ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ
Часть X
Внимание! Оригинал.
При копировании материалов
прошу указывать ссылку
на данную страницу.
В предыдущей части я рассказала об идеальных квадратах 21-ого порядка. Теперь хочу рассмотреть идеальные квадраты 27-ого порядка. Опять пропускаю квадраты порядков 23 и 25. Идеальные квадраты таких порядков построить очень просто. Идеальные квадраты 25-ого порядка были показаны в одной из предыдущих частей статьи.
Идеальный квадрат 27-ого порядка тоже был мной построен в статье “Пандиагональные квадраты порядков, кратных 9”. Построен он был очень простым методом: определённым образом переставляются столбцы в ассоциативном квадрате, построенном на базе магического квадрата третьего порядка. Интересно отметить, что этим методом можно построить идеальный квадрат любого порядка, который является степенью числа 3. В указанной статье было показано построение идеальных квадратов 9-ого, 27-ого и 81-ого порядка. Красивый метод и, главное, очень простой. Достаточно иметь магический квадрат третьего порядка и больше ничего. Всё можно сделать даже без компьютера, а те, кто хорошо складывает в уме, могут обойтись и без калькулятора. Показываю здесь идеальный квадрат 27-ого порядка (рис. 1):
92 |
137 |
128 |
497 |
542 |
533 |
416 |
461 |
452 |
97 |
142 |
133 |
502 |
547 |
99 |
144 |
135 |
504 |
549 |
540 |
423 |
468 |
459 |
95 |
140 |
131 |
500 |
545 |
94 |
139 |
130 |
499 |
544 |
535 |
418 |
463 |
454 |
93 |
138 |
129 |
498 |
543 |
155 |
119 |
83 |
560 |
524 |
488 |
479 |
443 |
407 |
160 |
124 |
88 |
565 |
529 |
162 |
126 |
90 |
567 |
531 |
495 |
486 |
450 |
414 |
158 |
122 |
86 |
563 |
527 |
157 |
121 |
85 |
562 |
526 |
490 |
481 |
445 |
409 |
156 |
120 |
84 |
561 |
525 |
110 |
101 |
146 |
515 |
506 |
551 |
434 |
425 |
470 |
115 |
106 |
151 |
520 |
511 |
117 |
108 |
153 |
522 |
513 |
558 |
441 |
432 |
477 |
113 |
104 |
149 |
518 |
509 |
112 |
103 |
148 |
517 |
508 |
553 |
436 |
427 |
472 |
111 |
102 |
147 |
516 |
507 |
659 |
704 |
695 |
335 |
380 |
371 |
11 |
56 |
47 |
664 |
709 |
700 |
340 |
385 |
666 |
711 |
702 |
342 |
387 |
378 |
18 |
63 |
54 |
662 |
707 |
698 |
338 |
383 |
661 |
706 |
697 |
337 |
382 |
373 |
13 |
58 |
49 |
660 |
705 |
696 |
336 |
381 |
722 |
686 |
650 |
398 |
362 |
326 |
74 |
38 |
2 |
727 |
691 |
655 |
403 |
367 |
729 |
693 |
657 |
405 |
369 |
333 |
81 |
45 |
9 |
725 |
689 |
653 |
401 |
365 |
724 |
688 |
652 |
400 |
364 |
328 |
76 |
40 |
4 |
723 |
687 |
651 |
399 |
363 |
677 |
668 |
713 |
353 |
344 |
389 |
29 |
20 |
65 |
682 |
673 |
718 |
358 |
349 |
684 |
675 |
720 |
360 |
351 |
396 |
36 |
27 |
72 |
680 |
671 |
716 |
356 |
347 |
679 |
670 |
715 |
355 |
346 |
391 |
31 |
22 |
67 |
678 |
669 |
714 |
354 |
345 |
254 |
299 |
290 |
173 |
218 |
209 |
578 |
623 |
614 |
259 |
304 |
295 |
178 |
223 |
261 |
306 |
297 |
180 |
225 |
216 |
585 |
630 |
621 |
257 |
302 |
293 |
176 |
221 |
256 |
301 |
292 |
175 |
220 |
211 |
580 |
625 |
616 |
255 |
300 |
291 |
174 |
219 |
317 |
281 |
645 |
236 |
200 |
164 |
641 |
605 |
569 |
322 |
286 |
250 |
241 |
205 |
324 |
288 |
252 |
243 |
207 |
171 |
648 |
612 |
576 |
320 |
284 |
248 |
239 |
203 |
319 |
283 |
247 |
238 |
202 |
166 |
643 |
607 |
571 |
318 |
282 |
246 |
237 |
201 |
272 |
263 |
308 |
191 |
182 |
227 |
596 |
587 |
632 |
277 |
268 |
313 |
196 |
187 |
279 |
270 |
315 |
198 |
189 |
234 |
603 |
594 |
639 |
275 |
266 |
311 |
194 |
185 |
274 |
265 |
310 |
193 |
184 |
229 |
598 |
589 |
634 |
273 |
264 |
309 |
192 |
183 |
538 |
421 |
466 |
457 |
96 |
141 |
132 |
501 |
546 |
537 |
420 |
465 |
456 |
536 |
419 |
464 |
455 |
91 |
136 |
127 |
496 |
541 |
532 |
415 |
460 |
451 |
534 |
417 |
462 |
453 |
98 |
143 |
134 |
503 |
548 |
539 |
422 |
467 |
458 |
493 |
484 |
448 |
412 |
159 |
123 |
87 |
564 |
528 |
492 |
483 |
447 |
411 |
491 |
482 |
446 |
410 |
154 |
118 |
82 |
559 |
523 |
487 |
478 |
442 |
406 |
489 |
480 |
444 |
408 |
161 |
125 |
89 |
566 |
530 |
494 |
485 |
449 |
413 |
556 |
439 |
430 |
475 |
114 |
105 |
150 |
519 |
510 |
555 |
438 |
429 |
474 |
554 |
437 |
428 |
473 |
109 |
100 |
145 |
514 |
505 |
550 |
433 |
424 |
469 |
552 |
435 |
426 |
471 |
116 |
107 |
152 |
521 |
512 |
557 |
440 |
431 |
476 |
376 |
16 |
61 |
52 |
663 |
708 |
699 |
339 |
384 |
375 |
15 |
60 |
51 |
374 |
14 |
59 |
50 |
658 |
703 |
694 |
334 |
379 |
370 |
10 |
55 |
46 |
372 |
12 |
57 |
48 |
665 |
710 |
701 |
341 |
386 |
377 |
17 |
62 |
53 |
331 |
79 |
43 |
7 |
726 |
690 |
654 |
402 |
366 |
330 |
78 |
42 |
6 |
329 |
77 |
41 |
5 |
721 |
685 |
649 |
397 |
361 |
325 |
73 |
37 |
1 |
327 |
75 |
39 |
3 |
728 |
692 |
656 |
404 |
368 |
332 |
80 |
44 |
8 |
394 |
34 |
25 |
70 |
681 |
672 |
717 |
357 |
348 |
393 |
33 |
24 |
69 |
392 |
32 |
23 |
68 |
676 |
667 |
712 |
352 |
343 |
388 |
28 |
19 |
64 |
390 |
30 |
21 |
66 |
683 |
674 |
719 |
359 |
350 |
395 |
35 |
26 |
71 |
214 |
583 |
628 |
619 |
258 |
303 |
294 |
177 |
222 |
213 |
582 |
627 |
618 |
212 |
581 |
626 |
617 |
253 |
298 |
289 |
172 |
217 |
208 |
577 |
622 |
613 |
210 |
579 |
624 |
615 |
260 |
305 |
296 |
179 |
224 |
215 |
584 |
629 |
620 |
169 |
646 |
610 |
574 |
321 |
285 |
249 |
240 |
204 |
168 |
645 |
609 |
573 |
167 |
644 |
608 |
572 |
316 |
280 |
244 |
235 |
199 |
163 |
640 |
604 |
568 |
165 |
642 |
606 |
570 |
323 |
287 |
251 |
242 |
206 |
170 |
647 |
611 |
575 |
232 |
601 |
592 |
637 |
276 |
267 |
312 |
195 |
186 |
231 |
600 |
591 |
636 |
230 |
599 |
590 |
635 |
271 |
262 |
307 |
190 |
181 |
226 |
595 |
586 |
631 |
228 |
597 |
588 |
633 |
278 |
269 |
314 |
197 |
188 |
233 |
602 |
593 |
638 |
Рис. 1
С целью лучшего изображения я “разрезала” квадрат на две части по вертикали, он представлен в виде двух половинок. Понятно, что для получения полной картинки надо соединить две части квадрата.
Это пока единственный идеальный квадрат 27-ого порядка, имеющийся у меня в наличии. Посмотрите на этот квадрат внимательно. Я выделила в нём первые 27 чисел. Это девять столбиков по три числа. При внимательном рассмотрении можно заметить, что другие столбики в матрице непостижимым образом связаны с этими начальными столбиками. Когда я представляла идеальный квадрат 9-ого порядка, построенный таким же методом, там это было видно очень хорошо. Есть даже некоторая аналогия с методом качелей. Вот, например, два столбика – начальный и стоящий с ним рядом (рис. 2):
11 |
56 |
18 |
63 |
13 |
58 |
Рис. 2
Числа в начальном столбце связаны так: 13+5=18, 18-7=11. Числа в столбце, стоящем рядом, связаны точно так же!
Ну, для начала получу из этого идеального квадрата идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Что для этого надо сделать, читатели уже знают, потому что я показывала этот путь не один раз. Сначала перенесу квадрат на торе, так чтобы центральная строка оказалась первой, а затем отражу его относительно вертикальной оси симметрии, так чтобы число 1 оказалось в левой верхней ячейке. В результате таких преобразований квадрат утратит ассоциативность. Чтобы превратить квадрат в идеальный, надо применить к нему преобразование “строки-диагонали”. И на рис. 3 вы видите второй идеальный квадрат 27-ого порядка. Этот квадрат начинается с числа 1.
1 |
192 |
42 |
311 |
17 |
268 |
370 |
318 |
384 |
576 |
521 |
605 |
145 |
580 |
502 |
37 |
309 |
78 |
266 |
377 |
277 |
379 |
571 |
339 |
612 |
152 |
641 |
100 |
44 |
133 |
73 |
264 |
330 |
275 |
386 |
632 |
334 |
607 |
699 |
648 |
107 |
164 |
131 |
80 |
142 |
325 |
273 |
366 |
639 |
341 |
587 |
694 |
643 |
708 |
171 |
116 |
33 |
140 |
332 |
97 |
361 |
634 |
402 |
594 |
701 |
596 |
703 |
166 |
663 |
207 |
138 |
393 |
95 |
368 |
452 |
397 |
589 |
654 |
603 |
710 |
227 |
658 |
202 |
52 |
388 |
93 |
348 |
459 |
404 |
461 |
649 |
598 |
690 |
234 |
665 |
182 |
50 |
238 |
160 |
343 |
454 |
357 |
468 |
656 |
416 |
685 |
229 |
726 |
189 |
48 |
191 |
59 |
350 |
407 |
352 |
463 |
717 |
423 |
692 |
533 |
721 |
184 |
7 |
198 |
57 |
308 |
414 |
359 |
443 |
712 |
418 |
672 |
540 |
728 |
542 |
5 |
193 |
43 |
315 |
12 |
177 |
450 |
719 |
479 |
667 |
535 |
681 |
549 |
3 |
497 |
41 |
310 |
79 |
270 |
445 |
294 |
486 |
674 |
488 |
676 |
544 |
70 |
504 |
39 |
128 |
77 |
265 |
331 |
289 |
481 |
303 |
495 |
683 |
524 |
68 |
499 |
25 |
135 |
75 |
137 |
329 |
274 |
434 |
298 |
490 |
258 |
531 |
66 |
560 |
23 |
130 |
34 |
144 |
327 |
92 |
365 |
305 |
551 |
253 |
526 |
619 |
567 |
21 |
83 |
32 |
139 |
394 |
99 |
363 |
456 |
558 |
260 |
506 |
617 |
562 |
628 |
90 |
30 |
119 |
392 |
94 |
349 |
451 |
399 |
321 |
513 |
615 |
515 |
626 |
85 |
583 |
126 |
390 |
155 |
347 |
458 |
358 |
460 |
508 |
574 |
522 |
624 |
146 |
581 |
121 |
214 |
162 |
345 |
411 |
356 |
467 |
718 |
572 |
517 |
610 |
153 |
579 |
101 |
212 |
157 |
223 |
406 |
354 |
447 |
716 |
422 |
335 |
608 |
148 |
646 |
108 |
210 |
110 |
221 |
413 |
178 |
442 |
714 |
483 |
671 |
606 |
695 |
644 |
103 |
169 |
117 |
219 |
474 |
176 |
449 |
295 |
478 |
669 |
492 |
702 |
642 |
704 |
167 |
112 |
205 |
469 |
174 |
429 |
293 |
485 |
304 |
487 |
678 |
601 |
711 |
165 |
659 |
203 |
476 |
241 |
424 |
291 |
438 |
302 |
494 |
259 |
523 |
706 |
232 |
666 |
201 |
51 |
239 |
431 |
250 |
433 |
300 |
555 |
257 |
530 |
614 |
230 |
661 |
187 |
46 |
237 |
60 |
248 |
440 |
286 |
550 |
255 |
510 |
621 |
566 |
722 |
185 |
53 |
196 |
55 |
246 |
15 |
284 |
557 |
322 |
505 |
616 |
519 |
630 |
183 |
6 |
194 |
62 |
313 |
10 |
282 |
375 |
320 |
512 |
569 |
514 |
625 |
150 |
105 |
216 |
161 |
218 |
410 |
355 |
448 |
720 |
417 |
668 |
536 |
724 |
547 |
211 |
114 |
225 |
408 |
173 |
446 |
715 |
484 |
675 |
534 |
677 |
545 |
8 |
109 |
220 |
475 |
180 |
444 |
290 |
482 |
670 |
493 |
684 |
543 |
69 |
500 |
200 |
473 |
175 |
430 |
297 |
480 |
299 |
491 |
679 |
529 |
64 |
498 |
24 |
471 |
236 |
428 |
292 |
439 |
306 |
489 |
254 |
527 |
71 |
565 |
19 |
129 |
243 |
426 |
245 |
437 |
301 |
556 |
261 |
525 |
618 |
563 |
26 |
88 |
28 |
61 |
252 |
435 |
281 |
554 |
256 |
511 |
613 |
561 |
627 |
86 |
35 |
124 |
247 |
16 |
288 |
552 |
317 |
509 |
620 |
520 |
622 |
84 |
582 |
122 |
395 |
14 |
283 |
376 |
324 |
507 |
573 |
518 |
629 |
151 |
577 |
120 |
213 |
158 |
263 |
374 |
319 |
385 |
568 |
516 |
609 |
149 |
584 |
106 |
208 |
156 |
222 |
372 |
272 |
383 |
575 |
340 |
604 |
147 |
645 |
104 |
215 |
115 |
217 |
409 |
279 |
381 |
636 |
338 |
611 |
700 |
640 |
102 |
168 |
113 |
224 |
470 |
172 |
367 |
631 |
336 |
591 |
698 |
647 |
709 |
163 |
111 |
204 |
477 |
179 |
425 |
638 |
403 |
586 |
696 |
600 |
707 |
170 |
664 |
199 |
472 |
240 |
432 |
296 |
401 |
593 |
655 |
595 |
705 |
231 |
662 |
206 |
47 |
235 |
427 |
249 |
441 |
465 |
653 |
602 |
691 |
226 |
660 |
186 |
54 |
242 |
56 |
244 |
436 |
285 |
651 |
420 |
689 |
233 |
727 |
181 |
49 |
195 |
63 |
251 |
11 |
280 |
553 |
415 |
687 |
537 |
725 |
188 |
2 |
190 |
58 |
312 |
18 |
287 |
371 |
316 |
673 |
532 |
723 |
546 |
9 |
197 |
38 |
307 |
13 |
267 |
378 |
323 |
380 |
539 |
682 |
541 |
4 |
501 |
45 |
314 |
74 |
262 |
373 |
276 |
387 |
570 |
680 |
548 |
65 |
496 |
40 |
132 |
81 |
269 |
326 |
271 |
382 |
637 |
342 |
528 |
72 |
503 |
20 |
127 |
76 |
141 |
333 |
278 |
362 |
635 |
337 |
592 |
67 |
564 |
27 |
134 |
29 |
136 |
328 |
96 |
369 |
633 |
398 |
590 |
697 |
559 |
22 |
87 |
36 |
143 |
389 |
91 |
364 |
457 |
405 |
588 |
650 |
599 |
623 |
82 |
31 |
123 |
396 |
98 |
344 |
455 |
400 |
466 |
657 |
597 |
686 |
89 |
578 |
118 |
391 |
159 |
351 |
453 |
353 |
464 |
652 |
421 |
693 |
228 |
585 |
125 |
209 |
154 |
346 |
412 |
360 |
462 |
713 |
419 |
688 |
538 |
729 |
Рис. 3
Напомню читателям, что матрицы преобразования “строки-диагонали” были показаны для пандиагональных квадратов 5-ого, 7-ого, 9-ого и 11-ого порядков. Самую первую такую матрицу я сочинила для квадратов 5-ого порядка. Это был восхитительно! Так красиво все строки исходного квадрата переходят в диагонали нового квадрата. Затем попробовала сочинить матрицу такого преобразования для квадратов 7-ого порядка. Это вызвало некоторые трудности – не было ещё опыта, не увидела все закономерности. А уже при написании матрицы этого преобразования для квадратов 9-ого порядка не возникло ни малейших трудностей. И я написала матрицы этого преобразования до порядка 27 включительно. Рекомендация: при написании матрицы сначала перепишите первую строку исходного квадрата в главную диагональ нового квадрата, и от неё уже начинайте “танцевать”. И ещё, конечно, надо положить перед собой одну из готовых матриц этого преобразования, как образец.
Замечу, что преобразование “строки-диагонали” применимо только к пандиагональным квадратам нечётного порядка.
В квадрате на рис. 3 выделена главная диагональ, это первая строка в исходном квадрате. Как уже заметили читатели, ценность этого преобразования в том, что оно позволяет превратить пандиагональный квадрат в идеальный. Разумеется, это возможно не всегда, а только в том случае, когда исходный квадрат получен из идеального квадрата другим преобразованием или комбинацией преобразований (например, параллельный перенос на торе, перестановка строк, отражение).
Ну, а ещё с помощью этого преобразования мне удалось свести банк базовых пандиагональных квадратов пятого порядка, состоящий из 144 квадратов, к одному базовому квадрату. Смотрите об этом в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”.
Далее перехожу к методу стандартных качелей. Как помнят читатели, я остановилась при рассмотрении метода качелей на квадрате 33-ого порядка, потому что программа очень большая и не хочется её писать и выполнять. Я сначала пропустила порядок 27 потому, что у меня уже был построен идеальный квадрат этого порядка другим методом. А теперь вот подумала, что для идеальных квадратов 27-ого порядка тоже надо попробовать метод качелей. И решила сначала построить идеальный квадрат 27-ого порядка этим методом, а потом уж, если придёт вдохновение, написать программу и для квадратов 33-ого порядка. А читателям предлагаю сделать это прямо сейчас! Уверяю вас, вы получите истинное наслаждение, когда на экране замелькают идеальные квадраты 33-ого порядка, построенные по вашей программе. В восьмой части данной статьи запрограммированы стандартные и нестандартные качели для квадратов 15-ого порядка.
В предыдущей части запрограммированы нестандартные качели для квадратов 21-ого порядка. Стандартные качели для квадратов 21-ого порядка тоже были запрограммированы (во второй части статьи).
Итак, я рисую образующую таблицу для стандартных качелей с целью запрограммировать её и построить идеальные квадраты 27-ого порядка. Далее пишу программу, отлаживаю её и получаю результаты. Но о результатах расскажу в другой раз.
***
Страница помещена на сайт 10 января 2008 г.
__________
12 января 2008 г.
Ура-а-а! Есть идеальные квадраты 27-ого порядка.
Пришлось попыхтеть над программой, она всё-таки длинная получилась, хотя совсем не сложная, конечно. Ничего сложного в ней нет. Отладка не заняла много времени. Было несколько описок, которые быстро увидела и устранила. И программа начала выдавать образующие таблицы для идеальных квадратов! Но прежде покажу читателям образующую таблицу с начальными условиями, которые я задала при составлении программы (рис. 4).
|
27 |
28 |
56 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
728 |
-1 |
1 |
29 |
57 |
|
|
|
… |
|
365 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
673 |
701 |
729 |
-1 |
2 |
30 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
674 |
702 |
703 |
3-K |
3 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
675 |
676 |
704 |
K-L |
K |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
649 |
677 |
705 |
L-M |
L |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
650 |
678 |
|
M-N |
M |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
651 |
|
|
N-O |
N |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O-P |
O |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P-R |
P |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R-S |
R |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S-T |
S |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T-U |
T |
|
68 |
|
|
|
… |
|
376 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U-14 |
U |
41 |
|
|
|
|
… |
|
377 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U-14 |
14 |
|
|
|
|
|
… |
|
378 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T-U |
28-U |
|
|
|
|
|
… |
|
352 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
716 |
S-T |
28-T |
|
|
|
|
|
… |
|
353 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
689 |
|
R-S |
28-S |
|
|
|
|
|
… |
|
354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
662 |
|
|
P-R |
28-R |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O-P |
28-P |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N-O |
28-O |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M-N |
28-N |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L-M |
28-M |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K-L |
28-L |
|
79 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-K |
28-K |
52 |
80 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
25 |
53 |
81 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
26 |
54 |
55 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
727 |
|
|
k=1 |
k=2 |
k= |
k= |
k= |
… |
k= |
k=13 |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k= |
k=24 |
k=25 |
k=26 |
Рис. 4
Замечу, что для более компактного изображения я пропустила в таблице пять столбцов, эти столбцы пустые, в них нет никаких чисел.
В таблицу вписаны все числа, которые я считаю известными, это и есть начальные условия для моей программы. Как видите, я зафиксировала пять чисел в начальной цепочке из 27 чисел: 27, 1, 14, 2, 3. В результате этого, по законам формирования таблицы, будут известны ещё два числа: 25 и 26. Отмечу, что числа 27, 1 и 14 фиксировать надо обязательно. Числа же 2 и 3 зафиксированы просто для того, чтобы было меньше варьируемых переменных. Таким образом, у меня оказалось 10 варьируемых переменных, все они изменяются в интервале от 4 до 24, исключая 14. Если же числа 2 и 3 не фиксировать, тогда варьируемых переменных будет 12, и все они будут изменяться в интервале от 2 до 26, исключая 14. Вот такую маленькую хитрость я применила при составлении этой большой программы, уменьшив таким образом её размер. Ну, время выполнения всей программы, конечно, мало от этого изменилось. Прикиньте на досуге, сколько вариантов должна рассмотреть программа даже в моём исполнении. И последняя маленькая хитрость: чтобы за числами 2 и 3 сразу не следовало следующее по порядку число 4, я задала в качестве начального значения для переменной K число 7. Просто так, для разнообразия. Я могла задать здесь любое число в интервале от 4 до 24, кроме числа 14. Вот и все технические моменты моей программы. А далее поставила сразу счётчик на 5 решений, потому что ведь выполнить программу до конца – это можно и до смерти не дождаться! Тем более что программы я пишу на стареньком и очень медленном языке BASIC. Ну, первые пять решений программы выдала за 10 секунд. Как всегда, решения у меня выводятся в виде образующих таблиц. А идеальный квадрат по его образующей таблице я пишу вручную. Покажу здесь образующие таблицы для трёх первых решений, чтобы читатель увидел, что они представляют собой. Итак, вот три первых решения, выданных программой. В первой строке выводятся значения варьируемых переменных, во второй строке разности (самый левый столбец образующей таблицы), а потом сама таблица.
1
7 4 5 6 8 9 11 13 10 16 12 18 15 17 19 20 22 23 24 21
-1 -1 -4 3 -1 -1 -2 -1 -2 -2 3 -6 2 2 -6 3 -2 -2 -1 -2 -1 -1 3 -4 -1 -1
27 28 56 165 88 112 140 195 224 279 335 256 415 367 311 471 396 447 503 532 587 616 644 564 669 700 728
1 29 57 169 85 113 141 197 225 281 337 253 421 365 309 477 393 449 505 533 589 617 645 561 673 701 729
2 30 61 166 86 114 143 198 227 283 334 259 419 363 315 474 395 451 506 535 590 618 642 565 674 702 703
3 34 58 167 87 116 144 200 229 280 340 257 417 369 312 476 397 452 508 536 591 615 646 566 675 676 704
7 31 59 168 89 117 146 202 226 286 338 255 423 366 314 478 398 454 509 537 588 619 647 567 649 677 705
4 32 60 170 90 119 148 199 232 284 336 261 420 368 316 479 400 455 510 534 592 620 648 541 650 678 709
5 33 62 171 92 121 145 205 230 282 342 258 422 370 317 481 401 456 507 538 593 621 622 542 651 682 706
6 35 63 173 94 118 151 203 228 288 339 260 424 371 319 482 402 453 511 539 594 595 623 543 655 679 707
8 36 65 175 91 124 149 201 234 285 341 262 425 373 320 483 399 457 512 540 568 596 624 547 652 680 708
9 38 67 172 97 122 147 207 231 287 343 263 427 374 321 480 403 458 513 514 569 597 628 544 653 681 710
11 40 64 178 95 120 153 204 233 289 344 265 428 375 318 484 404 459 487 515 570 601 625 545 654 683 711
13 37 70 176 93 126 150 206 235 290 346 266 429 372 322 485 405 433 488 516 574 598 626 546 656 684 713
10 43 68 174 99 123 152 208 236 292 347 267 426 376 323 486 379 434 489 520 571 599 627 548 657 686 715
16 41 66 180 96 125 154 209 238 293 348 264 430 377 324 460 380 435 493 517 572 600 629 549 659 688 712
14 39 72 177 98 127 155 211 239 294 345 268 431 378 298 461 381 439 490 518 573 602 630 551 661 685 718
12 45 69 179 100 128 157 212 240 291 349 269 432 352 299 462 385 436 491 519 575 603 632 553 658 691 716
18 42 71 181 101 130 158 213 237 295 350 270 406 353 300 466 382 437 492 521 576 605 634 550 664 689 714
15 44 73 182 103 131 159 210 241 296 351 244 407 354 304 463 383 438 494 522 578 607 631 556 662 687 720
17 46 74 184 104 132 156 214 242 297 325 245 408 358 301 464 384 440 495 524 580 604 637 554 660 693 717
19 47 76 185 105 129 160 215 243 271 326 246 412 355 302 465 386 441 497 526 577 610 635 552 666 690 719
20 49 77 186 102 133 161 216 217 272 327 250 409 356 303 467 387 443 499 523 583 608 633 558 663 692 721
22 50 78 183 106 134 162 190 218 273 331 247 410 357 305 468 389 445 496 529 581 606 639 555 665 694 722
23 51 75 187 107 135 136 191 219 277 328 248 411 359 306 470 391 442 502 527 579 612 636 557 667 695 724
24 48 79 188 108 109 137 192 223 274 329 249 413 360 308 472 388 448 500 525 585 609 638 559 668 697 725
21 52 80 189 82 110 138 196 220 275 330 251 414 362 310 469 394 446 498 531 582 611 640 560 670 698 726
25 53 81 163 83 111 142 193 221 276 332 252 416 364 307 475 392 444 504 528 584 613 641 562 671 699 723
26 54 55 164 84 115 139 194 222 278 333 254 418 361 313 473 390 450 501 530 586 614 643 563 672 696 727
2
7 4 5 6 8 9 11 13 12 18 10 16 15 17 19 20 22 23 24 21
-1 -1 -4 3 -1 -1 -2 -1 -2 -2 1 -6 4 4 -6 1 -2 -2 -1 -2 -1 -1 3 -4 -1 -1
27 28 56 165 88 112 140 195 224 279 335 310 471 369 257 415 394 447 503 532 587 616 644 564 669 700 728
1 29 57 169 85 113 141 197 225 281 337 309 477 365 253 421 393 449 505 533 589 617 645 561 673 701 729
2 30 61 166 86 114 143 198 227 283 336 315 473 361 259 420 395 451 506 535 590 618 642 565 674 702 703
3 34 58 167 87 116 144 200 229 282 342 311 469 367 258 422 397 452 508 536 591 615 646 566 675 676 704
7 31 59 168 89 117 146 202 228 288 338 307 475 366 260 424 398 454 509 537 588 619 647 567 649 677 705
4 32 60 170 90 119 148 201 234 284 334 313 474 368 262 425 400 455 510 534 592 620 648 541 650 678 709
5 33 62 171 92 121 147 207 230 280 340 312 476 370 263 427 401 456 507 538 593 621 622 542 651 682 706
6 35 63 173 94 120 153 203 226 286 339 314 478 371 265 428 402 453 511 539 594 595 623 543 655 679 707
8 36 65 175 93 126 149 199 232 285 341 316 479 373 266 429 399 457 512 540 568 596 624 547 652 680 708
9 38 67 174 99 122 145 205 231 287 343 317 481 374 267 426 403 458 513 514 569 597 628 544 653 681 710
11 40 66 180 95 118 151 204 233 289 344 319 482 375 264 430 404 459 487 515 570 601 625 545 654 683 711
13 39 72 176 91 124 150 206 235 290 346 320 483 372 268 431 405 433 488 516 574 598 626 546 656 684 713
12 45 68 172 97 123 152 208 236 292 347 321 480 376 269 432 379 434 489 520 571 599 627 548 657 686 715
18 41 64 178 96 125 154 209 238 293 348 318 484 377 270 406 380 435 493 517 572 600 629 549 659 688 714
14 37 70 177 98 127 155 211 239 294 345 322 485 378 244 407 381 439 490 518 573 602 630 551 661 687 720
10 43 69 179 100 128 157 212 240 291 349 323 486 352 245 408 385 436 491 519 575 603 632 553 660 693 716
16 42 71 181 101 130 158 213 237 295 350 324 460 353 246 412 382 437 492 521 576 605 634 552 666 689 712
15 44 73 182 103 131 159 210 241 296 351 298 461 354 250 409 383 438 494 522 578 607 633 558 662 685 718
17 46 74 184 104 132 156 214 242 297 325 299 462 358 247 410 384 440 495 524 580 606 639 554 658 691 717
19 47 76 185 105 129 160 215 243 271 326 300 466 355 248 411 386 441 497 526 579 612 635 550 664 690 719
20 49 77 186 102 133 161 216 217 272 327 304 463 356 249 413 387 443 499 525 585 608 631 556 663 692 721
22 50 78 183 106 134 162 190 218 273 331 301 464 357 251 414 389 445 498 531 581 604 637 555 665 694 722
23 51 75 187 107 135 136 191 219 277 328 302 465 359 252 416 391 444 504 527 577 610 636 557 667 695 724
24 48 79 188 108 109 137 192 223 274 329 303 467 360 254 418 390 450 500 523 583 609 638 559 668 697 725
21 52 80 189 82 110 138 196 220 275 330 305 468 362 256 417 396 446 496 529 582 611 640 560 670 698 726
25 53 81 163 83 111 142 193 221 276 332 306 470 364 255 423 392 442 502 528 584 613 641 562 671 699 723
26 54 55 164 84 115 139 194 222 278 333 308 472 363 261 419 388 448 501 530 586 614 643 563 672 696 727
3
7 4 5 6 8 9 11 15 10 16 12 18 13 17 19 20 22 23 24 21
-1 -1 -4 3 -1 -1 -2 -1 -2 -4 5 -6 2 2 -6 5 -4 -2 -1 -2 -1 -1 3 -4 -1 -1
27 28 56 165 88 112 140 195 224 279 389 258 415 367 311 471 342 445 503 532 587 616 644 564 669 700 728
1 29 57 169 85 113 141 197 225 281 393 253 421 365 309 477 337 449 505 533 589 617 645 561 673 701 729
2 30 61 166 86 114 143 198 227 285 388 259 419 363 315 472 341 451 506 535 590 618 642 565 674 702 703
3 34 58 167 87 116 144 200 231 280 394 257 417 369 310 476 343 452 508 536 591 615 646 566 675 676 704
7 31 59 168 89 117 146 204 226 286 392 255 423 364 314 478 344 454 509 537 588 619 647 567 649 677 705
4 32 60 170 90 119 150 199 232 284 390 261 418 368 316 479 346 455 510 534 592 620 648 541 650 678 709
5 33 62 171 92 123 145 205 230 282 396 256 422 370 317 481 347 456 507 538 593 621 622 542 651 682 706
6 35 63 173 96 118 151 203 228 288 391 260 424 371 319 482 348 453 511 539 594 595 623 543 655 679 707
8 36 65 177 91 124 149 201 234 283 395 262 425 373 320 483 345 457 512 540 568 596 624 547 652 680 708
9 38 69 172 97 122 147 207 229 287 397 263 427 374 321 480 349 458 513 514 569 597 628 544 653 681 710
11 42 64 178 95 120 153 202 233 289 398 265 428 375 318 484 350 459 487 515 570 601 625 545 654 683 711
15 37 70 176 93 126 148 206 235 290 400 266 429 372 322 485 351 433 488 516 574 598 626 546 656 684 713
10 43 68 174 99 121 152 208 236 292 401 267 426 376 323 486 325 434 489 520 571 599 627 548 657 686 717
16 41 66 180 94 125 154 209 238 293 402 264 430 377 324 460 326 435 493 517 572 600 629 549 659 690 712
14 39 72 175 98 127 155 211 239 294 399 268 431 378 298 461 327 439 490 518 573 602 630 551 663 685 718
12 45 67 179 100 128 157 212 240 291 403 269 432 352 299 462 331 436 491 519 575 603 632 555 658 691 716
18 40 71 181 101 130 158 213 237 295 404 270 406 353 300 466 328 437 492 521 576 605 636 550 664 689 714
13 44 73 182 103 131 159 210 241 296 405 244 407 354 304 463 329 438 494 522 578 609 631 556 662 687 720
17 46 74 184 104 132 156 214 242 297 379 245 408 358 301 464 330 440 495 524 582 604 637 554 660 693 715
19 47 76 185 105 129 160 215 243 271 380 246 412 355 302 465 332 441 497 528 577 610 635 552 666 688 719
20 49 77 186 102 133 161 216 217 272 381 250 409 356 303 467 333 443 501 523 583 608 633 558 661 692 721
22 50 78 183 106 134 162 190 218 273 385 247 410 357 305 468 335 447 496 529 581 606 639 553 665 694 722
23 51 75 187 107 135 136 191 219 277 382 248 411 359 306 470 339 442 502 527 579 612 634 557 667 695 724
24 48 79 188 108 109 137 192 223 274 383 249 413 360 308 474 334 448 500 525 585 607 638 559 668 697 725
21 52 80 189 82 110 138 196 220 275 384 251 414 362 312 469 340 446 498 531 580 611 640 560 670 698 726
25 53 81 163 83 111 142 193 221 276 386 252 416 366 307 475 338 444 504 526 584 613 641 562 671 699 723
26 54 55 164 84 115 139 194 222 278 387 254 420 361 313 473 336 450 499 530 586 614 643 563 672 696 727
Вы можете вписать любую из этих таблиц в пустую таблицу, приготовленную для составления программы (рис. 4), чтобы лучше понять закономерности её формирования.
А вот и идеальный квадрат (рис. 5), это самый первый вариант решения.
Идеальный квадрат 27-ого порядка:
211 |
239 |
294 |
345 |
268 |
431 |
378 |
298 |
461 |
381 |
439 |
490 |
518 |
573 |
602 |
630 |
551 |
661 |
685 |
718 |
14 |
39 |
72 |
177 |
98 |
127 |
155 |
600 |
629 |
549 |
659 |
688 |
712 |
16 |
41 |
66 |
180 |
96 |
125 |
154 |
209 |
238 |
293 |
348 |
264 |
430 |
377 |
324 |
460 |
380 |
435 |
493 |
517 |
572 |
236 |
292 |
347 |
267 |
426 |
376 |
323 |
486 |
379 |
434 |
489 |
520 |
571 |
599 |
627 |
548 |
657 |
686 |
715 |
10 |
43 |
68 |
174 |
99 |
123 |
152 |
208 |
626 |
546 |
656 |
684 |
713 |
13 |
37 |
70 |
176 |
93 |
126 |
150 |
206 |
235 |
290 |
346 |
266 |
429 |
372 |
322 |
485 |
405 |
433 |
488 |
516 |
574 |
598 |
289 |
344 |
265 |
428 |
375 |
318 |
484 |
404 |
459 |
487 |
515 |
570 |
601 |
625 |
545 |
654 |
683 |
711 |
11 |
40 |
64 |
178 |
95 |
120 |
153 |
204 |
233 |
544 |
653 |
681 |
710 |
9 |
38 |
67 |
172 |
97 |
122 |
147 |
207 |
231 |
287 |
343 |
263 |
427 |
374 |
321 |
480 |
403 |
458 |
513 |
514 |
569 |
597 |
628 |
341 |
262 |
425 |
373 |
320 |
483 |
399 |
457 |
512 |
540 |
568 |
596 |
624 |
547 |
652 |
680 |
708 |
8 |
36 |
65 |
175 |
91 |
124 |
149 |
201 |
234 |
285 |
655 |
679 |
707 |
6 |
35 |
63 |
173 |
94 |
118 |
151 |
203 |
228 |
288 |
339 |
260 |
424 |
371 |
319 |
482 |
402 |
453 |
511 |
539 |
594 |
595 |
623 |
543 |
258 |
422 |
370 |
317 |
481 |
401 |
456 |
507 |
538 |
593 |
621 |
622 |
542 |
651 |
682 |
706 |
5 |
33 |
62 |
171 |
92 |
121 |
145 |
205 |
230 |
282 |
342 |
678 |
709 |
4 |
32 |
60 |
170 |
90 |
119 |
148 |
199 |
232 |
284 |
336 |
261 |
420 |
368 |
316 |
479 |
400 |
455 |
510 |
534 |
592 |
620 |
648 |
541 |
650 |
423 |
366 |
314 |
478 |
398 |
454 |
509 |
537 |
588 |
619 |
647 |
567 |
649 |
677 |
705 |
7 |
31 |
59 |
168 |
89 |
117 |
146 |
202 |
226 |
286 |
338 |
255 |
704 |
3 |
34 |
58 |
167 |
87 |
116 |
144 |
200 |
229 |
280 |
340 |
257 |
417 |
369 |
312 |
476 |
397 |
452 |
508 |
536 |
591 |
615 |
646 |
566 |
675 |
676 |
363 |
315 |
474 |
395 |
451 |
506 |
535 |
590 |
618 |
642 |
565 |
674 |
702 |
703 |
2 |
30 |
61 |
166 |
86 |
114 |
143 |
198 |
227 |
283 |
334 |
259 |
419 |
1 |
29 |
57 |
169 |
85 |
113 |
141 |
197 |
225 |
281 |
337 |
253 |
421 |
365 |
309 |
477 |
393 |
449 |
505 |
533 |
589 |
617 |
645 |
561 |
673 |
701 |
729 |
311 |
471 |
396 |
447 |
503 |
532 |
587 |
616 |
644 |
564 |
669 |
700 |
728 |
27 |
28 |
56 |
165 |
88 |
112 |
140 |
195 |
224 |
279 |
335 |
256 |
415 |
367 |
54 |
55 |
164 |
84 |
115 |
139 |
194 |
222 |
278 |
333 |
254 |
418 |
361 |
313 |
473 |
390 |
450 |
501 |
530 |
586 |
614 |
643 |
563 |
672 |
696 |
727 |
26 |
475 |
392 |
444 |
504 |
528 |
584 |
613 |
641 |
562 |
671 |
699 |
723 |
25 |
53 |
81 |
163 |
83 |
111 |
142 |
193 |
221 |
276 |
332 |
252 |
416 |
364 |
307 |
80 |
189 |
82 |
110 |
138 |
196 |
220 |
275 |
330 |
251 |
414 |
362 |
310 |
469 |
394 |
446 |
498 |
531 |
582 |
611 |
640 |
560 |
670 |
698 |
726 |
21 |
52 |
388 |
448 |
500 |
525 |
585 |
609 |
638 |
559 |
668 |
697 |
725 |
24 |
48 |
79 |
188 |
108 |
109 |
137 |
192 |
223 |
274 |
329 |
249 |
413 |
360 |
308 |
472 |
187 |
107 |
135 |
136 |
191 |
219 |
277 |
328 |
248 |
411 |
359 |
306 |
470 |
391 |
442 |
502 |
527 |
579 |
612 |
636 |
557 |
667 |
695 |
724 |
23 |
51 |
75 |
445 |
496 |
529 |
581 |
606 |
639 |
555 |
665 |
694 |
722 |
22 |
50 |
78 |
183 |
106 |
134 |
162 |
190 |
218 |
273 |
331 |
247 |
410 |
357 |
305 |
468 |
389 |
102 |
133 |
161 |
216 |
217 |
272 |
327 |
250 |
409 |
356 |
303 |
467 |
387 |
443 |
499 |
523 |
583 |
608 |
633 |
558 |
663 |
692 |
721 |
20 |
49 |
77 |
186 |
497 |
526 |
577 |
610 |
635 |
552 |
666 |
690 |
719 |
19 |
47 |
76 |
185 |
105 |
129 |
160 |
215 |
243 |
271 |
326 |
246 |
412 |
355 |
302 |
465 |
386 |
441 |
132 |
156 |
214 |
242 |
297 |
325 |
245 |
408 |
358 |
301 |
464 |
384 |
440 |
495 |
524 |
580 |
604 |
637 |
554 |
660 |
693 |
717 |
17 |
46 |
74 |
184 |
104 |
522 |
578 |
607 |
631 |
556 |
662 |
687 |
720 |
15 |
44 |
73 |
182 |
103 |
131 |
159 |
210 |
241 |
296 |
351 |
244 |
407 |
354 |
304 |
463 |
383 |
438 |
494 |
158 |
213 |
237 |
295 |
350 |
270 |
406 |
353 |
300 |
466 |
382 |
437 |
492 |
521 |
576 |
605 |
634 |
550 |
664 |
689 |
714 |
18 |
42 |
71 |
181 |
101 |
130 |
575 |
603 |
632 |
553 |
658 |
691 |
716 |
12 |
45 |
69 |
179 |
100 |
128 |
157 |
212 |
240 |
291 |
349 |
269 |
432 |
352 |
299 |
462 |
385 |
436 |
491 |
519 |
Рис. 5
Напомню читателям, что этот квадрат построен методом стандартных качелей. Шаги качания здесь таковы: через 13 ячеек вправо, через 12 ячеек влево. В квадрате выделены нулевой цикл качания качелей – это начальная цепочка первых 27 чисел, и седьмой цикл.
Предлагаю читателям написать идеальные квадраты по оставшимся двум образующим таблицам.
А я теперь хочу получить из квадрата с рис. 5 идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Как уже знают читатели, это мои самые любимые идеальные квадраты. Кроме того, в этом квадрате будет другой вид качелей, с другими шагами качания (нестандартные качели). И, наконец, самое главное: квадраты, начинающиеся с числа 1, должны открывать банк базовых идеальных квадратов.
Итак, перенесу сначала квадрат с рис. 5 на торе, так чтобы центральная строка стала первой. А затем применю к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”.
Получившийся самый идеальный квадрат 27-ого порядка покажу в следующий раз.
***
Жду от читателей идеальный квадрат 33-ого порядка, построенный методом стандартных качелей. Ну, пожалуйста, постройте кто-нибудь такой квадрат! Мне не хочется писать ещё одну большущую программу. Если кто-нибудь построит такой квадрат (совершенно аналогично тому, как я построила только что идеальные квадраты 27-ого порядка), то это будет для меня самым лучшим подарком. Это будет подтверждением того, что мой метод понятен другим и работает. Сделайте же мне такой подарок к наступающему дню рождения! Или вам совсем не нравится качаться на качелях? (шутка)
***
13 января 2008 г.
Показываю обещанный самый идеальный квадрат 27-ого порядка (рис. 6).
1 |
212 |
315 |
605 |
34 |
241 |
478 |
637 |
60 |
271 |
401 |
558 |
173 |
331 |
457 |
667 |
97 |
249 |
487 |
698 |
126 |
416 |
520 |
727 |
154 |
367 |
573 |
602 |
29 |
240 |
474 |
634 |
58 |
296 |
398 |
554 |
170 |
326 |
456 |
663 |
94 |
247 |
512 |
695 |
122 |
413 |
515 |
726 |
150 |
364 |
571 |
26 |
209 |
311 |
471 |
630 |
57 |
291 |
395 |
550 |
167 |
351 |
454 |
660 |
90 |
246 |
507 |
692 |
118 |
410 |
540 |
724 |
147 |
360 |
570 |
21 |
206 |
307 |
599 |
54 |
238 |
293 |
396 |
551 |
169 |
349 |
451 |
664 |
87 |
244 |
509 |
693 |
119 |
412 |
538 |
721 |
151 |
357 |
568 |
23 |
207 |
308 |
601 |
52 |
235 |
475 |
627 |
55 |
164 |
348 |
447 |
661 |
85 |
269 |
506 |
689 |
116 |
407 |
537 |
717 |
148 |
355 |
593 |
20 |
203 |
305 |
596 |
51 |
231 |
472 |
625 |
80 |
290 |
392 |
548 |
657 |
84 |
264 |
503 |
685 |
113 |
432 |
535 |
714 |
144 |
354 |
588 |
17 |
199 |
302 |
621 |
49 |
228 |
468 |
624 |
75 |
287 |
388 |
545 |
189 |
346 |
444 |
504 |
686 |
115 |
430 |
532 |
718 |
141 |
352 |
590 |
18 |
200 |
304 |
619 |
46 |
232 |
465 |
622 |
77 |
288 |
389 |
547 |
187 |
343 |
448 |
654 |
82 |
266 |
429 |
528 |
715 |
139 |
377 |
587 |
14 |
197 |
299 |
618 |
42 |
229 |
463 |
647 |
74 |
284 |
386 |
542 |
186 |
339 |
445 |
652 |
107 |
263 |
500 |