ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

    Часть XI

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Какой удачный экскурс я совершила в мир пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка! Во-первых, сделала новое открытие: мой метод качелей годится и для построения указанных квадратов. А во-вторых, обнаружила оригинальные частные решения среди всех общих решений. Это единичные экземпляры пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка, которые можно строить без программы и даже без компьютера, а можно и без калькулятора. Прекрасные экземпляры! Я восхищаюсь такими произведениями математического искусства! Как тут не вспомнить пушкинское “гармонией упьюсь”. Кто сказал, что математика – скучная наука?

 

А теперь, внимание! Нелишённая способности аналитически мыслить, я подумала: а не существуют ли такие же красивые частные решения для идеальных квадратов? Как помнят читатели, я остановилась на построении идеального квадрата 33-ого порядка. Мне не хочется писать ещё одну очень длинную программу. Ну, вот и решила проверить свою гипотезу насчёт единичных и очень похожих частных решений, которые можно получать без программы.

Гипотеза оказалась очень заманчивой! Опять возник научный азарт. Не пью, не ем, не сплю. Ищу подтверждение гипотезы.

 

Это оказалось совсем непросто. Как знают читатели, для квадратов 9-ого, 15-ого, 21-ого и 27-ого порядков я уже составила программы и нашла решения, то есть построила много идеальных квадратов. Сразу скажу, что ищу частные решения только для порядков, кратных 3, так как для других порядков такие частные решения уже найдены – это квадраты, строящиеся методом простых качелей с тривиальной образующей таблицей. Ещё раз напомню, что этот метод работает безотказно для любого нечётного порядка, не кратного 3, ибо он равнозначен простой перестановке столбцов с шагом 1 в ассоциативном квадрате, построенном методом террас. Равнозначен в том смысле, что оба эти метода дают абсолютно одинаковый идеальный квадрат. Зачем искать сложности там, где всё очень просто! Для таких квадратов, как я показала ранее, можно найти и множество других решений, составив программу для качелей с нетривиальной образующей таблицей.

 

Итак, я приступаю к поиску частных решений для идеальных квадратов порядков, кратных 3.

 

Делаю это технически очень просто. Во всех образующих таблицах у меня зафиксированы два числа в начальной цепочке – n и 1 (n – порядок квадрата). Ну, а следующее число в столбце первых n чисел уже варьируется. Вот я и начала задавать в двух программах, для 15-ого и 21-ого порядка, конкретные значения для этой переменной и смотреть на получаемые образующие таблицы. Занятие, как я уже сказала, непростое. При значении 2 не увидела похожих образующих таблиц, а может, просто просмотрела – слишком много решений. А вот при значении 3 удача! Сразу бросились в глаза две очень похожие образующие таблицы. Тут же распечатала их и переписала в готовые идеальные квадраты. Вот взгляните на эти образующие таблицы и на порождаемые ими идеальные квадраты. Сначала приводится образующая таблица, а следом порождаемый ею идеальный квадрат (рис. 1-4). Замечу, что работала я с программами для стандартных качелей. У меня ведь есть и нестандартные качели. И ещё: в образующих таблицах я не изобразила столбец разностей и строку с номерами циклов качания качелей. Это вы можете сделать сами.

 

      Образующая таблица для идеального квадрата 15-ого порядка

 

15

31

78

201

104

67

50

109

173

162

131

24

137

190

223

1

33

81

209

97

65

49

113

177

161

129

17

145

193

225

3

36

89

202

95

64

53

117

176

159

122

25

148

195

211

6

44

82

200

94

68

57

116

174

152

130

28

150

181

213

14

37

80

199

98

72

56

114

167

160

133

30

136

183

216

7

35

79

203

102

71

54

107

175

163

135

16

138

186

224

5

34

83

207

101

69

47

115

178

165

121

18

141

194

217

4

38

87

206

99

62

55

118

180

151

123

21

149

187

215

8

42

86

204

92

70

58

120

166

153

126

29

142

185

214

12

41

84

197

100

73

60

106

168

156

134

22

140

184

218

11

39

77

205

103

75

46

108

171

164

127

20

139

188

222

9

32

85

208

105

61

48

111

179

157

125

19

143

192

221

2

40

88

210

91

63

51

119

172

155

124

23

147

191

219

10

43

90

196

93

66

59

112

170

154

128

27

146

189

212

13

45

76

198

96

74

52

110

169

158

132

26

144

182

220

 

 

                                                                                                                   Рис. 1

 

                                               Идеальный квадрат 15-ого порядка

 

92

70

58

120

166

153

126

29

142

185

214

8

42

86

204

149

187

215

4

38

87

206

99

62

55

118

180

151

123

21

69

47

115

178

165

121

18

141

194

217

5

34

83

207

101

186

224

7

35

79

203

102

71

54

107

175

163

135

16

138

56

114

167

160

133

30

136

183

216

14

37

80

199

98

72

213

6

44

82

200

94

68

57

116

174

152

130

28

150

181

117

176

159

122

25

148

195

211

3

36

89

202

95

64

53

1

33

81

209

97

65

49

113

177

161

129

17

145

193

225

173

162

131

24

137

190

223

15

31

78

201

104

67

50

109

45

76

198

96

74

52

110

169

158

132

26

144

182

220

13

154

128

27

146

189

212

10

43

90

196

93

66

59

112

170

88

210

91

63

51

119

172

155

124

23

147

191

219

2

40

125

19

143

192

221

9

32

85

208

105

61

48

111

179

157

205

103

75

46

108

171

164

127

20

139

188

222

11

39

77

22

140

184

218

12

41

84

197

100

73

60

106

168

156

134

 

                                               Рис. 2

 

    Образующая таблица для идеального квадрата 21-ого порядка

 

21

43

108

405

146

91

68

151

239

180

219

263

202

283

371

354

311

36

317

394

439

1

45

111

419

133

89

67

155

243

177

221

265

199

287

375

353

309

23

331

397

441

3

48

125

406

131

88

71

159

240

179

223

262

203

291

374

351

296

37

334

399

421

6

62

112

404

130

92

75

156

242

181

220

266

207

290

372

338

310

40

336

379

423

20

49

110

403

134

96

72

158

244

178

224

270

206

288

359

352

313

42

316

381

426

7

47

109

407

138

93

74

160

241

182

228

269

204

275

373

355

315

22

318

384

440

5

46

113

411

135

95

76

157

245

186

227

267

191

289

376

357

295

24

321

398

427

4

50

117

408

137

97

73

161

249

185

225

254

205

292

378

337

297

27

335

385

425

8

54

114

410

139

94

77

165

248

183

212

268

208

294

358

339

300

41

322

383

424

12

51

116

412

136

98

81

164

246

170

226

271

210

274

360

342

314

28

320

382

428

9

53

118

409

140

102

80

162

233

184

229

273

190

276

363

356

301

26

319

386

432

11

55

115

413

144

101

78

149

247

187

231

253

192

279

377

343

299

25

323

390

429

13

52

119

417

143

99

65

163

250

189

211

255

195

293

364

341

298

29

327

387

431

10

56

123

416

141

86

79

166

252

169

213

258

209

280

362

340

302

33

324

389

433

14

60

122

414

128

100

82

168

232

171

216

272

196

278

361

344

306

30

326

391

430

18

59

120

401

142

103

84

148

234

174

230

259

194

277

365

348

303

32

328

388

434

17

57

107

415

145

105

64

150

237

188

217

257

193

281

369

345

305

34

325

392

438

15

44

121

418

147

85

66

153

251

175

215

256

197

285

366

347

307

31

329

396

437

2

58

124

420

127

87

69

167

238

173

214

260

201

282

368

349

304

35

333

395

435

16

61

126

400

129

90

83

154

236

172

218

264

198

284

370

346

308

39

332

393

422

19

63

106

402

132

104

70

152

235

176

222

261

200

286

367

350

312

38

330

380

436

 

                                                                                                              Рис. 3

 

                                                                              Идеальный квадрат 21-ого порядка

 

299

25

323

390

429

11

55

115

413

144

101

78

149

247

187

231

253

192

279

377

343

80

162

233

184

229

273

190

276

363

356

301

26

319

386

432

9

53

118

409

140

102

28

320

382

428

12

51

116

412

136

98

81

164

246

170

226

271

210

274

360

342

314

165

248

183

212

268

208

294

358

339

300

41

322

383

424

8

54

114

410

139

94

77

335

385

425

4

50

117

408

137

97

73

161

249

185

225

254

205

292

378

337

297

27

245

186

227

267

191

289

376

357

295

24

321

398

427

5

46

113

411

135

95

76

157

384

440

7

47

109

407

138

93

74

160

241

182

228

269

204

275

373

355

315

22

318

178

224

270

206

288

359

352

313

42

316

381

426

20

49

110

403

134

96

72

158

244

423

6

62

112

404

130

92

75

156

242

181

220

266

207

290

372

338

310

40

336

379

223

262

203

291

374

351

296

37

334

399

421

3

48

125

406

131

88

71

159

240

179

1

45

111

419

133

89

67

155

243

177

221

265

199

287

375

353

309

23

331

397

441

263

202

283

371

354

311

36

317

394

439

21

43

108

405

146

91

68

151

239

180

219

63

106

402

132

104

70

152

235

176

222

261

200

286

367

350

312

38

330

380

436

19

198

284

370

346

308

39

332

393

422

16

61

126

400

129

90

83

154

236

172

218

264

124

420

127

87

69

167

238

173

214

260

201

282

368

349

304

35

333

395

435

2

58

285

366

347

307

31

329

396

437

15

44

121

418

147

85

66

153

251

175

215

256

197

415

145

105

64

150

237

188

217

257

193

281

369

345

305

34

325

392

438

17

57

107

365

348

303

32

328

388

434

18

59

120

401

142

103

84

148

234

174

230

259

194

277

128

100

82

168

232

171

216

272

196

278

361

344

306

30

326

391

430

14

60

122

414

340

302

33

324

389

433

10

56

123

416

141

86

79

166

252

169

213

258

209

280

362

99

65

163

250

189

211

255

195

293

364

341

298

29

327

387

431

13

52

119

417

143

 

                                                        Рис. 4

 

Ещё раз подчеркну, что эти квадраты получены мной по двум программам, как одно из множества решений. Ну, а дальше, как понимает читатель, я перешла к программе стандартных качелей для идеальных квадратов 27-ого порядка. Просто не верилось, что здесь тоже получится аналогичный идеальный квадрат с похожей образующей таблицей. Искусственным образом задаю в программе нужные значения переменных в начальной цепочке первых 27 чисел, и – программа выдаёт образующую таблицу! Значит, квадрат, порождаемый этой таблицей идеальный. Невероятно! Переписываю образующую таблицу в готовый идеальный квадрат и показываю его на рис. 5. Пропускаю образующую таблицу для этого квадрата, она очень легко восстанавливается по самому квадрату.

 

213

320

237

272

346

268

378

460

381

438

512

412

518

625

602

552

36

578

661

712

14

72

150

692

181

124

101

598

548

39

576

659

715

10

68

153

690

179

127

97

209

321

239

291

326

265

376

486

379

435

492

431

520

626

317

240

293

345

245

373

484

405

433

489

411

539

628

599

544

35

579

657

713

13

64

149

693

177

125

100

205

545

31

575

660

711

11

67

145

689

180

123

98

208

313

236

294

347

264

353

481

403

459

487

408

519

647

601

232

290

348

266

372

461

400

457

513

406

516

627

620

547

32

571

656

714

9

65

148

685

176

126

96

206

316

34

572

652

710

12

63

146

688

172

122

99

204

314

235

286

344

267

374

480

380

454

511

432

514

624

600

566

289

340

263

375

482

399

434

508

430

540

622

597

546

53

574

653

706

8

66

144

686

175

118

95

207

312

233

593

655

707

4

62

147

684

173

121

91

203

315

231

287

343

259

371

483

401

453

488

427

538

648

595

543

33

341

262

367

479

402

455

507

407

535

646

621

541

30

573

674

709

5

58

143

687

171

119

94

199

311

234

285

654

728

7

59

139

683

174

117

92

202

307

230

288

339

260

370

475

398

456

509

426

515

643

619

567

28

570

258

368

478

394

452

510

428

534

623

616

565

54

568

651

708

26

61

140

679

170

120

90

200

310

226

284

342

705

6

80

142

680

166

116

93

198

308

229

280

338

261

366

476

397

448

506

429

536

642

596

562

52

594

649

369

474

395

451

502

425

537

644

615

542

49

592

675

703

3

60

161

682

167

112

89

201

306

227

283

334

257

1

57

141

701

169

113

85

197

309

225

281

337

253

365

477

393

449

505

421

533

645

617

561

29

589

673

729

473

396

447

503

424

529

641

618

563

48

569

670

727

27

55

138

681

188

115

86

193

305

228

279

335

256

361

81

136

678

168

134

88

194

301

224

282

333

254

364

469

392

450

501

422

532

637

614

564

50

588

650

724

25

388

446

504

420

530

640

610

560

51

590

669

704

22

79

162

676

165

114

107

196

302

220

278

336

252

362

472

160

702

163

111

87

215

304

221

274

332

255

360

470

391

442

500

423

528

638

613

556

47

591

671

723

2

76

445

496

419

531

636

611

559

43

587

672

725

21

56

157

700

189

109

84

195

323

223

275

328

251

363

468

389

697

187

135

82

192

303

242

277

329

247

359

471

387

443

499

415

527

639

609

557

46

583

668

726

23

75

137

497

418

523

635

612

555

44

586

664

722

24

77

156

677

184

133

108

190

300

222

296

331

248

355

467

390

441

164

130

106

216

298

219

276

350

250

356

463

386

444

495

416

526

631

608

558

42

584

667

718

20

78

158

696

414

524

634

604

554

45

582

665

721

16

74

159

698

183

110

103

214

324

217

273

330

269

358

464

382

440

498

129

83

211

322

243

271

327

249

377

466

383

436

494

417

522

632

607

550

41

585

663

719

19

70

155

699

185

525

630

605

553

37

581

666

717

17

73

151

695

186

131

102

191

319

241

297

325

246

357

485

385

437

490

413

104

210

299

238

295

351

244

354

465

404

439

491

409

521

633

603

551

40

577

662

720

15

71

154

691

182

132

629

606

549

38

580

658

716

18

69

152

694

178

128

105

212

318

218

292

349

270

352

462

384

458

493

410

517

 

                                                        Рис. 5

 

Итак, частное решение найдено для трёх порядков: 15-ого, 21-ого, 27-ого. Индуцирую на следующий порядок – 33. Но для квадратов 33-ого порядка у меня нет программы! Я её ещё не написала. Поэтому рисую аналогичную образующую таблицу, формирую её (конечно, для формирования таблицы напишу маленькую программку, это очень простая программка). Хотя таблица элементарно заполняется вручную. Потому что посмотрите, какие здесь разности:

 

-2  -3  -26  25  2  1  -4  -4  3  -2  -2  3  -4  -4  3  -2  -2  3  -4  -4  3  -2  -2  3  -4  -4  1  2  25  -26  -3  -2

 

                                                                     ***

 

Итак, я заполнила образующую таблицу для квадрата 33-ого порядка и переписываю её в матрицу для квадрата. В связи с тем, что квадрат очень большой, для лучшего изображения я “разрезала” его по вертикали на две части. Для получения полной картинки соедините две части, приложив левый край второй части к правому краю первой (рис. 6-7).

 

                                                                  Часть первая

 

837

966

935

871

43

905

1008

1071

17

85

181

1043

222

153

122

256

385

286

356

426

326

456

563

490

559

627

496

630

765

692

733

797

697

833

965

936

867

44

904

1000

1070

18

81

182

1042

214

152

123

252

386

289

355

418

323

459

590

489

530

622

526

660

760

663

732

824

700

830

961

928

866

45

900

1001

1069

10

80

183

1038

215

151

115

251

387

285

353

419

322

451

587

492

557

621

497

655

790

693

727

795

699

857

964

929

863

37

899

1002

1065

11

79

175

1037

216

147

116

250

379

284

354

417

318

452

586

484

554

624

524

654

761

688

757

825

694

828

963

956

865

40

896

994

1064

12

75

176

1036

208

146

117

246

380

283

346

416

321

453

582

485

553

616

521

657

788

687

728

820

724

858

958

927

864

65

923

997

1061

4

74

177

1032

209

145

109

245

381

279

347

415

313

449

581

486

549

617

520

649

785

690

755

819

695

853

988

957

859

36

897

996

1088

7

71

169

1031

210

141

110

244

373

278

348

411

314

448

577

478

548

618

516

650

784

682

752

822

722

852

959

952

889

66

892

993

1059

6

98

172

1028

202

140

111

240

374

277

340

410

315

444

578

481

547

610

515

651

780

683

751

814

719

855

986

951

860

61

922

1023

1057

1

69

171

1055

205

137

103

239

375

273

341

409

307

443

579

477

545

611

514

643

779

684

747

815

718

847

983

954

887

60

893

1018

1087

33

99

166

1026

204

164

106

236

367

272

342

405

308

442

571

476

546

609

510

644

778

676

746

816

714

848

982

946

884

63

920

1017

1058

28

97

196

1056

199

135

105

263

370

269

334

404

309

438

572

475

538

608

513

645

774

677

745

808

713

849

978

947

883

55

917

1020

1085

27

68

193

1051

229

165

100

234

369

296

337

401

301

437

573

471

539

607

505

641

773

678

741

809

712

841

977

948

879

56

916

1012

1082

30

95

192

1025

200

160

130

264

364

267

336

428

304

434

565

470

540

603

506

640

769

670

740

810

708

842

976

940

878

57

912

1013

1081

22

92

195

1052

225

159

101

259

394

297

331

399

303

461

568

467

532

602

507

636

770

673

739

802

707

843

972

941

877

49

911

1014

1077

23

91

187

1049

228

161

128

258

365

292

361

429

298

432

567

494

535

599

499

635

771

669

737

803

706

835

971

942

873

50

910

1006

1076

24

87

188

1048

220

158

129

261

392

291

332

424

328

462

562

465

534

626

502

632

763

668

738

801

702

836

970

934

872

51

906

1007

1075

16

86

189

1044

221

157

121

257

389

294

359

423

299

457

592

495

529

597

501

659

766

665

730

800

705

 

                                                                Рис. 6

 

                                               Часть вторая

 

290

360

425

324

431

589

493

561

595

498

633

791

667

731

796

701

969

933

869

46

901

1004

1074

15

83

184

1039

218

156

120

254

388

352

422

327

458

588

464

556

625

528

628

762

666

758

799

698

829

932

870

42

902

1003

1066

14

84

180

1040

217

148

119

255

384

287

421

319

455

591

491

555

596

523

658

792

661

729

798

725

832

962

862

41

903

999

1067

13

76

179

1041

213

149

118

247

383

288

351

320

454

583

488

558

623

522

629

787

691

759

793

696

831

989

931

38

895

998

1068

9

77

178

1033

212

150

114

248

382

280

350

420

450

584

487

550

620

525

656

786

662

754

823

726

826

960

930

890

898

995

1060

8

78

174

1034

211

142

113

249

378

281

349

412

317

585

483

551

619

517

653

789

689

753

794

721

856

990

925

861

39

1022

1063

5

70

173

1035

207

143

112

241

377

282

345

413

316

445

482

552

615

518

652

781

686

756

821

720

827

985

955

891

34

894

1062

32

73

170

1027

206

144

108

242

376

274

344

414

312

446

580

544

614

519

648

782

685

748

818

723

854

984

926

886

64

924

991

3

72

197

1030

203

136

107

243

372

275

343

406

311

447

576

479

613

511

647

783

681

749

817

715

851

987

953

885

35

919

1021

1089

67

168

1029

230

139

104

235

371

276

339

407

310

439

575

480

543

512

646

775

680

750

813

716

850

979

950

888

62

918

992

1084

31

198

1024

201

138

131

238

368

268

338

408

306

440

574

472

542

612

642

776

679

742

812

717

846

980

949

880

59

921

1019

1083

2

94

1054

231

133

102

237

395

271

335

400

305

441

570

473

541

604

509

777

675

743

811

709

845

981

945

881

58

913

1016

1086

29

93

167

226

163

132

232

366

270

362

403

302

433

569

474

537

605

508

637

674

744

807

710

844

973

944

882

54

914

1015

1078

26

96

194

1050

134

127

262

396

265

333

402

329

436

566

466

536

606

504

638

772

736

806

711

840

974

943

874

53

915

1011

1079

25

88

191

1053

227

126

233

391

295

363

397

300

435

593

469

533

598

503

639

768

671

805

703

839

975

939

875

52

907

1010

1080

21

89

190

1045

224

162

260

390

266

358

427

330

430

564

468

560

601

500

631

767

672

735

704

838

967

938

876

48

908

1009

1072

20

90

186

1046

223

154

125

393

293

357

398

325

460

594

463

531

600

527

634