МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Эта страница является продолжением двух страниц:

“Квадраты Франклина (часть VI)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin6.htm

 

“Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

 

Наконец я совсем проникла в закономерности алгоритма Франклина, по которому построен его пандиагональный квадрат 16-ого порядка, и теперь должна начать всё сначала, чтобы мои читатели тоже поняли этот алгоритм. Последовательность изложения будет такова: сначала расскажу о построении пандиагональных квадратов, подобных пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, а затем покажу, как из пандиагональных квадратов я получила идеальные квадраты.

 

                            ПОСТРОЕНИЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Начать придётся с квадрата восьмого порядка. Когда я попробовала применить алгоритм Франклина к квадрату восьмого порядка первый раз, у меня не получился пандиагональный квадрат, а только дьявольски полумагический. Об этом подробно рассказано в одной из частей статьи “Квадраты Франклина”. Вот он – метод проб и ошибок! У меня был всего один образец – пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Я применила к нему свой метод качелей, составила для данного квадрата образующую таблицу. Но закономерности формирования образующей таблицы очень хитрые, и я не смогла сразу уловить их. Повторю здесь ту образующую таблицу, которую я составила для квадрата восьмого порядка в первой попытке (рис. 1), и сам дьявольски полумагический квадрат, порождаемый этой образующей таблицей (рис. 2).

 

 

 

                                                        Рис. 1

 

Следует отметить, что формирование этой образующей таблицы имеет несколько особенностей по сравнению со стандартным методом качелей (что и затрудняет быстрое распознавание всех её закономерностей). Одной из таких особенностей является наличие двух столбцов разностей, которые отличаются всего одним числом (в первом столбце это число 3, а во втором – число 1). Одни столбцы таблицы формируются по первому столбцу разностей, а другие – по второму.

 

 

 

                                                   Рис. 2

 

Повторю: этот квадрат дьявольски полумагический.

 

Только после того, как я построила сама по этому алгоритму пандиагональный квадрат 32-ого порядка (смотрите его в указанной выше статье “Квадраты Франклина (часть VI)”), мне удалось выявить все закономерности формирования образующей таблицы. Тогда я возвратилась к квадрату восьмого порядка и внимательно посмотрела на его образующую таблицу. На рис. 3 вы видите правильную образующую таблицу, которая порождает пандиагональный квадрат. Сравните эти две таблицы и определите, где я допустила ошибку, строя таблицу в первый раз. Задачка из серии “найдите различия”.

 

 

 

                                                        Рис. 3

 

Нашли различия? Моя ошибка была единственная – я неправильно расположила максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Всё остальное было сделано правильно. Эта ошибка привела к тому, что я получила не пандиагональный квадрат, а дьявольски полумагичекий.

На рис. 4 показываю пандиагональный квадрат, порождаемый образующей таблицей с рис. 3.

 

 

 

                                                   Рис. 4

 

В квадрате раскрашены все циклы качания качелей. Сравните каждый цикл с набором чисел в соответствующем столбце образующей таблицы, чтобы понять, как числа из образующей таблицы переносятся в матрицу для квадрата.

 

Почти уверена в том, что такой пандиагональный квадрат был построен Франклином, просто он потерялся. Иначе непонятно, почему Франклин построил пандиагональный квадрат 16-ого порядка и не построил по такому же алгоритму пандиагональный квадрат восьмого порядка.

 

Ну, дублировать пандиагональный квадрат Франклина 16-ого порядка не буду. Я уже показывала его несколько раз. Подчеркну только, что первозданный квадрат Франклина, найденный мной в Интернете (ссылка указана в статье “Квадраты Франклина”), я несколько преобразовала, чтобы он стал удобным для применения метода качелей.

 Сразу перехожу к квадрату 24-ого порядка.

Мне удалось установить, что по данному алгоритму Франклина строятся квадраты порядка n=8k, k=1, 2, 3… Об этом будет рассказано ниже.

Пандиагональный квадрат 24-ого порядка я уже построила без затруднений, на одном дыхании. Хотя по-прежнему вручную, то есть без программы (с частичной автоматизацией – при формировании наборов чисел в столбцах образующей таблицы). Как я уже сказала, все закономерности формирования образующей таблицы мне стали понятны, а это значит, что можно формализовать алгоритм и полностью автоматизировать построение квадратов.

 

Не буду показывать образующую таблицу для пандиагонального квадрата 24-ого порядка полностью, покажу только начальную цепочку и номера циклов качания качелей.

Начальная цепочка:

 

1        23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

 

Номера циклов качания качелей:

 

k=22 k=21 k=3 k=4 k=18 k=17 k=7 k=8 k=14 k=13 k=11 k=23 k=1 k=2 k=20 k=19 k=5 k=6 k=16 k=15 k=9 k=10 k=12

 

Осталось расположить максимальные числа в столбцах образующей таблицы. Как это сделать, видно из образующих таблиц для квадратов восьмого (рис. 3) и 16-ого порядка. Теперь вы можете сформировать образующую таблицу самостоятельно.

На рис. 5 показываю готовый пандиагональный квадрат 24-ого порядка.

 

 

 

                                                                                                                      Рис. 5

 

Просто гениальный алгоритм придумал Франклин! Нет предела совершенству.

 

Пандиагональный квадрат 32-ого порядка я построила самым первым. Он показан в статье “Квадраты Франклина (часть VI)” (см. ссылку в начале данной статьи). Квадрат 40-ого порядка пока не строила. Кстати сказать, такой идеальный квадрат построен мной другим методом – методом построения составных квадратов (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть I)”).

 

А теперь покажу две основные закономерности для составления образующих таблиц при построении таких квадратов. Первая закономерность – это начальная цепочка первых n чисел (n – порядок квадрата). Приведу начальные цепочки для квадратов порядков 8-40, и вы наверняка сами увидите закономерность в составлении начальной цепочки, ибо она очевидна.

 

n=8:               1  7  3  5  4  6  2  8

n=16:             1  15  3  13  5  11  7  9  8  10  6  12  4  14  2  16

n=24:             1  23  3  21  5  19  7  17  9  15  11  13  12  14  10  16  8  18  6  20  4  22  2  24

n=32:             1  31  3  29  5  27  7  25  9  23  11  21  13  19  15  17  16  18  14  20  12  22  10  24  8  26  6  28  4  30  2  32

n=40:             1  39  3  37  5  35  7  33  9  31  11  29  13  27  15  25  17  23  19  21  20  22  18  24  16  26  14  28  12  30  10  32  8  34  6  36  4  38  2  40

 

Увидеть эту закономерность было не очень сложно. Уверена, что и вы увидели её сразу. Теперь вы сможете написать начальную цепочку для построения пандиагонального квадрата любого порядка n=8k.

 

Сложнее было с номерами циклов качания качелей. Эту закономерность я увидела не сразу, а только после построения квадрата 32-ого порядка. Сначала приведу все строки образующих таблиц, содержащие номера циклов качания качелей, тоже для порядков 8-40.

 

n=8:               k=6  k=5  k=3  k=7  k=1  k=2  k=4

n=16:             k=14  k=13  k=3  k=4  k=10  k=9  k=7  k=15  k=1  k=2  k=12  k=11  k=5  k=6  k=8

n=24:             k=22  k=21 k=3  k=4  k=18  k=17  k=7  k=8  k=14  k=13  k=11  k=23  k=1  k=2  k=20  k=19  k=5  k=6  k=16  k=15  k=9  k=10  k=12

n=32:             k=30  k=29 k=3  k=4  k=26  k=25  k=7  k=8  k=22  k=21  k=11  k=12  k=18  k=17  k=15  k=31  k=1  k=2  k=28  k=27  k=5  k=6  k=24  k=23  k=9  k=10  k=20  k=19  k=13  k=14  k=16

n=40:             k=38  k=37 k=3  k=4  k=34  k=33  k=7  k=8  k=30  k=29  k=11  k=12  k=26  k=25  k=15  k=16  k=22  k=21  k=19  k=39  k=1  k=2  k=36  k=35  k=5  k=6  k=32  k=31  k=9  k=10  k=28  k=27  k=13  k=14  k=24  k=23  k=17  k=18  k=20

 

В общем виде (для любого порядка n) эту строку образующей таблицы можно записать так:

 

k=n-2  k=n-3  k=3  k=4  k=(n-2)-4  k=(n-3)-4  k=7  k=8  k=(n-2)-8  k=(n-3)-8  k=11  k=12  …  k=(n-2)/2  k=n-1  k=(n-1)-(n-2)  k=(n-1)-(n-3)  k=(n-1)-3  k=(n-1)-4  …  k=(n-1)-(n-2)/2

 

Вот такие хитрые последовательности. Посмотрите на них внимательно. Видите закономерность? Номера циклов слева и справа от центрального столбца образующей таблицы (соответствующий цикл выделен красным цветом) представляют две группы пар чисел (эти группы выделены двумя цветами). В одной группе идёт прибавление числа 4, а в другой группе вычитание числа 4. Суммы значений номеров циклов слева и справа от центрального столбца равны значению номера цикла в центральном столбце. Например, для квадрата порядка n=8: 1+6=7, 2+5=7, 4+3=7.

Долго я думала, чем же накладывается ограничение на порядок квадрата. Наконец поняла. Посмотрите на группы, выделенные фиолетовым цветом. Последний номер цикла перед центральным столбцом так зависит от порядка квадрата:

 

n=8:               k₃ = 3 + 4*(8/8 – 1) = 3 + 4*0 = 3

n=16:             k₇ = 3 + 4*(16/8 – 1) = 3 + 4*1 = 7

n=24:             k₁₁ = 3 + 4*(24/8 – 1) = 3 + 4*2 = 11

n=32:             k₁₅ = 3 + 4*(32/8 – 1) = 3 + 4*3 = 15

n=40:             k₁₉ = 3 + 4*(40/8 – 1) = 3 + 4*4 = 19

 

В общем виде эта зависимость номера цикла от порядка квадрата выразится так:

 

k_(n-2)/2 = 3 + 4*(n/8 – 1)

 

И этот номер цикла (первый слева от центрального столбца), как нетрудно видеть, равен (n – 2)/2. Получаем такое уравнение:

 

 3 + 4*(n/8 – 1) = (n – 2)/2

 

Это уравнение вообще-то является тождеством. Но есть одно условие: выражение (n/8 – 1) определяет количество прибавлений к 3 числа 4. Следовательно, значение этого выражения должно быть целым числом (при n=8 оно равно 0). А это возможно только для n кратных 8. Вот и стало понятно, почему для порядков не кратных 8 этот алгоритм не работает.

 

На этом я завершаю раздел, освещающий построение пандиагональных квадратов по алгоритму Франклина, и перехожу к следующему разделу.

 

ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Я уже показала получение идеального квадрата 16-ого порядка из пандиагонального квадрата Франклина. Но теперь начну опять с квадрата восьмого порядка, ибо я только что построила пандиагональный квадрат и превратила его в идеальный.

 

Пандиагональный квадрат восьмого порядка вы видите на рис. 4.

Напомню схему превращения пандиагонального квадрата в идеальный. Тут всё очень просто. Надо подобрать такой расклад первых n чисел начальной цепочки, чтобы сумма n/2 чисел слева была равна сумме n/2 чисел справа (n – порядок квадрата). Для квадрата восьмого порядка такой расклад легко подобрать без программы. Вот он:

 

слева:       1  4  6  7    

 

Числа справа определяются числами слева автоматически.

 

Далее надо правильно расположить числа начальной цепочки в матрице для квадрата – это очень важно! У меня, например, в квадрате 32-ого порядка это не сразу получилось, и мне пришлось дважды заполнять матрицу. Ну, а как расположить начальную цепочку правильно, это тоже маленькая хитрость, которая откроется вам с опытом.

Наконец, надо просто переписать строки из пандиагонального квадрата в соответствии с расположением начальной цепочки. При этом некоторые строки переворачиваются, то есть записываются в обратном порядке. Дополнительные строки (не содержащие чисел начальной цепочки) записываются как комплементарные, то есть дополняющие основные строки в смысле ассоциативности квадрата. На рис. 6 вы видите готовый идеальный квадрат восьмого порядка.

 

 

 

                                                    Рис. 6

 

Сравните этот идеальный квадрат с тем идеальным квадратом, который есть в Интернете (ссылка на тот квадрат указана и в Википедии; квадрат был исследован мной в первой части статьи “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка”, построена целая группа подобных квадратов). Построенный сейчас квадрат принципиально новый, хотя схема расположения начальной цепочки точно такая же. Он не получается из известного квадрата никакими основными преобразованиями и даже перестановкой строк (или столбцов) не получается, потому что наборы чисел в строках (и в столбцах) разные. Исключение составляют первый и последний столбцы, в этих столбцах наборы чисел одинаковые. Хотя схемы построения этих двух идеальных квадратов очень похожи, они всё-таки не совсем совпадают.

 

Как я уже сказала, превращение пандиагонального квадрата 16-ого порядка в идеальный уже показано (см. статью “Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)”). Там же показано и превращение квадрата 32-ого порядка. Остаётся квадрат 24-ого порядка. Другие пандиагональные квадраты я пока не построила.

 

Пандиагональный квадрат изображён на рис. 5. Подбираем нужный расклад начальной цепочки. Сумма всех чисел от 1 до 24 равна 300. Следовательно, суммы чисел начальной цепочки слева и справа должны равняться 150. Для квадрата 24-ого порядка, как ни странно, не удалось с ходу подобрать такой расклад начальной цепочки (для квадрата 32-ого порядка это удалось сразу). Поэтому написала программку. Программа нашла расклад мгновенно. Вот этот расклад (12 чисел, расположенных в левой половине квадрата):

 

                                      1   5   6   7   8   12   14   15   16   21   22   23

 

Теперь располагаю эти числа в матрице для квадрата (главное – сделать это правильно, маленький секрет, который не открываю, догадайтесь сами!). И затем просто переписываю строки из пандиагонального квадрата с рис. 5. На рис. 7 вы видите готовый идеальный квадрат 24-ого порядка. Красив, дьявольски красив! Даже не верится, что он абсолютно идеален. Всё проверила и перепроверила. Ассоциативность есть, пандиагональность есть, суммы во всех строках, столбцах и диагоналях равны магической константе квадрата – 6924. Ну, прямо хоть сейчас квадрат на выставку в кунсткамеру! А заодно и идеальные квадраты 16-ого и 32-ого порядка.

 

 

 

                                                                                    Рис. 7

 

Ну, что же, построим теперь идеальный квадрат следующего – 40-ого порядка? Если я хорошо изложила метод, то вы всё поняли и готовы построить такой квадрат. Правильно? Для предварительного этапа – построения пандиагонального квадрата 40-ого порядка – выше дана начальная цепочка и номера циклов качания качелей. Дерзайте!

 

А я пока отдохну и соберусь с мыслями. Мне пришлось немало потрудиться над задачей построения идеальных квадратов. Да ведь она ещё и не решена полностью! Пишу начало ряда чётно-чётных порядков:

 

8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  52  56  60  64  68  72  76  80  84  88  92  96  100 …

 

Для n=4 не существует идеального квадрата (это доказано мной в статье “Ассоциативные квадраты”).

В этом ряду выделены красным цветом порядки, для которых не знаю, как построить идеальные квадраты, и существуют ли они вообще. Значит, ровно половины квадратов нет. В общем виде порядок отсутствующих идеальных квадратов можно записать так:

 

n = 4*(2k+1),   k=1, 2, 3, 4…

 

Если вам что-нибудь известно об идеальных квадратах таких порядков, напишите мне, пожалуйста.

 

                                                                  ***

 

16 –18 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

20 апреля 2008 г.

 

Интересно, кто-нибудь из читателей этой страницы построил пандиагональный и идеальный квадраты 40-ого порядка? А я в качестве отдыха построила пандиагональный квадрат 40-ого порядка, но пока не превратила его в идеальный. Построение квадратов уже отлаженным методом – одно удовольствие. Катишься по накатанной дорожке, как лыжник по хорошей лыжне. Я на таких построениях просто отдыхаю и наслаждаюсь гармонией и красотой построенных квадратов.

 

Итак, на рис. 8-9 вы видите две половинки пандиагонального квадрата 40-ого порядка. Прекрасный квадрат!

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 1

 

 

                                                                        Рис. 8

 

Пандиагональный квадрат 40-ого порядка – часть 2