ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=4k ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

Страница начата 14 июня 2008 г.

 

 

Я показала построение из обратимых квадратов совершенных квадратов. Этот метод был найден в статье:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm

 

Однако в этой статье метод показан только для квадратов четвёртого порядка и для третьего этапа преобразований приведено какое-то непонятное преобразование. Я обошла это преобразование и составила матрицы преобразований для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3… Написала матрицу в общем виде и запрограммировала её. Подробно об этом смотрите в моей статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

Далее меня заинтересовал вопрос построения идеальных квадратов из обратимых квадратов. Для квадратов нечётного порядка я рассмотрела этот вопрос в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm

 

Теперь рассмотрю данный метод для идеальных квадратов порядка n=4k, k=2, 3, 4… (идеального квадрата четвёртого порядка не существует).

Первая моя статья, посвящённая таким квадратам:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm

 

В этой статье подробно исследован первый идеальный квадрат восьмого порядка, который был найден в Интернете. Я применила к нему метод качелей и построила 36 подобных идеальных квадратов, начинающихся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). Все 36 квадратов вы можете посмотреть здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/ideal8pril.htm

 

Квадраты следующих чётно-чётных порядков по данному алгоритму мне построить не удалось.

Матричное преобразование, превращающее обратимые квадраты в идеальные квадраты указанной группы квадратов сочинила с ходу. Вы видите его на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Берём теперь самый простой обратимый квадрат восьмого порядка (мои читатели знают, как составляется такой квадрат) и применяем к нему преобразование с матрицей, представленной на рис. 1. Получаем следующий идеальный квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

Возьмём другой обратимый уникальный квадрат (рис. 3) и применим к нему преобразование. Полученный идеальный квадрат вы видите на рис. 4.

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Обратите внимание: в этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет другую форму, чем все квадраты данной группы. При внимательном рассмотрении вы увидите, что этот квадрат связан с квадратом с рис. 2 преобразованием “плюс-минус 4”. Получаем интересный вывод: моя группа из 36 квадратов может быть значительно пополнена другими идеальными квадратами. В статье о совершенных квадратах (ссылка на которую указана в самом начале страницы) сказано, что существует 10 уникальных обратимых квадратов восьмого порядка, каждый из которых порождает группу из 36864 обратимых квадратов. И из каждого обратимого квадрата получается совершенный квадрат. Я не знаю, есть ли точно такое взаимнооднозначное соответствие между обратимыми и идеальными квадратами восьмого (и других) порядка. Интересная тема для исследования!

Если матричным преобразованием, которое здесь представлено, каждый обратимый квадрат превращается в идеальный, то мы получим 368640 идеальных квадратов восьмого порядка. Однако есть уже один контраргумент. Дело в том, что совершенные квадраты остаются совершенными при параллельных переносах на торе, и в число 368640 входят все варианты, полученные данным преобразованием. А идеальные квадраты при параллельных переносах на торе утрачивают идеальность, поскольку при таких преобразованиях нарушается ассоциативность квадрата. Тогда можно предположить, что описанным матричным преобразованием можно получить 5760 идеальных квадратов. Гипотеза требует доказательства!

 

Как бы то ни было, преобразование работает – превращает обратимые квадраты в идеальные. На рис. 5 вы видите матрицу обратного преобразования, оно превращает идеальный квадрат в обратимый.

 

 

Рис. 5

 

Возьмём теперь тот самый идеальный квадрат, который был найден в Интернете, и применим к нему это преобразование. Идеальный квадрат вы видите на рис. 6, а полученный из него обратимый квадрат – на рис. 7.

 

 

Рис. 6

 

 

Рис. 7

 

Очевидно, что этот обратимый квадрат получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов.

 

А теперь рассмотрю другую группу идеальных квадратов восьмого порядка – это квадраты, построенные по алгоритму Франклина (доработкой его пандиагональных квадратов). Один из квадратов данной группы вы видите на рис. 8. По данному алгоритму мне удалось построить идеальные квадраты порядков n=8k, k=1, 2, 3… Подробно о построении этих квадратов смотрите статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

 

 

Рис. 8

 

Интересно отметить: хотя в этом квадрате начальная цепочка имеет такую же форму, как в квадратах, подобных квадрату из Интернета, однако это принципиально новый квадрат, так как он не получается из квадратов указанной группы никакими эквивалентными преобразованиями и даже перестановками строк и столбцов не получается.

И сразу же хочу посмотреть, применимо ли к этому квадрату матричное преобразование, описанное матрицей на рис. 5. Результатом применения этого преобразования должен быть обратимый квадрат.

Увы! Как и следовало ожидать, обратимый квадрат не получился. Следовательно, для данной группы квадратов надо написать другое матричное преобразование, превращающее их в обратимые квадраты, и соответственно другое (обратное) преобразование для получения таких идеальных квадратов из обратимых.

 

На рис. 9 показана матрица преобразования, превращающего обратимые квадраты в идеальные, а на рис. 10 – матрица обратного преобразования.

 

 

Рис. 9

 

 

Рис. 10

 

Примеры начну показывать с обратного преобразования. Применяю это преобразование к идеальному квадрату с рис. 8 и получаю обратимый квадрат, соответствующий данному идеальному квадрату (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Вот и получен ответ на вопрос о том, существует ли взаимнооднозначное соответствие между обратимыми и идеальными квадратами. Очевидно, что такого соответствия нет. Если мы применим к обратимому квадрату с рис. 11 матричное преобразование с рис. 1, получим идеальный квадрат из первой группы квадратов, вы видите этот квадрат на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Таким образом, одному и тому же обратимому квадрату соответствуют по крайней мере два разных идеальных квадрата.

 

Посмотрим теперь, как работает преобразование с матрицей, изображённой на рис. 9. Это преобразование переводит обратимые квадраты в идеальные. Возьмём для первого примера обратимый квадрат с рис. 3. Полученный в результате преобразования идеальный квадрат изображён на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Обратите внимание на начальную цепочку этого квадрата, она отличается от начальной цепочки квадрата с рис. 8.

Ещё пример, возьмём в качестве исходного квадрата обратимый квадрат с рис. 7. Мы получим в результате преобразования следующий идеальный квадрат (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Этот пример показывает, что идеальные квадраты данной группы могут тоже начинаться с других чисел (а не только с числа 1), так же, как и квадраты первой группы. Квадрат, найденный в Интернете (см. рис. 6), и квадрат на рис. 14 получены из одного обратимого квадрата разными матричными преобразованиями.

 

Наконец, последний пример. Интересно посмотреть на идеальный квадрат, который получится из самого простого обратимого квадрата. Показываю этот квадрат на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Думаю, что достаточно примеров. В статье о совершенных квадратах я составила все 10 уникальных обратимых квадратов восьмого порядка. Попробуйте проверить работу этого преобразования на других обратимых квадратах.

 

Можно, конечно, продолжить построение идеальных квадратов данной группы для следующих порядков n=8k. Предлагаю сделать это заинтересовавшимся читателям.

А мне очень интересно посмотреть на третью группу идеальных квадратов восьмого порядка.

 

16 июня 2008 г.

 

Третья группа идеальных квадратов порядка n=4k, k=2, 3, 4… была построена Г. Александровым методом цепей. Когда я прочла статью Александрова, попробовала построить идеальные квадраты этой группы (с начальной цепочкой, которая строится ходом шахматного коня) методом качелей. Разумеется, получилось и не могло не получиться, потому что здесь всё совершенно аналогично построению идеальных квадратов нечётного порядка с такой же начальной цепочкой (“ход конём”).

Итак, теперь я хочу показать матричное преобразование, превращающее обратимые квадраты в идеальные, для данной группы идеальных квадратов. Здесь получился очень интересный результат.

На рис. 16 показываю идеальный квадрат восьмого порядка из данной группы.

 

 

Рис. 16

 

Самое интересное в этой группе квадратов: матрица обратного преобразования, превращающего идеальные квадраты в обратимые, точно такая же, как матрица преобразования, превращающего обратимые квадраты в идеальные! На рис. 17 вы видите эту матрицу. С помощью этого матричного преобразования вы можете превратить обратимый квадрат в идеальный и идеальный квадрат в обратимый.

 

 

Рис. 17

 

Применяю преобразование к квадрату с рис. 16 и получаю соответствующий ему обратимый квадрат (рис. 18).

 

 

Рис. 18

 

Очевидно, что этот обратимый квадрат получается из самого простого обратимого квадрата перестановкой строк и столбцов. Однако (как и в случае с идеальными квадратами нечётного порядка кратного 3) из самого простого обратимого квадрата данным преобразованием идеальный квадрат не получается. Получается квазиидеальный квадрат; так я называю ассоциативные квадраты, в которых суммы по всем диагоналям (как главным, так и разломанным) равны магической константе квадрата, а суммы в строках и столбцах отличаются от магической константы. Этот квазиидеальный квадрат вы видите на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

Посмотрите на начальную цепочку в этом квазиидеальном квадрате, числа в ней следуют по порядку.

 

Как вы уже, наверное, догадались, начальная цепочка идеального квадрата – это первая строка соответствующего ему обратимого квадрата. Для сравнения приведу образующую таблицу идеального квадрата с рис. 16 (при построении его методом качелей). Смотрите на рис. 20.

 

 

Рис. 20

 

Сравните эту образующую таблицу с обратимым квадратом, изображённым на рис. 18. Вы увидите, что это абсолютно идентичные таблицы. Таким образом, для составления обратимого квадрата, являющегося прообразом идеального, достаточно знать начальную цепочку этого идеального квадрата. Приведу пример. Вот начальная цепочка идеального квадрата:

 

1  5  7  3  6  2  4  8

 

На рис. 21 показываю обратимый квадрат, соответствующий идеальному квадрату с такой начальной цепочкой.

 

 

Рис. 21

 

Закономерности составления этого обратимого квадрата точно такие же, как для квадратов 9-ого порядка, и эти закономерности очень похожи на закономерности формирования образующей таблицы в методе качелей.

 

Применим к этому квадрату матричное преобразование с рис. 17 и получим идеальный квадрат (рис. 22).

 

 

Рис. 22

 

Даже затрудняюсь сказать, какой метод построения проще: метод качелей или матричный метод.

 

Поскольку исходные обратимые квадраты для построения данной группы идеальных квадратов получаются из самого простого обратимого квадрата (заполненного числами по порядку) перестановкой строк и столбцов, то можно (как и в случае с идеальными квадратами 9-ого порядка) применить матричное преобразование дважды: сначала сделать матрицу преобразования, переставляющего в самом простом обратимом квадрате строки и столбцы, а затем применить уже представленное преобразование. Тогда с помощью нового матричного преобразования, объединившего оба этапа преобразований, можно будет строить идеальные квадраты из самых простых обратимых квадратов.

Подробно этот путь был показан для квадратов 9-ого порядка в статье “Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов”.

 

Но здесь будет показан первый путь, то есть уже представленное матричное преобразование. Итак, для того чтобы применить данное матричное преобразование, надо составить исходный обратимый квадрат. Как установлено, обратимый квадрат полностью определяется начальной цепочкой соответствующего ему идеального квадрата.

Г. Александров нашёл две группы частных решений для таких идеальных квадратов, начальные цепочки которых легко определяются. К сожалению, все идеальные квадраты чётно-чётного порядка (как и идеальные квадраты нечётного порядка) разделились на две группы порядков: n=8k и n=4*(2k+1). Рассмотрю здесь идеальные квадраты первой группы порядков.

Вот начальные цепочки Г. Александрова для группы частных решений этой серии порядков:

 

n=8                1  3  4  2  7  5  6  8

n=16              1  7  5  3  4  6  8  2  15  9  11  13  14  12  10  16

n=24              1  11  9  7  5  3  4  6  8  10  12  2  23 13  15  17  19  21  22  20  18  16  14  24 

n=32              1  15  13  11  9  7  5  3  4  6  8  10  12  14  16  2  31 17  19  21  23  25  27  29  30  28  26  24  22  20  18  32

и так далее.

 

Очевидно, что можно написать общую формулу начальной цепочки для подобных идеальных квадратов любого порядка n=8k, k=1, 2, 3… из данной группы частных решений.

Далее пишем матричное преобразование, представленное на рис. 17, тоже в общем виде. И теперь всё совсем просто: пишем программу, в которую будет достаточно ввести порядок квадрата, и программа мгновенно выдаст идеальный квадрат.

 

Понятно, что группа частных решений, описываемых представленными начальными цепочками Александрова, не является единственной группой частных решений. Представлю другую группу частных решений тоже для серии порядков n=8k, k=1, 2, 3…. Квадраты этой группы начинаются с числа 2, то есть число 2 стоит в левой верхней ячейке квадрата. Показываю начальные цепочки идеальных квадратов данной группы (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Вот такая незначительная модификация начальных цепочек Александрова даёт новую группу частных решений (кстати, именно об этой модификации начальных цепочек я писала на форуме; вот наступил удобный момент опробовать эту модификацию; это для тех, кто участвовал в форуме http://lib.mexmat.ru/forum/ и читал тему “Магические квадраты”).

Интересно отметить, что идеальные квадраты восьмого порядка этих двух групп связаны преобразованием “плюс-минус 1”. Удивительная связь! На рис. 24 вы видите идеальный квадрат из первой группы частных решений (с начальной цепочкой Александрова), а на рис. 25 изображён идеальный квадрат из второй группы частных решений (с модифицированной начальной цепочкой).

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

Сравните эти квадраты! Думаю, нет надобности показывать матрицу преобразования “плюс-минус 1”, превращающего один квадрат в другой, потому что связь очевидна. Замечу, что ни основными преобразованиями, ни параллельными переносами на торе квадрат с рис. 24 нельзя превратить в квадрат с рис. 25. Поэтому это два существенно различных идеальных квадрата, то есть они не являются эквивалентными. И даже перестановками строк и столбцов один квадрат не превращается в другой.

Для квадратов других порядков, вероятно, тоже существует похожая связь идеальных квадратов двух групп, но преобразование “плюс-минус …” будет комбинированным.

 

***

 

Вернёмся к построению идеальных квадратов из обратимых. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса будет демонстрироваться на примерах квадратов из второй группы частных решений. Сначала покажу конкретный пример для квадрата восьмого порядка. Начальная цепочка этого квадрата имеет вид:

 

2  4  3  1  8  6  5  7    (см. рис. 23).

 

Составим обратимый квадрат по данной начальной цепочке (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Примените к этому обратимому квадрату преобразование, описанное матрицей на рис. 17, и вы получите идеальный квадрат, изображённый на рис. 25. Примените к квадрату с рис. 25 то же самое преобразование, и вы получите обратимый квадрат с рис. 26. Такая чудесная зависимость существует между обратимыми квадратами и идеальными квадратами порядка n=4k, имеющими начальную цепочку “ход конём”.

 

Ну, теперь надо продемонстрировать всё это для квадрата 16-ого порядка из рассматриваемой группы частных решений. Начнём с составления обратимого квадрата. Начальную цепочку берём в таблице на рис. 23. И вот перед вами обратимый квадрат 16-ого порядка, построенный для данной начальной цепочки (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

Теперь надо написать матрицу преобразования, аналогичную изображённой на рис. 17. Я уже написала такие матрицы для квадратов 12-ого и 16-ого порядка. Предлагаю сделать это читателям. После того, как вы напишете матрицу, примените это матричное преобразование к обратимому квадрату с рис. 27, и идеальный квадрат 16-ого порядка готов!

 

17 июня 2008 г.

 

Показываю матрицы преобразования для квадратов 12-ого и 16-ого порядка, превращающего обратимые квадраты в идеальные.  Для квадратов 12-ого порядка преобразование, конечно, тоже работает. В рассматриваемой сейчас группе частных решений нет квадратов порядка n=4*(2k+1). На рис. 28 вы видите матрицу преобразования для квадратов 12-ого порядка, а на рис. 29 – для квадратов 16-ого порядка.

 

 

Рис. 28

 

 

 

Рис. 29

 

Попутно расскажу немного о квадратах 12-ого порядка. Почему, например, в рассматриваемую группу частных решений не входят квадраты этого порядка? Составим начальную цепочку по аналогии с начальными цепочками в таблице на рис. 23:

 

2   4   6   5   3   1   12   10   8   7   9   11

 

Попробуем построить по этой начальной цепочке обратимый квадрат (рис. 30).

 

 

Рис. 30

 

Обратимый квадрат получился. Применим к нему матричное преобразование с рис. 28 и посмотрим, что же за квадрат у нас получится (рис. 31):

 

 

Рис. 31

 

Всё прекрасно в этом квадрате: он ассоциативный, суммы чисел во всех диагоналях (как главных, так и разломанных) равны магической константе квадрата, то есть он пандиагональный. Чего же не хватает? Да просто квадрат не магический! Нет магической суммы в строках и столбцах квадрата. Я называю такие квадраты квазиидеальными. Таким образом, не из любого обратимого квадрата 12-ого порядка данным преобразованием получается идеальный квадрат.

Так же все квадраты порядка n=4*(2k+1) выпадают из рассматриваемой группы частных решений. Для них существует другая группа частных решений, которая тоже найдена Александровым.

 

Кстати, интересно отметить, что совершенный квадрат из обратимого квадрата с рис. 30 с помощью матричного преобразования, которое я представила в статье о построении совершенных квадратов из обратимых, получается. Совершенный квадрат (любого порядка n=4k) получается из каждого обратимого квадрата, причём только один. Покажу этот совершенный квадрат (рис. 32):

 

 

Рис. 32

 

А теперь возьму другой обратимый квадрат 12-ого порядка (см. рис. 33) и применю к нему матричное преобразование, описанное матрицей с рис. 28.