  777  782  1066  1065  1070

 1786  1785  1790  805  804  809  769  768  773  733  732  737  1129  1128  1133

 1849  1848  1853  760  759  764  751  750  755  796  795  800  1084  1083  1088

 1505  1510  1509  92  97  96  137  142  141  128  133  132  1631  1636  1635

 1460  1465  1464  155  160  159  119  124  123  83  88  87  1694  1699  1698

 1523  1528  1527  110  115  114  101  106  105  146  151  150  1649  1654  1653

 1512  1508  1504  99  95  91  144  140  136  135  131  127  1638  1634  1630

 1467  1463  1459  162  158  154  126  122  118  90  86  82  1701  1697  1693

 1530  1526  1522  117  113  109  108  104  100  153  149  145  1656  1652  1648

 1507  1506  1511  94  93  98  139  138  143  130  129  134  1633  1632  1637

 1462  1461  1466  157  156  161  121  120  125  85  84  89  1696  1695  1700

 1525  1524  1529  112  111  116  103  102  107  148  147  152  1651  1650  1655

 452  457  456  983  988  987  1028  1033  1032  1019  1024  1023  1550  1555  1554

 407  412  411  1046  1051  1050  1010  1015  1014  974  979  978  1613  1618  1617

 470  475  474  1001  1006  1005  992  997  996  1037  1042  1041  1568  1573  1572

 459  455  451  990  986  982  1035  1031  1027  1026  1022  1018  1557  1553  1549

 414  410  406  1053  1049  1045  1017  1013  1009  981  977  973  1620  1616  1612

 477  473  469  1008  1004  1000  999  995  991  1044  1040  1036  1575  1571  1567

 454  453  458  985  984  989  1030  1029  1034  1021  1020  1025  1552  1551  1556

 409  408  413  1048  1047  1052  1012  1011  1016  976  975  980  1615  1614  1619

 472  471  476  1003  1002  1007  994  993  998  1039  1038  1043  1570  1569  1574

 371  376  375  1874  1879  1878  1919  1924  1923  1910  1915  1914  497  502  501

 326  331  330  1937  1942  1941  1901  1906  1905  1865  1870  1869  560  565  564

 389  394  393  1892  1897  1896  1883  1888  1887  1928  1933  1932  515  520  519

 378  374  370  1881  1877  1873  1926  1922  1918  1917  1913  1909  504  500  496

 333  329  325  1944  1940  1936  1908  1904  1900  1872  1868  1864  567  563  559

 396  392  388  1899  1895  1891  1890  1886  1882  1935  1931  1927  522  518  514

 373  372  377  1876  1875  1880  1921  1920  1925  1912  1911  1916  499  498  503

 328  327  332  1939  1938  1943  1903  1902  1907  1867  1866  1871  562  561  566

 391  390  395  1894  1893  1898  1885  1884  1889  1930  1929  1934  517  516  521

 938  943  942  1226  1231  1230  1271  1276  1275  1262  1267  1266  173  178  177

 893  898  897  1289  1294  1293  1253  1258  1257  1217  1222  1221  236  241  240

 956  961  960  1244  1249  1248  1235  1240  1239  1280  1285  1284  191  196  195

 945  941  937  1233  1229  1225  1278  1274  1270  1269  1265  1261  180  176  172

 900  896  892  1296  1292  1288  1260  1256  1252  1224  1220  1216  243  239  235

 963  959  955  1251  1247  1243  1242  1238  1234  1287  1283  1279  198  194  190

 940  939  944  1228  1227  1232  1273  1272  1277  1264  1263  1268  175  174  179

 895  894  899  1291  1290  1295  1255  1254  1259  1219  1218  1223  238  237  242

 958  957  962  1246  1245  1250  1237  1236  1241  1282  1281  1286  193  192  197

 

Часть 3

 

 1109  1114  1113  1100  1105  1104  1307  1312  1311  1352  1357  1356  1343  1348  1347

 1091  1096  1095  1055  1060  1059  1370  1375  1374  1334  1339  1338  1298  1303  1302

 1073  1078  1077  1118  1123  1122  1325  1330  1329  1316  1321  1320  1361  1366  1365

 1116  1112  1108  1107  1103  1099  1314  1310  1306  1359  1355  1351  1350  1346  1342

 1098  1094  1090  1062  1058  1054  1377  1373  1369  1341  1337  1333  1305  1301  1297

 1080  1076  1072  1125  1121  1117  1332  1328  1324  1323  1319  1315  1368  1364  1360

 1111  1110  1115  1102  1101  1106  1309  1308  1313  1354  1353  1358  1345  1344  1349

 1093  1092  1097  1057  1056  1061  1372  1371  1376  1336  1335  1340  1300  1299  1304

 1075  1074  1079  1120  1119  1124  1327  1326  1331  1318  1317  1322  1363  1362  1367

 1676  1681  1680  1667  1672  1671  578  583  582  623  628  627  614  619  618

 1658  1663  1662  1622  1627  1626  641  646  645  605  610  609  569  574  573

 1640  1645  1644  1685  1690  1689  596  601  600  587  592  591  632  637  636

 1683  1679  1675  1674  1670  1666  585  581  577  630  626  622  621  617  613

 1665  1661  1657  1629  1625  1621  648  644  640  612  608  604  576  572  568

 1647  1643  1639  1692  1688  1684  603  599  595  594  590  586  639  635  631

 1678  1677  1682  1669  1668  1673  580  579  584  625  624  629  616  615  620

 1660  1659  1664  1624  1623  1628  643  642  647  607  606  611  571  570  575

 1642  1641  1646  1687  1686  1691  598  597  602  589  588  593  634  633  638

 1595  1600  1599  1586  1591  1590  254  259  258  299  304  303  290  295  294

 1577  1582  1581  1541  1546  1545  317  322  321  281  286  285  245  250  249

 1559  1564  1563  1604  1609  1608  272  277  276  263  268  267  308  313  312

 1602  1598  1594  1593  1589  1585  261  257  253  306  302  298  297  293  289

 1584  1580  1576  1548  1544  1540  324  320  316  288  284  280  252  248  244

 1566  1562  1558  1611  1607  1603  279  275  271  270  266  262  315  311  307

 1597  1596  1601  1588  1587  1592  256  255  260  301  300  305  292  291  296

 1579  1578  1583  1543  1542  1547  319  318  323  283  282  287  247  246  251

 1561  1560  1565  1606  1605  1610  274  273  278  265  264  269  310  309  314

 542  547  546  533  538  537  821  826  825  866  871  870  857  862  861

 524  529  528  488  493  492  884  889  888  848  853  852  812  817  816

 506  511  510  551  556  555  839  844  843  830  835  834  875  880  879

 549  545  541  540  536  532  828  824  820  873  869  865  864  860  856

 531  527  523  495  491  487  891  887  883  855  851  847  819  815  811

 513  509  505  558  554  550  846  842  838  837  833  829  882  878  874

 544  543  548  535  534  539  823  822  827  868  867  872  859  858  863

 526  525  530  490  489  494  886  885  890  850  849  854  814  813  818

 508  507  512  553  552  557  841  840  845  832  831  836  877  876  881

 218  223  222  209  214  213  1955  1960  1959  2000  2005  2004  1991  1996  1995

 200  205  204  164  169  168  2018  2023  2022  1982  1987  1986  1946  1951  1950

 182  187  186  227  232  231  1973  1978  1977  1964  1969  1968  2009  2014  2013

 225  221  217  216  212  208  1962  1958  1954  2007  2003  1999  1998  1994  1990

 207  203  199  171  167  163  2025  2021  2017  1989  1985  1981  1953  1949  1945

 189  185  181  234  230  226  1980  1976  1972  1971  1967  1963  2016  2012  2008

 220  219  224  211  210  215  1957  1956  1961  2002  2001  2006  1993  1992  1997

 202  201  206  166  165  170  2020  2019  2024  1984  1983  1988  1948  1947  1952

 184  183  188  229  228  233  1975  1974  1979  1966  1965  1970  2011  2010  2015

 

Напомню читателям, что квадрат представлен в виде трёх частей (“разрезан” дважды по вертикали). Чтобы получить весь квадрат полностью, надо “склеить” три части.

 

Теперь можно таким же способом построить идеальный квадрат 81-ого порядка. Когда я строила этот квадрат из ассоциативного квадрата (с помощью перестановки столбцов), то я строила ассоциативный квадрат на базе магического квадрата третьего порядка, а в качестве основного брала ассоциативный квадрат 27-ого порядка. Там же я сказала, что ассоциативный квадрат 81-ого порядка можно построить на базе ассоциативного квадрата 9-ого порядка, его же взяв и в качестве основного. А теперь возьмём и в качестве базового и в качестве основного идеальный квадрат 9-ого порядка, например, тот же самый, с рис. 4. Построенный таким методом квадрат 81-ого порядка тоже получится идеальным, и даже переставлять ничего не надо. Как-нибудь на досуге напишу программу для построения такого идеального квадрата и построю его. Покажу тогда здесь второй идеальный квадрат 81-ого порядка.

 

Ну, а также можно этим методом построить и квадраты таких порядков: 63, 81 (уже сказала выше), 99, 117, 135…

При этом совсем неважно, какой квадрат взять в качестве базового, а какой – в качестве основного. Например, квадрат 63-ого порядка (63=7*9) можно строить на базе идеального квадрата 7-ого порядка, взяв в качестве основного идеальный квадрат 9-ого порядка, и наоборот: на базе идеального квадрата 9-ого порядка, взяв за основной идеальный квадрат 7-ого порядка. Идеальные квадраты 63-ого порядка, конечно, получатся разные. Точно также квадрат 45-ого порядка, который я только что построила, можно было построить на базе идеального квадрата 9-ого

порядка, а за основной взять идеальный квадрат 5-ого порядка.

 

Итак, теперь я точно знаю методы построения пандиагональных квадратов всех нечётных порядков, кратных 9, то есть таких: n=9(2k+1), k=0,1,2,3… В самом деле, в произведении чисел 9 и 2k+1 мы имеем одно число 9, идеальный квадрат 9-ого порядка мы строить умеем (метод показан в самом начале данной статьи), а другое число – нечётное. Если это нечётное число не кратно 3, то идеальный квадрат такого нечётного порядка мы строить тоже умеем (он строится из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, простой перестановкой строк). А если это нечётное число кратно 3, то представим его в виде произведения:

         2k+1=3^m(2p+1), где 2p+1 – нечётное число не кратное 3.

 

Тогда порядок n=9*3^m(2p+1)=3^2+m(2p+1). Идеальный квадрат порядка, представляющего собой степень числа 3, мы тоже строить умеем (метод показан в этой статье). Значит, в этом случае мы тоже построим идеальный квадрат на базе идеального квадрата, взяв за основной другой идеальный квадрат, исходя из представления порядка квадрата в виде произведения двух чисел.

Пусть, например, мы хотим построить идеальный квадрат 135-ого порядка. 135=9*15. Идеальный квадрат 15-ого порядка (порядок кратный 3) нам не известен. Тогда представим порядок 135 в виде такого произведения: 135=27*5. Вот теперь всё отлично: идеальные квадраты 27-ого и 5-ого порядка нам известны, и мы можем строить идеальный квадрат 135-ого порядка на базе идеального квадрата 5-ого порядка, взяв за основной квадрата идеальный квадрат 27-ого порядка.

 

Остаются квадраты нечётных порядков, кратных 3 один раз, то есть не кратных 9, это такие порядки: 15, 21, 33, 39, 51, 57, 69…

 

Следовательно, в нашем споре с Г. Александровым я оказалась права. Идеальные (или хотя бы пандиагональные) квадраты нечётных порядков, кратных 3, но не кратных 9, строятся каким-то другим методом, если вообще строятся (?).

 

Кто знает что-нибудь об этих квадратах, напишите!

Это единственное белое пятно в моём исследовании пандиагональных квадратов. Напомню читателям, что начинала я своё исследование с пандиагональных квадратов четвёртого порядка. Самое подробное исследование посвящено пандиагональным квадратам пятого порядка, построены все 144 основных (или базовых) пандиагональных квадратов пятого порядка, исследованы все связи между ними, доказано, что все 143 квадрата можно получить из одного идеального квадрата, который один собственно и надо считать базовым. Читайте обо всём этом в моих статьях, здесь на сайте.

 

19 ноября 2007 г.

 

Сегодня написала программу для построения идеального квадрата 81-ого порядка на базе идеального квадрата 9-ого порядка (с рис. 4); в качестве основного квадрата взят этот же квадрат (81=9*9). Показываю идеальный квадрат, построенный по этой программе (как всегда квадрат представлен в виде трёх частей, сложите их, прикладывая следующую часть к правому краю предыдущей, и вы получите весь квадрат).

 

идеальный квадрат 81-ого порядка

 

 

Часть 1

 

821  826  825  866  871  870  857  862  861  1226  1231  1230  1271  1276  1275  1262  1267  1266  1145  1150  1149  1190  1195  1194  1181  1186  1185

 884  889  888  848  853  852  812  817  816  1289  1294  1293  1253  1258  1257  1217  1222  1221  1208  1213  1212  1172  1177  1176  1136  1141  1140

 839  844  843  830  835  834  875  880  879  1244  1249  1248  1235  1240  1239  1280  1285  1284  1163  1168  1167  1154  1159  1158  1199  1204  1203

 828  824  820  873  869  865  864  860  856  1233  1229  1225  1278  1274  1270  1269  1265  1261  1152  1148  1144  1197  1193  1189  1188  1184  1180

 891  887  883  855  851  847  819  815  811  1296  1292  1288  1260  1256  1252  1224  1220  1216  1215  1211  1207  1179  1175  1171  1143  1139  1135

 846  842  838  837  833  829  882  878  874  1251  1247  1243  1242  1238  1234  1287  1283  1279  1170  1166  1162  1161  1157  1153  1206  1202  1198

 823  822  827  868  867  872  859  858  863  1228  1227  1232  1273  1272  1277  1264  1263  1268  1147  1146  1151  1192  1191  1196  1183  1182  1187

 886  885  890  850  849  854  814  813  818  1291  1290  1295  1255  1254  1259  1219  1218  1223  1210  1209  1214  1174  1173  1178  1138  1137  1142

 841  840  845  832  831  836  877  876  881  1246  1245  1250  1237  1236  1241  1282  1281  1286  1165  1164  1169  1156  1155  1160  1201  1200  1205

 5924  5929  5928  5969  5974  5973  5960  5965  5964  6329  6334  6333  6374  6379  6378  6365  6370  6369  6248  6253  6252  6293  6298  6297  6284  6289  6288

 5987  5992  5991  5951  5956  5955  5915  5920  5919  6392  6397  6396  6356  6361  6360  6320  6325  6324  6311  6316  6315  6275  6280  6279  6239  6244  6243

 5942  5947  5946  5933  5938  5937  5978  5983  5982  6347  6352  6351  6338  6343  6342  6383  6388  6387  6266  6271  6270  6257  6262  6261  6302  6307  6306

 5931  5927  5923  5976  5972  5968  5967  5963  5959  6336  6332  6328  6381  6377  6373  6372  6368  6364  6255  6251  6247  6300  6296  6292  6291  6287  6283

 5994  5990  5986  5958  5954  5950  5922  5918  5914  6399  6395  6391  6363  6359  6355  6327  6323  6319  6318  6314  6310  6282  6278  6274  6246  6242  6238

 5949  5945  5941  5940  5936  5932  5985  5981  5977  6354  6350  6346  6345  6341  6337  6390  6386  6382  6273  6269  6265  6264  6260  6256  6309  6305  6301

 5926  5925  5930  5971  5970  5975  5962  5961  5966  6331  6330  6335  6376  6375  6380  6367  6366  6371  6250  6249  6254  6295  6294  6299  6286  6285  6290

 5989  5988  5993  5953  5952  5957  5917  5916  5921  6394  6393  6398  6358  6357  6362  6322  6321  6326  6313  6312  6317  6277  6276  6281  6241  6240  6245

 5944  5943  5948  5935  5934  5939  5980  5979  5984  6349  6348  6353  6340  6339  6344  6385  6384  6389  6268  6267  6272  6259  6258  6263  6304  6303  6308

 2279  2284  2283  2324  2329  2328  2315  2320  2319  2684  2689  2688  2729  2734  2733  2720  2725  2724  2603  2608  2607  2648  2653  2652  2639  2644  2643

 2342  2347  2346  2306  2311  2310  2270  2275  2274  2747  2752  2751  2711  2716  2715  2675  2680  2679  2666  2671  2670  2630  2635  2634  2594  2599  2598

 2297  2302  2301  2288  2293  2292  2333  2338  2337  2702  2707  2706  2693  2698  2697  2738  2743  2742  2621  2626  2625  2612  2617  2616  2657  2662  2661

 2286  2282  2278  2331  2327  2323  2322  2318  2314  2691  2687  2683  2736  2732  2728  2727  2723  2719  2610  2606  2602  2655  2651  2647  2646  2642  2638

 2349  2345  2341  2313  2309  2305  2277  2273  2269  2754  2750  2746  2718  2714  2710  2682  2678  2674  2673  2669  2665  2637  2633  2629  2601  2597  2593

 2304  2300  2296  2295  2291  2287  2340  2336  2332  2709  2705  2701  2700  2696  2692  2745  2741  2737  2628  2624  2620  2619  2615  2611  2664  2660  2656

 2281  2280  2285  2326  2325  2330  2317  2316  2321  2686  2685  2690  2731  2730  2735  2722  2721  2726  2605  2604  2609  2650  2649  2654  2641  2640  2645

 2344  2343  2348  2308  2307  2312  2272  2271  2276  2749  2748  2753  2713  2712  2717  2677  2676  2681  2668  2667  2672  2632  2631  2636  2596  2595  2600

 2299  2298  2303  2290  2289  2294  2335  2334  2339  2704  2703  2708  2695  2694  2699  2740  2739  2744  2623  2622  2627  2614  2613  2618  2659  2658  2663

 1388  1393  1392  1433  1438  1437  1424  1429  1428  1064  1069  1068  1109  1114  1113  1100  1105  1104  740  745  744  785  790  789  776  781  780

 1451  1456  1455  1415  1420  1419  1379  1384  1383  1127  1132  1131  1091  1096  1095  1055  1060  1059  803  808  807  767  772  771  731  736  735

 1406  1411  1410  1397  1402  1401  1442  1447  1446  1082  1087  1086  1073  1078  1077  1118  1123  1122  758  763  762  749  754  753  794  799  798

 1395  1391  1387  1440  1436  1432  1431  1427  1423  1071  1067  1063  1116  1112  1108  1107  1103  1099  747  743  739  792  788  784  783  779  775

 1458  1454  1450  1422  1418  1414  1386  1382  1378  1134  1130  1126  1098  1094  1090  1062  1058  1054  810  806  802  774  770  766  738  734  730

 1413  1409  1405  1404  1400  1396  1449  1445  1441  1089  1085  1081  1080  1076  1072  1125  1121  1117  765  761  757  756  752  748  801  797  793

 1390  1389  1394  1435  1434  1439  1426  1425  1430  1066  1065  1070  1111  1110  1115  1102  1101  1106  742  741  746  787  786  791  778  777  782

 1453  1452  1457  1417  1416  1421  1381  1380  1385  1129  1128  1133  1093  1092  1097  1057  1056  1061  805  804  809  769  768  773  733  732  737

 1408  1407  1412  1399  1398  1403  1444  1443  1448  1084  1083  1088  1075  1074  1079  1120  1119  1124  760  759  764  751  750  755  796  795  800

 6491  6496  6495  6536  6541  6540  6527  6532  6531  6167  6172  6171  6212  6217  6216  6203  6208  6207  5843  5848  5847  5888  5893  5892  5879  5884  5883

 6554  6559  6558  6518  6523  6522  6482  6487  6486  6230  6235  6234  6194  6199  6198  6158  6163  6162  5906  5911  5910  5870  5875  5874  5834  5839  5838

 6509  6514  6513  6500  6505  6504  6545  6550  6549  6185  6190  6189  6176  6181  6180  6221  6226  6225  5861  5866  5865  5852  5857  5856  5897  5902  5901

 6498  6494  6490  6543  6539  6535  6534  6530  6526  6174  6170  6166  6219  6215  6211  6210  6206  6202  5850  5846  5842  5895  5891  5887  5886  5882  5878

 6561  6557  6553  6525  6521  6517  6489  6485  6481  6237  6233  6229  6201  6197  6193  6165  6161  6157  5913  5909  5905  5877  5873  5869  5841  5837  5833

 6516  6512  6508  6507  6503  6499  6552  6548  6544  6192  6188  6184  6183  6179  6175  6228  6224  6220  5868  5864  5860  5859  5855  5851  5904  5900  5896

 6493  6492  6497  6538  6537  6542  6529  6528  6533  6169  6168  6173  6214  6213  6218  6205  6204  6209  5845  5844  5849  5890  5889  5894  5881  5880  5885

 6556  6555  6560  6520  6519  6524  6484  6483  6488  6232  6231  6236  6196  6195  6200  6160  6159  6164  5908  5907  5912  5872  5871  5876  5836  5835  5840

 6511  6510  6515  6502  6501  6506  6547  6546  6551  6187  6186  6191  6178  6177  6182  6223  6222  6227  5863  5862  5867  5854  5853  5858  5899  5898  5903

 2846  2851  2850  2891  2896  2895  2882  2887  2886  2522  2527  2526  2567  2572  2571  2558  2563  2562  2198  2203  2202  2243  2248  2247  2234  2239  2238

 2909  2914  2913  2873  2878  2877  2837  2842  2841  2585  2590  2589  2549  2554  2553  2513  2518  2517  2261  2266  2265  2225  2230  2229  2189  2194  2193

 2864  2869  2868  2855  2860  2859  2900  2905  2904  2540  2545  2544  2531  2536  2535  2576  2581  2580  2216  2221  2220  2207  2212  2211  2252  2257  2256

 2853  2849  2845  2898  2894  2890  2889  2885  2881  2529  2525  2521  2574  2570  2566  2565  2561  2557  2205  2201  2197  2250  2246  2242  2241  2237  2233

 2916  2912  2908  2880  2876  2872  2844  2840  2836  2592  2588  2584  2556  2552  2548  2520  2516  2512  2268  2264  2260  2232  2228  2224  2196  2192  2188

 2871  2867  2863  2862  2858  2854  2907  2903  2899  2547  2543  2539  2538  2534  2530  2583  2579  2575  2223  2219  2215  2214  2210  2206  2259  2255  2251

 2848  2847  2852  2893  2892  2897  2884  2883  2888  2524  2523  2528  2569  2568  2573  2560  2559  2564  2200  2199  2204  2245  2244  2249  2236  2235  2240

 2911  2910  2915  2875  2874  2879  2839  2838  2843  2587  2586  2591  2551  2550  2555  2515  2514  2519  2263  2262  2267  2227  2226  2231  2191  2190  2195

 2866  2865  2870  2857  2856  2861  2902  2901  2906  2542  2541  2546  2533  2532  2537  2578  2577  2582  2218  2217  2222  2209  2208  2213  2254  2253  2258

 983  988  987  1028  1033  1032  1019  1024  1023  902  907  906  947  952  951  938  943  942  1307  1312  1311  1352  1357  1356  1343  1348  1347

 1046  1051  1050  1010  1015  1014  974  979  978  965  970  969  929  934  933  893  898  897  1370  1375  1374  1334  1339  1338  1298  1303  1302

 1001  1006  1005  992  997  996  1037  1042  1041  920  925  924  911  916  915  956  961  960  1325  1330  1329  1316  1321  1320  1361  1366  1365

 990  986  982  1035  1031  1027  1026  1022  1018  909  905  901  954  950  946  945  941  937  1314  1310  1306  1359  1355  1351  1350  1346  1342

 1053  1049  1045  1017  1013  1009  981  977  973  972  968  964  936  932  928  900  896  892  1377  1373  1369  1341  1337  1333  1305  1301  1297

 1008  1004  1000  999  995  991  1044  1040  1036  927  923  919  918  914  910  963  959  955  1332  1328  1324  1323  1319  1315  1368  1364  1360

 985  984  989  1030  1029  1034  1021  1020  1025  904  903  908  949  948  953  940  939  944  1309  1308  1313  1354  1353  1358  1345  1344  1349

 1048  1047  1052  1012  1011  1016  976  975  980  967  966  971  931  930  935  895  894  899  1372  1371  1376  1336  1335  1340  1300  1299  1304

 1003  1002  1007  994  993  998  1039  1038  1043  922  921  926  913  912  917  958  957  962  1327  1326  1331  1318  1317  1322  1363  1362  1367

 6248  6253  6252  6293  6298  6297  6284  6289  6288  6005  6010  6009  6050  6055  6054  6041  6046  6045  6410  6415  6414  6455  6460  6459  6446  6451  6450

 6311  6316  6315  6275  6280  6279  6239  6244  6243  6068  6073  6072  6032  6037  6036  5996  6001  6000  6473  6478  6477  6437  6442  6441  6401  6406  6405

 6266  6271  6270  6257  6262  6261  6302  6307  6306  6023  6028  6027  6014  6019  6018  6059  6064  6063  6428  6433  6432  6419  6424  6423  6464  6469  6468

 6255  6251  6247  6300  6296  6292  6291  6287  6283  6012  6008  6004  6057  6053  6049  6048  6044  6040  6417  6413  6409  6462  6458  6454  6453  6449  6445

 6318  6314  6310  6282  6278  6274  6246  6242  6238  6075  6071  6067  6039  6035  6031  6003  5999  5995  6480  6476  6472  6444  6440  6436  6408  6404  6400

 6273  6269  6265  6264  6260  6256  6309  6305  6301  6030  6026  6022  6021  6017  6013  6066  6062  6058  6435  6431  6427  6426  6422  6418  6471  6467  6463

 6250  6249  6254  6295  6294  6299  6286  6285  6290  6007  6006  6011  6052  6051  6056  6043  6042  6047  6412  6411  6416  6457  6456  6461  6448  6447  6452

 6313  6312  6317  6277  6276  6281  6241  6240  6245  6070  6069  6074  6034  6033  6038  5998  5997  6002  6475  6474  6479  6439  6438  6443  6403  6402  6407

 6268  6267  6272  6259  6258  6263  6304  6303  6308  6025  6024  6029  6016  6015  6020  6061  6060  6065  6430  6429  6434  6421  6420  6425  6466  6465  6470

 2441  2446  2445  2486  2491  2490  2477  2482  2481  2360  2365  2364  2405  2410  2409  2396  2401  2400  2765  2770  2769  2810  2815  2814  2801  2806  2805

 2504  2509  2508  2468  2473  2472  2432  2437  2436  2423  2428  2427  2387  2392  2391  2351  2356  2355  2828  2833  2832  2792  2797  2796  2756  2761  2760

 2459  2464  2463  2450  2455  2454  2495  2500  2499  2378  2383  2382  2369  2374  2373  2414  2419  2418  2783  2788  2787  2774  2779  2778  2819  2824  2823

 2448  2444  2440  2493  2489  2485  2484  2480  2476  2367  2363  2359  2412  2408  2404  2403  2399  2395  2772  2768  2764  2817  2813  2809  2808  2804  2800

 2511  2507  2503  2475  2471  2467  2439  2435  2431  2430  2426  2422  2394  2390  2386  2358  2354  2350  2835  2831  2827  2799  2795  2791  2763  2759  2755

 2466  2462  2458  2457  2453  2449  2502  2498  2494  2385  2381  2377  2376  2372  2368  2421  2417  2413  2790  2786  2782  2781  2777  2773  2826  2822  2818

 2443  2442  2447  2488  2487  2492  2479  2478  2483  2362  2361  2366  2407  2406  2411  2398  2397  2402  2767  2766  2771  2812  2811  2816  2803  2802  2807

 2506  2505  2510  2470  2469  2474  2434  2433  2438  2425  2424  2429  2389  2388  2393  2353  2352  2357  2830  2829  2834  2794  2793  2798  2758  2757  2762

 2461  2460  2465  2452  2451  2456  2497  2496  2501  2380  2379  2384  2371  2370  2375  2416  2415  2420  2785  2784  2789  2776  2775  2780  2821  2820  2825

 

Часть 2

 

 4466  4471  4470  4511  4516  4515  4502  4507  4506  4871  4876  4875  4916  4921  4920  4907  4912  4911  4790  4795  4794  4835  4840  4839  4826  4831  4830

 4529  4534  4533  4493  4498  4497  4457  4462  4461  4934  4939  4938  4898  4903  4902  4862  4867  4866  4853  4858  4857  4817  4822  4821  4781  4786  4785

 4484  4489  4488  4475  4480  4479  4520  4525  4524  4889  4894  4893  4880  4885  4884  4925  4930  4929  4808  4813  4812  4799  4804  4803  4844  4849  4848

 4473  4469  4465  4518  4514  4510  4509  4505  4501  4878  4874  4870  4923  4919  4915  4914  4910  4906  4797  4793  4789  4842  4838  4834  4833  4829  4825

 4536  4532  4528  4500  4496  4492  4464  4460  4456  4941  4937  4933  4905  4901  4897  4869  4865  4861  4860  4856  4852  4824  4820  4816  4788  4784  4780

 4491  4487  4483  4482  4478  4474  4527  4523  4519  4896  4892  4888  4887  4883  4879  4932  4928  4924  4815  4811  4807  4806  4802  4798  4851  4847  4843

 4468  4467  4472  4513  4512  4517  4504  4503  4508  4873  4872  4877  4918  4917  4922  4909  4908  4913  4792  4791  4796  4837  4836  4841  4828  4827  4832

 4531  4530  4535  4495  4494  4499  4459  4458  4463  4936  4935  4940  4900  4899  4904  4864  4863  4868  4855  4854  4859  4819  4818  4823  4783  4782  4787

 4486  4485  4490  4477  4476  4481  4522  4521  4526  4891  4890  4895  4882  4881  4886  4927  4926  4931  4810  4809  4814  4801  4800  4805  4846  4845  4850

 3008  3013  3012  3053  3058  3057  3044  3049  3048  3413  3418  3417  3458  3463  3462  3449  3454  3453  3332  3337  3336  3377  3382  3381  3368  3373  3372

 3071  3076  3075  3035  3040  3039  2999  3004  3003  3476  3481  3480  3440  3445  3444  3404  3409  3408  3395  3400  3399  3359  3364  3363  3323  3328  3327

 3026  3031  3030  3017  3022  3021  3062  3067  3066  3431  3436  3435  3422  3427  3426  3467  3472  3471  3350  3355  3354  3341  3346  3345  3386  3391  3390

 3015  3011  3007  3060  3056  3052  3051  3047  3043  3420  3416  3412  3465  3461  3457  3456  3452  3448  3339  3335  3331  3384  3380  3376  3375  3371  3367

 3078  3074  3070  3042  3038  3034  3006  3002  2998  3483  3479  3475  3447  3443  3439  3411  3407  3403  3402  3398  3394  3366  3362  3358  3330  3326  3322

 3033  3029  3025  3024  3020  3016  3069  3065  3061  3438  3434  3430  3429  3425  3421  3474  3470  3466  3357  3353  3349  3348  3344  3340  3393  3389  3385

 3010  3009  3014  3055  3054  3059  3046  3045  3050  3415  3414  3419  3460  3459  3464  3451  3450  3455  3334  3333  3338  3379  3378  3383  3370  3369  3374

 3073  3072  3077  3037  3036  3041  3001  3000  3005  3478  3477  3482  3442  3441  3446  3406  3405  3410  3397  3396  3401  3361  3360  3365  3325  3324  3329

 3028  3027  3032  3019  3018  3023  3064  3063  3068  3433  3432  3437  3424  3423  3428  3469  3468  3473  3352  3351  3356  3343  3342  3347  3388  3387  3392

 1550  1555  1554  1595  1600  1599  1586  1591  1590  1955  1960  1959  2000  2005  2004  1991  1996  1995  1874  1879  1878  1919  1924  1923  1910  1915  1914

 1613  1618  1617  1577  1582  1581  1541  1546  1545  2018  2023  2022  1982  1987  1986  1946  1951  1950  1937  1942  1941  1901  1906  1905  1865  1870  1869

 1568  1573  1572  1559  1564  1563  1604  1609  1608  1973  1978  1977  1964  1969  1968  2009  2014  2013  1892  1897  1896  1883  1888  1887  1928  1933  1932

 1557  1553  1549  1602  1598  1594  1593  1589  1585  1962  1958  1954  2007  2003  1999  1998  1994  1990  1881  1877  1873  1926  1922  1918  1917  1913  1909

 1620  1616  1612  1584  1580  1576  1548  1544  1540  2025  2021  2017  1989  1985  1981  1953  1949  1945  1944  1940  1936  1908  1904  1900  1872  1868  1864

 1575  1571  1567  1566  1562  1558  1611  1607  1603  1980  1976  1972  1971  1967  1963  2016  2012  2008  1899  1895  1891  1890  1886  1882  1935  1931  1927

 1552  1551  1556  1597  1596  1601  1588  1587  1592  1957  1956  1961  2002  2001  2006  1993  1992  1997  1876  1875  1880  1921  1920  1925  1912  1911  1916

 1615  1614  1619  1579  1578  1583  1543  1542  1547  2020  2019  2024  1984  1983  1988  1948  1947  1952  1939  1938  1943  1903  1902  1907  1867  1866  1871

 1570  1569  1574  1561  1560  1565  1606  1605  1610  1975  1974  1979  1966  1965  1970  2011  2010  2015  1894  1893  1898  1885  1884  1889  1930  1929  1934

 5033  5038  5037  5078  5083  5082  5069  5074  5073  4709  4714  4713  4754  4759  4758  4745  4750  4749  4385  4390  4389  4430  4435  4434  4421  4426  4425

 5096  5101  5100  5060  5065  5064  5024  5029  5028  4772  4777  4776  4736  4741  4740  4700  4705  4704  4448  4453  4452  4412  4417  4416  4376  4381  4380

 5051  5056  5055  5042  5047  5046  5087  5092  5091  4727  4732  4731  4718  4723  4722  4763  4768  4767  4403  4408  4407  4394  4399  4398  4439  4444  4443

 5040  5036  5032  5085  5081  5077  5076  5072  5068  4716  4712  4708  4761  4757  4753  4752  4748  4744  4392  4388  4384  4437  4433  4429  4428  4424  4420

 5103  5099  5095  5067  5063  5059  5031  5027  5023  4779  4775  4771  4743  4739  4735  4707  4703  4699  4455  4451  4447  4419  4415  4411  4383  4379  4375

 5058  5054  5050  5049  5045  5041  5094  5090  5086  4734  4730  4726  4725  4721  4717  4770  4766  4762  4410  4406  4402  4401  4397  4393  4446  4442  4438

 5035  5034  5039  5080  5079  5084  5071  5070  5075  4711  4710  4715  4756  4755  4760  4747  4746  4751  4387  4386  4391  4432  4431  4436  4423  4422  4427

 5098  5097  5102  5062  5061  5066  5026  5025  5030  4774  4773  4778  4738  4737  4742  4702  4701  4706  4450  4449  4454  4414  4413  4418  4378  4377  4382

 5053  5052  5057  5044  5043  5048  5089  5088  5093  4729  4728  4733  4720  4719  4724  4765  4764  4769  4405  4404  4409  4396  4395  4400  4441  4440  4445

 3575  3580  3579  3620  3625  3624  3611  3616  3615  3251  3256  3255  3296  3301  3300  3287  3292  3291  2927  2932  2931  2972  2977  2976  2963  2968  2967

 3638  3643  3642  3602  3607  3606  3566  3571  3570  3314  3319  3318  3278  3283  3282  3242  3247  3246  2990  2995  2994  2954  2959  2958  2918  2923  2922

 3593  3598  3597  3584  3589  3588  3629  3634  3633  3269  3274  3273  3260  3265  3264  3305  3310  3309  2945  2950  2949  2936  2941  2940  2981  2986  2985

 3582  3578  3574  3627  3623  3619  3618  3614  3610  3258  3254  3250  3303  3299  3295  3294  3290  3286  2934  2930  2926  2979  2975  2971  2970  2966  2962

 3645  3641  3637  3609  3605  3601  3573  3569  3565  3321  3317  3313  3285  3281  3277  3249  3245  3241  2997  2993  2989  2961  2957  2953  2925  2921  2917

 3600  3596  3592  3591  3587  3583  3636  3632  3628  3276  3272  3268  3267  3263  3259  3312  3308  3304  2952  2948  2944  2943  2939  2935  2988  2984  2980

 3577  3576  3581  3622  3621  3626  3613  3612  3617  3253  3252  3257  3298  3297  3302  3289  3288  3293  2929  2928  2933  2974  2973  2978  2965  2964  2969

 3640  3639  3644  3604  3603  3608  3568  3567  3572  3316  3315  3320  3280  3279  3284  3244  3243  3248  2992  2991  2996  2956  2955  2960  2920  2919  2924

 3595  3594  3599  3586  3585  3590  3631  3630  3635  3271  3270  3275  3262  3261  3266  3307  3306  3311  2947  2946  2951  2938  2937  2942  2983  2982  2987

 2117  2122  2121  2162  2167  2166  2153  2158  2157  1793  1798  1797  1838  1843  1842  1829  1834  1833  1469  1474  1473  1514  1519  1518  1505  1510  1509

 2180  2185  2184  2144  2149  2148  2108  2113  2112  1856  1861  1860  1820  1825  1824  1784  1789  1788  1532  1537  1536  1496  1501  1500  1460  1465  1464

 2135  2140  2139  2126  2131  2130  2171  2176  2175  1811  1816  1815  1802  1807  1806  1847  1852  1851  1487  1492  1491  1478  1483  1482  1523  1528  1527

 2124  2120  2116  2169  2165  2161  2160  2156  2152  1800  1796  1792  1845  1841  1837  1836  1832  1828  1476  1472  1468  1521  1517  1513  1512  1508  1504

 2187  2183  2179  2151  2147  2143  2115  2111  2107  1863  1859  1855  1827  1823  1819  1791  1787  1783  1539  1535  1531  1503  1499  1495  1467  1463  1459

 2142  2138  2134  2133  2129  2125  2178  2174  2170  1818  1814  1810  1809  1805  1801  1854  1850  1846  1494  1490  1486  1485  1481  1477  1530  1526  1522

 2119  2118  2123  2164  2163  2168  2155  2154  2159  1795  1794  1799  1840  1839  1844  1831  1830  1835  1471  1470  1475  1516  1515  1520  1507  1506  1511

 2182  2181  2186  2146  2145  2150  2110  2109  2114  1858  1857  1862  1822  1821  1826  1786  1785  1790  1534  1533  1538  1498  1497  1502  1462  1461  1466

 2137  2136  2141  2128  2127  2132  2173  2172  2177  1813  1812  1817  1804  1803  1808  1849  1848  1853  1489  1488  1493  1480  1479  1484  1525  1524  1529

 4628  4633  4632  4673  4678  4677  4664  4669  4668  4547  4552  4551  4592  4597  4596  4583  4588  4587  4952  4957  4956  4997  5002  5001  4988  4993  4992

 4691  4696  4695  4655  4660  4659  4619  4624  4623  4610  4615  4614  4574  4579  4578  4538  4543  4542  5015  5020  5019  4979  4984  4983  4943  4948  4947

 4646  4651  4650  4637  4642  4641  4682  4687  4686  4565  4570  4569  4556  4561  4560  4601  4606  4605  4970  4975  4974  4961  4966  4965  5006  5011  5010

 4635  4631  4627  4680  4676  4672  4671  4667  4663  4554  4550  4546  4599  4595  4591  4590  4586  4582  4959  4955  4951  5004  5000  4996  4995  4991  4987

 4698  4694  4690  4662  4658  4654  4626  4622  4618  4617  4613  4609  4581  4577  4573  4545  4541  4537  5022  5018  5014  4986  4982  4978  4950  4946  4942

 4653  4649  4645  4644  4640  4636  4689  4685  4681  4572  4568  4564  4563  4559  4555  4608  4604  4600  4977  4973  4969  4968  4964  4960  5013  5009  5005

 4630  4629  4634  4675  4674  4679  4666  4665  4670  4549  4548  4553  4594  4593  4598  4585  4584  4589  4954  4953  4958  4999  4998  5003  4990  4989  4994

 4693  4692  4697  4657  4656  4661  4621  4620  4625  4612  4611  4616  4576  4575  4580  4540  4539  4544  5017  5016  5021  4981  4980  4985  4945  4944  4949

 4648  4647  4652  4639  4638  4643  4684  4683  4688  4567  4566  4571  4558  4557  4562  4603  4602  4607  4972  4971  4976  4963  4962  4967  5008  5007  5012

 3170  3175  3174  3215  3220  3219  3206  3211  3210  3089  3094  3093  3134  3139  3138  3125  3130  3129  3494  3499  3498  3539  3544  3543  3530  3535  3534

 3233  3238  3237  3197  3202  3201  3161  3166  3165  3152  3157  3156  3116  3121  3120  3080  3085  3084  3557  3562  3561  3521  3526  3525  3485  3490  3489

 3188  3193  3192  3179  3184  3183  3224  3229  3228  3107  3112  3111  3098  3103  3102  3143  3148  3147  3512  3517  3516  3503  3508  3507  3548  3553  3552

 3177  3173  3169  3222  3218  3214  3213  3209  3205  3096  3092  3088  3141  3137  3133  3132  3128  3124  3501  3497  3493  3546  3542  3538  3537  3533  3529

 3240  3236  3232  3204  3200  3196  3168  3164  3160  3159  3155  3151  3123  3119  3115  3087  3083  3079  3564  3560  3556  3528  3524  3520  3492  3488  3484

 3195  3191  3187  3186  3182  3178  3231  3227  3223  3114  3110  3106  3105  3101  3097  3150  3146  3142  3519  3515  3511  3510  3506  3502  3555  3551  3547

 3172  3171  3176  3217  3216  3221  3208  3207  3212  3091  3090  3095  3136  3135  3140  3127  3126  3131  3496  3495  3500  3541  3540  3545  3532  3531  3536

 3235  3234  3239  3199  3198  3203  3163  3162  3167  3154  3153  3158  3118  3117  3122  3082  3081  3086  3559  3558  3563  3523  3522  3527  3487  3486  3491

 3190  3189  3194  3181  3180  3185  3226  3225  3230  3109  3108  3113  3100  3099  3104  3145  3144  3149  3514  3513  3518  3505  3504  3509  3550  3549  3554

 1712  1717  1716  1757  1762  1761  1748  1753  1752  1631  1636  1635  1676  1681  1680  1667  1672  1671  2036  2041  2040  2081  2086  2085  2072  2077  2076

 1775  1780  1779  1739  1744  1743  1703  1708  1707  1694  1699  1698  1658  1663  1662  1622  1627  1626  2099  2104  2103  2063  2068  2067  2027  2032  2031

 1730  1735  1734  1721  1726  1725  1766  1771  1770  1649  1654  1653  1640  1645  1644  1685  1690  1689  2054  2059  2058  2045  2050  2049  2090  2095  2094

 1719  1715  1711  1764  1760  1756  1755  1751  1747  1638  1634  1630  1683  1679  1675  1674  1670  1666  2043  2039  2035  2088  2084  2080  2079  2075  2071

 1782  1778  1774  1746  1742  1738  1710  1706  1702  1701  1697  1693  1665  1661  1657  1629  1625  1621  2106  2102  2098  2070  2066  2062  2034  2030  2026

 1737  1733  1729  1728  1724  1720  1773  1769  1765  1656  1652  1648  1647  1643  1639  1692  1688  1684  2061  2057  2053  2052  2048  2044  2097  2093  2089

 1714  1713  1718  1759  1758  1763  1750  1749  1754  1633  1632  1637  1678  1677  1682  1669  1668  1673  2038  2037  2042  2083  2082  2087  2074  2073  2078

 1777  1776  1781  1741  1740  1745  1705  1704  1709  1696  1695  1700  1660  1659  1664  1624  1623  1628  2101  2100  2105  2065  2064  2069  2029  2028  2033

 1732  1731  1736  1723  1722  1727  1768  1767  1772  1651  1650  1655  1642  1641  1646  1687  1686  1691  2056  2055  2060  2047  2046  2051  2092  2091  2096

 

Часть 3

 

 3737  3742  3741  3782  3787  3786  3773  3778  3777  4142  4147  4146  4187  4192  4191  4178  4183  4182  4061  4066  4065  4106  4111  4110  4097  4102  4101

 3800  3805  3804  3764  3769  3768  3728  3733  3732  4205  4210  4209  4169  4174  4173  4133  4138  4137  4124  4129  4128  4088  4093  4092  4052  4057  4056

 3755  3760  3759  3746  3751  3750  3791  3796  3795  4160  4165  4164  4151  4156  4155  4196  4201  4200  4079  4084  4083  4070  4075  4074  4115  4120  4119

 3744  3740  3736  3789  3785  3781  3780  3776  3772  4149  4145  4141  4194  4190  4186  4185  4181  4177  4068  4064  4060  4113  4109  4105  4104  4100  4096

 3807  3803  3799  3771  3767  3763  3735  3731  3727  4212  4208  4204  4176  4172  4168  4140  4136  4132  4131  4127  4123  4095  4091  4087  4059  4055  4051

 3762  3758  3754  3753  3749  3745  3798  3794  3790  4167  4163  4159  4158  4154  4150  4203  4199  4195  4086  4082  4078  4077  4073  4069  4122  4118  4114

 3739  3738  3743  3784  3783  3788  3775  3774  3779  4144  4143  4148  4189  4188  4193  4180  4179  4184  4063  4062  4067  4108  4107  4112  4099  4098  4103

 3802  3801  3806  3766  3765  3770  3730  3729  3734  4207  4206  4211  4171  4170  4175  4135  4134  4139  4126  4125  4130  4090  4089  4094  4054  4053  4058

 3757  3756  3761  3748  3747  3752  3793  3792  3797  4162  4161  4166  4153  4152  4157  4198  4197  4202  4081  4080  4085  4072  4071  4076  4117  4116  4121

 92  97  96  137  142  141  128  133  132  497  502  501  542  547  546  533  538  537  416  421  420  461  466  465  452  457  456

 155  160  159  119  124  123  83  88  87  560  565  564  524  529  528  488  493  492  479  484  483  443  448  447  407  412  411

 110  115  114  101  106  105  146  151  150  515  520  519  506  511  510  551  556  555  434  439  438  425  430  429  470  475  474

 99  95  91  144  140  136  135  131  127  504  500  496  549  545  541  540  536  532  423  419  415  468  464  460  459  455  451

 162  158  154  126  122  118  90  86  82  567  563  559  531  527  523  495  491  487  486  482  478  450  446  442  414  410  406

 117  113  109  108  104  100  153  149  145  522  518  514  513  509  505  558  554  550  441  437  433  432  428  424  477  473  469

 94  93  98  139  138  143  130  129  134  499  498  503  544  543  548  535  534  539  418  417  422  463  462  467  454  453  458

 157  156  161  121  120  125  85  84  89  562  561  566  526  525  530  490  489  494  481  480  485  445  444  449  409  408  413

 112  111  116  103  102  107  148  147  152  517  516  521  508  507  512  553  552  557  436  435  440  427  426  431  472  471  476

 5195  5200  5199  5240  5245  5244  5231  5236  5235  5600  5605  5604  5645  5650  5649  5636  5641  5640  5519  5524  5523  5564  5569  5568  5555  5560  5559

 5258  5263  5262  5222  5227  5226  5186  5191  5190  5663  5668  5667  5627  5632  5631  5591  5596  5595  5582  5587  5586  5546  5551  5550  5510  5515  5514

 5213  5218  5217  5204  5209  5208  5249  5254  5253  5618  5623  5622  5609  5614  5613  5654  5659  5658  5537  5542  5541  5528  5533  5532  5573  5578  5577

 5202  5198  5194  5247  5243  5239  5238  5234  5230  5607  5603  5599  5652  5648  5644  5643  5639  5635  5526  5522  5518  5571  5567  5563  5562  5558  5554

 5265  5261  5257  5229  5225  5221  5193  5189  5185  5670  5666  5662  5634  5630  5626  5598  5594  5590  5589  5585  5581  5553  5549  5545  5517  5513  5509

 5220  5216  5212  5211  5207  5203  5256  5252  5248  5625  5621  5617  5616  5612  5608  5661  5657  5653  5544  5540  5536  5535  5531  5527  5580  5576  5572

 5197  5196  5201  5242  5241  5246  5233  5232  5237  5602  5601  5606  5647  5646  5651  5638  5637  5642  5521  5520  5525  5566  5565  5570  5557  5556  5561

 5260  5259  5264  5224  5223  5228  5188  5187  5192  5665  5664  5669  5629  5628  5633  5593  5592  5597  5584  5583  5588  5548  5547  5552  5512  5511  5516

 5215  5214  5219  5206  5205  5210  5251  5250  5255  5620  5619  5624  5611  5610  5615  5656  5655  5660  5539  5538  5543  5530  5529  5534  5575  5574  5579

 4304  4309  4308  4349  4354  4353  4340  4345  4344  3980  3985  3984  4025  4030  4029  4016  4021  4020  3656  3661  3660  3701  3706  3705  3692  3697  3696

 4367  4372  4371  4331  4336  4335  4295  4300  4299  4043  4048  4047  4007  4012  4011  3971  3976  3975  3719  3724  3723  3683  3688  3687  3647  3652  3651

 4322  4327  4326  4313  4318  4317  4358  4363  4362  3998  4003  4002  3989  3994  3993  4034  4039  4038  3674  3679  3678  3665  3670  3669  3710  3715  3714

 4311  4307  4303  4356  4352  4348  4347  4343  4339  3987  3983  3979  4032  4028  4024  4023  4019  4015  3663  3659  3655  3708  3704  3700  3699  3695  3691

 4374  4370  4366  4338  4334  4330  4302  4298  4294  4050  4046  4042  4014  4010  4006  3978  3974  3970  3726  3722  3718  3690  3686  3682  3654  3650  3646

 4329  4325  4321  4320  4316  4312  4365  4361  4357  4005  4001  3997  3996  3992  3988  4041  4037  4033  3681  3677  3673  3672  3668  3664  3717  3713  3709

 4306  4305  4310  4351  4350  4355  4342  4341  4346  3982  3981  3986  4027  4026  4031  4018  4017  4022  3658  3657  3662  3703  3702  3707  3694  3693  3698

 4369  4368  4373  4333  4332  4337  4297  4296  4301  4045  4044  4049  4009  4008  4013  3973  3972  3977  3721  3720  3725  3685  3684  3689  3649  3648  3653

 4324  4323  4328  4315  4314  4319  4360  4359  4364  4000  3999  4004  3991  3990  3995  4036  4035  4040  3676  3675  3680  3667  3666  3671  3712  3711  3716

 659  664  663  704  709  708  695  700  699  335  340  339  380  385  384  371  376  375  11  16  15  56  61  60  47  52  51

 722  727  726  686  691  690  650  655  654  398  403  402  362  367  366  326  331  330  74  79  78  38  43  42  2  7  6

 677  682  681  668  673  672  713  718  717  353  358  357  344  349  348  389  394  393  29  34  33  20  25  24  65  70  69

 666  662  658  711  707  703  702  698  694  342  338  334  387  383  379  378  374  370  18  14  10  63  59  55  54  50  46

 729  725  721  693  689  685  657  653  649  405  401  397  369  365  361  333  329  325  81  77  73  45  41  37  9  5  1

 684  680  676  675  671  667  720  716  712  360  356  352  351  347  343  396  392  388  36  32  28  27  23  19  72  68  64

 661  660  665  706  705  710  697  696  701  337  336  341  382  381  386  373  372  377  13  12  17  58  57  62  49  48  53

 724  723  728  688  687  692  652  651  656  400  399  404  364  363  368  328  327  332  76  75  80  40  39  44  4  3  8

 679  678  683  670  669  674  715  714  719  355  354  359  346  345  350  391  390  395  31  30  35  22  21  26  67  66  71

 5762  5767  5766  5807  5812  5811  5798  5803  5802  5438  5443  5442  5483  5488  5487  5474  5479  5478  5114  5119  5118  5159  5164  5163  5150  5155  5154

 5825  5830  5829  5789  5794  5793  5753  5758  5757  5501  5506  5505  5465  5470  5469  5429  5434  5433  5177  5182  5181  5141  5146  5145  5105  5110  5109

 5780  5785  5784  5771  5776  5775  5816  5821  5820  5456  5461  5460  5447  5452  5451  5492  5497  5496  5132  5137  5136  5123  5128  5127  5168  5173  5172

 5769  5765  5761  5814  5810  5806  5805  5801  5797  5445  5441  5437  5490  5486  5482  5481  5477  5473  5121  5117  5113  5166  5162  5158  5157  5153  5149

 5832  5828  5824  5796  5792  5788  5760  5756  5752  5508  5504  5500  5472  5468  5464  5436  5432  5428  5184  5180  5176  5148  5144  5140  5112  5108  5104

 5787  5783  5779  5778  5774  5770  5823  5819  5815  5463  5459  5455  5454  5450  5446  5499  5495  5491  5139  5135  5131  5130  5126  5122  5175  5171  5167

 5764  5763  5768  5809  5808  5813  5800  5799  5804  5440  5439  5444  5485  5484  5489  5476  5475  5480  5116  5115  5120  5161  5160  5165  5152  5151  5156

 5827  5826  5831  5791  5790  5795  5755  5754  5759  5503  5502  5507  5467  5466  5471  5431  5430  5435  5179  5178  5183  5143  5142  5147  5107  5106  5111

 5782  5781  5786  5773  5772  5777  5818  5817  5822  5458  5457  5462  5449  5448  5453  5494  5493  5498  5134  5133  5138  5125  5124  5129  5170  5169  5174

 3899  3904  3903  3944  3949  3948  3935  3940  3939  3818  3823  3822  3863  3868  3867  3854  3859  3858  4223  4228  4227  4268  4273  4272  4259  4264  4263

 3962  3967  3966  3926  3931  3930  3890  3895  3894  3881  3886  3885  3845  3850  3849  3809  3814  3813  4286  4291  4290  4250  4255  4254  4214  4219  4218

 3917  3922  3921  3908  3913  3912  3953  3958  3957  3836  3841  3840  3827  3832  3831  3872  3877  3876  4241  4246  4245  4232  4237  4236  4277  4282  4281

 3906  3902  3898  3951  3947  3943  3942  3938  3934  3825  3821  3817  3870  3866  3862  3861  3857  3853  4230  4226  4222  4275  4271  4267  4266  4262  4258

 3969  3965  3961  3933  3929  3925  3897  3893  3889  3888  3884  3880  3852  3848  3844  3816  3812  3808  4293  4289  4285  4257  4253  4249  4221  4217  4213

 3924  3920  3916  3915  3911  3907  3960  3956  3952  3843  3839  3835  3834  3830  3826  3879  3875  3871  4248  4244  4240  4239  4235  4231  4284  4280  4276

 3901  3900  3905  3946  3945  3950  3937  3936  3941  3820  3819  3824  3865  3864  3869  3856  3855  3860  4225  4224  4229  4270  4269  4274  4261  4260  4265

 3964  3963  3968  3928  3927  3932  3892  3891  3896  3883  3882  3887  3847  3846  3851  3811  3810  3815  4288  4287  4292  4252  4251  4256  4216  4215  4220

 3919  3918  3923  3910  3909  3914  3955  3954  3959  3838  3837  3842  3829  3828  3833  3874  3873  3878  4243  4242  4247  4234  4233  4238  4279  4278  4283

 254  259  258  299  304  303  290  295  294  173  178  177  218  223  222  209  214  213  578  583  582  623  628  627  614  619  618

 317  322  321  281  286  285  245  250  249  236  241  240  200  205  204  164  169  168  641  646  645  605  610  609  569  574  573

 272  277  276  263  268  267  308  313  312  191  196  195  182  187  186  227  232  231  596  601  600  587  592  591  632  637  636

 261  257  253  306  302  298  297  293  289  180  176  172  225  221  217  216  212  208  585  581  577  630  626  622  621  617  613

 324  320  316  288  284  280  252  248  244  243  239  235  207  203  199  171  167  163  648  644  640  612  608  604  576  572  568

 279  275  271  270  266  262  315  311  307  198  194  190  189  185  181  234  230  226  603  599  595  594  590  586  639  635  631

 256  255  260  301  300  305  292  291  296  175  174  179  220  219  224  211  210  215  580  579  584  625  624  629  616  615  620

 319  318  323  283  282  287  247  246  251  238  237  242  202  201  206  166  165  170  643  642  647  607  606  611  571  570  575

 274  273  278  265  264  269  310  309  314  193  192  197  184  183  188  229  228  233  598  597  602  589  588  593  634  633  638

 5357  5362  5361  5402  5407  5406  5393  5398  5397  5276  5281  5280  5321  5326  5325  5312  5317  5316  5681  5686  5685  5726  5731  5730  5717  5722  5721

 5420  5425  5424  5384  5389  5388  5348  5353  5352  5339  5344  5343  5303  5308  5307  5267  5272  5271  5744  5749  5748  5708  5713  5712  5672  5677  5676

 5375  5380  5379  5366  5371  5370  5411  5416  5415  5294  5299  5298  5285  5290  5289  5330  5335  5334  5699  5704  5703  5690  5695  5694  5735  5740  5739

 5364  5360  5356  5409  5405  5401  5400  5396  5392  5283  5279  5275  5328  5324  5320  5319  5315  5311  5688  5684  5680  5733  5729  5725  5724  5720  5716

 5427  5423  5419  5391  5387  5383  5355  5351  5347  5346  5342  5338  5310  5306  5302  5274  5270  5266  5751  5747  5743  5715  5711  5707  5679  5675  5671

 5382  5378  5374  5373  5369  5365  5418  5414  5410  5301  5297  5293  5292  5288  5284  5337  5333  5329  5706  5702  5698  5697  5693  5689  5742  5738  5734

 5359  5358  5363  5404  5403  5408  5395  5394  5399  5278  5277  5282  5323  5322  5327  5314  5313  5318  5683  5682  5687  5728  5727  5732  5719  5718  5723

 5422  5421  5426  5386  5385  5390  5350  5349  5354  5341  5340  5345  5305  5304  5309  5269  5268  5273  5746  5745  5750  5710  5709  5714  5674  5673  5678

 5377  5376  5381  5368  5367  5372  5413  5412  5417  5296  5295  5300  5287  5286  5291  5332  5331  5336  5701  5700  5705  5692  5691  5696  5737  5736  5741

 

Это уже второй идеальный квадрат 81-ого порядка. Первый был построен другим методом (из ассоциативного квадрата путём перестановки столбцов), смотрите его выше.

 

А теперь покажу, как заполняется матрица при построении квадрата 81-ого порядка на базе квадрата 9-ого порядка, и тот же квадрат – основной. Хотя я очень подробно рассказывала об этом в других статьях, но не мешает повторить. Итак, пусть матрица основного квадрата (в данном случае она же матрица и базового квадрата, так как эти квадраты у нас совпадают) будет A(i,j). Разделим матрицу 81х81 на 81 квадрат 9х9 и каждый такой квадрат заполним как нетрадиционный, прибавляя в каждой ячейке некоторое постоянное число, определяемое базовым квадратом. На рис. 7 показано, как надо заполнить каждый квадрат 9х9 в матрице 81х81. Только один квадрат 9х9 заполняется самой матрицей

A(i,j), то есть к числам в этом квадрате ничего не прибавляется (в соответствующей ячейке базового квадрата стоит число 1).

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Константа, прибавляемая в каждом квадрате 9х9, определяется числом, которое стоит в соответствующей ячейке базового квадрата по следующей формуле: const=[a(i,j)-1]*n², где n – порядок основного квадрата. Например, в левой верхней ячейке базового квадрата в рассматриваемом случае стоит число 11; константа, прибавляемая ко всем числам в левом верхнем квадрате 9х9 вычисляется так: const=(11-1)*9²=810.

 

Понятно, что формализовать и запрограммировать заполнение матрицы по этому закону очень просто. Написание программы занимает несколько минут, а квадрат строится по программе практически мгновенно.

 

Совершенно очевидно, что можно брать в качестве базового и основного квадратов при построении идеального квадрата 81-ого порядка любые другие из известных нам идеальных квадратов 9-ого порядка, можно даже взять разные базовый и основной (а не один и тот же, как в приведённом примере). А идеальных квадратов 9-ого порядка нам известно очень много (см. статью “Магические квадраты девятого порядка”). И, следовательно, мы можем построить много идеальных квадратов 81-ого порядка таким способом.

 

                                               ***

 

Окончательная редакция статьи помещена на сайт 19 ноября 2007 г.

 

 

Жду ваших отзывов!

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу