ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

С ПОМОЩЬЮ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm показано построение идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов. Здесь покажу этот метод для идеальных квадратов чётно-чётного порядка. Рассмотрю пример построения идеального квадрата 8-ого порядка.

 

Сразу отмечу один нюанс: сначала я буду идти от известного мне идеального квадрата. Как составить латинские квадраты для построения идеального квадрата 8-ого порядка, мне неизвестно. В своей книге “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С.-Петербург, 1995 г.) Ю. В. Чебраков даёт метод построения пандиагонального квадрата 8-ого порядка (в терминологии Чебракова – совершенного). Этот квадрат строится с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов. И он действительно получается не только пандиагональным, но и совершенным (не в смысле терминологии Чебракова, а в смысле моей терминологии: я называю совершенными такие пандиагональные квадраты, которые обладают дополнительными свойствами). Этот метод я изложила подробно в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm

Однако для построения идеальных квадратов 8-ого порядка данный метод не годится.

 

Итак, на рис. 1 вы видите идеальный квадрат 8-ого порядка, с которым я буду работать. Этот идеальный квадрат был построен методом качелей.

 

 

Рис. 1

 

Раскладываю этот квадрат на латинские квадраты (как это делается, показывалось в предыдущих статьях). На рис. 2 и на рис. 3 изображены полученные латинские квадраты. Эти квадраты обобщённые и ортогональные, они очень похожи на квадраты в методе Чебракова для построения совершенного квадрата 8-ого порядка (см. в книге стр. 119, рис. 2.15).

 

 

Рис. 2

 

 

 

Рис. 3

 

Если посмотреть на эти латинские квадраты как на нетрадиционные магические, они являются идеальными квадратами с магической константой 28, то есть они не просто магические, но и ассоциативные, и пандиагональные.

Интересно отметить, что заполнение первого латинского квадрата связано с номерами циклов качания качелей, как и в идеальных квадратах нечётного порядка. Смотрите: всем числам начальной цепочки в идеальном квадрате в латинском квадрате соответствуют нули (нулевой цикл качания качелей); далее, всем числам следующего цикла качания качелей k=3 в идеальном квадрате в латинском квадрате соответствует число 3 и так далее. Чтобы лучше увидеть эту связь, читателям надо посмотреть построение идеальных квадратов такого вида методом качелей. В идеальном квадрате и в первом латинском квадрате раскрашены нулевой цикл и следующий цикл качания качелей k=3.

 

А теперь по аналогии с построением идеальных квадратов нечётного порядка сверну эти латинские квадраты в такую матрицу (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

При формировании этой матрицы использована следующая формула для разложения десятичных чисел:

 

                   N = 32a + 8b + 4c + d = 8(4a + b) + 4c + d

 

где параметры a, b, c, d принимают значения 0, 1, 2, 3.

 

Если мы посмотрим на эту матрицу как на магический нетрадиционный квадрат, заполненный десятичными числами, это будет не просто магический, а идеальный квадрат с магической константой 5252. А можно посмотреть на элементы этой матрицы как на числа в любой другой системе счисления с основанием n>3, например, в пятеричной. На рис. 4а представлен нетрадиционный идеальный квадрат, построенный с помощью данной матрицы в пятеричной системе счисления. Представляете, сколько можно построить нетрадиционных идеальных квадратов таким способом!

 

 

Рис. 4а

 

Получился нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 840.

А вот нетрадиционный идеальный квадрат (рис. 4б), который получается, если  смотреть на элементы матрицы как на числа в четверичной системе счисления, используя стандартное представление чисел в этой системе счисления по формуле

 

N = 64a + 16b + 4c + d

 

 

Рис. 4б

 

Этот нетрадиционный идеальный квадрат имеет магическую константу 484.  Интересно отметить, что в этом квадрате начальная цепочка точно такая же, как в традиционном идеальном квадрате (рис. 1).

 

Примечание: нетрадиционным идеальным квадратам посвящена отдельная страница:

http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm

 

Осталось по данной матрице написать символьную матрицу (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 вы видите табличку значений символом матрицы, при которых получается исходный идеальный квадрат с рис. 1.

 

 

Рис. 6

 

Символы С и D не встречаются в первой позиции ни в одном элементе матрицы (позиции считаются слева, как в таблице значений; номера позиций в таблице значений записаны в верхней строке). Напомню, как вычисляется значение элементов матрицы. Например:

 

ADBD = 0 + 24 + 4 + 3 = 31

 

Для приведения квадрата к традиционному виду надо увеличить все элементы на единицу.

 

А теперь построим идеальный квадрат с такими значениями символов (рис. 7):

 

Рис. 7

 

Просто поменялись местами значения символов: A и B, C и D. На рис. 8 вы видите новый идеальный квадрат.

 

 

Рис. 8

 

Ещё один пример: циклически переставим значения всех символов (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Новый идеальный квадрат, построенный с такими значениями символов, изображён на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Интересно привести для сравнения матрицу для построения пандиагональных квадратов 8-ого порядка, которая была найдена мной в Интернете по следующей ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/8x8.php

 

Эту матрицу вы видите на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Значения символов в этой матрице такие: A=16, B=32, C=4, D=8, E=1, F=2. При этом можно перебрать все перестановки этих значений и таким образом построить по данной матрице 720 пандиагональных квадратов, но ни один из них не будет идеальным. Это очевидно: в левой верхней ячейке квадрата стоит число 0, а в правой нижней ячейке стоит элемент АВ, максимальное значение которого равно 48. Поэтому ни один из построенных квадратов не будет ассоциативным. Видимо, автор статьи не ставил цель построить идеальные квадраты, а просто пандиагональные.

В своей статье о магических квадратах 8-ого порядка я показала построение пандиагональных квадратов с помощью этого матричного метода и построила по программе все 720 пандиагональных квадратов (они есть в Приложении к статье). Как автор построил эту символьную матрицу, заинтересовавшиеся читатели могут посмотреть по указанной ссылке.

По представленной мной символьной матрице (рис. 5) строятся идеальные квадраты.

К сожалению, у меня нет идеальных квадратов следующих порядков, подобных рассмотренному квадрату 8-ого порядка. Поэтому не могу показать построение таких квадратов с помощью латинских квадратов.

Но есть ещё одна группа идеальных квадратов, в которых начальная цепочка строится ходом шахматного коня. Интересно посмотреть, как будет работать данный метод построения для таких идеальных квадратов. Начну опять с идеального квадрата 8-ого порядка. На рис. 12 представляю один из квадратов данной группы.

 

 

Рис. 12

 

Если строить этот идеальный квадрат методом качелей, получится следующая образующая таблица (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Теперь разложу этот квадрат на два латинских квадрата (рис. 14 и рис. 15).

 

 

Рис. 14

 

Очевидно, что этот латинский квадрат обобщённый.

Посмотрите на первую строку этого квадрата! Как и в случае для идеальных квадратов нечётного порядка, в первой строке первого латинского квадрата записаны номера циклов качания качелей (смотрите на нижнюю строку образующей таблицы; начальной цепочке, как вы знаете, соответствует нулевой цикл качания качелей k=0). А дальше латинский квадрат заполняется в точном соответствии с номерами циклов качания качелей: всем числам начальной цепочки в идеальном квадрате в латинском квадрате соответствуют нули; всем числам в идеальном квадрате из набора следующего цикла качания качелей k=7 в латинском квадрате соответствует число 7 и так далее. Удивительная закономерность! В идеальном квадрате (рис. 12) и в латинском квадрате (рис. 14) эта закономерность показана раскраской первых трёх циклов качания качелей, считая нулевой.

Можно отметить также, что каждая следующая строка в этом латинском квадрате получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом.

 

Составляю второй латинский квадрат (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

Как строится второй латинский квадрат – не вижу правила. Но этот квадрат должен быть ортогональным к первому латинскому квадрату. Возможно, существуют методы построения ортогональных латинских квадратов (пока не изучала эту тему подробно). Этот латинский квадрат тоже обобщённый. Если смотреть на оба латинских квадрата как на нетрадиционные магические квадраты, они являются идеальными с магической константой 28.

 

По аналогии с первым примером можно составить символьную матрицу для построения идеальных квадратов, подобных квадрату с рис. 12. Оставляю это читателям.

 

А я рассмотрю идеальные квадраты 12-ого порядка из этой же группы квадратов (с начальной цепочкой “ход конём”). Один из таких квадратов вы видите на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Этот квадрат тоже построен методом качелей и вот его образующая таблица (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

А теперь попробую составить первый латинский квадрат не путём разложения исходного идеального квадрата, а по номерам циклов качания качелей, то есть по выявленной для идеального квадрата 8-ого порядка закономерности. Записываю в первой строке латинского квадрата номера циклов качания качелей из нижней строки образующей таблицы; в первой ячейке запишется число 0, соответствующее нулевому циклу качания качелей (начальной цепочке). А дальше буду заполнять квадрат в соответствии с номерами циклов качания качелей. Вот какой латинский квадрат у меня получился (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Всё получилось совершенно аналогично латинскому квадрату 8-ого порядка. Латинский квадрат получился обобщённый. Кроме того, это нетрадиционный идеальный квадрат с магической константой 66. Ну, а второй латинский квадрат надо составить так, чтобы он был ортогональным к первому. И он тоже должен быть нетрадиционным идеальным квадратом с магической константой 66. Этот латинский квадрат вы видите на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

Напомню читателям, что идеальный квадрат порядка n=4k, k=2, 3, 4… строится из двух латинских (обобщённых) ортогональных квадратов по следующей формуле:

 

c_ij = n*a_ij + b_ij + 1

 

где a_ij – элементы первого латинского квадрата, b_ij  – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата. Если не прибавлять единицу, получится идеальный квадрат, заполненный числами от 0 до n² - 1.

 

Покажу ещё пример для идеального квадрата 16-ого порядка из этой группы квадратов. На рис. 20 вы видите идеальный квадрат, построенный методом качелей, на рис. 21 – его образующую таблицу, на рис. 22 – первый латинский квадрат. Второй латинский квадрат предлагаю составить читателям. Первый латинский квадрат составлен точно так же, как для квадрата 12-ого порядка.

 

 

Рис. 20

 

 

 

Рис. 21

 

 

Рис. 22

 

Этот обобщённый латинский квадрат является нетрадиционным идеальным квадратом с магической константой 120. Второй латинский квадрат должен быть ортогональным первому, и он тоже будет идеальным квадратом с той же магической константой. Если вы умеете строить ортогональные латинские квадраты, то постройте ортогональный квадрат для латинского квадрата, изображённого на рис. 22. А если нет, то второй латинский квадрат можно построить разложением исходного идеального квадрата с рис. 20.

 

У меня есть ещё идеальный квадрат 20-ого порядка из этой группы квадратов, который я тоже построила методом качелей и ещё нигде не показала в своих статьях (показала только на научном форуме; там один товарищ высказал мнение, что у меня не получится построить такой сложный квадрат, пришлось построить и показать товарищу этот квадрат).

Посетите этот форум, вот прямая ссылка на тему “Магические квадраты”:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

Не пропадать же квадрату! Покажу его сейчас, он здесь как раз к месту. Читателям предлагаю составить образующую таблицу этого квадрата и два обобщённых ортогональных латинских квадрата, из которых этот квадрат может быть построен (иными словами: на которые этот идеальный квадрат раскладывается). На рис. 23 вы видите идеальный квадрат 20-ого порядка из рассматриваемой группы квадратов. Смотрите, как всё похоже в идеальных квадратах этой группы. Чудесная аналогия!

 

 

Рис. 23

 

Возвращаюсь к квадратам 8-ого порядка из этой группы квадратов (с начальной цепочкой “ход конём”). Итак, установлено, на какие два латинских обобщённых ортогональных квадрата раскладывается рассмотренный идеальный квадрат 8-ого порядка (с рис. 12). Теперь можно пойти обратным путём, то есть сначала составить латинские квадраты, а затем построить из них идеальный квадрат. Алгоритм очень простой. Сначала заполняем первую строку первого латинского квадрата. Подчеркну, что нам неизвестен тот идеальный квадрат, который построится из составленных латинских квадратов. Первую строку первого латинского квадрата заполняем так: в левой верхней ячейке записываем число 0. Из остальных семи чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 образуем всевозможные перестановки. Каждую из таких перестановок запишем в первую строку. Каждая следующая строка получается из предыдущей, как мы видели в рассмотренном примере, циклическим сдвигом с постоянным шагом. Сформировав таким образом квадрат, надо проверить, чтобы получился идеальный магический (нетрадиционный) квадрат с магической константой 28. Вот и весь алгоритм для первого латинского квадрата. Программа, написанная по этому алгоритму, выдала 48 латинских квадратов. Приступаем к составлению второго латинского квадрата. Как я уже говорила, второй латинский квадрат должен быть ортогонален к первому и тоже должен являться идеальным (нетрадиционным) магическим квадратом с той же магической константой 28. Составляю этот квадрат по аналогии с тем, как составлен латинский квадрат на рис. 15; если присмотреться, можно увидеть связь этого квадрата с латинским квадратом на рис. 14.

Из 48 вариантов программа выдала только 6 пар ортогональных латинских квадратов, которые удовлетворяют всем условиям. Наконец, последний этап – построение из полученной пары латинских квадратов идеального квадрата. Это совсем простой этап, просто надо запрограммировать известную формулу:

 

c_ij = 8*a_ij + b_ij +1

 

Итак, по программе получены шесть идеальных квадратов 8-ого порядка. Все они начинаются с числа 1, так как в левой верхней ячейке первого латинского квадрата мы записали число 0 (и второй латинский квадрат здесь тоже начинается с числа 0). Среди полученных решений, конечно, есть идеальный квадрат с рис. 12, поэтому я не буду его показывать. Остальные пять решений покажу (рис. 24 – рис. 28).

 

 

Рис. 24

 

Покажу для примера пару ортогональных обобщённых латинских квадратов, выданных программой для этого идеального квадрата:

 

            0  7  3  1  5  2  6  4                           0  3  5  6  0  3  5  6

            6  4  0  7  3  1  5  2                           2  4  7  1  2  4  7  1 

            5  2  6  4  0  7  3  1                           3  5  6  0  3  5  6  0 

            3  1  5  2  6  4  0  7                           4  7  1  2  4  7  1  2

                        0  7  3  1  5  2  6  4                           5  6  0  3  5  6  0  3              

                        6  4  0  7  3  1  5  2                           7  1  2  4  7  1  2  4 

                        5  2  6  4  0  7  3  1                           6  0  3  5  6  0  3  5

                        3  1  5  2  6  4  0  7                           1  2  4  7  1  2  4  7

 

 

Рис. 25

 

 

Рис. 26

 

 

Рис. 27

 

 

Рис. 28

 

Прекрасные идеальные квадратики! Теперь можно сказать, что метод построения идеальных квадратов 8-ого порядка с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов полностью разработан. Алгоритм реализован, есть программа и вот готовые идеальные квадраты.

Таким образом, мы имеем альтернативный метод построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка. Напомню, что мной рассмотрен ещё один метод построения таких квадратов – с помощью обратимых квадратов. Из этой статьи я сейчас возьму один идеальный квадрат 8-ого порядка, который не входит в полученную группу квадратов. Все полученные здесь идеальные квадраты начинаются с числа 1. Но ведь идеальные квадраты могут начинаться с других чисел. А как построить идеальный квадрат 8-ого порядка, начинающийся, например, с числа 2? Если применить к идеальному квадрату с рис. 28 преобразование параллельного переноса на торе так чтобы он начинался с числа 2, квадрат утратит ассоциативность и уже не будет идеальным. В указанной статье я построила идеальный квадрат, начинающийся с числа 2, из обратимого квадрата. Вот этот квадрат [копирую его из указанной статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm ] (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

Обратите внимание: этот идеальный квадрат связан с квадратом с рис. 27 преобразованием “плюс-минус 1”.

 

Интересно посмотреть, на какие латинские квадраты разложится этот идеальный квадрат. Выполняю разложение и показываю латинские квадраты на рис. 30 и рис. 31.