НОВАЯ ГРУППА ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

 

Рассматривая в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latid12.htm метод построения идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, я обнаружила новую группу идеальных квадратов 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Новый идеальный квадрат построен так: в формуле

 

[1]                                           c_ij = 12*a_ij + b_ij + 1

 

переставлены первый и второй латинские квадраты, то есть использована такая формула:

 

[2]                                           c_ij = 12*b_ij + a_ij + 1.

 

Продублирую здесь новый идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Теперь посмотрим на идеальные квадраты других чётно-чётных порядков, построенные таким способом. Начнём с квадратов 8-ого порядка. Сначала покажу исходный идеальный квадрат 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” (рис. 2), и соответствующие ему два обобщённых ортогональных латинских квадрата (рис. 3 - 4).

 

 

Рис. 2

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 3

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 4

 

Идеальный квадрат на рис. 2 построен с помощью латинских квадратов с рис. 3 и рис. 4 по формуле [1]. Теперь построим идеальный квадрат с помощью этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. На рис. 5 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

Рис. 5

 

Преобразую немного этот идеальный квадрат (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом идеальном квадрате форма начальной цепочки не изменилась, она по-прежнему строится ходом  шахматного коня. Однако с точки зрения метода качелей шаги качания качелей поменялись на симметричные; в квадрате с рис. 2 качели качались так: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо (1+5), а в квадрате с рис. 6 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 1 ячейку вправо (5+1). Несмотря на то, что форма начальной цепочки не изменилась, мы получили оригинальный квадрат.

Понятно, что каждому идеальному квадрату, подобному квадрату с рис. 2, соответствует идеальный квадрат, подобный квадрату с рис. 6. Следовательно, мы имеем новую группу идеальных квадратов 8-ого порядка, в которой будет ровно столько же идеальных квадратов, сколько в первой группе квадратов с начальной цепочкой “ход конём”, то есть 98304.

 

Теперь посмотрим на квадраты 16-ого порядка. На рис. 7 показываю исходный идеальный квадрат 16-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

 

Рис. 7

 

На рис. 8 показан первый латинский квадрат, на рис. 9 – второй латинский квадрат. Из этих двух обобщённых ортогональных латинских квадратов построен идеальный квадрат с рис. 7 по формуле [1].

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 9

 

А теперь построим идеальный квадрат из этих же латинских квадратов, но по формуле [2]. Полученный квадрат изображён на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Преобразую этот квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Вот такой получился оригинальный квадрат! Как видите, начальная цепочка в этом квадрате не строится ходом шахматного коня. Не имеет она и линейную форму, как в идеальном квадрате 12-ого порядка (рис. 1). С точки зрения метода качелей мы имеем другие шаги качания качелей, нежели в идеальном квадрате с рис. 7. В квадрате с рис. 7 качели качаются так: через 1 ячейку влево, через 13 ячеек вправо (1+13), в квадрате с рис. 11 качели качаются так: через 5 ячеек влево, через 9 ячеек вправо (5+9).

 

Примечание: поясню для тех читателей, кто не знакомился с методом качелей, как определяются шаги качания качелей. Смотрим на квадрат с рис. 11. Начинаем с нижней строки квадрата. В этой строке стоит число 4 из начальной цепочки (начальная цепочка – это первые n чисел, n – порядок квадрата). Двигаемся вверх, к следующей строке, в этой строке стоит число 13 из начальной цепочки, от числа 4 до числа 13 надо пройти 5 ячеек влево. Далее, в следующей строке стоит число 16 из начальной цепочки. От числа 13 до числа 16 надо пройти вправо 9 ячеек. Дальше всё повторяется: 5 ячеек влево, 9 ячеек вправо, поэтому метод и получил название качелей.

 

Думаю, интересно показать образующую таблицу этого идеального квадрата, если бы он строился методом качелей. Смотрите эту таблицу на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Напомню, что при построении идеального квадрата с рис. 10 первым латинским квадратом служил латинский квадрат с рис. 9. Преобразуем этот латинский квадрат точно так, как мы преобразовали идеальный квадрат с рис. 10 (поворот на 90 градусов и отражение). Полученный латинский квадрат (смотрите его на рис. 13) будет первым латинским квадратом при построении идеального квадрата с рис. 11.

 

 

Рис. 13

 

Сравните этот латинский квадрат с образующей таблицей (рис. 12) и с идеальным квадратом (рис. 11). В первой строке латинского квадрата стоят номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей (смотрите нижнюю строку в образующей таблице). И далее латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей. Смотрите соответствующую раскраску циклов качания качелей в идеальном квадрате и в латинском квадрате. Таким образом, связь точно такая же, как для идеальных квадратов группы с начальной цепочкой “ход конём”.

 

Перехожу к идеальному квадрату 20-ого порядка. На рис. 14 вы видите идеальный квадрат 20-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”.

 

 

Рис. 14

 

Не буду показывать обобщённые ортогональные латинские квадраты, из которых этот идеальный квадрат построен. Читатели легко могут получить их разложением самого идеального квадрата на латинские квадраты.

А теперь построим идеальный квадрат из тех же латинских квадратов, из которых построен идеальный квадрат с рис. 14, но поменяем латинские квадраты местами, то есть используем такую формулу:

 

c_ij = 20*b_ij + a_ij + 1

 

где a_ij – элементы первого латинского квадрата,  b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

 

Полученный идеальный квадрат 20-ого порядка вы видите на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Примечание: квадрат я сразу преобразовала (поворот на 90 градусов и отражение).

 

Всё получилось аналогично квадратам 16-ого порядка. Произошло изменение шагов качания качелей; в этом идеальном квадрате шаги качания качелей такие: через 5 ячеек вправо, через 13 ячеек влево (сравните с шагами качания качелей в идеальном квадрате с рис. 14). Вы можете составить образующую таблицу этого квадрата для построения его методом качелей. Далее по номерам циклов качания качелей составьте первый латинский квадрат, используемый для построения этого идеального квадрата, и сравните его с идеальным квадратом.

 

Я ожидала получить в этой группе идеальных квадратов 20-ого порядка линейную начальную цепочку. Однако моё предположение не оправдалось. Может быть, в идеальном квадрате 24-ого порядка, построенном таким способом, будет линейная начальная цепочка? Надо проверить.

 

***

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid2.htm был построен следующий идеальный квадрат 24-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” [из обратимого квадрата] (рис. 16):