ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть I

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу указывать

ссылку на данную страницу.

 

 

Об идеальных квадратах я уже рассказывала много в других статьях. Это будет как бы обобщающая статья.

 

Определение:

 

Идеальным квадратом называется такой магический квадрат, который является одновременно ассоциативным и пандиагональным.

 

Как известно, пандиагональные квадраты существуют для квадратов нечётных (больше 3) и чётно-чётных порядков. Ассоциативные тоже (квадрат третьего порядка ассоциативен, но не пандиагонален). А вот одновременно и ассоциативные, и пандиагональные, то есть идеальные, возможны только для квадратов нечётных порядков (больше 3). Самый первый идеальный квадрат – магический квадрат пятого порядка.

 

Примечание: несколько месяцев спустя после написания этой статьи я зарегистрировалась на одном математическом форуме. И там мне дали ссылку, где приведён идеальный квадрат восьмого порядка. Для порядка n=4 идеальные квадраты действительно не существуют (это доказано в одной из моих статей – “Ассоциативные квадраты”). А вот восьмого порядка есть. Смотрите этот квадрат по ссылке:

http://www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html

 

Я пока не знаю, существуют ли идеальные квадраты других чётно-чётных порядков. Собираюсь исследовать этот вопрос. Смотрите мою статью:

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

В силу ассоциативности в идеальном квадрате сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, равна одному и тому же числу: n²+1, где n – порядок квадрата. В центральной ячейке идеального квадрата порядка n стоит число (n²+1)/2.

 

Итак, покажу самый первый идеальный квадрат – пятого порядка (рис. 1).

 

 

                                                                      Рис. 1

 

О пандиагональных квадратах пятого порядка мной написано очень много (см. статьи “Пандиагональные квадраты” и “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Доказано, что идеальный квадрат, изображённый на рис.1, является самым базовым квадратом, в том смысле, что из него можно получить остальные 143 пандиагональных квадрата, применяя к нему различные преобразования. Вот какой это удивительный идеальный квадрат!

 

Далее показываю идеальный квадрат седьмого порядка (рис. 2).

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Этот квадрат я построила матричным методом, найденным по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

А вот другой идеальный квадрат, построенный перестановкой строк из ассоциативного квадрата, построенного методом террас (рис. 3):

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

Из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, можно получить ещё несколько идеальных квадратов, переставляя строки с другим шагом (на рис. 3 строки переставлены с шагом 1, то есть через одну строку). А можно точно так же переставлять столбцы, оставляя строки на месте.

Замечу здесь, что из двух идеальных квадратов седьмого порядка (рис. 2 и рис. 3) я отдаю предпочтение квадрату, изображённому на рис. 2, потому что у него в левой верхней ячейке стоит число 1. Мне очень нравятся именно квадраты, начинающиеся с числа 1, они выглядят самыми совершенными. Поэтому я всегда в дальнейшем буду стараться получить идеальный квадрат, начинающийся с единицы.

Метод построения идеального квадрата из ассоциативного путём перестановки строк (или столбцов) годится для всех нечётных порядков не кратных 3. Очень простой метод!

 

А вот теперь у нас как раз на очереди квадрат девятого порядка, то есть кратного 3. Первый идеальный квадрат девятого порядка я построила матричным методом (см. ссылку выше). Смотрите его на рис. 4.

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Но это я уже преобразовала квадрат, построенный матричным методом, чтобы получить в верхней левой ячейке число 1. Первоначально квадрат был таким (рис. 5):

 

 

 

                                                                     Рис. 5

 

Идеальный квадрат на рис. 5 обладает замечательным свойством: сумма чисел в любом квадрате 3х3, расположенном внутри него, равна магической константе квадрата – 369. На рис. 5 выделено 4 таких квадрата 3х3 для примера. Идеальный квадрат на рис. 4, полученный из квадрата с рис. 5 комбинацией различных преобразований, утратил это свойство.

 

Я очень долго пыталась построить идеальный квадрат девятого порядка из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, но мне это не удавалось. А потом совершенно случайно я переставила строки в другом ассоциативном квадрате, построенном на базе магического квадрата третьего порядка. И идеальный квадрат получился! Подробно об этом рассказано в статье “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”. Здесь я покажу идеальный квадрат, построенный этим методом (рис. 6).

 

 

 

                                                                     Рис. 6

 

Идеальный квадрат на рис. 6 тоже обладает таким же свойством, как и квадрат на рис. 5.

 

Я построила очень много идеальных квадратов девятого порядка разными методами (см. статьи: “Магические квадраты девятого порядка”, “Идеальные квадраты девятого порядка”, “Пандиагональные квадраты нечётных порядков кратных 9”). Мной введено понятие “прототип идеального квадрата”, именно на примере идеальных квадратов девятого порядка.

 

А теперь перехожу к идеальным квадратам 11-ого порядка, о которых, кажется, нигде ещё подробно не рассказала. По указанной выше ссылке, где даны матричные методы построения пандиагональных квадратов, о квадратах 11-ого порядка написано очень мало, приведена какая-то матрица в самом общем виде, но ни одного квадрата не построено, и как вообще такой квадрат построить – совершенно непонятно. Да плюс к тому статья написана по-английски, а я не знаю языка. Для тех, кто заинтересуется, повторю ссылку:

 

http://www.grogono.com/magic/11x11.php

 

Но у меня есть прекрасный метод построения пандиагональных квадратов нечётных порядков, не кратных 3 (а 11 как раз такой порядок) из ассоциативного квадрата, построенного методом террас. Я уже сказала об этом методе выше. Вот этим методом я и воспользуюсь. Сначала покажу квадрат 11-ого порядка, построенный методом террас (рис. 7). Этот квадрат ассоциативен, но не пандиагонален.

 

 

 

                                                  Рис. 7

 

Теперь начну делать из этого ассоциативного квадрата идеальные. Сначала переставлю строки, оставляя на месте столбцы. Как я уже говорила, строки можно переставлять с разным шагом: 1 (через одну строку), 2 (через две строки), 3 (через три строки) и т. д.  На рис. 8 показан идеальный квадрат, полученный перестановкой строк с шагом 2, а на рис. 9 – с шагом 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

 

                                                                     Рис. 9

 

На рис. 9 изображён чётно-нечётный рисунок квадрата. Он симметричен относительно обеих осей симметрии – горизонтальной и вертикальной и относительно центра квадрата.

 

Как для всех пандиагональных квадратов нечётного порядка, в квадратах 11-ого порядка можно применить стандартную перестановку строк и/или столбцов. Это преобразование я называю “диагонали-диагонали”, потому что оно не изменяет наборов чисел в строках и столбцах, а переводит все 22 диагонали (2 главные и 20 разломанных) исходного квадрата в другие 22 диагонали нового квадрата. На рис. 10 вы видите квадрат с рис. 8 со стандартно переставленными столбцами, на рис. 11 – со стандартно переставленными строками, а на рис. 12 переставлены и строки, и столбцы.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

 

 

                                                                     Рис. 11

 

 

 

                                                                     Рис. 12

 

На рис. 10 выделены цветом разломанные диагонали, в которые перешли главные диагонали исходного квадрата с рис. 8. Преобразование одновременной перестановки строк и столбцов сохраняет ещё набор чисел в одной из главных диагоналей. Очевидно, что преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов не сохраняет ассоциативность квадрата. Все три квадрата (рис. 10, 11, 12) не являются ассоциативными, но их очень просто превратить в ассоциативные, а значит, в идеальные, параллельным переносом на торе. Новых идеальных квадратов при этом не получится.

 

Далее  я получаю новый идеальный квадрат из ассоциативного (с рис. 7), переставляя столбцы с шагом 1 (через один столбец) и оставляя на месте строки. Смотрите этот квадрат на рис. 13.

 

 

 

                                                                     Рис. 13

 

(Примечание: на рисунке выделены первые 11 чисел, смотрите об этом далее).

 

Этот квадрат мне понадобится, чтобы сделать самый красивый идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Сначала я перенесу квадрат с рис. 13 на торе (см. рис. 14):

 

 

 

                                                                     Рис. 14

 

А вот сейчас мне понадобится преобразование “строки-диагонали”. Я уже много раз рассказывала об этом преобразовании: для пандиагональных квадратов пятого, седьмого, девятого и пятнадцатого порядков. Поэтому сразу приведу матрицу преобразования для квадрата 11-ого порядка. Пусть исходный пандиагональный квадрат имеет матрицу А(a_i,j). Тогда квадрат, преобразованный преобразованием “строки-диагонали”, будет иметь следующую матрицу (рис. 15):

 

 

 

                                                                    Рис. 15

 

Применяю это преобразование к пандиагональному квадрату с рис. 14. В результате получаю идеальный квадрат, который показан на рис. 16. Это самый лучший идеальный квадрат для меня, потому что он начинается с числа 1!

 

 

 

                                                                     Рис. 16

 

Посмотрите, какой оригинальный чётно-нечётный рисунок у этого идеального квадрата. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

А сейчас применю преобразование “строки-диагонали” к идеальному квадрату с рис. 8. Полученный пандиагональный квадрат изображён на рис. 17.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Этот квадрат пандиагональный, но не ассоциативный. Превращаю его в ассоциативный (а значит, в идеальный) параллельным переносом на торе. Смотрите на рис. 18.

 

 

 

                                                                    Рис. 18

 

Применю к этому квадрату (с рис. 18) преобразование “строки-диагонали”. Получился пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 19.

 

 

 

                                                                     Рис. 19

 

Интереснейший получился квадрат! Во-первых, очень гармонично расположены первые 11 чисел (я выделила их). Во-вторых, числа в строках почти всегда отличаются друг от друга на 20 (за редкими исключениями). Прямо чудо-квадрат! Чувствую, что в этом квадрате можно найти какой-то ключ к построению пандиагональных квадратов 11-ого порядка. Из этого квадрата я элементарно получаю идеальный квадрат параллельным переносом на торе (см. рис. 20).

 

 

 

                                                                     Рис. 20

 

Повернём этот квадрат (рис. 20) на 90 градусов против часовой стрелки (см. рис. 21):

 

 

 

                                                                     Рис. 21

 

Сравните этот идеальный квадрат с квадратом, изображённым на рис. 8! Вы увидите, что он получен из него перестановками строк и столбцов по определённой схеме. Об этом преобразовании нестандартной перестановки одновременно строк и столбцов я уже рассказала в статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка”. Красивое преобразование! Оно не изменяет наборов чисел в строках, столбцах и главных диагоналях, а все разломанные диагонали исходного квадрата переводит в другие разломанные диагонали нового квадрата. Читатели могут самостоятельно написать матрицу этого преобразования по аналогии с тем, как это показано для квадратов 15-ого порядка (см. указанную выше статью). Замечательно то, что преобразование переводит идеальный квадрат в идеальный. К идеальному квадрату на рис. 21 можно снова применить это преобразование, тогда получится идеальный квадрат, в котором строки и столбцы переставлены по другой схеме относительно квадрата с рис. 8. Таким образом, это преобразование имеет несколько вариантов.

 

И, наконец, надо рассказать о том, что все построенные здесь идеальные квадраты 11-ого порядка имеют пандиагональный прототип  и сами порождаются пандиагональным прототипом (понятие прототипа идеального квадрата я ввела при рассмотрении идеальных квадратов девятого порядка). Покажу это на примере самого лучшего идеального квадрата, который начинается с числа 1 (рис. 16). На рис. 22 вы видите прототип этого квадрата, который является пандиагональным квадратом.

 

 

 

                                                                     Рис. 22

 

Квадрат легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе. В свою очередь квадрат с рис. 16 является прототипом другого пандиагонального квадрата, его вы видите на рис. 23.

 

 

 

                                                                  Рис. 23

 

Этот квадрат тоже элементарно превращается в идеальный параллельным переносом на торе.

 

На этом я завершаю рассказ о пандиагональных и идеальных квадратах 11-ого порядка и перехожу к квадратам 13-ого порядка.

 

Примечание: просматривая написанные статьи, я обнаружила, что у меня уже есть статья, посвящённая квадратам 11-ого порядка. Ну, ничего, здесь приведено несколько новых квадратов.

 

Здесь всё совершенно аналогично квадратам 11-ого порядка, поэтому расскажу очень кратко, предоставляя читателям возможность построить несколько идеальных квадратов самостоятельно.

Прежде всего, покажу ассоциативный квадрат 13-ого порядка, построенный методом террас, из которого и буду получать идеальные квадраты (рис. 24).

 

 

 

                                                  Рис. 24

 

Переставляю в этом ассоциативном квадрате столбцы с шагом 1 (через один столбец), оставляя строки на месте. И идеальный квадрат 13-ого порядка готов! Всем понятно, что этот метод построения пандиагональных (и идеальных) квадратов для квадратов нечётных порядков, не кратных 3, самый простой. На рис. 25 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

 

                                                  Рис. 25

 

Посмотрите на этот идеальный квадрат. Я выделила первые 13 чисел. Сразу бросается в глаза определённая закономерность в расположении этих чисел. Я посмотрела на все идеальные квадраты низших нечётных порядков, построенные этим методом. И во всех увидела ту же закономерность! Кроме квадратов нечётных порядков, кратных 3, которые, как я уже говорила, этим методом не строятся. Этот результат показался мне очень интересным. Покажу здесь все эти идеальные квадраты, чтобы наглядно продемонстрировать этот результат. На рис. 26 вы видите идеальные квадраты 5, 7, 11 порядков, построенные данным методом. Я так же выделила в каждом квадрате первые n чисел (n – порядок квадрата). Квадрат 11-ого порядка уже был показан выше (см. рис. 13).