ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

В предыдущей части статьи я завершила рассказ об идеальных квадратах 9-ого порядка. Они рассмотрены в свете моего метода качелей.

Теперь покажу несколько идеальных квадратов 11-ого порядка опять же применительно к методу качелей. Именно на квадратах 11-ого порядка в первой части данной статьи и был придуман этот прекрасный метод. Сначала я увидела очень простые качели, с тривиальной образующей таблицей. А увидела я их на готовом идеальном квадрате, построенном другим методом, а именно: в ассоциативном квадрате, построенном методом террас, переставлены столбцы с шагом 1 (то есть через один столбец). И всё! На рис. 1 я дублирую этот замечательный идеальный квадрат, который позволил мне увидеть качели.

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

Здесь качели качаются так: через 5 ячеек вправо, через 4 ячейки влево. Как уже знает читатель, если отразить этот квадрат относительно вертикальной оси симметрии, то шаги качания поменяются и будут такими: через 4 ячейки вправо, через 5 ячеек влево. Буду говорить в таких случаях, что шаги качания качелей симметричны.

 

 Для квадратов 11-ого порядка существуют качели 4 разных видов. Потому что сумма шагов качания качелей для таких квадратов равна

11-2=9, а это число можно сложить из двух ненулевых натуральных чисел четырьмя способами: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. Вот и покажу здесь образцы идеальных квадратов для каждого вида качелей. Читатель знает, что шаги качания качелей определяют схему расположения первых 11 чисел.

 

Образец квадрата с качелями, имеющими шаги 4+5, вы видите на рис. 1. Ещё интересно посмотреть на квадрат с расположением первых 11 чисел так, что одно из этих чисел стоит в левой верхней ячейке. Для этого можно просто перенести квадрат с рис. 1 на торе. При этом он, правда, утратит ассоциативность и, значит, идеальность, но останется пандиагональным. А в пандиагональных квадратах, как я уже отмечала, качели тоже работают. Итак, на рис. 2 показываю квадрат, полученный из квадрата с рис. 1 параллельным переносом на торе.

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Как видите, шаги качания качелей не изменились при таком преобразовании квадрата.

А теперь превращаю квадрат с рис. 2 в идеальный при помощи преобразования “строки-диагонали”. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

И перед вами прекраснейший образец идеального квадрата, в котором качели качаются с такими шагами: через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. Этот квадрат получился самым прекрасным. Даже на торе переносить его не надо, потому что в левой верхней ячейке уже стоит число 1. В этих качелях образующая таблица уже не тривиальна. Я выделила на рисунке розовым цветом первый цикл качания качелей. Совершенно так же, как я делала для квадратов предыдущих порядков, можно нарисовать образующую таблицу для этого квадрата, зафиксировать в ней положение двух чисел – 1 и 11, написать программу для получения всех квадратов, получаемых по образующим таблицам такого типа. По этой программе вы получите множество идеальных квадратов. Самых идеальных! Потому что все они будут начинаться с числа 1.

А вот образец идеального квадрата с симметричными шагами качания качелей: через 2 ячейки влево, через 7 ячеек вправо (рис. 4).

 

 

 

                                                                     Рис. 4

           

И опять в левой верхней ячейке стоит одно из первых 11 чисел – число 5.

 

Теперь покажу образец квадрата для следующего вида качелей – с шагами 3+6 (рис. 5).

 

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Перенесу квадрат на торе, чтобы в левой верхней ячейке оказалось одно из первых 11 чисел – 6. Смотрите полученный квадрат на рис. 6.

 

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Этот квадрат пандиагональный. Я закрасила в нём два цикла качания качелей (не считая нулевого).

 

А вот нашла в своей коллекции ещё один образец с симметричными шагами качания качелей: через 6 ячеек вправо, через 3 ячейки влево. Этот квадрат идеальный. Показываю его на рис. 7.

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Кстати, замечу, что квадратам 11-ого порядка посвящена следующая страница:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk11.htm

 

Именно на этой странице я сейчас ищу образцы квадратов, ну и, конечно, в первой части данной статьи.

 

У меня остался один вид качелей: с шагами 1+8. На рис. 8 представлен идеальный квадрат с качелями такого вида. Качели качаются через 1 ячейку вправо, через 8 ячеек влево.

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

Перенесу квадрат на торе так, чтобы число 11 оказалось в левой верхней ячейке. Схема расположения первых 11 чисел при этом параллельно сместится влево. Смотрите этот пандиагональный квадрат на рис. 9.

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Этот квадрат элементарно превращается в идеальный применением преобразования “строки-диагонали” (предварительно квадрат повёрнут и отражён). На рис. 10 изображён новый идеальный квадрат:

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

И получился квадрат с качелями 2+7 (через 2 ячейки вправо, через 7 ячеек влево), как квадрат, изображённый на рис. 3. Но здесь в левой верхней ячейке стоит не число 1. А ещё в этом квадрате очень интересная главная диагональ, она содержит такой набор чисел: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111. Квадрат на рис. 3 тоже имеет такой набор чисел в другой главной диагонали, но они следуют не по порядку. На рис. 10 закрашены четыре цикла качания качелей (не считая нулевого). На рис. 11 показан чётно-нечётный рисунок этого квадрата.

 

 

 

                                                                      Рис. 11

 

Оригинальный рисунок. Симметрия относительно обеих главных диагоналей и центральная.

 

На этом я завершаю показ идеальных квадратов 11-ого порядка. Ещё раз отмечу: читатели могут пополнить коллекцию таких квадратов, запрограммировав любой вид качелей.

 

                                                                  ***

 

Страница помещена на сайт 26 декабря 2007 г.

 

 

   28 декабря 2007 г.

 

Теперь аналогично покажу идеальные квадраты 13-ого порядка в свете метода качелей.

Поскольку 13 – число не кратное 3, то здесь тоже всё очень просто и вполне аналогично квадратам 11-ого порядка. Сначала я построила идеальный квадрат самыми простыми качелями с тривиальной образующей таблицей. Этот квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

 

                                                  Рис. 12

 

Здесь качели качаются так: через 6 ячеек вправо, через 5 ячеек влево. Всего же для квадратов 13-ого порядка существует 5 видов качелей, с такими шагами качания: 1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6. Качели с симметричными шагами качания я не считаю различными.

Приведу квадрат с симметричными шагами качания: через 5 ячеек вправо, через 6 ячеек влево (рис. 13). Этот квадрат, в отличие от квадрата с рис. 12, начинается с числа из первых 13 чисел. В квадрате выделен оранжевым цветом первый цикл качания качелей (голубые ячейки – это нулевой цикл, начальная цепочка первых 13 чисел).

 

 

 

                                                   Рис. 13

 

Применим теперь к квадрату с рис. 12 преобразование параллельного переноса на торе так, чтобы в левой верхней ячейке оказалось число 1, а затем к полученному квадрату применим преобразование “строки-диагонали”. Полученный в результате таких преобразований идеальный квадрат вы видите на рис. 14. 

 

 

 

                                                  Рис. 14

 

В этом квадрате работают качели с такими шагами качания: через 2 ячейки вправо, через 9 ячеек влево. Самый красивый идеальный квадрат, так как начинается с числа 1. Читатели уже знают, как можно составить программу для получения множества идеальных квадратов данного типа. На рис. 15 показываю идеальный квадрат с симметричными шагами качания: через 2 ячейки влево, через 9 ячеек вправо. В этом квадрате в левой верхней ячейке стоит другое число – 13, но оно тоже из первых 13 чисел.

 

 

 

                                                  Рис. 15

 

Сразу замечу, что все квадраты 13-ого порядка, которые будут здесь представлены, получены мной из ассоциативного квадрата, построенного методом террас, перестановкой строк или столбцов с последующим применением преобразований: “строки-диагонали”, нестандартная (одновременная) перестановка строк и столбцов, поворот и отражение. Если в ассоциативном квадрате переставить только столбцы с шагом 1, то получится как раз квадрат, построенный методом качелей с тривиальной образующей таблицей (самые простые качели). Этот квадрат изображён на рис. 12. Коллекция идеальных квадратов 13-ого порядка у меня не такая большая, как например, коллекция идеальных квадратов 9-ого порядка.

И ещё один экземпляр с такими же качелями, как квадрат на рис. 15. Он начинается с числа 6. Смотрите рис. 16.

 

 

 

                                                                     Рис. 16

 

Очень интересные образцы! Схема расположения первых 13 чисел совершенно одинакова, но числа в этой схеме расположились по-разному. Эти два квадрата – хороший начальный материал для исследования всех квадратов этой группы. Предлагаю читателям заняться таким исследованием.

 

А я перехожу к следующему виду качелей – 1+10. У меня нашёлся экземпляр с таким качанием: через 1 ячейку влево, через 10 ячеек вправо. Вы видите этот идеальный квадрат на рис. 17. Это квадрат с рис. 13 повёрнутый и отражённый.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Здесь тоже закрашен первый цикл качания качелей. Обратите внимание: набор чисел этого цикла совсем другой, нежели в квадрате на рис. 13.

 

Следующий квадрат я получила из квадрата с рис. 15 поворотом и отражением. Он является представителем качелей с шагами 3+8, через 3 ячейки вправо, через 8 ячеек влево. Этот квадрат изображён на рис. 18.

 

 

 

                                                                     Рис. 18

 

И последний вид качелей с шагами 4+7. На рис. 19 представлен образец идеального квадрата с такими качелями. Качели качаются так: через 4 ячейки вправо, через 7 ячеек влево. К сожалению, я не смогла получить квадрат такого вида, начинающийся с числа, входящего в начальную цепочку первых 13 чисел.

 

 

 

                                                                     Рис. 19

 

Так как любой цикл качания качелей в точности повторяет схему расположения первых 13 чисел, я закрасила второй цикл качания качелей, в котором есть ячейка, попавшая в левую верхнюю ячейку квадрата. Розовые ячейки этого цикла дают представление о начальной цепочке, если бы одно из чисел этой цепочки попало в левую верхнюю ячейку.

 

                                               КАЧЕЛИ В ДЕЙСТВИИ!

 

Методом качелей я построила множество пандиагональных квадратов, взяв за исходный квадрат с рис. 15. Эти квадраты позволили мне увидеть интереснейшие преобразования “плюс-минус …”, которые трудно сочинить, не имея перед собой готовых квадратов. Покажу два примера. Первое преобразование “плюс-минус 7” простое (некомбинированное), оно связывает квадрат с рис. 15 с квадратом, изображённым на рис. 20. Подчеркну ещё раз, что квадрат на рис. 20 не является идеальным, он только пандиагональный. Обратите внимание на то, что схема расположения первых 13 чисел в этих квадратах одинакова, и только в начальной цепочке два числа – 3 и 10 – поменялись местами. Показанное преобразование, таким образом, сохраняет пандиагональность квадрата, но не сохраняет ассоциативность.

 

 

 

                                                  Рис. 20

 

Покажу матрицу этого преобразования (рис. 21) для тех, кто не читал страницы, в которых рассказывалось о преобразованиях такого типа.

 

 

 

                                                  Рис. 21

 

Наложите эту матрицу на преобразуемый квадрат с рис. 15, к числам, попавшим в жёлтые ячейки, прибавьте 7, а от чисел, оказавшихся в оранжевых ячейках, вычтите 7 – и новый пандиагональный квадрат готов!

 

Интересно отметить, что и ассоциативность квадрата на рис. 20 нарушилась на “плюс-минус 7”. Вот, например, в центральной строке, две пары чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки, не дают в сумме 170, одна пара: 50+127=177, другая пара: 94+69=163. Одна сумма на 7 больше нужной, другая – на 7 меньше. Все остальные пары чисел в этой строке дают в сумме 170. То же самое в центральном столбце, главных диагоналях.

 

Теперь покажу ещё один пандиагональный квадрат, построенный по образцу того же квадрата с рис. 15. Смотрите его на рис. 22.