ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

Страница начата 11.06.08 г.

 

Завершив работу над статьёй о совершенных квадратах, я подумала: а нельзя ли применить уникальный метод построения совершенных квадратов из обратимых к построению идеальных квадратов. Начать решила с идеальных квадратов нечётного порядка, так как именно с этих порядков я и начинала все свои построения идеальных квадратов. О существовании идеальных квадратов чётно-чётного порядка я узнала совсем недавно и тоже достаточно подробно их исследовала; но сейчас оставлю их в стороне.

Сначала давайте ещё раз посмотрим на самый простой (уникальный) обратимый квадрат восьмого порядка (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Ко всем его свойствам, которые даны в статье на английском языке (по ней я изучала обратимые и совершенные квадраты; ссылка дана в моей статье о совершенных квадратах) можно добавить самое главное: этот квадрат ассоциативен! Посмотрите: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна 65 = 1+n². Любой обратимый квадрат является ассоциативным (в указанном смысле).

А теперь смотрим на первые два этапа преобразований, превращающих этот обратимый квадрат в совершенный. Они абсолютно равносильны моему преобразованию трёх квадратов, которое превращает ассоциативный квадрат в пандиагональный. После этих двух этапов преобразований мы получим квадрат, который вы видите на рис. 2. Этот квадрат пандиагональный (замечу, что обратимые квадраты не являются магическими, поэтому и ассоциативность, и пандиагональность понимается не в полном смысле этих понятий).

 

 

Рис. 2

 

Суммы чисел во всех диагоналях этого квадрата, как главных, так и разломанных, равны магической константе квадрата восьмого порядка – 260. Кроме того, в этом квадрате выполняется свойство комплементарности совершенных квадратов. И таким образом, чтобы стать совершенным, квадрату не хватает только магичности, а именно: чтобы суммы в строках и столбцах квадрата тоже стали равны магической константе. Это и достигается третьим этапом преобразований, в котором определённым образом переставляются числа. Подробно о превращении обратимых квадратов в совершенные вы можете прочитать в моей статье о совершенных квадратах.

И вот составляю аналогичный обратимый квадрат (самый простой) пятого порядка (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

В квадрате выполняются все свойства обратимого квадрата, приведённые в определении, и он тоже ассоциативен: сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центральной ячейки квадрата, равна 26 = 1+n².

И меня заинтересовал вопрос: можно ли превратить этот квадрат в идеальный по аналогии с тем, как обратимые квадраты порядка n=4k превращаются в совершенные. И оказалось, что можно!

Следовательно, мы имеем ещё один интересный метод построения идеальных квадратов нечётного порядка.

 

Отмечу, прежде всего, что построение идеальных квадратов нечётного порядка и в этом случае (как и в методе качелей, например) различается для порядков кратных 3 и для порядков не кратных 3. Различие здесь совсем малое, оно касается исходного обратимого квадрата, который берётся для построения идеального квадрата. Идеальные квадраты порядков, не кратных 3, строятся из самых простых обратимых квадратов (то есть заполненных числами по порядку, см. рис. 3), хотя, как будет показано, можно их строить и из других обратимых квадратов. Для идеальных квадратов порядков кратных 3 исходный обратимый квадрат имеет несколько другой вид. Начну с квадратов порядков не кратных 3.

 

Итак, на рис. 3 изображён обратимый квадрат пятого порядка. Есть преобразование, которое переводит ассоциативный квадрат в пандиагональный для квадратов нечётного порядка (не кратного 3). Это очень простое преобразование: надо переставить столбцы (или строки) с постоянным шагом, то есть, например с шагом 1 [через 1 столбец (через 1 строку)]. На рис. 4 вы видите пандиагональный (но пока ещё не магический!) квадрат, полученный перестановкой столбцов в квадрате с рис. 3 с шагом 1.

 

 

Рис. 4

 

Первый этап превращения обратимого квадрата в идеальный выполнен. Квадрат на рис. 4 ассоциативный и пандиагональный (суммы во всех диагоналях равны магической константе квадрата). Осталось сделать квадрат магическим, то есть переставить числа так, чтобы получить нужные суммы во всех строках и столбцах квадрата, при этом не нарушить ассоциативность и пандиагональность. Это будет второй этап преобразований.

Я поступила проще, так же, как и в случае превращения обратимых квадратов в совершенные: составила матрицу преобразования, которая объединила в себе оба этапа преобразований. Пусть исходный обратимый квадрат пятого порядка имеет матрицу A(a_ij), тогда полученный из него идеальный квадрат будет иметь матрицу, B=f(A), которую вы видите на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 показан готовый идеальный квадрат.

 

 

Рис. 6

 

Видите, как всё просто: составляете самый простой обратимый квадрат (рис. 3) и применяете к нему преобразование, описанное матрицей с рис. 5. Конечно, методом качелей идеальные квадраты нечётных порядков не кратных 3 тоже строятся очень просто –  качели с тривиальной образующей таблицей. Ну, а описанный здесь метод ещё проще!

 

Посмотрев внимательно на матрицу преобразования, изображённую на рис. 5, вы сразу увидите некоторые закономерности в индексации элементов матрицы. Чтобы выявить все закономерности, мне было достаточно построить ещё матрицу преобразования для квадратов седьмого порядка. На рис. 7 показываю самый простой обратимый квадрат седьмого порядка, хотя можно бы и не показывать, потому что читателям, наверное, уже понятно, как составляются такие обратимые квадраты.

 

 

Рис. 7

 

Теперь примените к этому квадрату преобразование, матрицу которого вы видите на рис. 8, и идеальный квадрат готов! Вы видите его на рис. 9.

 

 

Рис. 8

 

 

 

Рис. 9

 

Итак, закономерности составления матрицы преобразования выявлены, и я без труда составляю матрицу преобразования для квадрата 11-ого порядка. Вы видите её на рис. 10. Предлагаю читателям самостоятельно построить с помощью преобразования с такой матрицей идеальный квадрат 11-ого порядка из самого простого обратимого квадрата..

 

 

Рис. 10

 

Понятно, что обратимые квадраты могут быть не только самыми простыми. Есть множество других обратимых квадратов, каждый из которых может быть превращён в идеальный описанным методом. Приведу один пример для квадрата седьмого порядка. Возьму в качестве исходного обратимого квадрата следующий квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Применив к этому квадрату матричное преобразование (рис. 8), получаю следующий идеальный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Замечу, что обратимый квадрат, изображённый на рис. 11, не является уникальным обратимым квадратом, так как числа в его строках и столбцах следуют не в порядке возрастания.

Ну, кажется с квадратами нечётного порядка не кратного 3 всё ясно. Можно написать матрицу преобразования в общем виде и составить программу для построения квадрата любого порядка данной серии из самого простого обратимого квадрата.

Неизвестно, существует ли такое же взаимнооднозначное соответствие между всеми обратимыми и идеальными квадратами нечётного порядка, как это имеет место для обратимых и совершенных квадратов. Интересная тема для исследований!

Перехожу к идеальным квадратам нечётного порядка кратного 3. Начну, конечно, с квадратов 9-ого порядка. Сначала я составила точно такую же матрицу преобразования, как для квадратов пятого, седьмого и 11-ого порядков. Эту матрицу вы видите на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Применяю это преобразование к самому простому обратимому квадрату и… идеального квадрата не получаю (получается только ассоциативный квадрат)! Что же делать дальше? Я поступаю так: пишу матрицу обратного преобразования, беру два известных мне идеальных квадрата (ну, идеальных квадратов 9-ого порядка я в своё время построила очень много) и применяю к ним обратное преобразование. И получаю обратимые квадраты! На рис. 14 и рис. 15 показываю эти обратимые квадраты.

 

 

Рис. 14

 

 

Рис. 15

 

Если вы внимательно посмотрите на эти обратимые квадраты, то увидите, что они получаются друг из друга перестановкой строк и столбцов.

Очевидно, что если теперь применить к этим обратимым квадратам преобразование, описанное матрицей с рис. 13, то получатся те самые идеальные квадраты, которые использованы в качестве исходных квадратов для обратного преобразования. На рис. 16 покажу один из этих квадратов, он соответствует обратимому квадрату с рис. 14.

 

 

Рис. 16

 

Примените преобразование к квадрату с рис. 15 и вы получите второй идеальный квадрат, соответствующий этому обратимому квадрату.

 

Итак, матрица преобразования строится точно так же, как и для квадратов нечётных порядков не кратных 3. Различие только в исходных обратимых квадратах. Из самого простого обратимого квадрата идеальный квадрат с помощью такого преобразования не получается. Значит, вся сложность применения данного метода состоит в построении исходного обратимого квадрата. Я посмотрела внимательно на два обратимых квадрата, показанных здесь, и поняла некоторые закономерности составления таких квадратов. Во-первых, в строках обратимого квадрата (как и в самом простом обратимом квадрате) находятся наборы чисел от 9k+1 до 9*(k+1), k= 0, 1, 2, 3… 8. Во-вторых, последние числа в строках обратимых квадратов кратны 9 и более того: множители этой кратности берутся из первой строки квадрата. Смотрите в обратимом квадрате на рис. 14: 9=9*1, 63=9*7, 18=9*2, 54=9*6, 45=9*5, 36=9*4, 72=9*8, 27=9*3, 81=9*9. То же самое и в квадрате на рис. 15. Наконец, ещё одна закономерность: разности между числами в первой строке квадрата в точности повторяются в других строках. Например, разность между вторым и третьим числами в первой строке квадрата с рис. 14 равна 5, точно такая же разность между соответствующими числами во всех остальных строках квадрата. Вот такие закономерности в обратимых квадратах мне удалось заметить.

И ещё самое главное: оба эти квадрата получаются из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов. Конечно, переставлять надо не как придётся, а по определённой схеме, чтобы не нарушилась ассоциативность и все другие свойства обратимого квадрата.

 Думаю, что этого достаточно, чтобы построить обратимый квадрат следующего нечётного порядка кратного 3 – 15-ого. Это, как помнят читатели, был самый сложный в построении идеальный квадрат. Я очень долго не могла его построить и сделала это только с помощью метода качелей. Затем были построены идеальные квадраты следующих порядков этой серии до 51-ого включительно.

Очень интересно, получится ли у меня такой идеальный квадрат с помощью описанного здесь метода. Сейчас напишу матрицу преобразования и попробую составить обратимый квадрат 15-ого порядка, используя выявленные закономерности в обратимых квадратах 9-ого порядка. Замечу, что все эти закономерности очень напоминают мне формирование образующей таблицы в методе качелей.

 

12 июня 2008 г.

 

С праздником вас, дорогие мои соотечественники!

 

Всех, всех, всех! И тех, кто живёт сейчас далеко от России. С праздником, Петя, с праздником, Макс. Немножко надеюсь, что вы заглянете на эту страницу…

Позвольте небольшое поэтическое отступление (как хорошо, что на своём сайте я могу писать всё что угодно, и никто не будет щёлкать меня по носу, как, например, на одном научном форуме). Итак, стихотворение в тему сегодняшнего дня:

 

                     ... я родину люблю

                         И больше многих...

                                               М. Ю. Лермонтов

 

 

                         Я дочь России. Заявляю гордо!

                         И всем на свете я хочу сказать:

                         Люблю её любовью нежно-кроткой,

                         Мою совсем замученную мать.

 

                         Судьба её такая непростая,

                         Над ней глумились тысячи чертей,

                         И воронья прожорливая стая

                         Глаза святые выклевала ей.

 

                         О, милая! В который раз распята?

                         Я чаю, что воскреснешь ты опять,

                         И Бог накажет гнусных супостатов,

                         Поднявших руку на родную мать.

 

                         Воскреснешь ты и снова засияешь,

                         И наше счастье понесёшь в руках,

                         И будешь жить, – да, что бы ни случилось, –

                         Я верую: ты будешь жить в веках!

 

                                                                            7 января 1995 г.

 

                                               ***

 

                         Читайте мои стихотворения здесь:

                         http://www.stihi.ru/author.html?absoljt

 

                         Читайте мою прозу здесь:

                         http://www.proza.ru/author.html?absoljt

 

Вполне возможно, что мои стихотворения хуже моих магических квадратов. Ну, всё равно посмотрите. А вдруг понравятся…

Прозу читают лучше, чем стихи. Это, наверное, не только ко мне относится. Из моей прозы самым популярным произведением является “Мой путь к произведениям А. И. Солженицына”. Прочтите и вы это эссе.

 

***

 

А теперь вернусь к квадратам.

Вчера, уже почти заснув, я вдруг поймала витавшую в воздухе идею: если обратимый квадрат с рис. 14, который является исходным квадратом для построения идеального квадрата 9-ого порядка, получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов, значит можно написать матрицу преобразования, выполняющего эти перестановки. А затем применить к полученному обратимому квадрату уже представленное выше матричное преобразование (см. рис. 13). И таким образом, идеальный квадрат 9-ого порядка (а также и всех следующих порядков кратных 3) тоже получается матричным преобразованием из самого простого обратимого квадрата! Только матрица преобразования для таких квадратов будет отличаться от матрицы преобразования для квадратов порядков не кратных 3.

 

Итак, пусть самый простой обратимый квадрат 9-ого порядка (то есть заполненный числами от 1 до 81 по порядку построчно, начиная с левой верхней ячейки) имеет матрицу A(a_ij). Тогда обратимый квадрат, который изображён на рис. 14, будет иметь матрицу B=f(A), которую вы видите на рис. 17.

 

 

 

Рис. 17

 

Понятно, что это матричное преобразование как раз и выполнит перестановку строк и столбцов в самом простом обратимом квадрате и даст в результате обратимый квадрат, изображённый на рис. 14. Проверьте!

Ну, а теперь, как догадываются читатели, надо к квадрату с матрицей B=f(A) применить преобразование, описанное матрицей на рис. 13. Полученный идеальный квадрат будет иметь матрицу C=g(B)=g(f(A)), которую вы видите на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

А теперь попробуйте применить это матричное преобразование к самому простому обратимому квадрату 9-ого порядка. Вы получите идеальный квадрат, который изображён на рис. 16! Вот как всё просто. Если бы я знала об обратимых квадратах и их связи с совершенными квадратами раньше, не надо было бы изобретать метод качелей. Ну, правда, метод качелей мне ещё для других построений пригодился.

Теперь, конечно, вы спросите, а как написать такую матрицу для квадратов следующих порядков кратных 3. Я думаю, что во всех этих матрицах тоже будут свои закономерности. Одна из них уже налицо, она такая же, как в матрицах для квадратов нечётных порядков не кратных 3. Посмотрите: индексация элементов матрицы, расположенных ниже центральной строки, строго симметрична, то есть первый и второй индексы просто меняются местами. Например, в самой первой строке над центральной строкой стоят элементы:

 

a₅₄  a₄₈  a₈₃  a₃₉  a₉₁  a₁₇  a₇₂  a₂₆  a₆₅

 

а в самой первой строке под центральной строкой стоят такие элементы:

 

a₄₅  a₈₄  a₃₈  a₉₃  a₁₉  a₇₁  a₂₇  a₆₂  a₅₆

 

Таким образом, достаточно заполнить верхнюю половину матрицы, включая центральную строку. В нижней половине матрицы всё заполняется элементарно по закону симметрии.

 

Когда я работала над построением идеальных квадратов нечётного порядка кратного 3, нашла группу частных решений, которые имеют аналогичные начальные цепочки, и поэтому все они могут быть построены без программы. Думаю, что если написать матрицы преобразования для всех квадратов этой группы частных решений, то в них тоже проявится некая закономерность, которая позволит написать матрицу преобразования для любого квадрата данной серии порядков. Ну, для начала я посмотрю на квадраты указанной группы частных решений и решу, какой путь лучше выбрать для дальнейших построений.

 

Займусь этим завтра, а сейчас пойду праздновать День России, в гости поеду. Напью-ю-ю-сь…

Скажите, я тут не наделала ошибок? Очень тороплюсь в гости!

 

***

 

13 июня 2008 г.

 

Ба! Сейчас нашла в своих черновых записях образующую таблицу идеального квадрата 9-ого порядка, изображённого на рис. 16, и увидела чудеса: эта таблица – родная сестра того самого обратимого квадрата, из которого получен этот идеальный квадрат (см. рис. 14).

Покажу здесь эту образующую таблицу (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Посмотрите на эту образующую таблицу, созданную методом качелей (напомню, что это стандартные качели). Оказывается, начальная цепочка – это в точности первая строка обратимого квадрата с рис. 14 (ну, только число 9 надо перенести из верхней ячейки столбца таблицы вниз). Не зря, как я уже отметила выше, закономерности составления обратимого квадрата так напоминали мне формирование образующей таблицы. Таким образом, метод качелей и метод построения идеальных квадратов нечётного порядка (как кратного, так и не кратного 3) из обратимых квадратов – тождественные методы.

Посмотрела сейчас на идеальные квадраты группы частных решений, о которой сказано выше. Оказывается, эта группа начинается с квадрата 15-ого порядка (вы видите его на рис. 20).

 

 

 

Рис. 20

 

Итак, путь для дальнейших построений будет такой: матрицы преобразований я буду составлять точно такие же, как и для квадратов нечётного порядка не кратного 3. Такая матрица была составлена уже для квадрата 9-ого порядка (см. рис. 13). Напомню, что данное матричное преобразование превращает в идеальный квадрат не самый простой обратимый квадрат, а полученный из него перестановкой строк и столбцов.

Чтобы построить идеальный квадрат 9-ого порядка из самого простого идеального квадрата, надо применить другое матричное преобразование (см. рис. 18).

Таким образом, мы имеем два типа матричных преобразований: матричные преобразования первого типа составляются аналогично для квадратов любого нечётного порядка. Но исходные обратимые квадраты для порядков кратных 3 не являются самыми простыми. Матричные преобразования второго типа составляются только для квадратов порядков кратных 3. Эти преобразования превращают самые простые обратимые квадраты в идеальные. Я показала преобразование этого типа на квадрате 9-ого порядка. Но сейчас я возвращаюсь к матричным преобразованиям первого типа, как более удобным.

На рис. 21 показываю матрицу преобразования, которое превратит преобразованный обратимый квадрат 15-ого порядка в идеальный.

 

 

 

Рис. 21

 

Я не буду заполнять нижнюю половину матрицы, потому что (как было показано выше) она заполняется очень просто по закону симметрии. При заполнении каждой строки матрицы тоже есть строгая закономерность. Заметили? Первый и второй индексы элементов следуют точно в порядке возрастания, при этом после 15 следует 1 (15 – максимальное значение индекса для квадрата 15-ого порядка). Например, в первой строке:

 

a_5,12  a_6,13  a_7,14  a_8,15  a_9,1  a_10,2  a_11,3  a_12,4  a_13,5  a_14,6  a_15,7  a_1,8  a_2,9  a_3,10  a_4,11

 

Первый индекс пробегает значения: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 2, 3, 4; второй индекс пробегает значения: 12, 13, 14, 15, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. И так в каждой строке. Следовательно, достаточно записать первые 8 чисел в первом столбце матрицы, чтобы элементарно заполнить всю матрицу.

 

Итак, матрицу преобразования мы имеем. Понятно, что совершенно аналогично можно составить матрицу преобразования для всех следующих порядков. Теперь дело за исходным обратимым квадратом, к которому надо применить это преобразование, чтобы получить идеальный квадрат 15-ого порядка. Как составить этот обратимый квадрат? Очень просто! Я уже отметила выше, что первая строка исходного обратимого квадрата – это не что иное, как начальная цепочка в методе качелей. А начальные цепочки для всех частных решений рассматриваемой группы идеальных квадратов нечётного порядка кратного 3 были получены мной в статье

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob13.htm

(см. рис. 12 в указанной статье).

 

Так, например, начальная цепочка идеального квадрата 15-ого порядка, который изображён на рис. 20, имеет вид: 15  1  3  6  14  7  5  4  8  12  11  9  2  10  13. Первая строка исходного обратимого квадрата уже есть (только начинать её надо с числа 1, переместив число 15 в конец строки)! Больше ничего и не надо для составления этого квадрата, потому что составление его подчинено закономерностям, о которых было сказано при рассмотрении обратимого квадрата 9-ого порядка. И закономерности эти очень похожи на закономерности формирования образующей таблицы в методе качелей. На рис. 22 показываю исходный обратимый квадрат, который после применения к нему матричного преобразования, описанного матрицей с рис. 21, даст идеальный квадрат с рис. 20.

 

 

 

Рис. 22

 

Замечу, что этот обратимый квадрат получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов (как и в случае с исходным обратимым квадратом 9-ого порядка).

 

Примените теперь к этому обратимому квадрату преобразование, описанное матрицей с рис. 21. И вы получите идеальный квадрат 15-ого порядка, показанный на рис. 20. Проверьте!

 

По приведённым в указанной выше статье (на рис. 12) начальным цепочкам я построила квадраты данной группы до 51-ого порядка включительно. Сравнивая построение методом качелей с построением с помощью описанного здесь матричного преобразования, я затрудняюсь сказать, какой из этих методов проще. В методе качелей по начальной цепочке формируется образующая таблица, а затем числа из образующей таблицы переносятся по определённой схеме в матрицу для квадрата. В описанном здесь методе тоже два этапа: по начальной цепочке составляется исходный обратимый квадрат, а затем к этому квадрату применяется матричное преобразование. Хотя матрицу этого преобразования тоже надо составить. Получается, что метод качелей всё-таки проще! А как думаете вы?

 

Предлагаю читателям построить описанным методом идеальный квадрат 21-ого порядка. Начальную цепочку возьмите в вышеуказанной статье. С составлением исходного обратимого квадрата по начальной цепочке, думаю, не будет никаких сложностей. А при составлении матрицы преобразования?

Как я уже отметила, в этой матрице достаточно определить числа в первом полустолбце, а дальше матрица заполняется элементарно. Сейчас посмотрела внимательно на все матрицы, составленные выше (см. рис. 5, 8, 10, 13, 21) , и увидела закономерность в заполнении первого полустолбца этих матриц (для любого нечётного порядка). Не буду раскрывать эту закономерность, найдите её сами. Используя эту закономерность, я легко заполняю первый полустолбец матрицы преобразования для квадрата любого нечётного порядка. Ну, покажу первый полустолбец в матрице преобразования для квадрата 21-ого порядка (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Это будет вам подсказка. А вот первый полустолбец в матрице преобразования для квадрата 13-ого порядка (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Замечу, что идеальный квадрат 13-ого порядка получается из самого простого обратимого квадрата (так как этот порядок не кратен 3). Составьте матрицу преобразования по первому полустолбцу с рис. 24 и примените преобразование к самому простому обратимому квадрату 13-ого порядка, и идеальный квадрат готов!

 

Удивительная закономерность в составлении первого полустолбца матрицы преобразования! И связана она с шагами качания качелей.

 

Теперь я хочу посмотреть на аналогичный метод построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка из обратимых квадратов. Если будут результаты, напишу статью.

 

***

 

Читайте о построении идеальных квадратов порядка n=4k здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу