МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=k^p

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Работая над задачей построения идеального квадрата 12-ого порядка, который пока так и не построился, я вспомнила придуманный мной метод построения идеальных квадратов порядка n=3^p, p=2, 3, 4… В статье “Идеальные квадраты порядков кратных 9” подробно описан этот метод и построены идеальные квадраты 9-ого, 27-ого и 81-ого порядков.

 

Метод очень простой. Напомню построение идеального квадрата 9-ого порядка. Сначала строится составной ассоциативный квадрат на базе магического квадрата третьего порядка, он же берётся в качестве основного (хотя можно взять в качестве основного другой вариант магического квадрата третьего порядка). На рис. 1 воспроизвожу составной ассоциативный квадрат 9-ого порядка.

 

 

 

                                                        Рис. 1

 

А теперь в этом квадрате делаем перестановку строк по очень простой схеме – с шагом 2, то есть через 2 столбца. Ещё проще можно объяснить эту схему перестановки так: на рис. 2 вы видите три секции, содержащие по три столбца. В первой секции помещаются первые столбцы из каждой такой же секции исходного квадрата, во второй секции – вторые столбцы из каждой секции исходного квадрата, и в третьей секции – третьи столбцы. Всё очень просто и легко запоминается. И вот он – идеальный квадрат (рис. 2)!

 

 

 

                                                                     Рис. 2

 

Интересно отметить, что точно так же можно переставить и строки, схема такая же. На рис. 3 вы видите идеальный квадрат, полученный перестановкой строк.

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

                                                                        ***

 

Примечание: можете ли вы превратить идеальный квадрат с рис 2 или с рис. 3 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата)? Я делаю это очень просто: параллельный перенос на торе, отражение относительно вертикальной оси симметрии и применение преобразования “строки-диагонали”. И вот перед вами идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (рис. 3а); я преобразовала квадрат с рис 3.

 

 

 

                                                                      Рис. 3а

 

Посмотрите, как интересно трансформировалась начальная цепочка. Люблю магические квадраты, начинающиеся с числа 1! На мой взгляд, они самые прекрасные.

Кстати, в моих планах написание статьи “Преобразования магических квадратов”.

 

                                                                        ***

 

Когда я придумала этот метод, работая над задачей построения идеального квадрата 9-ого порядка, мне в голову не пришла мысль попробовать этот метод для квадрата 16-ого порядка, потому что в то время я считала, что идеальные квадраты существуют только нечётного порядка.

И вот теперь опробовала этот метод на квадрате 16-ого порядка. Всё получилось! На рис. 4 показываю составной ассоциативный квадрат 16-ого порядка, построенный на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка (он же взят в качестве основного).

 

 

 

                                                                      Рис. 4

 

Здесь перестановку надо делать с шагом 3, то есть через 3 столбца. Или точно так же заполнять столбцами секции. На рис. 4 и на рис. 5 выделены эти секции, здесь их будет 4. В первой секции помещаются все первые столбцы секций исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы и так далее. На рис. 5 вы видите готовый идеальный квадрат 16-ого порядка. Хотя идеальный квадрат 16-ого порядка я уже построила другим способом (из пандиагонального квадрата Франклина), тем не менее, этот экземпляр тоже очень ценный, ибо он является принципиально новым квадратом.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Красивейший идеальный квадрат! Посмотрите, как оригинально расположилась начальная цепочка первых 16 чисел в этом квадрате (выделена розовым цветом).

Предлагаю читателям самостоятельно переставить в исходном ассоциативном квадрате с рис. 4 строки по такой же схеме. Вы получите ещё один идеальный квадрат 16-ого порядка.

Составных ассоциативных квадратов 16-ого порядка на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка можно построить очень много. Как известно, существует 48 ассоциативных квадратов четвёртого порядка. Прикиньте, сколько можно построить составных квадратов 16-ого порядка. И каждый такой квадрат очень просто превратить в идеальный описанным методом.

Далее точно так же можно построить идеальный квадрат 64-ого порядка, затем 256-ого и вообще любого порядка n=4^p, p=2, 3, 4…

Теперь берём составной ассоциативный квадрат 25-ого порядка и таким же способом превращаем его в идеальный. Но для такого порядка метод не актуален, потому что проще сразу строить идеальный квадрат на базе идеального квадрата пятого порядка (он же и основной).

 

А вот для квадрата 36-ого порядка ничего не получится, потому что ассоциативного квадрата шестого порядка не существует. Не будет работать этот метод и для квадрата 100-ого порядка, то есть вообще для таких порядков, в основании степени которых стоит число 4m+2 (m=1, 2, 3…). Следовательно, данный метод действует для порядков n=k^p, k>2 и не равно 4m+2, p=2, 3, 4…

 

                                               ***

 

26 апреля 2008 г.

г. Саратов

 

      27 апреля 2008 г.

 

Покажу ещё один вариант превращения ассоциативного квадрата 9-ого порядка в идеальный. Составной ассоциативный квадрат я сейчас построила на базе магического квадрата третьего порядка, но в качестве основного взяла другой вариант магического квадрата третьего порядка. Этот ассоциативный квадрат 9-ого порядка вы видите на рис. 6.

 

 

 

                                                        Рис. 6

 

Как видите, получился совсем другой квадрат, отличный от квадрата с рис. 1. Превращаю этот квадрат в идеальный, переставляя столбцы описанным выше способом (рис. 7).

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Идеальный квадрат тоже, понятно, получился другой.

 

Ещё покажу составной идеальный квадрат 25-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата пятого порядка (в качестве основного взят другой идеальный квадрат пятого порядка). Интересно, что в этом квадрате тоже можно переставить столбцы описанным методом и получить другой идеальный квадрат. Можно переставить так же и строки.

Итак, на рис. 8 воспроизвожу составной идеальный квадрат 25-ого порядка (он был построен в одной из моих статей). Я разделила его на 5 секций по 5 столбцов в каждой, чтобы было хорошо видно, как будут переставляться столбцы.

 

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Посмотрите, как компактно расположилась начальная цепочка первых 25 чисел в этом квадрате. Теперь переставляю столбцы и получаю новый идеальный квадрат, который вы видите на рис. 9. Таким образом, метод применим и к идеальному составному квадрату, как частному случаю ассоциативного составного квадрата.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Ну, и напомню читателям, что идеальный квадрат 25-ого порядка, как вообще любого нечётного порядка не кратного 3, можно построить методом качелей с тривиальной образующей таблицей. Это совсем просто – играючи. Доступно даже ребёнку. Попробуйте, покажите ребёнку этот квадрат, он изображён на рис. 10.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

Раскрашивайте дальше циклы качания качелей вместе с ребёнком. А потом предложите ребёнку построить точно таким же методом квадрат 29-ого порядка. Для этого, конечно, поставьте в центральную ячейку число 421 и напишите числа начальной цепочки (первые 29 чисел).

 

Понятно, что таким методом можно построить и квадрат 125-ого порядка, и квадрат 49-ого порядка и вообще любого порядка n=k^p, k=2m+1, m=2, 3, 4…, p=2, 3, 4…  и k не равно 3t, другими словами: основание степени k нечётное число не кратное 3.

 

                                               ***

 

                                           29 апреля 2008 г.

 

Покажу читателям ещё один идеальный квадрат, построенный представленным на этой странице методом – квадрат 64-ого порядка. Напомню, что уже был показан один составной идеальный квадрат 64-ого порядка, построенный на базе идеального квадрата восьмого порядка. Теперь я сначала построю составной ассоциативный квадрат на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка (его же возьму в качестве основного), а затем с помощью перестановки столбцов по описанной выше схеме получу их него идеальный квадрат. Составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка можно построить несколькими способами:

а) на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат 16-ого порядка;

б) на базе ассоциативного квадрата 16-ого порядка, в качестве основного берётся ассоциативный квадрат четвёртого порядка;

в) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, он же и основной;

г) на базе ассоциативного квадрата восьмого порядка, в качестве основного берётся другой ассоциативный квадрат восьмого порядка.

Я выбрала третий способ. На рис. 11 вы видите ассоциативный квадрат восьмого порядка, который выбран мной для построения составного ассоциативного квадрата 64-ого порядка. Этот квадрат я построила, когда искала метод построения идеального квадрата 12-ого порядка, он почти идеальный, но почти – это всё же не совсем. В нём нет магических сумм всего в 4 разломанных диагоналях. А вот квадрат 64-ого порядка, который я построила на базе этого почти идеального квадрата, вполне идеальный.

 

 

                                                                      Рис. 11

 

На рис. 12 изображена матрица, с помощью которой строится составной ассоциативный квадрат 64-ого порядка.

 

 

 

                                                                      Рис. 12

 

Можно построить этот квадрат вручную, с помощью калькулятора, и столбцы затем тоже вручную переставить. Но по программе всё-таки удобнее: быстрее и надёжнее, в смысле отсутствия ошибок. Пишу программу, которая строит составной квадрат, а заодно и переставляет в построенном квадрате столбцы. Столбцы надо переставлять точно так же по секциям, будет 8 секций по 8 столбцов в каждой. В первой секции помещаются все первые столбцы из каждой секции исходного квадрата, во второй секции – все вторые столбцы из каждой секции и так далее. Это равносильно перестановке столбцов с шагом 7, то есть через 7 столбцов.

Далее привожу идеальный квадрат 64-ого порядка в том виде, как он записан в файл программой. Он представлен в двух частях, в каждой части 32 столбца. Квадрат строится по программе мгновенно.

 

Идеальный квадрат 64-ого порядка – часть 1:

 

1  3649  1345  2817  2753  1153  3969  449  58  3706  1402  2874  2810  1210  4026  506  22  3670  1366  2838  2774  1174  3990  470  45  3693  1389  2861  2797  1197  4013  493

 56  3704  1400  2872  2808  1208  4024  504  47  3695  1391  2863  2799  1199  4015  495  3  3651  1347  2819  2755  1155  3971  451  28  3676  1372  2844  2780  1180  3996  476

 24  3672  1368  2840  2776  1176  3992  472  15  3663  1359  2831  2767  1167  3983  463  35  3683  1379  2851  2787  1187  4003  483  60  3708  1404  2876  2812  1212  4028  508

 33  3681  1377  2849  2785  1185  4001  481  26  3674  1370  2842  2778  1178  3994  474  54  3702  1398  2870  2806  1206  4022  502  13  3661  1357  2829  2765  1165  3981  461

 25  3673  1369  2841  2777  1177  3993  473  34  3682  1378  2850  2786  1186  4002  482  14  3662  1358  2830  2766  1166  3982  462  53  3701  1397  2869  2805  1205  4021  501

 48  3696  1392  2864  2800  1200  4016  496  55  3703  1399  2871  2807  1207  4023  503  27  3675  1371  2843  2779  1179  3995  475  4  3652  1348  2820  2756  1156  3972  452

 16  3664  1360  2832  2768  1168  3984  464  23  3671  1367  2839  2775  1175  3991  471  59  3707  1403  2875  2811  1211  4027  507  36  3684  1380  2852  2788  1188  4004  484

 57  3705  1401  2873  2809  1209  4025  505  2  3650  1346  2818  2754  1154  3970  450  46  3694  1390  2862  2798  1198  4014  494  21  3669  1365  2837  2773  1173  3989  469

 3521  2945  129  1729  1793  321  2625  3073  3578  3002  186  1786  1850  378  2682  3130  3542  2966  150  1750  1814  342  2646  3094  3565  2989  173  1773  1837  365  2669  3117

 3576  3000  184  1784  1848  376  2680  3128  3567  2991  175  1775  1839  367  2671  3119  3523  2947  131  1731  1795  323  2627  3075  3548  2972  156  1756  1820  348  2652  3100

 3544  2968  152  1752  1816  344  2648  3096  3535  2959  143  1743  1807  335  2639  3087  3555  2979  163  1763  1827  355  2659  3107  3580  3004  188  1788  1852  380  2684  3132

 3553  2977  161  1761  1825  353  2657  3105  3546  2970  154  1754  1818  346  2650  3098  3574  2998  182  1782  1846  374  2678  3126  3533  2957  141  1741  1805  333  2637  3085

 3545  2969  153  1753  1817  345  2649  3097  3554  2978  162  1762  1826  354  2658  3106  3534  2958  142  1742  1806  334  2638  3086  3573  2997  181  1781  1845  373  2677  3125

 3568  2992  176  1776  1840  368  2672  3120  3575  2999  183  1783  1847  375  2679  3127  3547  2971  155  1755  1819  347  2651  3099  3524  2948  132  1732  1796  324  2628  3076

 3536  2960  144  1744  1808  336  2640  3088  3543  2967  151  1751  1815  343  2647  3095  3579  3003  187  1787  1851  379  2683  3131  3556  2980  164  1764  1828  356  2660  3108

 3577  3001  185  1785  1849  377  2681  3129  3522  2946  130  1730  1794  322  2626  3074  3566  2990  174  1774  1838  366  2670  3118  3541  2965  149  1749  1813  341  2645  3093

 1473  897  2177  3777  3841  2369  577  1025  1530  954  2234  3834  3898  2426  634  1082  1494  918  2198  3798  3862  2390  598  1046  1517  941  2221  3821  3885  2413  621  1069

 1528  952  2232  3832  3896  2424  632  1080  1519  943  2223  3823  3887  2415  623  1071  1475  899  2179  3779  3843  2371  579  1027  1500  924  2204  3804  3868  2396  604  1052

 1496  920  2200  3800  3864  2392  600  1048  1487  911  2191  3791  3855  2383  591  1039  1507  931  2211  3811  3875  2403  611  1059  1532  956  2236  3836  3900  2428  636  1084

 1505  929  2209  3809  3873  2401  609  1057  1498  922  2202  3802  3866  2394  602  1050  1526  950  2230  3830  3894  2422  630  1078  1485  909  2189  3789  3853  2381  589  1037

 1497  921  2201  3801  3865  2393  601  1049  1506  930  2210  3810  3874  2402  610  1058  1486  910  2190  3790  3854  2382  590  1038  1525  949  2229  3829  3893  2421  629  1077

 1520  944  2224  3824  3888  2416  624  1072  1527  951  2231  3831  3895  2423  631  1079  1499  923  2203  3803  3867  2395  603  1051  1476  900  2180  3780  3844  2372  580  1028

 1488  912  2192  3792  3856  2384  592  1040  1495  919  2199  3799  3863  2391  599  1047  1531  955  2235  3835  3899  2427  635  1083  1508  932  2212  3812  3876  2404  612  1060

 1529  953  2233  3833  3897  2425  633  1081  1474  898  2178  3778  3842  2370  578  1026  1518  942  2222  3822  3886  2414  622  1070  1493  917  2197  3797  3861  2389  597  1045

 2049  1601  3393  769  705  3201  1921  2497  2106  1658  3450  826  762  3258  1978  2554  2070  1622  3414  790  726  3222  1942  2518  2093  1645  3437  813  749  3245  1965  2541

 2104  1656  3448  824  760  3256  1976  2552  2095  1647  3439  815  751  3247  1967  2543  2051  1603  3395  771  707  3203  1923  2499  2076  1628  3420  796  732  3228  1948  2524

 2072  1624  3416  792  728  3224  1944  2520  2063  1615  3407  783  719  3215  1935  2511  2083  1635  3427  803  739  3235  1955  2531  2108  1660  3452  828  764  3260  1980  2556

 2081  1633  3425  801  737  3233  1953  2529  2074  1626  3418  794  730  3226  1946  2522  2102  1654  3446  822  758  3254  1974  2550  2061  1613  3405  781  717  3213  1933  2509

 2073  1625  3417  793  729  3225  1945  2521  2082  1634  3426  802  738  3234  1954  2530  2062  1614  3406  782  718  3214  1934  2510  2101  1653  3445  821  757  3253  1973  2549

 2096  1648  3440  816  752  3248  1968  2544  2103  1655  3447  823  759  3255  1975  2551  2075  1627  3419  795  731  3227  1947  2523  2052  1604  3396  772  708  3204  1924  2500

 2064  1616  3408  784  720  3216  1936  2512  2071  1623  3415  791  727  3223  1943  2519  2107  1659  3451  827  763  3259  1979  2555  2084  1636  3428  804  740  3236  1956  2532

 2105  1657  3449  825  761  3257  1977  2553  2050  1602  3394  770  706  3202  1922  2498  2094  1646  3438  814  750  3246  1966  2542  2069  1621  3413  789  725  3221  1941  2517