ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть XIII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 6 февраля 2008 г.

 

В предыдущей части я обещала построить идеальный квадрат 39-ого порядка (частное решение, стандартные качели). Показываю этот квадрат (рис. 1-3). Для лучшего изображения я “разрезала” квадрат по вертикали на три равных части. Для получения полного квадрата соедините три части, приложив левый край следующей части к правому краю предыдущей. Я опускаю образующую таблицу квадрата, которая, как знают читатели, очень легко восстанавливается по самому квадрату.

 

      Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 1

 

421

496

383

543

698

579

626

736

622

780

898

783

864

1062

1220

1378

1336

1262

57

1302

1421

1501

16

98

219

1464

497

382

535

695

582

659

735

587

775

934

819

859

939

1221

1374

1337

1261

49

1301

1422

1497

17

97

211

1463

258

378

536

694

574

656

738

620

774

899

814

895

975

820

1373

1338

1257

50

1300

1414

1496

18

93

212

1462

250

176

537

690

575

655

730

617

777

932

813

860

970

856

1014

1330

1256

51

1296

1415

1495

10

92

213

1458

251

175

133

689

576

651

731

616

769

929

816

893

969

821

1009

1168

1253

43

1295

1416

1491

11

91

205

1457

252

171

134

292

568

650

732

612

770

928

808

890

972

854

1008

1133

1048

46

1292

1408

1490

12

87

206

1456

244

170

135

288

446

649

724

611

771

924

809

889

964

851

1011

1166

1047

1094

1325

1411

1487

4

86

207

1452

245

169

127

287

447

327

725

610

763

923

810

885

965

850

1003

1163

1050

1127

1203

1410

1520

7

83

199

1451

246

165

128

286

439

326

408

606

764

922

802

884

966

846

1004

1162

1042

1124

1206

1088

1485

6

116

202

1448

238

164

129

282

440

325

400

482

765

918

803

883

958

845

1005

1158

1043

1123

1198

1085

1245

1

81

201

1481

241

161

121

281

441

321

401

481

361

917

804

879

959

844

997

1157

1044

1119

1199

1084

1237

1397

117

196

1446

240

194

124

278

433

320

402

477

362

520

796

878

960

840

998

1156

1036

1118

1200

1080

1238

1396

1354

232

1482

235

159

123

311

436

317

394

476

363

516

674

877

952

839

999

1152

1037

1117

1192

1079

1239

1392

1355

1279

1477

271

195

118

276

435

350

397

473

355

515

675

555

953

838

991

1151

1038

1113

1193

1078

1231

1391

1356

1275

68

236

190

154

312

430

315

396

506

358

512

667

554

636

834

992

1150

1030

1112

1194

1074

1232

1390

1348

1274

69

1314

189

119

307

466

351

391

471

357

545

670

551

628

710

993

1146

1031

1111

1186

1073

1233

1386

1349

1273

61

1313

1434

152

306

431

346

427

507

352

510

669

584

631

707

589

1145

1032

1107

1187

1072

1225

1385

1350

1269

62

1312

1426

1508

309

464

345

392

502

388

546

664

549

630

740

592

746

1024

1106

1188

1068

1226

1384

1342

1268

63

1308

1427

1507

22

461

348

425

501

353

541

700

585

625

705

591

779

904

1105

1180

1067

1227

1380

1343

1267

55

1307

1428

1503

23

103

340

422

504

386

540

665

580

661

741

586

744

903

818

1181

1066

1219

1379

1344

1263

56

1306

1420

1502

24

99

218

 

                                                                      Рис. 1

 

                                     Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 2

 

974

826

980

1135

1022

1104

1179

1064

1222

1375

1340

1266

54

257

181

139

299

459

339

419

499

379

539

699

581

657

825

1013

1138

1019

1096

1178

1065

1218

1376

1339

1258

53

1305

177

140

298

451

338

420

495

380

538

691

578

660

737

978

1137

1052

1099

1175

1057

1217

1377

1335

1259

52

1297

1418

141

294

452

337

412

494

381

534

692

577

652

734

621

1132

1017

1098

1208

1060

1214

1369

1334

1260

48

1298

1417

1492

293

453

333

413

493

373

533

693

573

653

733

613

773

1053

1093

1173

1059

1247

1372

1331

1252

47

1299

1413

1493

13

445

332

414

489

374

532

685

572

654

729

614

772

925

1129

1209

1054

1212

1371

1364

1255

44

1291

1412

1494

9

89

331

406

488

375

528

686

571

646

728

615

768

926

811

1204

1090

1248

1366

1329

1254

77

1294

1409

1486

8

90

204

407

487

367

527

687

567

647

727

607

767

927

807

887

1055

1243

1402

1365

1249

42

1293

1442

1489

5

82

203

1455

483

368

526

679

566

648

723

608

766

919

806

888

963

1242

1367

1360

1285

78

1288

1407

1488

38

85

200

1447

242

369

522

680

565

640

722

609

762

920

805

880

962

849

1400

1359

1250

73

1324

1443

1483

3

84

233

1450

239

160

521

681

561

641

721

601

761

921

801

881

961

841

1001

1362

1283

72

1289

1438

1519

39

79

198

1449

272

163

122

673

560

642

717

602

760

913

800

882

957

842

1000

1153

1280

75

1322

1437

1484

34

115

234

1444

237

162

155

280

559

634

716

603

756

914

799

874

956

843

996

1154

1039

67

1319

1440

1517

33

80

229

1480

273

157

120

279

467

635

715

595

755

915

795

875

955

835

995

1155

1035

1115

1318

1432

1514

36

113

228

1445

268

193

156

274

432

318

711

596

754

907

794

876

951

836

994

1147

1034

1116

1191

1433

1513

28

110

231

1478

267

158

151

310

468

313

393

597

750

908

793

868

950

837

990

1148

1033

1108

1190

1077

1509

29

109

223

1475

270

191

150

275

463

349

429

469

749

909

789

869

949

829

989

1149

1029

1109

1189

1069

1229

30

105

224

1474

262

188

153

308

462

314

424

505

390

901

788

870

945

830

988

1141

1028

1110

1185

1070

1228

1381

104

225

1470

263

187

145

305

465

347

423

470

385

544

785

862

944

831

984

1142

1027

1102

1184

1071

1224

1382

1345

217

1469

264

183

146

304

457

344

426

503

384

509

697

865

941

823

983

1143

1023

1103

1183

1063

1223

1383

1341

1265

1468

256

182

147

300

458

343

418

500

387

542

696

548

 

Рис. 2

 

                                      Идеальный квадрат 39-ого порядка – часть 3

 

1304

1423

1498

20

102

216

1466

259

178

143

303

456

341

704

619

778

936

781

861

942

857

982

1136

1018

1100

1182

1419

1499

19

94

215

1467

255

179

142

295

455

342

417

618

743

931

817

897

937

822

981

1169

1021

1097

1174

1061

1500

15

95

214

1459

254

180

138

296

454

334

416

498

776

930

782

892

973

858

976

1134

1020

1130

1177

1058

1213

14

96

210

1460

253

172

137

297

450

335

415

490

377

933

815

891

938

853

1012

1170

1015

1095

1176

1091

1216

1370

88

209

1461

249

173

136

289

449

336

411

491

376

529

812

894

971

852

977

1165

1051

1131

1171

1056

1215

1403

1333

208

1453

248

174

132

290

448

328

410

492

372

530

688

886

968

855

1010

1164

1016

1126

1207

1092

1210

1368

1332

1286

1454

247

166

131

291

444

329

409

484

371

531

684

569

967

847

1007

1167

1049

1125

1172

1087

1246

1404

1327

1251

45

243

167

130

283

443

330

405

485

370

523

683

570

645

848

1006

1159

1046

1128

1205

1086

1211

1399

1363

1287

40

1290

168

126

284

442

322

404

486

366

524

682

562

644

726

1002

1160

1045

1120

1202

1089

1244

1398

1328

1282

76

1326

1405

125

285

438

323

403

478

365

525

678

563

643

718

605

1161

1041

1121

1201

1081

1241

1401

1361

1281

41

1321

1441

1521

277

437

324

399

479

364

517

677

564

639

719

604

757

1040

1122

1197

1082

1240

1393

1358

1284

74

1320

1406

1516

37

434

316

398

480

360

518

676

556

638

720

600

758

916

1114

1196

1083

1236

1394

1357

1276

71

1323

1439

1515

2

112

319

395

472

359

519

672

557

637

712

599

759

912

797

1195

1075

1235

1395

1353

1277

70

1315

1436

1518

35

111

197

428

475

356

511

671

558

633

713

598

751

911

798

873

1076

1234

1387

1352

1278

66

1316

1435

1510

32

114

230

1476

474

389

514

668

550

632

714

594

752

910

790

872

954

1230

1388

1351

1270

65

1317

1431

1511

31

106

227

1479

269

354

513

701

553

629

706

593

753

906

791

871

946

833

1389

1347

1271

64

1309

1430

1512

27

107

226

1471

266

192

508

666

552

662

709

590

745

905

792

867

947

832

985

1346

1272

60

1310

1429

1504

26

108

222

1472

265

184

149

702

547

627

708

623

748

902

784

866

948

828

986

1144

1264

59

1311

1425

1505

25

100

221

1473

261

185

148

301

583

663

703

588

747

935

787

863

940

827

987

1140

1025

58

1303

1424

1506

21

101

220

1465

260

186

144

302

460

658

739

624

742

900

786

896

943

824

979

1139

1026

1101

 

                                                                      Рис. 3

 

Теперь предлагаю читателям построить идеальный квадрат 39-ого порядка, начинающийся с числа 1, используя приведённый квадрат.

 

Следующий у нас идёт квадрат 45-ого порядка. Но такой идеальный квадрат очень легко построить, применяя метод построения составных квадратов. И он уже был мной построен в одной из предыдущих статей. Можно строить его на базе идеального квадрата пятого порядка, взяв за основной идеальный квадрат 9-ого порядка. Можно, наоборот, в качестве базового взять идеальный квадрат 9-ого порядка, а в качестве основного – идеальный квадрат пятого порядка.

Итак, в первой полусотне порядков я построила все пандиагональные и идеальные квадраты. Теперь надо строить идеальный квадрат 51-ого порядка. Подожду вдохновения!

А сейчас хочу рассказать о преобразованиях идеальных квадратов.

 

                                               ***

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Буду показывать все преобразования на идеальном квадрате 9-ого порядка. Я очень подробно исследовала и построила много таких квадратов.

Начну с основных преобразований. Как известно, таких преобразований 7. Это повороты и отражения относительно осей симметрии квадрата. Все эти преобразования сохраняют идеальность квадрата. На рис. 4 изображён идеальный квадрат 9-ого порядка, а на рис. 5 – квадрат, полученный одним из 7 основных преобразований – поворот на 180 градусов.

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

48

61

77

66

43

14

3

25

32

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

28

51

62

73

69

44

10

52

59

75

70

41

12

7

23

30

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

33

53

55

78

71

37

15

50

57

79

68

39

16

5

21

34

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

                                                   Рис. 4

 

 

81

58

47

36

22

2

18

40

65

34

21

5

16

39

68

79

57

50

15

37

71

78

55

53

33

19

8

76

56

54

31

20

9

13

38

72

30

23

7

12

41

70

75

59

52

10

44

69

73

62

51

28

26

6

74

63

49

29

27

4

11

45

67

32

25

3

14

43

66

77

61

48

17

42

64

80

60

46

35

24

1

 

                                                                       Рис. 5

 

Преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов применимо к идеальным квадратам, но не сохраняет идеальность, так как при сохранении пандиагональности нарушается ассоциативность квадрата. На рис. 6 дан пример применения к квадрату с рис. 4 стандартной перестановки строк.

 

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

65

40

18

2

22

36

47

58

81

50

57

79

68

39

16

5

21

34

8

19

33

53

55

78

71

37

15

72

38

13

9

20

31

54

56

76

52

59

75

70

41

12

7

23

30

6

26

28

51

62

73

69

44

10

67

45

11

4

27

29

49

63

74

48

61

77

66

43

14

3

25

32

 

                                                                      Рис. 6

 

Конечно, очень легко вернуть этому квадрату ассоциативность (и идеальность), перенеся его на торе.

Есть ещё преобразование нестандартной (одновременной) перестановки строк и столбцов, которое сохраняет идеальность квадрата. Это преобразование я обнаружила, дважды применив к пандиагональному квадрату преобразование “строки-диагонали”. А вот однократное применение этого преобразования не сохраняет идеальность квадрата, но, конечно, сохраняет пандиагональность. На рис. 7 показан квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 двукратным применением преобразования “строки-диагонали”. Надеюсь, читателям понятно, что значит двукратное применение преобразования? Применяется преобразование один раз, а затем к полученному в результате квадрату снова применяется это преобразование.

 

 

1

52

65

6

50

67

8

48

72

80

12

36

73

16

29

78

14

31

24

59

40

26

57

45

19

61

38

64

7

47

69

5

49

71

3

54

35

75

18

28

79

11

33

77

13

42

23

58

44

21

63

37

25

56

46

70

2

51

68

4

53

66

9

17

30

81

10

34

74

15

32

76

60

41

22

62

39

27

55

43

20

 

                                                                       Рис. 7

 

Этот квадрат пандиагональный, но не идеальный, так как нет ассоциативности. Однако его легко превратить в идеальный параллельным переносом на торе. На рис. 8 вы видите этот идеальный квадрат.

 

 

33

77

13

35

75

18

28

79

11

37

25

56

42

23

58

44

21

63

53

66

9

46

70

2

51

68

4

15

32

76

17

30

81

10

34

74

55

43

20

60

41

22

62

39

27

8

48

72

1

52

65

6

50

67

78

14

31

80

12

36

73

16

29

19

61

38

24

59

40

26

57

45

71

3

54

64

7

47

69

5

49

 

                                                                       Рис. 8

 

Осталось повернуть квадрат на 90 градусов по часовой стрелке, и полученный в результате квадрат, который вы видите на рис. 9, есть не что иное, как квадрат с рис. 4, преобразованный нестандартной (одновременной) перестановкой строк и столбцов с шагом 3.

 

 

71

19

78

8

55

15

53

37

33

3

61

14

48

43

32

66

25

77

54

38

31

72

20

76

9

56

13

64

24

80

1

60

17

46

42

35

7

59

12

52

41

30

70

23

75

47

40

36

65

22

81

2

58

18

69

26

73

6

62

10

51

44

28

5

57

16

50

39

34

68

21

79

49

45

29

67

27

74

4

63

11

 

                                                                       Рис. 9

 

Можно переставить строки и столбцы ещё с шагом 1 или с шагом 4, причём это можно сделать и в квадрате с рис. 4, и в квадрате с рис. 9. А в квадрате с рис. 9 можно снова переставить строки и столбцы с шагом 3. Попробуйте применить такие преобразования. Если вы сделаете перестановку в квадрате с рис. 4 с шагом 1, а в квадрате с рис. 9 с шагом 4, то получите один и тот же квадрат. Замечу, что перестановка начинается от центральной строки вверх и от центрального столбца вправо. Центральные строка и столбец остаются на месте.

В статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка” я показывала применение этого преобразования к идеальным квадратам 15-ого порядка.

После основных преобразований описанное преобразование – первое, которое сохраняет идеальность квадрата.

И последнее из известных мне преобразований, сохраняющее идеальность квадрата, это преобразование типа “плюс-минус”. Я много раз показывала такие преобразования и в настоящей статье, и в других статьях. Покажу здесь один пример. На рис. 10 вы видите матрицу преобразования “плюс-минус 18”, а на рис. 11 два идеальных квадрата 9-ого порядка, связанных этим преобразованием.

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

 

+18

-18

 

 

+18

 

-18

-18

 

 

+18

 

-18

 

 

+18

+18

 

-18

 

 

+18

-18

 

 

 

                                                    Рис. 10

 

 

1

24

17

64

60

80

46

42

35

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

70

57

77

52

39

32

7

21

14

 

52

57

77

70

39

14

7

21

32

49

45

29

4

27

11

67

63

74

 

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

10

69

62

73

51

44

28

 

6

26

28

51

62

73

69

44

10

66

59

79

48

41

34

3

23

16

->

48

59

79

66

41

16

3

23

34

54

38

31

9

20

13

72

56

76

 

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

15

71

55

78

53

37

33

 

8

19

33

53

55

78

71

37

15

68

61

75

50

43

30

5

25

12

 

50

61

75

68

43

12

5

25

30

47

40

36

2

22

18

65

58

81

 

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

                                                                      Рис. 11

 

Параллельный перенос на торе нарушает ассоциативность квадрата, а значит, идеальность.

Итак, на сегодня мне известны три группы преобразований, сохраняющих идеальность квадрата:

 

1.     основные преобразования;

2.     нестандартная перестановка строк и столбцов (одновременно) с постоянным шагом;

3.     преобразования типа “плюс-минус”.

 

Возможно, есть ещё какие-либо преобразования, сохраняющие идеальность квадрата. Если вы знаете такие преобразования, напишите мне, пожалуйста.

 

                                                           ***

 

7 февраля 2008 г.

 

Возвращаюсь к построению идеальных квадратов порядков, кратных 3. Как помнят читатели, я строю частные решения методом стандартных качелей, то есть единичные экземпляры с совершенно аналогичными образующими таблицами. И я уже показала такие квадраты порядков: 15, 21, 27, 33, 39. Это очень красивые квадраты! А ещё можно найти, используя эти квадраты, частные решения из другой группы квадратов – с нестандартными качелями. Эти идеальные квадраты начинаются с числа 1. Такие квадраты я показала для порядков 15, 21, 27 и 33. Для квадрата 39-ого порядка предлагается читателям построить такой экземпляр идеального квадрата (начинающийся с числа 1) по аналогии с тем, как это делала я. Образующие таблицы этих двух групп частных решений находятся в определённой зависимости, которую легко установить.

 

А я перехожу к построению квадрата 51-ого порядка. Идеальный квадрат 45-ого порядка не буду строить методом качелей, так он очень просто строится другим методом. Предлагаю читателям построить этот квадрат также и методом качелей. Это будет прекрасной тренировкой в деле освоения данного метода. Тем более что я собираюсь дать подсказку для тех, кто ещё плохо понял, как строятся образующие таблицы этих частных решений. Сейчас покажу первый столбец образующей таблицы (если не считать столбца разностей) для построения идеальных квадратов порядков с 15 по 111 включительно. В этом столбце помещается, как вы знаете, начальная цепочка первых n чисел (n – порядок квадрата). По расположению этих чисел далее всё и вычисляется в образующей таблице совершенно элементарно. Для порядков с 15 по 57 я пишу всю цепочку, а для порядков с 63 по 111 только до середины её, вторая половина цепочки определяется числами первой половины. Эту закономерность просто нельзя не увидеть! И похожесть всех этих начальных цепочек для данной группы частных решений тоже невозможно не рассмотреть.

 

Итак, в таблице на рис. 12 приведены начальные цепочки первых n чисел для частных решений метода стандартных качелей для порядков от 15 до 111.

 

15

21

27

33

39

45

51

57

63

69

75

81

87

93

99

105

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

14

20

26

32

38

44

50

56

62

68

74

80

86

92

98

104

110

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

11

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

2

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

13

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

 

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

 

17

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

 

15

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

 

2

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

 

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

 

19

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

 

 

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

 

 

23

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

 

 

21

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

23

 

 

2

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

 

 

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

 

 

25

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

 

 

 

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

 

 

 

29

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

27

 

 

 

27

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

 

 

 

2

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

31

 

 

 

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

28

 

 

 

31

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

 

 

 

 

36

36

36

36

…

36

36

36

36

36

36

36

36

 

 

 

 

35

33

33

33

 

33

33

33

33

33

33

33

33

 

 

 

 

33

35

35

35

 

35

35

35

35

35

35

35

35

 

 

 

 

2

37

37

37

 

…

37

37

37

37

37

37

37

 

 

 

 

34

34

34

34

 

 

34

34

34

34

34

34

34

 

 

 

 

37

38

38

38

 

 

38

38

38

38

38

38

38

 

 

 

 

 

42

42

42

 

 

…

42

42

42

42

42

42

 

 

 

 

 

41

39

39

 

 

 

39

39

39

39

39

39

 

 

 

 

 

39

41

41

 

 

 

41

41

41

41

41

41

 

 

 

 

 

2

43

43

 

 

 

…

43

43

43

43

43

 

 

 

 

 

40

40

40

 

 

 

 

40

40

40

40

40

 

 

 

 

 

43

44

44

 

 

 

 

44

44

44

44

44

 

 

 

 

 

 

48

48

 

 

 

 

…

48

48

48

48

 

 

 

 

 

 

47

45

 

 

 

 

 

45

45

45

45

 

 

 

 

 

 

45

47

 

 

 

 

 

47

47

47

47

 

 

 

 

 

 

2

49

 

 

 

 

 

…

49

49

49

 

 

 

 

 

 

46

46

 

 

 

 

 

 

46

46

46

 

 

 

 

 

 

49

50

 

 

 

 

 

 

50

50

50

 

 

 

 

 

 

 

54

 

 

 

 

 

 

…

54

54

 

 

 

 

 

 

 

53

 

 

 

 

 

 

 

51

51

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

 

 

 

53

53

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

…

55

 

 

 

 

 

 

 

52