ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу указывать

ссылку на данную страницу.

 

Часть II

 

В первой части я рассказала о замечательном методе построения идеальных квадратов нечётного порядка не кратного 3 – методе качелей. Красивейший метод! И главное – удивительно простой. Его может понять даже ребёнок, который умеет считать. И ребёнку наверняка понравится заполнять таким способом матрицу. Это как игра!

 

Ну, играть хорошо, а надо думать, как приспособить такие качели для построения идеальных квадратов порядков кратных 3. Я положила перед собой идеальный квадрат 9-ого порядка (самый минимальный порядок в этом ряду) и долго-долго его изучала. Должны быть качели! Я это чувствовала. И они есть!!! Только чуть сложнее, чем качели, описанные в первой части работы. Итак, вот перед вами идеальный квадрат 9-ого порядка, построенный методом качелей (рис. 1):

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

Ну вот, посмотрите внимательно на этот квадрат! Он родился далеко не сразу, его рождению предшествовали длительные раздумья над этой дьявольской закономерностью. Но я всё-таки проникла в тайну этой закономерности!

 

Во-первых, я выделила первые 9 чисел. Число 1 так же стоит в самом начале центральной строки, как в методе качелей. Но! Разница в том, что здесь числа следуют не по порядку! Далее: циклы качания здесь тоже есть, но и они, разумеется, не по порядку следуют. Выделен самый первый цикл работы качелей, он начинается тоже сразу за последним числом начальной цепочки (начальная цепочка – это первые n чисел, где n – порядок квадрата, в нашем случае n=9). Этот цикл начинается с числа 55 и заканчивается числом 63, то есть вполне аналогично методу качелей. Качели качаются вправо-влево тоже с постоянным шагом: вправо через 4 ячейки, влево через 3 ячейки.  Ещё отличие: новый цикл не всегда начинается с числа, равного 9*k+1.

Мне оставалось только проникнуть в тайну расположения первых 9 чисел и в порядок формирования и следования чисел в циклах качания. Я нарисовала следующую таблицу циклов качания (рис. 2), исследовала её самым тщательным образом и поняла все закономерности. А далее дело техники. Моментально написала программу, по которой получила сразу несколько вариантов идеальных квадратов.

 

 

 

                                                   Рис. 2

 

Красным цветом выделены первые девять чисел. В самом левом столбце таблицы стоят разности между двумя рядом стоящими числами в цепочке начальных чисел (последняя разность – это разность между последним числом в столбце – 3 – и первым числом в этом же столбце – 9). Обратите внимание: разности эти обладают симметрией относительно центральной сроки таблицы. Именно так ведут себя эти разности во всех идеальных квадратах, которые были мной исследованы! Далее: в самой нижней строке таблицы записаны номера циклов качания качелей, то есть для какого числа кратного 9 формируется набор чисел данного цикла. А сами наборы чисел каждого цикла качания расположены в столбцах таблицы. Номера циклов вычисляются так: самый первый цикл (первый столбец, k=6): 9-3=6, второй цикл (второй столбец, k=1): 9-8=1 и т. д., то есть это разности между числом 9 (самым первым в столбце начальной цепочки чисел) и другими числами в этом столбце (начиная с самого нижнего и далее вверх по столбцу). Это ещё одна закономерность, которую надо было заметить. И последняя закономерность: это расположение чисел в диагонали таблицы (не в главной, а в разломанной; я выделила ячейки с этими числами), они получаются в каждом столбце так: 9*(k+1). Самое первое число в этой цепочке – 9 – стоит в самом начале таблицы. Вот и все закономерности, которые мне надо было выявить. Ну, а далее всё очень просто. Покажу, как формируется набор первого цикла качания качелей (числа этого цикла выделены синим цветом). Начинается формирование с числа, кратного 9, в первом столбце это число 63. Далее двигаемся вверх по столбцу, каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему разности из самого левого столбца, показываю наглядно:

 

63 + (-6) = 57

57 + 5 = 62

62 + (-4) = 58

58 + 1 = 59

59 + 1 = 60

60 + (-4) = 56

56 + 5 = 61

61 + (-6) = 55

 

Второй набор (числа следующего столбца) начинает формироваться с числа 18 точно так же. После того, как достигнут верхний край таблицы, числа пишутся, начиная с нижнего края таблицы и снова вверх.

Вот такие хитрые получаются качели. Но, по-моему, совсем не заумные. Всё предельно понятно. Все эти закономерности очень легко “передать” компьютеру в форме программы, и по этой программе получить готовые таблицы, подобные той, что изображена на рис. 2. Ну, а потом можно ведь запрограммировать и переход от этой таблицы к самому идеальному квадрату. Это тоже элементарно делается. Но я для квадрата 9-ого порядка не стала это делать: ничего не стоит переписать числа из таблицы с рис. 2 в готовый идеальный квадрат. Причём, когда я переписывала, то заметила, что можно заполнять матрицу построчно: прямо переписывать из таблицы с рис. 2 целые строки, начиная от соответствующего числа начальной цепочки. При достижении правого края таблицы числа начинают писаться с левого края (точно так же, как и в методе качелей, описанном ранее). На рис. 3 покажу пример для первой строки:

 

 

 

                                                   Рис. 2

 

Видите, прямо взята строка из таблицы с рис. 2, начинающаяся с числа 9, и переписана в матрицу рядом с числом 9. Однако можно и покачаться на качелях, если хочется позабавиться!

 

На рис. 1 показан первый цикл качания качелей. На рис. 4 показан весь квадрат с раскрашенными циклами.

 

 

 

                                                   Рис. 4

 

Ах! Какой же красивый квадрат! Посмотрите: девять разных цветов и каждый цвет в любой строке, любом столбце и любой из 9 диагоналей одного направления встречается только один раз. И главный восторг в том, что он построен методом качелей и что его порядок кратен 3. Конечно, сформировать таблицу, изображённую на рис. 2, со всеми её хитрыми законами можно только по программе, без программы можно голову сломать. Я задаю в начальной цепочке чисел два числа: 1 и 9. Всё остальное делает программа, в которую я заложила все законы формирования этой таблицы, а ещё, конечно, одно маленькое условие, а именно проверку пандиагональности получаемого по этой таблице квадрата.

 

Интересно здесь показать аналогичную таблицу для качелей, скажем, квадрата 11-ого порядка (в первой части статьи я построила идеальный квадрат 11-ого порядка методом качелей). На рис. 5 вы видите эту таблицу. Понятно, что в этом случае не нужно никакой программы.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Но посмотрите, все законы действуют и в этой таблице! Вот в чём главный момент. Значит, качели подчиняются одним и тем же законам, но для квадратов порядков кратных 3 формирование таблицы не так тривиально, как для порядков не кратных 3. И всё-таки метод общий для всех квадратов нечётных порядков!

 

Покажу ещё один идеальный квадрат, который выдала мне программа среди прочих вариантов. Это очень известный квадрат, его построил Г. Александров своим методом хода шахматного коня. Одновременно с ним я построила свой первый идеальный квадрат 9-ого порядка матричным методом. С квадрата Георгия всё начиналось. Поскольку он очень похож на ассоциативный квадрат, построенный методом террас, я очень долго пыталась найти способ превращения ассоциативного квадрата в идеальный. Но это мне так и не удалось. После этого я нашла метод построения идеального квадрата 9-ого порядка из ассоциативного, но в качестве исходного взят не квадрат, построенный методом террас, а другой ассоциативный квадрат. Но сколько было проделано манипуляций с этим идеальным квадратом! Он был повёрнут и отражён, в нём несколько раз были переставлены строки и столбцы самыми разными способами, на нём было опробовано преобразование “строки-диагонали”, из него были получены другие идеальные квадраты разными способами. Я почти выучила его наизусть. И вот, наконец, построила этот квадрат своим методом – методом качелей! Смотрите, он стал ещё в тысячу раз красивей (рис. 6)!

 

 

 

                                                  Рис. 6

 

 На рис. 7 показана таблица для формирования этой матрицы, которую мне выдала программа.

 

 

 

                                                     Рис. 7

 

А теперь, как понимает читатель, надо применить этот метод для построения идеального квадрата следующего нечётного порядка кратного 3 – 15. Вот он, самый волнующий момент! По идее всё должно получиться. Я уже написала программу и сейчас буду её пробовать. Расскажу о результатах в следующий раз.

 

Прежде чем рассказывать о квадратах 15-ого порядка, построенных методом качелей (я их пока не построила, программа ещё не опробована, не успела) покажу ещё одну мысль, которая мне пришла в голову. А что если в идеальном квадрате 11-ого порядка нарушить правильное следование чисел в начальной цепочке. Взяла идеальный квадрат, построенный в первой части (этому квадрату как раз соответствует таблица на рис. 5) и применила к нему преобразование нестандартной перестановки строк и столбцов, получился идеальный квадрат, который вы видите на рис. 8.

 

 

 

                                                                  Рис. 8

 

Как видите, первые 11 чисел теперь расположены не по порядку. Но качели работают и в этом квадрате! На рис. 9 показана таблица для формирования циклов качания качелей. Все законы в этой таблице те же самые! На рис. 8 выделены раскраской два первых цикла работы качелей.

 

 

 

                                                                         Рис. 9

 

В этом примере аналогия с таблицей формирования матрицы для идеального квадрата 9-ого порядка совсем полная. А теперь представьте, сколько можно сочинить (по программе, конечно) подобных таблиц! И каждая из них даст новый идеальный квадрат 11-ого порядка.

 

Теперь ухожу отлаживать программу для квадратов 15-ого порядка.

 

                                               ***

 

    11 декабря 2007 г.

 

Программа для идеального квадрат 15-ого порядка пошла сразу. Всё получилось! Идеальный квадрат 15-ого порядка методом качелей построен. И не один, а очень много. Ну, действовала я совершенно аналогично построению идеального квадрата 9-ого порядка. На рис. 10 показываю первую таблицу из множества вариантов, выданных программой. По этой таблице заполняется сам идеальный квадрат, который вы видите на рис. 11. Повторю: как по таблице с рис. 10 заполнить идеальный квадрат, подробно рассказано выше на примере квадрата 9-ого порядка.

 

 

 

                                                                  Рис. 10

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Вот он, идеальный квадрат 15-ого порядка, который мне так долго не удавалось построить! Разделите со мной радость победы, дорогие мои читатели. Всё-таки я его построила.

На рис. 11 раскрашено три цикла качания качелей.  Начальная цепочка чисел – это как бы нулевой цикл (сиреневые ячейки). Далее идёт первый цикл – розовые ячейки, второй цикл – жёлтые ячейки и третий цикл – бирюзовые ячейки. Напомню, что можно и не качаться на качелях, а заполнить матрицу идеального квадрата построчно, переписав строки из таблицы с рис. 10, начиная с соответствующего числа начальной цепочки. При достижении правого края таблицы числа продолжают вписываться с левого края таблицы. Смотрите пример для квадрата 9-ого порядка. Но мне больше нравится качаться на качелях.

 

А теперь покажу вариант, который мне тоже выдала программа. Этот вариант даёт один из идеальных квадратов, приведённых в статье Г. Александрова (только повёрнут на 90 градусов). Табличку, соответствующую второму квадрату Александрова, программа тоже выдала, но ограничусь показом одного варианта. Итак, на рис. 12 вы видите таблицу для формирования идеального квадрата, а сам квадрат изображён на рис. 13.

 

 

 

                                                                         Рис. 12

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Обратите внимание: я выделила в этом квадрате белым цветом ещё один цикл качания качелей.

 

Итак, метод, придуманный Александровым, не является единственным методом построения идеальных квадратов. Вот перед вами ещё один метод, который даёт множество идеальных квадратов, в частности и те, которые построил Александров своим методом.

 

Покажу ещё один вариант, полученный по программе. На рис. 14 вы видите образующую таблицу, а на рис. 15 идеальный квадрат, полученный из этой таблицы.

 

 

 

                                                     Рис. 14

 

 

 

                                                  Рис. 15

 

В этом квадрате я раскрасила ещё один цикл, ко всем белым ячейкам пристроились голубые.

 

Думаю, что приведённые примеры вполне достаточны для того, чтобы понять принцип работы метода качелей.

 

А мне не терпится построить этим методом идеальный квадрат 21-ого порядка. Хотя есть ещё интересный вариант идеального квадрата 15-ого порядка. Надо его рассмотреть внимательней. А затем напишу программу для квадратов 21-ого порядка и расскажу о полученных результатах. Я уже нисколько не сомневаюсь, что метод мой универсален. Но с увеличением порядка квадратов, конечно, усложняется программа и увеличивается время её работы. Это вполне понятно. Для квадратов 9-ого и 15-ого порядка программы довольно короткие и выполняются очень быстро. А вот для квадратов 21-ого порядка я предвижу некоторые сложности.

 

                                               ***

 

   12 декабря 2007 г.

 

Итак, я обещала рассказать ещё об одном интересном идеальном квадрате 15-ого порядка. Как уже было замечено в статье “Пандиагональные квадраты 15-ого порядка”, оба квадрата, приведённые Г. Александровым, имеют одинаковые наборы чисел в центральных строке и столбце. Такие же точно наборы чисел имеются в центральных строке и столбце у квадратов, построенных мной методом качелей (см. рис. 13 и рис. 15). Меня заинтересовал вопрос: нельзя ли построить идеальный квадрат с другими наборами чисел в центральных строке и столбце. В вышеуказанной статье я уже показала, как это сделать. То же самое проделаю с квадратом с рис. 15. Сначала перенесу его на торе, а затем применю к полученному квадрату преобразование “строки-диагонали”. Матрица этого преобразования приведена в вышеуказанной статье. Квадрат, который в результате у меня получился, вы видите на рис. 16.

 

 

 

                                                                     Рис. 16

 

Этот идеальный квадрат мне нравится ещё тем, что в левой верхней ячейке его стоит число 1. Как я уже говорила, для меня это самые лучшие квадраты, которые с числа 1 начинаются. Ну, и кроме того, наборы чисел в центральных строке и столбце у этого квадрата совсем другие, потому что прежняя центральная строка в результате проведённых преобразований перешла в главную диагональ. А теперь посмотрите на расположение первых 15 чисел. Качели и здесь работают! Только с другим шагом. Назову эти качели нестандартными, в отличие от описанных выше – стандартных. Так вот, в стандартных качелях было так: через 7 ячеек вправо, через 6 ячеек влево (сумма шагов вправо и влево равна 13), в нестандартных качелях качание происходит так: через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево (сумма шагов вправо и влево снова равна 13). Разумеется, мне стало очень интересно посмотреть на формирование образующей таблицы для этого идеального квадрата (заметьте, что здесь я иду обратным путём: от самого квадрата к образующей таблице). И вот перед вами образующая таблица (рис. 17):

 

 

 

                                                     Рис. 17

 

Вот какова образующая таблица для данного идеального квадрата. Интересная, не правда ли? Основные законы формирования таблицы такие же, как и для стандартных качелей. Но есть и отличия. Во-первых, разности в самом левом столбце совсем не так симметрично расположены, симметрия есть, но “половинчатая” какая-то. Далее, числа кратные порядку квадрата расположены в таблице по-другому. Однако они не хаотично расположены, а опять же по принципу качелей: через 8 ячеек вниз, через 5 ячеек вверх (а сумма шагов снова равна 13). Номера циклов k тоже по-другому вычисляются, но опять же по определённой схеме: разности между числом 15 и другими числами начальной цепочки, но не подряд, а через одно (начиная снизу). То есть так: номер цикла в первом столбце k=15-9=6, во втором столбце k=15-14=1, в третьем столбце k=15-13=2 и т. д. Максимальное число в каждом столбце так же, как и в стандартных качелях, равно 15*(k+1). А самый главный принцип формирования наборов чисел для цикла качания качелей точно такой же: начинаем от числа кратного 15, двигаемся вверх, каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением разностей из самого левого столбца, начиная с самой первой снизу. Покажу для примера формирование набора чисел в первом столбце:

 

                                     105 + (-12) = 93

                                     93 + 6 = 99

                                     99 + (-7) = 92

                                     92 + 12 = 104

                                     104 + (-7) = 97

                                     97 + 6 = 103

                                      103 + (-12) = 91

                                      91 + 10 = 101

                                      101 + (-5) = 96

                                      96 + 6 = 102

                                      102 + (-4) = 98

                                      98 + (-4) = 94

                                      94 + 6 = 100

                                      100 + (-5) = 95

 

На рис. 16 раскрашены два цикла качания качелей (начальная цепочка чисел – это нулевой цикл – розовые ячейки).

 

Покажу ещё нестандартные качели для идеального квадрата 9-ого порядка. Проделаю всё совершенно аналогично с идеальным квадратом с рис. 4. На рис. 18 вы видите идеальный квадрат, получившийся в результате преобразований. Этот квадрат начинается с числа 1 и имеет в центральных строке и столбце другие наборы чисел, нежели квадрат с рис. 4.

 

 

 

                                                                     Рис. 18

 

На рис. 18 раскрашены четыре цикла качания качелей (не считая нулевой). На рис. 19 изображена образующая таблица для этого идеального квадрата. Предлагаю читателям проанализировать её.

 

 

 

                                                                        Рис. 19

 

А мне пора возвращаться к стандартным качелям. Как помнит читатель, я остановилась на квадратах 21-ого порядка.