МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ВОСЬМОГО ПОРЯДКА

 

Завершив исследования квадратов нечётного порядка (последний порядок n=9), я решила немного посмотреть на квадраты порядка двойной чётности.

Напомню, что порядок двойной чётности – это порядок n=4k (k=1,2,3…). Первым таким квадратом является квадрат четвёртого порядка. Эти квадраты были мной подробно исследованы (читайте предыдущие страницы о магических квадратах). Построены все 880 магических, все 48 пандиагональных. Рассмотрены все преобразования. Поэтому теперь надо посмотреть на второй квадрат порядка двойной чётности – квадрат восьмого порядка.

Магическая константа квадрата восьмого порядка равна 260.

Два метода построения квадратов порядка двойной чётности изложен на странице “Методы построения магических квадратов”. Это метод квадратных рамок и метод Рауз-Болла. Квадраты, построенные этими методами, ассоциативны. На рис. 1 изображён квадрат, построенный методом Рауз-Болла.

 

 

 

                                                    Рис. 1

 

Этот квадрат ассоциативен, как и все квадраты порядка двойной чётности, построенные методом Рауз-Болла, а также методом квадратных рамок.

 

Теперь расскажу о пандиагональных квадратах восьмого порядка. Один из таких квадратов был приведён на странице “Пандиагональные квадраты”.

Совсем недавно нашла в Интернете статью, в которой изложены матричные методы построения пандиагональных квадратов до порядка 13 включительно. Я уже показала практическое применение этих методов на своих страницах о магических квадратах седьмого и девятого порядка. Очень интересные методы! Жаль только, что статья написана на английском языке. Из-за незнания языка я не смогла полностью перевести статью и разобраться в принципах построения матриц. Но построить квадраты по готовой матрице у меня получилось. Здесь покажу метод для пандиагональных квадратов восьмого порядка. Ссылка на страницу:

 

http://www.grogono.com/magic/8x8.php

 

Итак, беру из указанной статьи готовую матрицу (рис. 2):

 

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Далее надо заполнять эту матрицу, вычисляя сочетания, стоящие в ячейках, как суммы входящих в них переменных A, B, C, D, E, F. Значения этих переменных таковы: A=16, B=32, C=4, D=8, E=1, F=2. Это для одного квадрата, который и построен в статье с этими значениями. Перебрав все комбинации указанных значений переменных, можно построить 720 квадратов. Левая верхняя ячейка не содержит никакого сочетания, в неё вписывается 0. В этой статье вообще все квадраты заполняются числами от 0 до n²-1. Я, конечно, привожу квадраты к привычному виду, прибавляя к числам во всех ячейках квадрата единицу. На рис. 3 вы видите квадрат, построенный в статье.

 

 

                                                    Рис. 3

 

Я построила для примера ещё один пандиагональный квадрат с помощью матрицы, изображённой на рис. 2, с такими значениями переменных: A=1, B=2, C=4, D=8, E=16, F=32. Этот квадрат показан на рис. 4.

 

 

 

                                                                       Рис. 4

 

Ну, а дальше мне захотелось построить все 720 квадратов. Написала программу и выполнила её. Предлагаю текст программы и файл с пандиагональными квадратами восьмого порядка, построенными по этой программе. Вот сколько конкретного материала для исследования таких квадратов! Желающие исследовать, подключайтесь прямо сейчас.

 

Не поняла, что в статье написано о том, можно ли построить другие варианты матриц для построения пандиагональных квадратов восьмого порядка. Заинтересовавшиеся читатели могут сами посмотреть указанную статью.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

10 DIM A(8, 8), B(6)

15 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

20 A(1, 1) = 1: W = 1

25 B(1) = 1: B(2) = 2: B(3) = 4: B(4) = 8: B(5) = 16: B(6) = 32

30 FOR I = 1 TO 6

35 A = B(I)

40 FOR J = 1 TO 6

45 IF I = J THEN 320

50 B = B(J)

55 FOR K = 1 TO 6

60 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 70

65 GOTO 315

70 C = B(K)

75 FOR L = 1 TO 6

80 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 90

85 GOTO 310

90 D = B(L)

95 FOR M = 1 TO 6

100 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN 110

105 GOTO 305

110 E = B(M)

115 FOR N = 1 TO 6

120 IF N <> I THEN IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> M THEN 130

125 GOTO 300

130 F = B(N)

135 A(1, 2) = A + C + D + E + 1: A(1, 3) = B + D + 1: A(1, 4) = A + B + C + E + 1: A(1, 5) = A + C + F + 1: A(1, 6) = D + E + F + 1: A(1, 7) = A + B + C + D + F + 1: A(1, 8) = B + E + F + 1

140 A(2, 1) = B + C + D + F + 1: A(2, 2) = A + B + E + F + 1: A(2, 3) = C + F + 1: A(2, 4) = A + D + E + F + 1: A(2, 5) = A + B + D + 1: A(2, 6) = B + C + E + 1: A(2, 7) = A + 1: A(2, 8) = C + D + E + 1

145 A(3, 1) = A + C + 1: A(3, 2) = D + E + 1: A(3, 3) = A + B + C + D + 1: A(3, 4) = B + E + 1: A(3, 5) = F + 1: A(3, 6) = A + C + D + E + F + 1: A(3, 7) = B + D + F + 1: A(3, 8) = A + B + C + E + F + 1

150 A(4, 1) = A + B + D + F + 1: A(4, 2) = B + C + E + F + 1: A(4, 3) = A + F + 1: A(4, 4) = C + D + E + F + 1: A(4, 5) = B + C + D + 1: A(4, 6) = A + B + E + 1: A(4, 7) = C + 1: A(4, 8) = A + D + E + 1

155 A(5, 1) = B + D + E + 1: A(5, 2) = A + B + C + 1: A(5, 3) = E + 1: A(5, 4) = A + C + D + 1: A(5, 5) = A + B + C + D + E + F + 1: A(5, 6) = B + F + 1: A(5, 7) = A + C + E + F + 1: A(5, 8) = D + F + 1

160 A(6, 1) = C + E + F + 1: A(6, 2) = A + D + F + 1: A(6, 3) = B + C + D + E + F + 1: A(6, 4) = A + B + F + 1: A(6, 5) = A + E + 1: A(6, 6) = C + D + 1: A(6, 7) = A + B + D + E + 1: A(6, 8) = B + C + 1

165 A(7, 1) = A + B + C + D + E + 1: A(7, 2) = B + 1: A(7, 3) = A + C + E + 1: A(7, 4) = D + 1: A(7, 5) = B + D + E + F + 1: A(7, 6) = A + B + C + F + 1: A(7, 7) = E + F + 1: A(7, 8) = A + C + D + F + 1

170 A(8, 1) = A + E + F + 1: A(8, 2) = C + D + F + 1: A(8, 3) = A + B + D + E + F + 1: A(8, 4) = B + C + F + 1: A(8, 5) = C + E + 1: A(8, 6) = A + D + 1: A(8, 7) = B + C + D + E + 1: A(8, 8) = A + B + 1

180 PRINT W: PRINT #1, W

185 FOR X = 1 TO 8

190 FOR Y = 1 TO 8

195 PRINT A(X, Y);

200 PRINT #1, A(X, Y);

205 NEXT Y

210 PRINT : PRINT #1,

215 NEXT X

220 PRINT : PRINT #1,

225 W = W + 1

300 NEXT N

305 NEXT M

310 NEXT L

315 NEXT K

320 NEXT J

325 NEXT I

330 CLOSE #1

340 END

 

На квадраты вы можете посмотреть по ссылке:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/pan8.htm

 

Даже представить трудно, сколько таинственных, магических связей существует между этими квадратами! Сейчас глянула на два последних квадрата (на хвостик файла, так сказать) и сразу увидела, что они связаны преобразованием “плюс-минус 1”. Просто фантастика! Не могу не показать эти два квадрата. На исходный квадрат наложена мозаика преобразования. Бирюзовая клетка соответствует “плюс 1”, а зелёная клетка – “минус 1” (рис. 5).

 

                            Квадрат № 719                                   Квадрат № 720

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Вот такое красивое преобразование, сохраняющее пандиагональность квадрата. Если бы не было перед глазами этих двух квадратов, то трудно было бы сочинить матрицу такого преобразования. А так она сочинилась сама собой. Вот как важен конкретный материал для исследований.

 

                                               ***

 

Оцените эту статью по 10-балльной шкале

Рейтинг: 9.3 | 10

Последнее: 27/02/08,15:04

10987654321

результаты голосования
Рейтинг: 9.3 | Голосов: 10

Пишите мне! Приглашаю всех на форум! На главную страницу   Сайт создан в системе uCoz