ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

     Часть VIII

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании материалов

прошу указывать ссылку

на данную страницу.

 

Начинаю рассматривать более подробно идеальные квадраты 15-ого порядка.

Во второй части статьи был построен методом стандартных качелей идеальный квадрат, который вы видите на рис. 1. Там объяснялось, какие качели я называю стандартными.

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

В указанной части статьи вы можете посмотреть образующую таблицу этого квадрата. Качели здесь качаются с такими шагами: через 7 ячеек вправо, через 6 ячеек влево. На рисунке вы видите закрашенными три цикла качания качелей (не считая нулевого – начальной цепочки первых 15 чисел).

Внимательно изучив построение методом качелей квадратов низших порядков, приступаю к квадрату 15-ого порядка с накопленным опытом и большими знаниями и навыками. Стало интересно запрограммировать качели по аналогии с тем, как я это делала для квадратов низших порядков и прогнать программу до конца. Сколько она построит квадратов такого вида?

Не буду подробно показывать подготовку к написанию программы. Она состоит, как помнит читатель, в том, чтобы нарисовать образующую таблицу и поставить в ней начальные условия, то есть все те числа, которые будут считаться известными. Предлагаю читателям выполнить этот этап самостоятельно. Я же расскажу о результате. Программа выдала мне 1152 варианта! И работала она меньше минуты.

Конечно, не смогу показать здесь все полученные по программе квадраты, и даже файл не буду помещать на сайт, потому что очень большой. Кроме того, я поленилась писать блок превращения образующей таблицы в сам квадрат и поэтому результаты программа выдала мне в виде образующих таблиц (как помнит читатель, так же было для пандиагональных квадратов 5-ого порядка). Покажу здесь два первых варианта, выданных программой. Ну, разумеется, квадрат, изображённый на рис. 1, тоже выдался программой. Итого получается три квадрата. На рис. 2 вы видите первый вариант, выданный программой, а на рис. 3 – второй, но уже, конечно, не в виде образующих таблиц, а в виде идеальных квадратов.

 

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Поскольку, как я уже не раз отмечала, каждый цикл качания качелей в точности повторяет схему расположения первых 15 чисел, то я закрасила здесь четвёртый цикл, в котором одна из ячеек совпала с левой верхней ячейкой. Этот цикл даёт представление о положении начальной цепочки, если бы одно из первых 15 чисел стояло в левой верхней ячейке.

 

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Сравнив эти идеальные квадраты, я сразу увидела преобразование “плюс-минус …”, которое их связывает. Оно комбинированное, в нём участвуют четыре числа – 3, 42, 45 и 48. Покажу матрицу этого преобразования (рис. 4).

 

 

 

                                                                       Рис. 4

 

Вот такое сложное преобразование, которое сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Наложив эту матрицу на преобразуемый квадрат  с рис. 2 и произведя все действия сложения и вычитания над числами, попавшими в закрашенные ячейки, вы получите новый идеальный квадрат, который изображён на рис. 3. Центральная симметрия этого преобразования восхитительна! Вот почему оно сохраняет ассоциативность квадрата. При этом ещё и суммы по всем строкам, столбцам и диагоналям (как главным, так и разломанным) тоже не изменяются. И значит, сохраняется пандиагональность.

 

А теперь хочу посмотреть на квадраты с качелями другого вида (с другими шагами). Дублирую квадрат из второй части статьи (рис. 5).

 

 

 

                                                                     Рис. 5

 

В этом квадрате совсем другая схема расположения первых 15 чисел и качели соответственно другие. В отличие от качелей показанного выше вида (стандартных) эти качели я назвала нестандартными, потому что образующая таблица этого квадрата резко отличается от образующей таблицы стандартных качелей. Шаги качелей здесь такие: через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево. Квадрат хорош тем, что начинается он с числа 1. На рисунке закрашены первые два цикла качания качелей (не считая нулевого).

Попробую запрограммировать этот вид качелей. Зафиксирую положение чисел 1 и 15. Все полученные квадраты, следовательно, будут начинаться с числа 1. Очень интересно, что получится в этом случае. Много ли будет идеальных квадратов такого вида.

 

                                               ***

 

Страница помещена на сайт 30 декабря 2007 г.

 

 

1 января 2008 г.

 

Итак, я обещала рассказать о результатах построения по программе квадратов такого вида, как квадрат на рис. 5. Результат работы составленной программы оказался интересным – снова 1152 квадрата! Просто не верится, что так много можно получить идеальных квадратов. И программа работала всего 3 минуты! Это если выводить на экран (и в файл) образующие таблицы, а если их не выводить, то ещё меньше. Как и в предыдущем случае, покажу два первых варианта, выданных программой. Эти идеальные квадраты вы видите на рис. 6 и рис. 7.

 

 

 

                                                   Рис. 6

 

Я закрасила в этом квадрате 11-ый цикл качания качелей. Показываю следующий идеальный квадрат (второй вариант, выданный программой).

 

 

 

                                                                       Рис. 7

 

В этом квадрате закрашен седьмой цикл качания качелей. Посмотрите внимательно на эти два квадрата! В начальной цепочке чисел поменялись местами два числа – 6 и 10. А все остальные числа занимают одинаковые позиции. И, разумеется, квадраты связаны преобразованием “плюс-минус …”. Оно комбинированное, в нём участвуют четыре числа: 4, 56, 60, 64. Я покажу матрицу этого преобразования чуть позже. А прежде покажу всё-таки одну образующую таблицу, чтобы напомнить читателям, какой она имеет вид для данного типа идеальных квадратов и как её запрограммировать, чтобы получить все образующие таблицы. Показываю образующую таблицу квадрата, изображённого на рис. 7 (рис. 8):

 

 

                                                                        Рис. 8

 

Закономерности формирования этой таблицы рассматривались во второй части данной статьи. Напомню, что этот вид качелей назван мной нестандартным, в отличие от качелей первого вида, имеющих образующую таблицу другой структуры и другие шаги качания. Ещё раз подчеркну, что при составлении программы следует зафиксировать положение двух чисел – 1 и 15. Попробуйте составить программу для получения всех образующих таблиц данного вида (а по ним и идеальных квадратов) самостоятельно. Это очень хороший пример для тех, кто пробует себя в программировании.

 

А теперь показываю матрицу преобразования “плюс-минус …”, которое связывает два идеальных квадрата, изображённых на рис. 6 и рис. 7 (рис. 9).

 

 

 

                                                   Рис. 9

 

Понятно, что это преобразование сохраняет и ассоциативность, и пандиагональность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Если исследовать все идеальные квадраты данного вида, то можно найти ещё много подобных преобразований.

 

Ну и, наконец, покажу ещё один идеальный квадрат их этой группы, это вариант № 1152, то есть самый последний из выданных программой (рис. 10):

 

 

                                                                       Рис. 10

 

В этом квадрате я закрасила 14-ый (последний) цикл качания качелей. И ещё покажу образующую таблицу этого квадрата (рис. 11). Читатель может сравнить её с образующей таблицей предыдущего квадрата (рис. 8) и ему станут совсем понятны все закономерности формирования этих таблиц.

 

 

 

                                                                        Рис. 11

 

А теперь стоит обратить внимание на связи между квадратами этих двух групп (с качелями двух видов). Не случайно количество квадратов в каждой группе оказалось равным 1152. Исходный квадрат для квадратов второй группы я получила из квадрата первой группы, применив к нему сначала перенос на торе, а затем преобразование “строки-диагонали”. Таким образом, если я теперь к любому квадрату второй группы применю сначала преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, а затем перенесу полученный квадрат на торе, то я получу один из квадратов первой группы. О преобразовании, обратном преобразованию “строки-диагонали”, я рассказывала раньше (не помню сейчас, в какой статье). Матрицу этого преобразования сочинить очень легко: положите перед собой два квадрата – исходный и тот, что получился из него применением преобразования “строки-диагонали”. А теперь во втором квадрате впишите а_ij в естественном порядке и перепишите эти а_ij в первый квадрат (туда, где они стоят). И матрица готова!

Покажу отмеченный факт на последнем идеальном квадрате второй группы (с рис. 10). Применив к нему преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, получаю квадрат, который вы видите на рис. 12.

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

Этот квадрат не является идеальным, так как он утратил ассоциативность. Но его очень просто сделать идеальным, применив параллельный перенос на торе; смотрите этот идеальный квадрат на рис. 13. Совершенно очевидно, что мы получили идеальный квадрат из первой группы, со стандартными качелями (такой, как квадраты на рис. 1, 2, 3).

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Таким образом, составив программу для второго вида качелей, я за 2-3 минуты применила к 1152 квадратам первой группы комбинацию двух преобразований и получила 1152 новых идеальных квадрата! Ну, уж если открывать банк идеальных квадратов 15-ого порядка, то в него, конечно, надо записать 1152 квадрата второй группы, потому что эти квадраты начинаются с числа 1. А квадраты первой группы, по большому счёту, не являются новыми, так как все они получаются из квадратов второй группы применением всего двух элементарных преобразований: сначала преобразование, обратное преобразованию “строки-диагонали”, а затем параллельный перенос на торе. И поэтому 1152 квадрата первой группы в банк идеальных квадратов 15-ого порядка не попадают.

 

Итак, я показала качели двух видов для построения идеальных квадратов 15-ого порядка, с такими шагами качания: 6+7 и 2+11.

Если квадрат, изображённый на рис. 1, повернуть на 90 градусов, то получится образец идеального квадрата с такими шагами качания: 1+12.

Вот ещё один образец квадрата с шагами 1+12 (рис. 14), через 1 ячейку влево, через 12 ячеек вправо.